Сравнение способов оценки ошибки измерения координат изображения точечного объекта при пороговой обработке Текст научной статьи по специальности «Физика»

Телевидение и обработка изображений

УДК 621.397.13

В. В. Голиков

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Д. С. Брондз ГУП ОКТБ "Омега"

и

Сравнение способов оценки ошибки измерения координат изображения точечного объекта при пороговой обработке

Рассмотрены способы оценки среднего значения и дисперсии координат центра тяжести изображения точечного объекта при использовании пороговой обработки. Предложены более точные выражения для оценки среднего значения и дисперсии. Численным моделированием определена максимальная погрешность, получаемая при использовании различных оценок.

Пороговая обработка, точечный объект, субпиксельная точность, центр тяжести

Современные твердотельные многоэлементные приемники изображения (МПИ), такие, как ПЗС- и CMOS-матрицы, благодаря жесткой геометрической структуре светочувствительных элементов и линейной световой характеристике широко используются для измерения координат изображений объектов с точностью до долей размера элемента матрицы. Наиболее универсальным является алгоритм вычисления координат центра тяжести [1]-[3]1, поскольку он не привязан к форме изображения и обладает высокой точностью. Анализу случайных и систематических ошибок измерения координат центра тяжести, вызванных воздействием шума, применением апертуры ограниченных размеров, пороговой обработки и т. д., посвящено большое количество публикаций. Однако в них для расчета среднего значения и среднеквадратического отклонения (СКО) ошибки используется численное моделирование либо выводятся упрощенные аналитические выражения [1]-[3]. При этом не уделяется достаточного внимания точности приближенных оценок, что особенно актуально для изображений малых размеров, характерных для точечных объектов.

В настоящей статье получены более точные выражения для оценки среднего значения и дисперсии координат центра тяжести изображения объекта при использовании пороговой обработки. Численным моделированием оценена их точность применительно к изображениям точечных объектов с учетом шумов, присущих МПИ. Рассмотрены влияющие на точность факторы.

1 Welch S. S. Effects of window size and shape on accuracy of subpixel centroid estimation of target images // Tech. Paper 3331. USA. NASA. 1993 // http://citeseer.ist.psu.edu/94732.html

© Голиков В. В., Брондз Д. С., 2007 43

Статья является основой для проведения дальнейших исследований, связанных с поиском оптимальной величины порога по критерию минимума дисперсии и среднего значения ошибки измерения координат центра тяжести изображения объекта.

Модель шума и методика оценки ошибки измерения центра тяжести. МПИ представляет собой двумерный массив светочувствительных элементов, выполняющих накопление зарядового изображения, соответствующего распределению освещенности в плоскости матрицы. Величина каждого отсчета сигнала изображения складывается из двух частей: пропорциональной интенсивности светового потока (в рабочем диапазоне осве-щенностей), падающего на соответствующий чувствительный элемент матрицы, и фона, обусловленного процессом термогенерации электронов [4]. Числа электронов А^ ^ , накопленных в отдельных светочувствительных элементах, подчиняются распределению Пуассона (флуктуационные шумы). Оно может быть аппроксимировано нормальным распределением со средним значением щ у = {А^ ^} и СКО = ^ш1{А~~У, где {А^ ^} -

среднее число электронов, накопленных в соответствующем элементе МПИ. Совокупность зарядов, представляющую двумерный массив случайных чисел Аг- j, МПИ преобразует в совокупность отсчетов сигнала яркости ■ j, причем для простоты полагаем 0 < Ш1 ^^ у} < 1. При этом к флуктуационным шумам добавляются шумы считывания, не

связанные непосредственно с числом накопленных электронов (шумы переноса в ПЗС-мат-рицах, шум считывания зарядов - кТС-шум и т. д.). Это преобразование (без учета квантования) описывается линейной функцией = (А^ у + NА, где N - шум считывания,

имеющий нормальное распределение с нулевым средним; А - нормирующий коэффициент, определяемый числом электронов, приходящихся на единицу яркости изображения ■ j . При независимости шумов отдельных ячеек МПИ СКО отсчетов сигнала яркости

ст8. (в относительных единицах) определяется как

', у

3 2 {А з/А} + М 2 {ЩА} = (1А)^ Ш1 {А, З } + а2н = (1/А ,

ан - СКО шума, независимого от числа накопленных электронов (измеряемое числом шумовых электронов2).

Под отношением "сигнал/шум" у понималось отношение среднего числа электронов для пикселя с наибольшим уровнем (Ш1 у} = 1) к СКО шума данного пикселя [3]:

у = 201в ( ). (1)

Оценка положения центра тяжести изображения объекта (далее "объект") рассчитывается для некоторой области ("окна") изображения, содержащей этот объект:

2 стн задается производителем МПИ. 44

Хс =

М N N

X X у X

] =1 I=1 _ i=1

V

М

у=1

х12-1 "г,у

с МЫ

X X'

у=11=1

М N

М N

X X

X]

1

(2)

ч,у

у=1 I=1

М ( N \

XX у у X уу X "

> =у=1 ■=1

с М N

У

у =К I=1 ^ _ >1

1

М N

X X у X X у

У=1 I=1 У=1 I=1

где Хс, 7с - оценка координат центра тяжести объекта относительно центра "окна"; М, N - размер "окна" (в пикселях) по осям у и х соответственно; х^, уу - координаты пикселей

относительно центра "окна"; Х1, 1 и Х2, 12 - числители и знаменатели выражений соответственно.

Далее рассмотрение ведется относительно Хс ; полученные результаты справедливы и для 7с.

На практике перед вычислением координат центра тяжести применяют пороговую обработку [1]-[2] с целью устранения фона (уменьшения систематической ошибки) и исключения из расчета пикселей с низким отношением "сигнал/шум". Пороговая обработка при одинаковой величине порога и для всего "окна" представляет собой нелинейное преобразование вида

_ К у- и, у >и; "Чу ~ [0, ^у < и.

После применения пороговой обработки плотности вероятности случайных величин

" у изменятся:

та(Чу} ):

и

тау}(г + и) + 5(г) | та{^,у}(х)ёх, Г > 0;

(3)

0, Г< 0.

Выражение (2) представляет собой отношение двух зависимых случайных величин Х1 и Х2, имеющих в практически интересных случаях близкое к нормальному распределение. Для двух нормальных зависимых случайных величин существует выражение, описывающее плотность вероятности их отношения. Однако, как показано в работе [5], для данного распределения не существует ни одного момента, поэтому даже в случае нормально распределенных случайных величин невозможно получить точное выражение для среднего значения и дисперсии их отношения. Для приближенного решения указанной задачи широко используется метод линеаризации функций [6], согласно которому функция Хс = / (Х1, Х2 ) = Хц/Х2 представляется

рядом Тейлора в окрестности точки (^ {Х1}, т1 {Х2}) с сохранением членов только первого порядка. При этом выражения для оценки среднего значения и дисперсии Хс примут вид

—00

М2 {XG} ^^-"" Со ^ , (5)

т {^с} - т {X}/т {Х2} = хСо, (4)

М2 {X:} -2XСоМ2 {X:, X2} + Хс2оМ2 {Х2} т2 {X2}

где М2 {■} - центральный момент второго порядка.

Данные оценки можно уточнить, если в разложении функции / (X:, X2 ) в ряд Тейлора оставить члены и второго порядка, учитывающие ее нелинейность. В этом случае

{ к } к XсоМ2 {X2} -М2 {^X2} (6)

т1 {Xс} - ^о +—--. (6)

т1 {X2}

Однако использование подобного подхода для уточнения оценки дисперсии Xc привело лишь к незначительному увеличению точности. Поэтому была получена оценка дисперсии Xc для случая, когда в ряде Тейлора функции / (X:, X2) учитывались все слагаемые первого, второго и третьего порядков:

М2 {X:} + X2 М2 {X2} -2XcоМ2 {X:,X2} XcоМъ {X22} М2 {Xc} «-о-г---+ 4-^->--

Щ {X2} т( {X2}

Xс2оМз {X2} + М3 {X2,X2} + ^ ЗМ4 {X2} -М2 {X2} + т3 {X2} со т4 {X2}

3М 4 {X2, X22} - М22 {X:, X2} 3М4 {X:, X2} - М 2 {X:, X2} М2 {X2}

+---г--2 Xc „

т4 {X2} °о т4 {X2}

М5 {X12,X2} -М2 {X1,X2}М3 {X1,X22} -2^2 М5 {X2} -М2 {X2}М3 {X2}

' т5 {X2} т5 {X2}

2М5 {X:, X24} -М2 {X:, X2}М3 {X2} -М2 {X2}М3 {X:,X22}

+2 Xс -^----^-+

Со т5 {X2}

М6 {X12,X24} М32 {X1,X2} + 2 Мб {X2} -М32 {X2}

+ ^-^--^-^ + X2IV16^2Í--

тб {X2} тб {X2} с° тб {X2}

Мб {X:,X25} -М3 {X:,X2}М3 {X2}

---б|~-1?_-2| ---3 I _ _ 1 ? _ _ 2 I---3 1 2)

2Xс -^--—^--, (7)

Со тб {X2} ,

где М/ {■} - центральный момент /-го порядка.

