CC BY
14
УДК 621.391
В. В. БЕЗРУКОВ, К. В. ГОНЧАРОВ, Д. Ф. 1ВАХНЕНКО (ДПТ)
ПОР1ВНЯЛЬНИЙ АНАЛ1З БАЗОВИХ МЕТОД1В ЦИФРОВОГО МОДЕЛЮВАННЯ АНАЛОГОВО1 СИСТЕМИ
Розглянуто основш методи цифрового моделювання аналогово! системи: метод дискретизацп диферен-щального рiвняння, метод дискретизацп iмпульсноl характеристики та бшншний метод. На приклащ коли-вально! ланки, як аналогового прототипу, розраховаш похибки цифрового моделювання частотно-часових характеристик. Наведено висновки ввдносно точностi цифрового моделювання рiзними методами.
Рассмотрены основные методы цифрового моделирования аналоговой системы: метод дискретизации дифференциального уравнения, метод дискретизации импульсной характеристики и билинейный. На примере колебательного звена, как аналогового прототипа, рассчитаны ошибки цифрового моделирования частотно-временных характеристик. Приведены выводы относительно точности цифрового моделирования разными методами.
Basic methods of digital design of the analog system - that of digitization of differential equation, of digitization of impulsive description and a bilinear one - have been considered. On the example of an oscillating link, as an analog prototype, errors of frequency-time of digital design descriptions have been calculated. Conclusions in relation to exactness of digital design by different methods have been drawn.
Вступ
Розвиток автоматизованих систем управлш-ня е одним з напрямюв тдвищення ефективно-ст залiзничного транспорту Укра!ни [1]. На тепершнш час при побудовi пристро!в автоматики широко застосовують цифровi засоби об-робки сигналiв. У порiвняннi з аналоговими цифровi пристро! обробки сигналiв мають ряд переваг: висока точшсть, стабшьшсть парамет-рiв, можливiсть одержувати найрiзноманiтнiшi характеристики пристро!в, гнучкiсть та ш.
Вiдомi декшька методiв синтезу дискретно! моделi лмйно! аналогово! системи, зокрема, метод дискретизацп диференцiального рiвняння, метод дискретизацi!' iмпульсно!' характеристики i бiлiнiйний метод [2]. Дискретну модель аналого-во! системи в загальному випадку будемо нази-вати цифровим фiльтром (ЦФ). При синтезi цифрового фшьтра характеристики синтезованого фiльтра намагаються зробити подiбними до вi-домих характеристик аналогового прототипу.
Метою дано! роботи е дослщження рiзних ме-тодiв синтезу цифрових фiльтрiв, визначення методу, який точнiше моделюе аналогову систему.
Огляд основних методiв синтезу цифрових ф1льтр1в
Метод дискретизацп iмпульсно! характеристики полягае в тому, що передатну функцiю '(е) дискретно! системи одержують стандарт-ним 2-перетворенням iмпульсно! характеристики р(х) аналогового прототипу за формулою
Ж(2) = 2 {р (X)} = 2 {р (пТ)} . (1)
Зворотне г-перетворення вiд Ж (г) , тобто 2-1 {Ж(г)} = 2-1 [2 {р(пТ)}] = р(пТ), (2)
дае iмпульсну характеристику р(пТ) дискретного фшьтра, яка в точках дискретизацп пТ (п = 0,1,2,...) ствпадае з характеристикою
аналогового прототипу. У зв'язку з останшм метод дискретизацп iмпульсно! характеристики називають також методом iнварiантно! iм-пульсно! характеристики.
У методi дискретизацi! диференщального рiвняння диференцiальне рiвняння неперервно! системи замшюють його дискретним варiан-том, який називаеться рiзницевим рiвнянням. Для цього в диференщальному рiвняннi неперервно! системи замшюють неперервш похщш дискретними, зокрема, першу i другу похщш можна замiнити згiдно з такими правилами:
йх х (пТ)- х (пТ - Т)
Ш Т '
й2х х (пТ) - 2х (пТ - Т) + х (пТ - 2Т)
о" О , (3)
йх2 Т2
де Т = 1/ ^ - штервал дискретизацi! i ^ = 1/Т -частота дискретизацi!.
Для переходу вщ рiзницевого рiвняння до дискретно! передатвально! функцi! Ж (г) дис-
кретнi функцi! х (пТ - кТ) , у (пТ - кТ) зпдно з властивютю про затзнення оригшалу замшю-
ють !х зображеннями виду z кХ(z), zkY(z), шсля чого дискретну передавальну функцiю W(z) визначають як вiдношення зображення
вихiдного сигналу Y(z) до зображення вхщного сигналу X ( z ) .
Метод бiлiнiйного перетворення виник з намагання прямо! замши змшно! s в передава-льнш функцп W(s) на змiнну z за правилом
s = (1/T)lnz , (4)
яке виходить з того, що z = exp (sT) . Однак
така замша призводить до значних труднощiв при аналiзi дискретно! системи, оскшьки дро-бово-рацiональний вираз для передавально! функцi! неперервно! системи перетворюеться в трансцендентний для дискретно! системи. Вихiд був знайдений в наближенш замiнi s на z зпдно з виразом
2 z -1 (5)
5 =-
T z +1
взятий з розкладання T-ln z в ряд Тейлора:
1i 2 s =— in z = —
T T
z -1 1 ( z -1 + —
z +1 3l z +1
|> 0 . (6)
W (s ) = -YY-
T12 s2 + 2^T1s +1
0 <%<1; (7)
диференцiальне рiвняння
j-2
T12 iAj) + 2^TX + y (t) = kx • x (t) ; (8)
шпульсна характеристика
%
P (t ) = -
1t -л/1-%2
1 Q111 -ï-—
re T sin
T,
t, t > 0; (9)
перехщна характеристика
h (t) = k1
Обмеження в (6) першим (лiнiйним) членом ряду i дае правило наближено! замiни (3), яке називають прямим бiлiнiйним перетворенням.
Для доошдження рiзних методiв синтезу ЦФ виконаемо синтез цифрово! коливально! системи, аналоговим прототипом яко! е коливальна ланка.
Синтез цифровоТ коливальнот системи
Параметри коливально! ланки: к - коефщ> ент передачi; Тх - постшна часу; - коефiцiент демпфiрування.
Випишемо аналiтичнi вирази для характеристик коливально! ланки [3]:
• передавальна функщя к
1 -
1
1 . t 1
x sin
i-2 T1
4 + Ф1
, (10)
де
(АЧХ)
Ф1 = arctg •^/î-^/%, t > 0; амплiтудно -частотна хар актер истика
A(ю) = kj^(1 - Т12ю2 )2 + 4%2Т12ю2 ; (11)
фазо-частотна характеристика (ФЧХ)
ф(ю) = -агс^ 2%Т1юД1 -Т12ю2)
(12)
Дискретизацiя диференцiального рiвнян-
ня (8) замiною неперервних похщних дискрет-ними за правилами (3) приводить до рiзницево-го рiвняння виду
де
Уп = a0 xn + b1 Уп-1 + b2 Уn-2, 2 2T1 + 2%T1T
(13)
a =
к1Тг
b =■
D D
-T 2
b2 = D D = T1 + 2%T1T + T2
(14)
Метод iHBapiaHTHo'i iмпульсноT характеристики зводиться до z-зображення iмпульсно! характеристики (9), яку перепишемо в такому виглядi:
P (t) = kpe at sin юpt,
(15)
л/Т-%2 де юp =-j—
Kp = ~T"
ю pT1
a = l. T1
Скориставшись таблицею z-перетворень, одержимо z-зображення iмпульсно! характеристики (15), яке являе собою передавальну фун-кцiю цифрово! модел^ в такому виглядi:
P (z) = W(z) = kp (ze~aT sin юpT)
z2 -
-2ze~aT cos ю pT + e~2aT
. (16)
Прийнявши до уваги, що Ж(г) = У (г)/X (г), з (16) одержуемо рiзницеве рiвняння системи в такому виглядк
\ =
87,2 - 2T2 D
b2 =
47,7 - 4T,2 - T2 D
Уп = а1хп-1 + b1 Уп-1 + b2Уп-2 ,
(17)
де
a1 = kpe
-aT
sin га pT,
b1 = 2e~aT cos га pT, b2 =-e~2aT .
