Сравнение оптимальных инвестиционных портфелей, минимизирующих различные меры риска Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Оценка инвестиционных рискоВ

сравнение оптимальных инвестиционных портфелей, минимизирующих различные

меры риска

Е.М. БРОНШТЕЙН,

доктор физико-математических наук, профессор Уфимского государственного авиационного технического университета

Ю.в. КУРЕЛЕНКОВА Уфимский государственный авиационный технический университет

Широкое применение в банковской практике получили меры риска Value-at-Risk (VaR) и Conditional Value-at-Risk (CVaR) [1] и их модификации. Приведем соответствующие определения.

VaR — это наименьшая прибыль, которую предполагается получить на рассматриваемом временном горизонте с вероятностью а:

VaRJX] = min{E, | P(X < £) > а}. (1)

С точки зрения теории вероятностей VaR — это квантиль функции распределения прибыли. VaR обладает рядом серьезных недостатков. Так, Ф. Ар-цнер, Ф. Делбаен, Ж.-М. Эбер и Д. Хит [2] ввели естественное понятие когерентной меры риска. Мера риска VaR не является когерентной, поскольку не обладает свойством субаддитивности. В [3] была предложена мера риска Conditional Value-at-Risk (CVaR), которая является когерентной:

CVaRa[X]=E[Xx(X,VaRa[X])], (2)

где x(u,v) — характеристическая функция, равная 1 при u<v и 0 в противном случае. CVaR — это математическое ожидание доходов, меньших VaR. Эта мера риска более адекватно оценивает риск, когда плотность распределения предполагаемой прибыли имеет «тяжелый хвост».

В [4] были предложены меры риска VaR и CVaR, скорректированные на математическое ожидание:

E-VaR= VaRa[X-EX]; (3)

E-CVaR= CVaR [X-EX]. (4)

В данной статье предлагается новая мера риска

CCVaRар[X] = СVaRa[X]+ рЕ|Х - ЕХ|, (5) которая является когерентной и наряду с тяжестью левого хвоста учитывает общую структуру распределения. Здесь в — некоторое положительное число.

Также анализируются квантильные меры риска, скорректированных на медиану:

M—VаRa= \aRJX-MeX] ; (6)

M—CVaRа= С\^[Х-МеХ]. (7)

В статье приводится анализ мер риска: VаR, С\а^ Е-\К, Е-СУаК, МЛ/кК, M-CVaR и ССУаК при различных значениях а, р. Анализировались также историческая доходность и средний модуль отклонения доходности.

Методика исследования состояла в следующем. Анализировались оптимальные по этим показателям портфели, состоящие из высоколиквидных акций российских компаний на основе исторических данных за временной промежуток Т, не превосходящий 5 лет. Также рассчитывались оптимальные портфели по критерию исторической доходности (на основе имеющихся исторических данных выбирался наиболее доходный портфель за промежуток времени I). С помощью полного перебора с шагом 0,1 генерировались структуры оптимальных портфелей для каждого из анализируемых показателей. Затем определялась фактическая доходность этих портфелей за следующий месяц.

В качестве оценки дневной доходности портфеля использовалась величина

Гц = 1п

Р1

РI,+1

(8)

где г — доходность; р ^ — цена портфеля, оптимального по i-й мере риска в момент времени t.

Для каждого показателя вычислялись следующие характеристики оптимальных портфелей:

- мера диверсифицированности портфелей;

- зависимость доходностей портфелей за

последующий месяц (г ^ +... + Г ,^30 = 1п-) от

параметров а, в; Р

- величины тех же доходностей для различных временных горизонтов Т.

В заключение приводятся рекомендации по использованию анализируемых показателей при формировании портфелей на российском рынке, выбору временного горизонта Т и выбору параметров а, р.

Зависимость оптимального СС\^-портфеля от параметра в

Цель: выявить зависимость структуры CCVaR оптимальных портфелей и их доходность от изменения коэффициента р.

Результаты. Было установлено, что для различных а при малых значениях коэффициента р (от 0 до 1) оптимальные портфели по мерам CCVaR и СVaR совпадают, так как в правой части уравнения (5) слагаемое рЕ|Х — ЕХ| оказывается на порядок меньше, чем СVaRа[X].

При значениях коэффициента 1<р<15 структура оптимальных по CCVгаR портфелей меняется, причем при увеличении р увеличивается и доходность оптимального портфеля. При значениях 15<р<20 структура оптимальных по СС\Ж портфе-

0,145

0,14

л 1- 0,135

о X 0,13

сг

о 0,125

о а: 0,12

0,115

0,11

1 2 3 6 8 16 18 20 25 30 Значение р

Рис.1. Изменение доходности портфеля, оптимального по CCVaR, при увеличении коэффициента р (использованы исторические данные российского рынка акций за 2005 г. при уровне достоверности а = 95%)

лей стабилизируется и при дальнейшем увеличении коэффициента р остается неизменной. Такое значение коэффициента р, при котором дальнейшее его увеличение не меняет структуру портфеля, будем называть критическим значением р. На этом основании в дальнейшем принято значение р=20.

В ходе исследования было выявлено, что наиболее доходными оказались портфели, построенные при критическом р (рис. 1).

На основе проведенного анализа был сделан вывод о том, что при построении оптимального по CCVaR портфеля следует использовать критическое значение р. Поэтому в дальнейшем все вычисления будут приводиться для критического р.

Зависимость доходности портфелей от параметра а

Оптимальные портфели рассчитывались при а равном, соответственно, 0,95; 0,75; 0,5; 0,35; 0,2.

В основном наиболее доходными были оптимальные портфели при а =0,95. Приведем некоторые из полученных результатов (табл. 1).

Таблица 1

Доходность оптимальных портфелей при различных уровнях достоверности а (95, 50 и 20%) и временных промежутках Г (от 6 мес до 3 лет)

3 года 2 года 1 год 6 мес

Значение а 0,95 0,5 0,2 0,95 0,5 0,2 0,95 0,5 0,2 0,95 0,5 0,2

УаