CC BY
27
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2009. Вып. 1
УДК 517.5
В. В. Жук, Г. Ю. Пуеров
СРАВНЕНИЕ ОТКЛОНЕНИЙ ОБОБЩЕННЫХ СРЕДНИХ В. А. СТЕКЛОВА В ПРОСТРАНСТВЕ Ь2
§ 1. Введение
1. В дальнейшем С, М, Z, N - соответственно множества комплексных, вещественных, целых, натуральных чисел; Ьр (при 1 ^ р < ж) - пространство 2п-периодических измеримых функций / : М ^ С, суммируемых с р-й степенью на отрезке [—п, п] и нормой
/рп \ 1/р
II/ Ур у \р) ,
= С - пространство непрерывных 2п-периодических функций / : М ^ С с нормой
II/ 1и = тах\/(х)\.
Функции, заданные на подмножествах М, имеющие в некоторой точке устранимый
0
разрыв, доопределяются в этой точке по непрерывности. В других случаях символ — понимается как 0.
Через §1 (/, х) обозначаем симметричную разность г-го порядка функции / с шагом Ь в точке х
Г
§1 (/,х) = 52 ( — 1)тст/(х + гЬ/2 — шЬ).
т=0
Для / € Ьр, г € N полагаем
иг (/,Н)р = эир ||§г (/)||р.
|£|^Ь
Величина иг (/)р называется модулем непрерывности г-го порядка функции / в пространстве Ьр.
Если / € Ь1, г — 1 € N Н > 0, х € М, то полагаем
1 г ь/2
Яд(/,а:) = -/ /(ж+ 4) А, Я г(/,ж) =5^1(5^ г_1(/),ж).
Н ./-Н/2
Функция Бь,г(/) называется функцией В. А. Стеклова порядка г с шагом Н функции /.
Жук Владимир Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 185. Научное направление: теория аппроксимации. E-mail: [email protected], [email protected].
Пуеров Георгий Юрьевич — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ОАО «Концерн “Океанприбор”», доцент кафедры высшей математики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий механики и оптики. Количество опубликованных работ: 7. Научное направление: теория аппроксимации. E-mail: [email protected].
© В. В. Жук, Г. Ю. Пуеров, 2009
2. Известно (см., например, [1, с. 221-224], подробное изложение истории неравенств (1) и (2), приведенных ниже, имеется в [2]), что при Н > 0, 1 ^ р ^ ж, / € Ьр
II/- 5'/і,г(/)||р < ^ 2 ^2(/’2 (Г ~ 2 ) 2Х’ ^
^(/,к)р < С (г) У/- БКг (/)||р. (2)
Пусть І Є М, Е - тождественный оператор. Полагаем
Ь\г,і(/) = (Е - (Е - Ь\г)і)(/). (3)
В [3] доказано, что
вир вир а?лц = 221 (6а2)г (а> ^ 1е м)’ (4)
ь>0 іеЬ2 II/ - Ьк,1,1(/)у2 2
вир вир и ґ21[^ аНт\\ = 221 (За2)г (а ^ л/!"’ 1 є м) • ^
Ь>0 і ЄЬ2 II/ - Ък,2,1(/)у2 \ \/5 /
В связи с соотношениями (4) и (5) уместно отметить, что при 1 ^ р ^ то, І,г Є М, к > 0 для любой / Є Ьр справедливо неравенство
II/- Бн,г,і(/)||р < С (г,І) Ш2і (/, к)р.
В данной работе мы продолжим изучение оператора ,г,і(/) (отметим, что в работе
[3] при определении оператора Яь,г,і(/) допущена опечатка: вместо приведенной выше формулы (3) написано Ь\,г,і(/) = (Е - Би,г)1 (/)). А именно, докажем следующее
утверждение: пусть І,г, з Є М, г ^ з, д ^ 1, тогда
II/ - Б^,і(/)||2 _ / з У 2і
sup sup —------' - - =[-)'?
h>0 f eb2 II/ - Sh,r,l{f) || 2 Vr
и установим его аналог для случая приближения четных непрерывных 2^-перио-дических функций в пространстве C.
3. Если dk G C, то по определению
dk — do + ^^^(dk + d-к).
кх
hEZ h=i
Пусть f € Li, x € R, тогда
<^p~ + ^2ak(f) cos кх + 6fc(/)sin kx = ^cfc(/)e*
h=i hEZ
- тригонометрический ряд Фурье функции f, соответственно в вещественной и комплексной форме.
Через A обозначим множество четных вещественнозначных функций f € C с неот-
sin x
рицательными коэффициентами Фурье. Положим а(х) =--------------.
§ 2. Вспомогательные результаты
1. Нам понадобятся следующие известные результаты. Теорема A (равенство Парсеваля). Если / € Ьэ, то
у/112 =2п ^\ск(/)|2. fcez
Теорема B (см., например, [4 с. 277]). Если f € A, то
j./ ^ ао (/) , ,
/(ж) = —--------h 2^ ak(f) cos кх,
\х) 2 k=i
причем ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на R.