Метод iнварiантних частотних характеристик дозволяе з W(s) бшншним перетво-ренням, тобто постановкою (6), зразу одержати W(z) у виглядк
В = 4Т12 + 4^Т1Т + Т2.
Порiвнюючи рiзницевi рiвняння, одержанi рiзними методами, помiчаемо що вони в^^з-няються мiж собою. Тому постае питання, який метод синтезу цифрового фшьтра точшше мо-делюе аналогову систему.
Для отримання вiдповiдi на це питання ви-конане дослiдження точност моделювання рiз-ними методами за допомогою спещально створено! програми «Методи синтезу цифрово! мо-делi аналогового об'екта».
W (z ) =
k1T2 z2 + 2k1T2 z + k1T2
B
(18)
де
B = (4T2 + 4^T1T + T2 ) z2 + (2T2 - 8T
2)
z +
З (18) р1зницеве р1вняння одержуемо в такому виглядк
Уп = a0 Хп + a1Xn-1 + a2 Xn-2 +
+b1 Уп-1 + b2 Уп - 2 ' (19)
Опис програми
Програма реалiзуе алгоритм роботи одержа-них цифрових фiльтрiв та дозволяе вимiряти !х часовi i частотнi характеристики: iмпульсну характеристику р (пТ) , перехщну характерис-
+(4?|2 - 4^?|Т + Т2 ). тику И (пТ), амплггудно-частотну А(к^1) та
фазочастотну характеристики ф(к¥1) . Програма
також розраховуе вщповщт характеристики не-перервно! системи та порiвнюе !х з характеристиками цифрово! модели Розбiжнiсть мiж характеристиками оцшюеться похибками моделюван-
де
k1T2 D
2kT
kT2
a =-
D
a =-
D
ня в р, г и , в А i 8ф . Крiм похибки моделювання
окремих характеристик розрахована загальна похибка моделювання в кожним методом. Головне вшно програми зображено на рис. 1.
Рис. 1. Ыкно програми «Методи синтезу цифрово! моделi аналогового об'екта»
о
Слщ зазначити, що характеристики р (пТ) , к (пТ), А (£Е1), ф(к^) цифрових моделей про-
грама одержуе шляхом «безпосереднього вим> рювання» на моделi за допомогою вимiрюваль-них сигналiв (дельта функци для одержання iмпульсно! характеристики, одинично! ступе-нево! функци для перехщно! характеристики i синусо!дальних коливань рiзних частот , к = 1...64 для частотних характеристик). Ре-зультати моделювання виводяться на екран у вигщщ графiкiв та таблиць.
Для кожно! характеристики i кожного методу моделювання дослщжувалась залежнiсть похибки моделювання вщ коефiцiента демпфiрування коливально! ланки (д), який уособлюе фактор скла-дностi характеристик ланки, i вiд частоти дискретизаци (уд ) . Нормованi параметри ланки (с)
£1 = 1; Т = 1/2п ,
частота спряження (Гц)
/1 = 1/2п Т = 1.
Результати дослiдження
На рис. 2-5 наведено отриманi в результат дослiдження залежностi середньоквадратично! похибки моделювання характеристик аналогового прототипу вщ частоти дискретизаци i кое-фiцiента демпфiрування коливально! ланки для рiзних методiв синтезу.
Як показують отриманi залежностi, найбь льша похибка моделювання вшх характеристик мае мюце для методу дискретизаци дифе-ренцiального рiвняння. Причому для вшх трьох методiв похибка моделювання зменшу-еться зi збiльшенням частоти дискретизаци. Похибка також зменшуеться зi збшьшенням коефiцiента демпфiрування коливально! ланки, тобто зi зменшенням складностi аналогового прототипу.
