CC BY
10
Теорема 7. Если нормально оснащенная полем квазитензора поверхность V С С несет ортогональную геодезическую сеть 2в аффинной
связности V, то она является сетью с совпавшими псевдофокальными гиперсферами и данное оснащение будет нормальным оснащением полем ее
гармонических (П — т) -сфер [^ ].
Справедливо и обратное утверждение: Теорема 8. Если ортогональная сеть
2 С V С С есть сеть с совпавшими псевдо-
т т п
фокальными гиперсферами, то при нормальном оснащении поверхности V С Сп полем ее гармонических (П — т) -сфер [^ ] данная сеть является геодезической относительно аффинной связности V.
Пусть поверхность V С Сп несет ортогональную чебышевскую сеть 2т. Тогда имеет место
Теорема 9. Если нормально оснащенная полем квазитензора X0 поверхность V С Сп (п > 3) несет ортогональную чебышевскую сеть 2 в аф-
финной связности V, то эта сеть является геодезической, причем данная нормализация будет нормализацией полем гармонических (П — т) -сфер
[ F ]
сети.
Список литературы:
1. Акивис М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей// Математический сборник. - М., 1961. - Т. 53. - № 1. - С. 53-72.
2. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства// Известия вузов. Математика. - 1966. - № 2. - С. 9-19.
3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях// Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. - М.: ВИНИТИ, 1979. - Т. 9. - 246 с.
4. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований// Труды Московского математического общества. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.
5. Норден А. П. Пространства аффинной связности. - М.: Наука, 1976. - 432 с.
6. Фиников С. П. Метод внешних форм Кар-тана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.
СРАВНЕНИЕ ТОЧНОСТИ И СХОДИМОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОДИНАМИКИ
Кузьмин Николай Михайлович
к.ф.-м.н., доцент кафедры информационных систем и компьютерного моделирования, Волгоградский государственный университет, г. Волгоград Храпов Сергей Сергеевич
к.ф.-м.н., доцент кафедры информационных систем и компьютерного моделирования, Волгоградский государственный университет, г. Волгоград Бутенко Мария Анатольевна
старший преподаватель кафедры информационных систем и компьютерного моделирования, Волгоградский государственный университет, г. Волгоград
Аннотация
В работе представлены результаты исследования точности и сходимости методов CSPH-TVD, MUSCL, PPM и WENO для решения уравнений идеальной газодинамики в одномерном случае на примере задачи о распаде разрыва. Показано, что все указанные методы дают очень близкие результаты.
Abstract
In this article the results of the study of accuracy and convergence methods CSPH-TVD, MUSCL, PPM and WENO for solving equations of ideal gas dynamics was present. It is shown, that all of these methods gives a very similar results.
Ключевые слова: численное моделирование, газодинамика, лагранжево-эйлеров подход, порядок сходимости, точность численного решения.
Keywords: numerical simulation, gas-dynamics, Lagrange-Eulerian approach, order of convergence, accuracy of numerical solution.
Многие научно-технические задачи описыва- лишь для ограниченного числа частных случаев. ются уравнениями газодинамики. Поскольку они Поэтому для их решения обычно применяют чис-имеют нелинейную форму, точные или приближен- ленные методы. ные аналитические решения могут быть получены
Одним из способов решения системы уравнений газодинамики является метод CSPH-TVD (Combined Smooth Particle Hydrodynamics — Total Variation Diminishing), впервые предложенный в работе [2, с. 282] для уравнений мелкой воды. Он основан на последовательном применении лагран-жева (SPH) и эйлерова (TVD) подходов.
В дальнейшем было сделано обобщение этой численной схемы для уравнений идеальной газодинамики [1, с. 60]. В работе [3, с. 22] проанализировано влияние ограничителей наклонов и способов приближенного решения задачи Римана на точность метода CSPH-TVD.
В данной работе приведены результаты исследования точности и сходимости для методов CSPH-TVD, MUSCL [9, с. 101], PPM [4, с. 174] и WENO [6, с. 202].
Динамику невязкого нетеплопроводного газа в отсутствии внешних сил для одномерного случая можно описать с помощью уравнений
т
( Г \ (1)
= (ри2+р\, \(е+ р)и/
где х — декартова координата, t — время, р — плотность, и — скорость, р — давление, е — объемная плотность энергии. Система уравнений (1) замыкается уравнением на объемную плотность энергии:
SU 5F
— + —=0,U =
at дх
е =
V
Y-1
+
ри2
(2)
где у — показатель адиабаты. Рассмотрим численное решение задачи о распаде газодинамического разрыва для уравнений (1), (2) в точке х0 с начальными условиями
(р,и,р) ={
(1,0,1),х < х0, (0.125,0,0.1), х0 < х,
(3)
для у = 1.4. В качестве граничных условий будем использовать условия свободного протекания.
Для численного решения задачи (3) применялись методы CSPH-TVD, MUSCL, PPM и WENO. В численных схемах CSPH-TVD, MUSCL и PPM был использован метод HLL [5, с. 35] для решения задачи Римана; в схемах CSPH-TVD и MUSCL использовался ограничитель наклонов ван Лира [8, с. 263]. Для схемы WENO применялось расщепление потоков методом Лакса-Фридрихса [7, с. 159], сеточные шаблоны пятого порядка точности по пространству и метод Рунге-Кутта третьего порядка по времени для интегрирования по времени.
