CC BY
43
СРАВНЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ КОЛЕЦ ГЕЛЬМГОЛЬЦА И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СОЛЕНОИДОВ
Фишбейн Лев Абрамович
канд. физ.-мат. наук, профессор Уральского государственного университета
путей сообщений, РФ, г. Екатеринбург E-mail: leobio@mail. ru Бушманов Владимир Иванович аспирант Уральского государственного университета путей сообщений, РФ,
г. Екатеринбург E-mail: bushmanov. vova@yandex. ru
UNIFORM MAGNET FIELDS COMPARISON BETWEEN HELMGOLTZ COILS AND CYLINDER PERMANENT MAGNETS
Lev Fishbein
candidate of Science, professor of Ural State University of the Railway Stations,
Russia. Ekaterinburg Vladimir Bushmanov
post-graduate student of Ural State University of the Railway Stations, Russia,
Ekaterinburg
АННОТАЦИЯ
В рамках соленоидной модели постоянного магнита найдены условия получения магнитного поля с минимальной неоднородностью в центре от двух симметрично расположенных цилиндрических магнитов.
ABSTRACT
The conditions of the uniform magnetic field existence between two cylinder permanent magnets within the framework of solenoid model are received.
Ключевые слова: однородное магнитное поле; постоянный магнит; кольца Гельмгольца.
Keywords: uniform magnetic field; permanent magnet; Helmholtz coils.
Величина магнитной индукции 5Гел колец Гельмгольца [2, с. 41] для точек, расположенных на оси (рис. 1а) — имеет вид
^ created by free version of
S DociFreezer
/п/Д\
ЯгелС^^Ы
-з +-3 (1)
[(?)2+(!+1)2]5 [(?)2+(7-1)2]2]
Все нечетные производные по 7 от 5Гел(7) в центральной точке 7 = 0 равны нулю из-за симметрии системы токов. Требование равенства нулю второй производной задает связь
Я// = 2.(2)
Тогда
2/п
ЯгелФ = Мо —
3
[4 + (т+1)2]2 [4+(|-1)2]
+
з 212
(3)
Распределение приведенного значения магнитной индукции у, и ее относительная пространственная неоднородность в = 1 — у во всем пространстве между кольцами Гельмгольца, определяются соотношениями
^^ *Гел(0)~ 2
3
1[4 + (т+1)2]2 Мт — 1)2]
+
21§
(4)
Рисунок 1. Кольца Гельмгольца (а), цилиндрические соленоиды (б)
1
1
1
1
!!\ сгеа1ес1 Ьу free уегсюп
д Роа^геегег
Сравним с кольцами Гельмгольца систему двух соосных симметричных цилиндрических соленоидов (или постоянных магнитов цилиндрической формы) с числом витков п (I = пй, й - диаметр провода) (рис. 1б)
1 I п/ Т+1+7 Т+1—7 ДсалОО = 2 7!^-*-*-1 +-"-"-т) —
[$2 + (^+т)Т [(?)2 + Й+1-т)Т
1+Т 1-7 -(---т +---т)}, (5)
[(ВЧ+ЭТ [©Ч-Г
Все нечетные производные по г от 5сол(7) в центральной точке 7 = 0 также равны нулю из-за симметрии системы токов. Приравняв вторую производную в в центральной точке к нулю, получаем связь (рис. 2)
(м-1
Рисунок 2. Зависимость приведенного радиуса соленоида от его длины для симметричных соленоидов и колец Гельмгольца
Подставляя (6) в (5), получаем
и + 7
г 2
и2 ■
2
.^5 —1
+
2
и—1
1+Т
г 2
и2 —
2
.^5 —1
+ (1+т):
+
2
и2 • -М5
2
.М5 —1
1 г
— Т
+ (- тУ
г 2
и2 —
2
.^5 —1
+ (1—т)2
у»л(2)==2(^(и'''г)—5(и'''2)) (¡^—г) (и1—1)
1 /п(, Л
1
2 \-2 ^5 — 1 \ /4
бсол(0) 2
Сравним распределение значений у (рис. 3) для двух типов систем во всем пространстве между кольцами (соленоидами)
Рисунок 3. Пространственные зависимости приведенных магнитных индукций у для колец Гельмгольца и систем соленоидов разной длины; 1 — кольца Гельмгольца, 2 — = 0.1, 3 — = 1, 4 — = 10
Область относительной неоднородности [4, с. 64] (например для в ~ 10-7) изменяется от значений около 3,5 % для = 0.1 (близких к значениям для колец Гельмгольца) до значений порядка 20 % для = 10. Для соленоидной
L
^ сгеа!ес1 Ьу йгее уетоп
ю РооРгеегег
модели [3, с. 62], [1, с. 67] постоянного магнита цилиндрической формы в рамках предположения об однородной намагниченности Р вдоль оси имеем
Р = -п.
Таким образом замена колец Гельмгольца на систему цилиндрических соленоидов (постоянных магнитов) с указанным выше соотношением радиуса и длины позволяет существенно увеличить однородность магнитного поля на оси системы соленоидов в пространстве между ними.
Список литературы:
1. Сизиков В.С., Соколов В.П. О синтезе высокооднородного поля постоянного магнита в МР-томографии //Научное приборостроение. — 2006. — Т. 16, — № 4. — С. 65—72.
2. Фишбейн Л.А., Бушманов В.И. Магнитное поле системы конических соленоидов //Сборник статей по материалам XXIII межд.заочн. научно-практ. конф. «Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии», № 11(21), Москва, ноябрь 2014. — С. 40—43.
3. Фишбейн Л.А., Бушманов В.И. Расчет конструкционных характеристик системы постоянных магнитов для получения однородного магнитного поля // Сборник статей междунар. научн.-практич. конф. «Эволюция технических наук», ТН-09, Уфа, 30 июня 2014. — С. 61—64.
4. Фишбейн Л.А., Бушманов В.И. Оценка области однородности магнитного поля системы постоянных магнитов // Тезисы 20 Всерос. научн. конф. студ. -физ. и мол. учен., ВКНСФ-20, Ижевск, 27 марта—2 апреля, 2014. — С. 516— 518.
^ сгеа!ес1 Ьу ^ее уетоп
д РооРгеегег