2. Установим ряд вспомогательных предложений.
Лемма 1. Пусть r, s G N, r ^ s, x ^ 0. Тогда
/sinx\s s ( /sinx\ r\ , ,
) м'Ч—) )• (6)
Доказательство. При s = r неравенство (6) тривиально. Будем считать s > r. Запишем (6) в виде
í ts-1 dt < í tr-1 dt,
Ja(x) Ja(x)
или
í (tr-1 — ts-1) dt > 0. (7)
J a(x)
Если x такое, что a(x) ^ 0, то (7) выполнено, так как подынтегральная функция неотрицательна. Если r = 1, то подынтегральная функция в (7) неотрицательна при всех
x ^ 0 и, следовательно, (7) в этом случае также выполнено. Пусть r — 1 G N, a(x) ^ 0.
Тогда х ^ 7г, |ск(х)| ^ — и
/ (tr-i - ts-i) dt = (tr-i - ts-i) dt +/ (tr-i - ts-i) dt = Ii + I2.
I a(x) J 0 J a(x)
Покажем, что II2| < Ii. Имеем
r s r(r
1 1 2
\h\ < —- H j < —-•
rnr sns rnr
Остается заметить, что nr > 2 r + 2 при r — 1 G N. Лемма 2. Пусть r G N, q ^ 1, x ^ 0. Тогда
r
sin qx\ ^„2(1 i sin x
I )• (8)
1
1
0
1
Доказательство. Положим
r
¡ sin q x
у qx
gr{x,q) = -
q2
и перепишем неравенство (8) в виде
9r(x,q) < gr(x, 1), x > 0, q > 1. (9)
Имеем
dgr(x, q) (r + 2) sinr qx — r qx cos qx sinr-i qx — 2 qr xr
dq ~ qr+3 xr '
Пусть сначала г = 1. Установим, что ^ ^ 0 при х ^ 0, q ^ 1. Для этого
dq
достаточно показать, что
2t +1 cos t — 3sint ^ 0 (10)
при t ^ 0. Неравенство (10) при t ^ 3 очевидно, так как
2t +1 cos t — 3 sin t ^ t — 3.
Пусть 0 ^ t ^ 3. Тогда, используя элементарные неравенства
t2 t4 t6 t3 t5
C0SO1“2! + 4! “6!’ Smt<t-3! + 5!’
находим, что
t5 t7 t5 ( t2\
21 + tcost — 3sint ^---------= — 1-----^ 0.
60 720 60 V 12 J
Теперь докажем (9) (или, что то же самое, (8)) при r ^ 2, q ^ 1, x ^ 2. Для этого
достаточно установить, что при указанных значениях x и q справедливо неравенство
dgr(x,q) , „
^ 0, а это, в свою очередь, сводится к проверке справедливости соотношения
dq
2tr + -t sin 2t sinr 21 — (r + 2) sinr t ^ 0 (11)
при t ^ 2. Ясно, что (11) вытекает из неравенства
r
Pr{t) = 2tr - -t - г - 2 > 0, 2.
2
r
Последнее соотношение очевидно, ибо P/(í) = 2rtr~1 — — ^ 0 при t ^ 1, а Рг(2) > 0.
3п
Осталось доказать (8) при 0 ^ х ^ 2, </ ^ 1. Известно, что при q ^ 1, 0 ^ ж ^ —
| sin qx\ ^ qsinx. (12)
Используя неравенство (8) при r = 1 и соотношение (12), находим, что
1 - ar(qx) = (\ - a(qx)\ íYJkZl <*к(чх)\ < 2E¡Io«fc<» = 2
1 - V 1 - «И У ^ Е^ (ж) ) " " «й(ж) 9'
Лемма 3. Пусть r, s € N, r ^ s, q ^ 1, x ^ 0. Тогда
/ • \ s / / •
sin qx s 2 sin x
) )■ (13)
Доказательство. Неравенство (13) получается сопоставлением соотношений (6) и (8).
3. Положим Z = Z \ {0},
/sin^V
1 _ I --2_ 1
kqh I
Jr,s(q, h, к) = - —2 r , >cr,s(q, h) = sup 7r¡s(q, h, k).
sin Щ- \ fcez'
1_Ы
Лемма 4. Пусть r,s,l € N, q > 0, h > 0, f € L2. Тогда
Ilf — Sqh,s,i(f )||2 < ^r,s(q, h)\\f — SKr,l(f )||2. Доказательство. Нетрудно убедиться, что
/(*)-¿W/>*)~ £<*(/) (і““”1 (у)) еІкХ
кеЪ-
Отсюда, применяя равенство Парсеваля, находим, что
21
2:V
/ і, \ 21
- Sttm,i(f )\\l = 2тг ^ |cfc(/)|2 ( 1 - ат j J . (14)
кС Z ' /
keZ'
Опираясь на соотношения (14), имеем
2l
fl — / /khw21
-sqh,s,i(f)111 =2?г X ЫЯ12--------------- 2i Í1 ~аГ(т)) ^
йех' (^1 — ^ '
< ^(^ Н)|/ — Я,г,г(/)|2.
