СРАВНЕНИЕ ТОЧНОСТИ МЕТОДОВ HORSE И SS-HORSE Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ :

И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕСТНИК ТОГУ. 2021 № 2 (61)

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

аг

УДК 539.14

© М. К. Ефименко, И. А. Мазур, 2021

СРАВНЕНИЕ ТОЧНОСТИ МЕТОДОВ HORSE И SS-HORSE

Ефименко М. К. - студентка гр. ИСФ(аб)-81; Мазур И. А. - канд. физ.-мат. наук, руководитель НИЛ МКП, e-mail: mazuri@pnu.edu.ru (ТОГУ)

На примере двухчастичной задачи, моделирующей рассеяние нейтрона на альфа-частице, проводится сравнение точности методов HORSE и SS-HORSE. Показано, что при оптимальных значениях параметров точность методов сравнима.

Ключевые слова: квантовая теория рассеяния, метод J-матрицы. Введение

Изучение рассеяния частиц на атомных ядрах является актуальной задачей и необходимо для понимания структуры ядер и действующих в них сил. В предлагаемой статье рассмотрены два метода исследования подобных процессов: HORSE и SS-HORSE, в которых исходное взаимодействие аппроксимируется сепарабельными потенциалами конечного ранга, что позволяет рассчитать собственные энергии и фазы рассеяния.

Целью работы является сравнение погрешностей расчётов методами HORSE и SS-HORSE фаз рассеяния нейтронов на альфа-частице.

Метод HORSE

Метод HORSE (Harmonic Oscillator Representation of Scattering Equations) [1, 2] - это один из эффективных методов расчёта фаз рассеяния квантовой частицы в поле потенциала. Идея метода в том, чтобы искать решения радиального уравнения Шредингера

Hui = Eui

в виде разложения по собственным функциям гармонического осциллятора

ui = CniRni; Rni = (-1)'

п=0

2п! , (-£) 1+1

rle( 2) L 2(г2).

Г(п + 1 + 3) п

В результате уравнение Шрёдингера сводится к системе уравнений

со

Ефименко М. К., Мазур И. А.

ВЕСТНИКТОГУ. 2021. № 2(61)

I

Шпп> - 8пп'Е)Сп11 = 0, п = 0,1,2 ... (1)

п'=0

Формально эта система бесконечная, однако, если потенциал убывает достаточно быстро, его можно аппроксимировать матрицей конечного ранга Ж. Система уравнений (1) распадается на «внутреннюю» область, п < Ж, и внешнюю п > Ж, решение для которой известно и является линейной комбинацией синусоподобных £П1(Е) и косинусоподобных СП1(Е), аналитический вид которых известен [2]:

Sni(E) = М

nr0r(n+i+D 1

Г(п + 1) Г(1 +

пг0Г(п + 1) 1 _.

q-le 2 1р1(-п-1-1; -l+1;q2),

r(n + l + l)r(-l + ±)^ " ' 2

Cnl(E) = (-1)1

N

где q2 = 2Е/йш, — полином Лагерра, gFp(a1 ...Лд,; b1 ...bp;x) — обобщённая гипергеометрическая функция.

Параметрами метода являются граница обрезания матрицы потенциала Ж (или связанное с ним число квантов возбуждения Nmax = 2Ж) и осцилля-торная энергия йш, характеризующая базис Rni.

Задача рассеяния в такой постановке имеет точное решение. В частности, для фаз рассеяния справедлива формула:

.о _ $Ж1 — 6жжТЖЖ+1$Ж+И

О t ГЦ f~< rpl iO ' ^ '

ЬЖ1 — иЖЖ1ЖЖ+1ЬЖ+1 I

Здесь ТЖ ж+i. - недиагональный элемент оператора кинетической энергии; элементы Gnw(E) строятся из собственных значений и собственных векторов (Alnl) матрицы обрезанного гамильтониана:

N

^ _ У (МпЩп'ЦЛ) r(t)= L Ел-Е ■

Л=0 А

Метод SS HORSE В случае, когда энергия относительного движения частиц совпадает с собственной энергией низшего состояния Е^=0, выражение для фаз рассеяния значительно упрощается:

$Ж+11 (Ео)

G

tgSi =

Сж+1 i(Eo)

Как и HORSE, метод SS-HORSE имеет два параметра Ж (или Nmax) и йш. Варьируя эти параметры в результате расчётов можно получать разные собственные значения Е0, и таким образом получить достаточно точек зависимости $i(E). Преимущество метода SS-HORSE по сравнению с HORSE заключается в том, что его проще обобщить на случай многочастичных систем [3].

СРАВНЕНИЕ ТОЧНОСТИ МЕТОДОВ HORSE И SS-HORSE

ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 2 (61)

о 160

140

100

120

20

40

60

80

-Эталон

-hw = 10

-hw = 20

-hw = 30

-hw - 40

-hw = 130

-hw - 140

-hw = 150

-hw = 120

0

E, МэВ

0 2 4 6

8

10 12 14 16 18 20

Рис. 1. Сдвиги фаз в метода HORSE.