Для расчетов точности и сходимости вычислялись относительные ошибки для плотности в нормах L1, L2 и Lm:
=-У
Pi - pI
Pt
х 100%,
FL
1
N
N
En = — max
i=i
1 \P[
N i=1+N \
х 100%,
PI
Pi
х 100%,
(4)
(5)
(6)
где р" — результаты аналитического решения, рп — численного, N — количество расчетных ячеек.
Порядок сходимости для всех норм при использовании сеток с числом ячеек N-1 и Ы2 = 2 N-1 вычислялся по формуле
П 1 En1
0Ni-N2 = log2Tr-
ZN7
(7)
На рисунке 1 показаны полученные с использованием метода CSPH-TVD распределения плотности и давления в момент времени £ = 0.15 для различного числа расчетных ячеек в сравнении с точным решением.
Рисунок 1. Распределение плотности (а) и давления (б) в момент времени £ = 0.15. Крестиками показано численное решение для N = 50, пунктирной линией — для N = 100, сплошной линий показано
точное решение
1
FL
Li Al
N
1 = 1
N
Относительные ошибки и порядки сходимости лицах 1, 2, 3. Отметим, что для вычислений исполь-для рассматриваемых методов представлены в таб- зовались только значения в области х < х0, не содержащей разрывов первого рода.
Относительные ошибки и порядки сходимости в норме L1
Таблица 1
Схема E50 050-100 E100 0100-200 E200 0200-400 E400
MUSCL 1.55 1.03 0.76 0.99 0.38 1.0 0.19
PPM 1.02 1.01 0.5 0.99 0.25 1.02 0.12
WENO 1.99 0.96 1.03 0.94 0.53 0.98 0.27
CSPH-TVD 3.3 0.78 1.92 0.8 1.1 0.83 0.62
Относительные ошибки и порядки сходимости в норме L
Таблица 2
Схема E50 050-100 E100 0100-200 E200 0200-400 E400
MUSCL 0.56 1.5 0.2 1.43 0.07 1.47 0.03
PPM 0.45 1.5 0.16 1.4 0.06 1.45 0.02
WENO 0.73 1.43 0.27 1.38 0.1 1.42 0.04
CSPH-TVD 1.19 1.19 0.5 1.25 0.21 1.27 0.09
Таблица 3
Относительные ошибки и порядки сходимости в норме Lm_
Схема E50 050-100 E100 0100-200 E200 0200-400 E400
MUSCL 0.32 1.97 0.08 1.69 0.02 1.82 0.01
PPM 0.36 1.94 0.09 1.67 0.03 1.76 0.01
WENO 0.47 1.86 0.13 1.69 0.04 1.7 0.01
CSPH-TVD 0.73 1.75 0.22 1.61 0.07 1.58 0.02
Из таблиц 1, 2, 3 следует, что относительные ошибки и порядки сходимости всех рассмотренных численных схем довольно близки для рассматриваемого случая (3), что может быть обусловлено наличием в структуре решения слабого разрыва (разрыва второго рода), которые присутствуют в решениях практически всех газодинамических задач. Отметим, что это как раз и позволяет понять свойства численных схем в условиях реальных расчетов, а не синтетических тестов с переносом гладких профилей (вопрос о точности численного решения в окрестности сильного разрыва рассматривать здесь не будем).
Проведенное исследование показывает, что метод CSPH-TVD имеет сопоставимые с популярными эйлеровыми численными схемами точность и сходимость. Отличительной его чертой является возможность расчетов на границе с вакуумом без необходимости дополнительной регуляризации [2, с. 282].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Волгоградской области (гранты 16-07-01037 А, 16-02-00649 А, 15-0206204 А, 15-45-02655-р_поволжье_а)
Список литературы:
1. Жумалиев, А.Г. Численная схема с8РИ-ТУБ: моделирование фронта ударной волны / А.Г. Жумалиев, С.С. Храпов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1. Математика. Физика. — 2012. — № 2 (17). — С. 60-67.
2. Численная схема для моделирования динамики поверхностных вод на основе комбинированного 8РИ-ТУБ подхода / С.С. Храпов, А.В. Хопер-сков, Н.М. Кузьмин, А.В. Писарев, И.А. Кобелев //
Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. — 2011. — Т. 12, № 1. — C. 282-297.
3. Численная схема cSPH-TVD: исследование влияния ограничителей наклонов / Н.М. Кузьмин, А.В. Белоусов, Т.С. Шушкевич, С.С. Храпов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1. Математика. Физика. — 2014. — № 1 (20). — C. 22-34.
4. Colella, P. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations / P. Colella, P.R. Woodward // Journal of Comutational Physics. — 1984. — Vol. 54, No. 1. — P. 174-201.
5. Harten, A. On upstream differencing and Go-dunov type methods for hyperbolic conservation laws /
A. Harten, P. Lax, B. van Leer // SIAM Review. — 1983. — Vol. 25, No. 1. — P. 35-61.
6. Jiang, G.-S. Efficient implementation of weighted ENO schemes / G.-S. Jiang, C.W. Shu // Journal of Comutational Physics. — 1996. — Vol. 126, No. 1. — P. 202-228.
7. Lax, P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation / P.D. Lax // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1954. — Vol. 7, No. 1. — P. 159-193.
8. van Leer, В. Towards the ultimate conservative difference scheme. III. Upstream-centered finite-difference schemes for ideal compressible flow /
B. van Leer // Journal of Computational Physics. — 1977. — Vol. 23, № 3. — P. 263-275.
9. van Leer, B. Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A Second order sequel to Godunov's method / B. van Leer // Journal of Computational Physics. — 1979. — Vol. 32, No. 1. — P. 101-136.