Лемма 5. Пусть г,в,1 € N q > 0, Н > 0, / € А. Тогда
II/ — Б^/)||то < < 8^, Н)\\/ — БНг,1(/)||то.
Доказательство. Опираясь на теорему В, нетрудно убедиться, что для /€А
оо / кь \ 1
/(ж) - 54,т,г(/,ж) = 52 ак(/) ^1 - «т(у)^ совкх,
11/-^(Л11оо = Е^(я 1-«т(у) • (15)
к = 1 ^ '
r
Теперь, учитывая (15) и определение величины Kr,s(q, h), находим
\\f - sqh,s,i(f )iu = X ak(f) k=i
l-ar (f
< 4,s (q, h)\\f - Sh,r,l(f )IU
Лемма 6. Пусть l,r, s G N, r ^ s, q ^ 1. Тогда
- Sqh,s,l (f )|2 f s
sup sup
h>0 f eb2 II/ - Sh,r,l (J )|2 Vr
||/--V,s,i(/)||oo ^ (s
sup sup ^ '
h>0feA \\f ~ Sh,r,l(f)\\oo ^ ^Г) q Доказательство. Для функции f(x) = cos x имеем
\\<f - Sqh,r,l(^)\2 = Yr,s (q, h, 1)\\^ - Sh,s,l(¥’)h,
следовательно,
\ф Sqh,r,l(¥l)\\2 / , 1 n ^ ,.
sup —---------ci ,—7П— = sup 7r,s{q, h, 1) ^ Inn
I-as If
h>0 \W - Sh,s,l(v)\\2 h>0
h^°+ \ l-Wf
- ч ■
r
Второе неравенство устанавливается аналогично.
§ 3. Основные результаты
Теорема 1. Пусть l,r, s G N, r ^ s, q ^ 1. Тогда
II/ - Sqh s i(f)\\2 21
sup sup —------J ’ ’ = - qM.
h>0 f eb2 \\f - Sh,r,l(f )|2 ^r'
Доказательство. Пусть f G L2. Сопоставляя леммы 3 и 4, имеем
-SW,i(/)||2 < {^)l q2l\\f - Sh,r,l(f)h-
Отсюда следует, что
- Sqh,s,l (f )|2 f s
sup sup
h>0 f eb2 II/ - Sh,r,l (J )|2 K-r
Осталось принять во внимание лемму 6.
Теорема 2. Пусть 1,г, в € N г ^ в, q ^ 1. Тогда
sup sup
II/ Sqh,s,l(f) || 00 _ f & У ^21
h>0 f ел if - Sh,r,l(f )IU Vr
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1, при этом вместо леммы 4 используется лемма 5.
s
Summary
Zhuk V. V., Puerov G. Yu. Comparison of errors of approximation by generalized Steklov means in the space L2.
Let Lp (1 < p < to) be the space of 2n-periodic measurable functions f : R ^ C, integrable to the pth power over [—n,n\ with the norm
l-n \
f_w
Lx = C the space of continuous 2n-periodic functions f : R ^ C with the norm
11“ = I f (x) 1 ■
xER
By A let’s denote the set of even real-valued functions f e C with nonnegative Fourier coefficients. For f e Li, h > 0, r — 1 e N, x e R we set
i /■h/2
Sh,i(f,x) = T f(x + t)dt, Sh,r(f,x)=ShA(Sh^1(f),x). h J-h/2
Function Sh,r (f ) is called the Steklov function of order r with step h for the function f. The following statements are proved. Let l,r,s e N, r < s, q ^ 1. Then
\\(E — Sqh,s)l(f )||2 _ ( S Ÿ„2l
sup sup ——---— =1-9
h>0 f 6L2 \\[E - Sh,r )l(f) || 2 \r
1 \(e-f8\i 21 sup sup nTp-Q wVI = \ Z I q ■
h>0 f EA \\(E Sh,r) (f \r /
Key words: approximation, Steklov functions, exact estimates.
Литература
1. Жук В. В., Кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. 352 с.
2. Жук В. В. О функциях В. А. Стеклова // Дифференциальные уравнения с частными производными. СПб.: Образование, 1992. С. 74-85.
3. Дронь В. О., Жук В. В. О приближении средними В. А. Стеклова периодических функций в пространстве Ь2 // Проблемы математического анализа. 2007. № 35. С. 79-90.
4. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 936 с.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.
Статья принята к печати 7 октября 2008 г.