Сравнение точности расчетов сдвигов фаз в двух методах мы проводим в рамках модельной задачи рассеяния на потенциале Вудса-Саксона с поверхностным спин-орбитальном взаимодействием [5].

Результаты и оценка погрешностей расчётов

В качестве эталона используются результаты, полученные непосредственным интегрированием уравнения Шредингера методом Нумерова [4].

На рис. 1 представлены результаты, полученные в HORSE при Nmax = 10. Как видно, в этом случае уже достигнута приемлемая точность. Заметно существенное влияние значения йш: при слишком низких или слишком высоких его значениях погрешность очень велика.

Метод SS-HORSE подразумевает использование данных, полученных при использовании различных Nmax и йш. Так же, если в случае расчётов методом HORSE мы сами задаём шаг, с которым меняется значение энергии, то в методе SS-HORSE эти значения сами по себе являются результатами расчётов с конечной точностью. Однако, как видно на рис. 2, они так же неплохо ложатся на эталонную кривую.

Оценка точности расчетов в HORSE ASH и SS HORSE ASs проводилась по формулам

(3)

т

ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 2 (61)

Ефименко М. К., Мазур И. А.

Д5с =

N

Е0+£

^Ит— [ (8э-8„)

(4(3)

Здесь Ет = 20 МэВ, Зэ и - эталонные и расчетные фазы рассеяния. Интегрирование производилось численно, суммирование - по результатам с Кш = 10,20, ...,120 МэВ.

Рис. 2. Сдвиги фаз рассеяния в SS-HOR.SE.

20 22 24 26 28 30

Рис. 3. Зависимость точности оценки от

СРАВНЕНИЕ ТОЧНОСТИ МЕТОДОВ HORSE И SS-HORSE

ВЕСТНИК ТОГУ. 2021. № 2 (61)

Сначала была проведена оценка погрешности каждого из слагаемых отдельно (рис. 3). Как и следовало ожидать, при увеличении Nmax возрастает и точность, при этом для каждого Nmax существует оптимальное значение параметра йш.

Заметно, что при увеличении Nmax средняя величина отклонения уменьшается. Отметим, что для небольших значений Nmax наблюдаются некоторые локальные минимумы, однако эти колебания точности практически исчезают при достаточно больших Nmax или оптимальных значениях йш.

Таким образом, при вариации значений Nmax и йш, необходимых для применения метода SS-HORSE, нельзя с уверенностью ожидать точности, сравнимой с методом HORSE.

Однако дальнейшие расчёты в приемлемом для всех Nmax диапазоне йш = 10,20,...,120 МэВ, показали, что SS HORSE не уступает в точности методу HORSE даже при небольших значениях Nmax (см. табл. 1).

Таблица 1

Сравнение точности методов HORSE и SS HORSE._

^max [°] A5S [°]

10 17,2387 14,5279

20 8,7205 3,5433

30 6,9445 2,0406

Заключение

Таким образом, исследования сходимости метода HORSE подтвердили предварительные соображения об уменьшении численных погрешностей при увеличении Nmax и существования некоторого оптимального значения йш.

Предварительные оценки погрешности метода SS-HORSE показали, что для Nmax = 10,20 и 30 он не уступает в точности методу HORSE.

Библиографические ссылки

1. Ю. И. Нечаев, Ю. Ф. Смирнов. О решении задачи рассеяния в осцилляторном представлении. // Ядерная Физика, 1982. Т. 35. С. 1385-1391.

2. J. M. Bang, A. I. Mazur, A. M. Shirokov, Yu. F. Smirnov and S. A. Zaytsev. P-Matrix and J-Matrix Approaches: Coulomb Asymptotics in the Harmonic Oscillator Representation of Scattering Theory. // Ann. Phys. 2000. Vol. 280. P. 299-335.

3. A. M. Shirokov, et al. Nucleon-a scattering and resonances in 5He and 5Li with JISP16 and Daejeon16 NN interactions // Phys. Rev. C 2018. Vol. 98. P. 044624 (1-13).

4. B. V. Numerov. A Method of Extrapolation of Perturbations. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1924. Vol. 84. P. 592-602.

5. J. Bang and C. Gignoux. A realistic three-body model of 6Li with local interactions. // Nucl. Phys. A 1979. Vol. 313. P. 119-140.

w

E^HMeHKO M. K., Ma3yp H. A.

BECTHHK TOry. 2021. № 2(61)

Title: Accuracy of HORSE and SS-HORSE Methods Authors' affiliation:

Efimenko M. K. - Pacific National University, Khabarovsk, Russian Federation Mazur I. A. - Pacific National University, Khabarovsk, Russian Federation

Abstract: Using the example of a two-particle problem that simulates the scattering of a neutron by an alpha particle, the accuracy of the HORSE and SS-HORSE methods is compared. It is shown that for optimal values of the parameters, the accuracy of the methods is comparable.

Keywords: quantum scattering theory, J-matrix method.