В известных авторам публикациях отсутствуют явные выражения для смешанных центральных моментов случайных величин X: и X2 второго порядка и более высоких порядков. В некоторых из этих работ используется допущение о том, что если центр "окна" совпадает с началом координат, т. е. координаты пикселей X/, у/ в (2) отсчитываются относительно центра "окна", то ковариация М2 {X:,X2} « о [2]. Обычно при этом также предполагается, 4б

что положение центра тяжести объекта Хс примерно совпадает с центром "окна", т. е. Ш1 {Х^} << Ш1 {Х2} [1], [2]. При данных допущениях выражение (5) сильно упрощается:

М2 {Xс} -М2 {Х1}/т? {Х2}. (8)

Применительно к точечным объектам, изображение которых занимает несколько пикселей, использование (8) для оценки СКО Хс приводит к быстрому росту ошибки по мере удаления последнего от центра "окна". Моделирование показало, что смещение уже на ±0.5 пикселя для пятна диаметром 1.5 пикселя приводит к увеличению ошибки примерно на порядок.

Однако в выражении для оценки дисперсии Хс, полученном в [3], ковариация Х1 и Х2 учитывается неявно. Это достигается за счет совмещения начала координат не с центром "окна", а с положением центра тяжести изображения объекта внутри "окна".

С целью получения точных выражений для всех моментов случайных величин Х1 и

Х2, используемых в (5)-(7), был применен аппарат характеристических функций [7].

Пусть имеются две случайные величины гц и П2, представляющие собой линейные

N

комбинации одних и тех же N независимых случайных величин ..., N: П1 = XС/;

/=1

N

П2 = X , где СI - некоторые постоянные величины. / =1

Тогда двумерная характеристическая функция случайных величин гц и П2 ©Л1,л2 (уЬ у2 ) = т1

|_ V /=1 /=1 )_У

N

= ,, [(У1С1 + V2 ),..., (+У2 )] = П (+ V2 ),

/ =1

где 0^ ^ (VN) - ^мерная характеристическая функция совокупности случайных величин N; 0^ (V) - характеристическая функция случайной величины .

Подстановкой выражений для моментов , гц и П2 в найденные значения производных 0^1 ^2 (у1, у2) по V! и V2 при Vl = V2 = 0 были получены все необходимые в (7) моменты

случайных величин гц и П2 . Как показано в разделе "Результаты моделирования" настоящей статьи, слагаемые в (7), содержащие моменты пятого и шестого порядков, в большинстве случаев вносят незначительный вклад в оценку дисперсии Хс, поэтому они не приводятся.

М

Полагая гц = Х1; П2 = Х2 ; С = х^ и ^ = X зи , можно записать:

( N N \ " N Т

ехр / ^ С& +V2 X > = т1 • ехр (^ + V2 ) 1/

V /=1 / =1 ) _ /=1 1

] =1

N N N

М2 {Х1,Х2} = XхМ2 &}; Мз {Х2} = XМз &}; Мз {Х12,Х2} = XX/2Мз &}

/=1

/=1

/=1

Мз {Xh X2} = £XjMз fa}; M4 {X2} = 3Ml {X2} + X(m4 fa} - 3Ml fa}); i=1 i=1

( ) N i \ M4 {X12, X22} = M2 {Xi}M2 {X2} + 2M22 {Xi,X2} + XXi2 (M4 fa} -ЗМ22 })

i =1

( ) N i \ M4 {Xi, X23} = 3M2 {X2}M2 {Xi, X2} + XXi (M4 } - 3Ml fa});

i=1

M M

M2 {Si} = EMl (xJ}; M3 } = XM3 j};

J=1

M

M4 {Si} = 3M22 {Si} + E (M4 (\j } - 3M2 (su,j }) .

j=1

Моменты su несложно найти, учитывая (3):

i j

m1 кj}

a

i, j

/— ■ 2

exps'2 /21 +

<, j

a

i,j t

2 ,j

1 + erf (s'n i, J V!)

m2 {sui,J} = (a,2,j/^)Пj exp(-s'2J2) + (a2j72)(s^2 . +1

<, j

% j ,3

1 + erf (s,

m3 {sui, j} = (*3, j/^) (sn2, j + 2) exp (- sn2, J2) + (a3, j ^) (s£ j + 4; j)

m4 {sUi,j } = (a4 )(sn3,у + 5sn,j )exp(-s£ Jl)-

'ni, J & )

Пi, j/ Л )

1 + erf (^ UJ V2)

+ K J 2

s'4 + 6s'2 + 3

V ni,j ni,J

1 + erf s

где m^ {•} - нецентральный момент i-го порядка; a j - СКО si j до применения порога; s'n = (s' j - U у Of j - нормированное среднее значение s^ j с учетом порога;

2 x

erf (x) = —2= [exp (-t2 )dt - интеграл вероятности. Vn I

Центральные моменты случайных величин su

i, j

M2 {sui,j } = m2 {sui,j } - m1 {sui,j } ; M3 {sui,j } = m3 {sui,j } - 3m2 {sui,j } m1 {sui,j } + 2m3 {sui,j } ; M4 {su,j } = m4 {sui,j } - 4m3 {sui,j } m1 {sui,j } + 6m2 {sui,j } m12 {sui,j } - 3m

КJ } .

Ч ^

Результаты моделирования. Задачей численного моделирования являлось определение максимальной ошибки, получаемой при использовании оценок среднего значения (4), (б) и дисперсии (5), (7) координат центра тяжести Xc, рассчитанного в соответствии с

(2) при использовании пороговой обработки, а также определение области применения

48

полученных оценок. СКО шума считывания ан полагалось равным 40 электронам (примерное значение для лучших СМОБ-матриц). Использовалось изображение точечного объекта в виде гауссоиды, характерное для объектива, обладающего аберрациями

т\ {^ ]} = ехР {-п[(X - х0 )/Ь]2} ехР{-п (У] -Уо)/Ь 2}, где х1, у^ - координаты элементов

МПИ относительно центра "окна"; хо = -0.5...0.5 , уо = 0 - координаты центра тяжести; Ь -

диаметр кружка рассеяния по уровню 0.456 . В целях минимизации ошибки измерения ХС не

имело смысла использовать значение Ь < 1, так как при этом быстро возрастала систематическая ошибка, связанная с недостаточным шагом дискретизации изображения пятна4.

Точность оценки среднего значения ошибки измерения положения центра тяжести Хс

т>1 {ЛХС} (ЛХС = Хс - Х0 ), а также оценка СКО ох определялись численным моделированием. Оценки вычислялись как по приближенным формулам, так и по (2) для Ып = 80 000 реализаций шума:

1 N" г-~-

ёm {ЛХС} = — £(Хс. -xo); JXс =4M2 {Хс}

Nn i =1 ^

N„

Nn

1X (XCi - m {Xс}) 1 i=i

(9)

где ХС - оценка положения центра тяжести объекта по (2) для 1-й реализации шума.

Различия между оценками, полученными по приближенным формулам (4)-(5), (7) и (9), принимались за оценки ошибок, получаемых при использовании приближенных формул Дт1 {ЛХс}, Дее х .

В предположении о близости закона распределения случайной величины Хс к нормальному, задавшись доверительной вероятностью в = 95 %, можно вычислить доверительные интервалы для т1 {ЛХС} и ах (и, соответственно, для Дт1 {ЛХс} и Дех ):

m1 [AXc} = ° XС =4М2 { Xс } =

m1 {AXc} ± <ß

MM2 { Xc }

Nn

m {àXc}± Wo

1.96 _

==<j x

ooo X с

i

M 2 {Xс} ( N„ -1)

x2

1

IM 2 {X с} ( N„ -1)

x2

= àX (0.9951; 1.0049),

2 2

где ¿р = 1.96 - 0.975-квантиль распределения Стьюдента, а х = 80 785 и Х2 = 79 217 -

2

квантили распределения х , соответствующие в = 95% при 79 999 степенях свободы.