£
0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00
1 в 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Г 1 1 1 __ 1 1 / 1 1 / и 1 ч = 0,5
1 / || II
у Л \ 1 v ---г / V \ 1 / \ \ 3
2
1 1 \ Н—1 1 0—= —с
0 4 8 12 16 20 24 28 32
а)
£
0,10
0,08 0,06 0,04 0,02 0,00
0,2
/— 1
г - 8 Гц
*д 8
3
- 2
—■— и- =0= р=0= ж —У—
0,4
0,6
б)
ч
Рис. 2. Результати дослщження похибки моделювання 1мпульсно! характеристики:
1 - дискретизацш диференщального ршняння; 2 - дискретизащя 1мпульсно! характеристики; 3 - бшшшний метод
£
0,040 0,035 0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0,000
_у 1 1 1
ч - 0,5
Г- 1
А
А V у
5 V ь 2, 3
\ \1 у |_ Д1Ч/ _
0 4 8 12 16 20 24 28 32 Гд,Гц
а)
£
0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00
1
у— 1 1 1
1 Г — О Т"..
*д А Ц
X" 2
\ 3
иид—
—□
0,2
0,4
0,6
б)
Рис. 3. Результати дослщження похибки моделювання перехвдно! характеристики:
1 - дискретизащя диференщального ршняння; 2 - дискретизащя 1мпульсно! характеристики; 3 - бшшшний метод
0
ч
0
£
0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00
1 1 1 1
иг^ 1 0,5
\ / 1 \/ 1 ч -
V 1 А 1 3
Д /1 1 \ / 1 1 \/ 1
1 1 / \ 1 / в/
\у /
Ц / 1 -□- —□
0 4 8 12 16 20 24 28 32
а)
Гд,ГЦ
£
0,35
0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00
1 1
.— 1 г" - $ Гц
*д '
V 3
ь 2
0,2
0,4
0,6
б)
ч
Рис. 4. Результати дослвдження похибки моделювання АЧХ:
1 - дискретизащя диференщального ршняння; 2 - дискретизащя 1мпульсно1 характеристики; 3 - бшшшний метод
£
1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00
1 1
V А. 1 / / ---- ч - 0,5 ---
/
1 ' 3
V А Г - 2
/
■
0 4 8 12 16 20 24 28 32 Гд,Гц
£
0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00
Г 1
^ л /
3 Гд - 8 Гц
2
—■— —■— —■
0 0,2 0,4 0,6 0,8 Ч
а) б)
Рис. 5. Результати дослвдження похибки моделювання ФЧХ:
1 - дискретизащя диференщального ршняння; 2 - дискретизащя 1мпульсно1 характеристики; 3 - бшшшний метод
Як { слщ було чекати, похибка моделювання ¡мпульсно! характеристики для методу дискретизацп ¡мпульсно! характеристики дор1внюе нулю (див. рис. 2). У раз1 моделювання перехь дно1 1 ампл1тудно-частотно1 характеристик для методу дискретизацп 1мпульсно1 характеристики { бшншного методу виходять практично однаков1 похибки (див. рис. 3, 4). У той же час у раз1 моделювання фазочастотно1 характеристики метод дискретизацп ¡мпульсно! характеристики дозволяе отримати найменшу похибку з1 вс1х трьох метод1в (див. рис. 5).
Висновки
Виконане дослщження показуе, що середньо-квадратична похибка за сукупшстю вщтворення ус1х характеристик (частотних { часових) най-менша при р1вних шших умовах для методу дис-
кретизацп ¡мпульсно! характеристики { найбшь-ша для методу дискретизацп диференщального р1вняння. При цьому точнють вщтворення ампль тудно-частотно1 та часових характеристик бш-ншним методом наближена до точност методу дискретизацп ¡мпульсно! характеристики. Слщ також зазначити, що точнють вс1х метод1в тдви-щуеться у раз1 збшьшення частоти дискретизацп.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Концепц1я та програма реструктуризаци на затзничному транспорт! Украни. - К.: НАБЛА, 1998. - 145 с. - Офщшне видання.
2. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высш. шк., 1988. - 448 с.
3. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Сов. радио, 1971. - 671 с.
Надшшла до редколегп 06.02.2006.
0