Приближенные оценки тт {Хс} и МЛ2 {Хс} получены исходя из предположения о том, что функция / (Х1, Х2) = (Хц/Х2) может быть с приемлемой точностью заменена

Все пространственные величины нормировались к шагу светочувствительных элементов, полагавшемуся равным по обеим координатам ( Ax = Ay = 1) .

4 Welch S. S. Effects of window size and shape on accuracy of subpixel centroid estimation of target images // Tech. Paper 3331. USA. NASA. 1993 // http://citeseer.ist.psu.edu/94732.html

1

своим рядом Тейлора с ограниченным числом членов. Поэтому одним из наиболее существенных факторов (помимо числа членов ряда), ограничивающих применимость данных оценок, является область сходимости ряда Тейлора указанной функции.

Можно показать, что ряд Тейлора функции /(Х1,X2) = X (1/Х2)в окрестностях

точки с координатами (т {Х1}, т {Х2}) сходится для Х2 е (0,2т {Х2}] . Поэтому удобно проверять применимость выражений (4), (6) и (5), (7), вычисляя вероятность выхода случайной величины Х2 за пределы указанного диапазона: Р {Х2 > (2т {Х2} и Х2 = 0)}. По мере того, как растет эта вероятность, точность оценок быстро падает. Это связано с тем, что за пределами области Х2 е (0,2т {Х2}] сумма ряда начинает значительно отличаться от значений самой функции.

Пусть вероятность выхода за пределы области сходимости Х2 е (0,2т {Х2}]

р {Х2 > (2т {Х2} и Х2 = 0)} = Р0+Р1, (10)

Ж M

где P0 = P{X2 = 0} = ППi 1 - erf (sn\-l Л) , а P = р {X2 > 2ml {X2}} • Для вычисле-

1 12 _ \ ^J / /_ i=1 j=1

ния Pi необходимо знать плотность вероятности случайной величины X2, получить точное выражение для которой крайне сложно. Поэтому с учетом близости закона распределения X2 к нормальному ее интегральная функция распределения была аппроксимирована несколькими членами ряда, представляющего разложение по полиномам Эрмита [7]:

F (t) « 0.5 [l + erf (t/V2)] - (l/V2n) exp (-12/2) [(k/3!)(t2 - i) + (у/4!)(t3 - 3t)] ,

Pi = 1 -F(mi {X2}/4M2 {X2}) • где k - коэффициент асимметрии; у - коэффициент эксцесса.

На рис. 1 представлены зависимости при P = Po + Pi = 0.01 при b = 1.5 для "окна" размером 5^5 пикселей (рис. 1, а) и размером 7*7 пикселей (рис. 1, б). Кривая 1 - зависимость

ax (V) = max ах (^0 Л, полученная по (9); кривая 2 - зависимость порога U(у); c х0 е[-0.5,0.5]L c J

5 X ^ U М X c

0.75 -0.045

0.5 - 0.03

0.25 -0.015

0

3 Jr--

2

T /4

J_

10 20 а

5 X ^ U М X c

0.75 -0.045

0.5 - 0.03

0.25 -0.015

0

•T-T-H"

4 1 _I_L

30 у, дБ

Рис. 1

10

20

30 у, дБ

0

0

б

кривые 3 и 4 - зависимости Дах (у) = max

Д6

Xс

(x)].

полученные при использо-

x0e[-0.5.0.5]L

вании выражений (5) и (7) соответственно; кривая 5 - зависимость Летх (У). полученная

при расчете ах по (7) с исключением из него слагаемых. содержащих моменты пятого и

шестого порядков. Доверительные интервалы показывают границы. в которых с вероятностью 95 % находится точное значение Да х .

Из анализа кривых видно. что Дах практически не зависит от размера "окна". В области малых значений у вероятность P в выражении (10) определяется величиной P (поскольку Po ~ 0). которая вычисляется приближенно. а при больших значенях у - уже величиной P). которая находится точно. Поэтому наличие существенной зависимости Лах (У) области малых у связано. по всей видимости. с неточностью вычисления р.

На рис. 2. а показаны аналогичные зависимости для Дщ {ДХС} (у) и щ {ДХС} (у) ("окно" 5^5 пикселей; b = 1.5 ; P = 0.01). Кривая 1 - щ {ДХС}. полученная по (9). кривые 2. 3 - Ащ {АХС}. полученные при использовании (4) и (6) соответственно. Подобно рис. 1. на графике показаны максимальные значения Дщ {ДХС}(у. Х0 ) и щ {ДХС}(у. Х0) для x0 е [-0.5.0.5].

Максимальные значения Ащ {АХС} также практически не зависят от размера "окна". Дополнительные слагаемые второго порядка в (6) позволяют заметно увеличить точность оценки т {ДХс}; при этом Ащ {АХС} практически перестает зависеть от у.

Зависимости Дщ {ДХС} (P) для у = 20 дБ показаны на рис. 2. б. После того как вероятность выхода Х2 за пределы интервала (0. 2щ{Х2}] становится выше 0.01...0.04. точность щ {ДХс} быстро падает.

Подобным образом ведут себя и оценки с>х . На рис. 3 показаны зависимости Дах (P) при у = 20 дБ для "окна" размером 5*5 пикселей. b = 1.5 . Кривая 1 отображает

дщ {дхс}

0.02

0.01

т {дх с}

- 0.3 -

- 0.15 —

0 10 20 30 у. дБ а

Дщ {ДХ с} щ {ДХс } 1 1 - 1 1

0.03 - 0.45

0.02 - 0.3

0.01 - 0.15 2 W

0 0 -T-Tj4lt.i.T-TlH I

10 -4 10-3 10-2 10-1

Рис. 2

б

° X c 0.3 0.2

0.1

0

Ad X c

-0.075 - 0.05 1-0.025 К

I

П\ !2

_L

: I \ ' ..¿г- V

10

-4

10

-3

10

-2

10

- Pm

Рис. 3

оценку <Ух , полученную по (9); кривые 2, 3

- при использовании выражений (5) и (7) соответственно; кривая 4 - оценку, полученную по (7) без учета слагаемых, содержащих моменты пятого и шестого порядка. Более высокая точность оценки сх , полученной на основе (5), при больших значениях P связана с тем, что с ростом числа слагаемых, учитываемых в ряде Тейлора функции fi (X2 ) = 1/X2 , ускоряется рост разницы между суммой ряда и точным значением функции (и, соответственно, <сх ) в области сходимости.

Таким образом, учет при линеаризации функции f (Хц, X2) = Хц/ X2 всех слагаемых первого, второго (для m {AXC}), а также третьего (для ссxc ) порядков ряда Тейлора, позволяет применительно к изображениям точечных объектов увеличить в 2-3 раза точность <<х

и в 5-10 раз точность m {AXC}.

В настоящей статье показано, что область применения полученных выражений ограничивается областью сходимости Х2 е (0,2m {X2}] ряда Тейлора функции f (Хц,Х2) . Вероятность P выхода за пределы этой области можно найти с использованием (10) для произвольного изображения точечного объекта и заданной величины порога. В области, ограниченной P < 0.01, выражения для m {AXC} и <<х обладают достаточно высокой точностью.

Численное моделирование показало, что в выражении (7) для оценки дисперсии координат центра тяжести M2 {Xc} слагаемые, содержащие моменты пятого и шестого порядков, вносят заметный вклад лишь при малых значениях у. Поэтому в большинстве случаев они могут быть отброшены без заметного влияния на точность, значительно упрощая (7). По этой причине в настоящей статье выражения для расчета указанных моментов не приводятся.

Библиографический список

1. Ares J., Arines J. Influence of thresholding on centroid statistics: full analytical description // App. Opt. IP. 2004. Vol. 43, № 31. P. 5796-5805.

2. Assen H. C., van, Egmont-Petersen M., Reiber J. H. C. Accurate object localization in gray level images using the center of gravity measure: accuracy versus precision // IEEE Trans. on Image Processing. 2002. Vol. IP-11, № 12. P. 1379-1384.

3. Grossman S. B., Emmons R. B. Performance analysis and size optimization of focal planes for point-source tracking algorithm applications // Opt. Eng. 1984. Vol. 23, № 2. P. 167-176.

4. Твердотельное телевидение: Телевизионные системы с переменными параметрами на ПЗС и микропроцессорах / Л. И. Хромов, Н. В. Лебедев, А. К. Цыцулин, А. Н. Куликов. М.: Радио и связь, 1986. 184 с.

5. Cedilnik A., Kosmelj K., Blejec A. The distribution of the ratio of jointly normal variables // Metodoloski zvezki. 2004. Vol. 1, № 1. P. 99-108.

6. Вентцель Е. С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высш. шк., 2001. 575 с.

7. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники: В 2 ч. Ч. 1. М.: Сов. радио, 1966. 728 с.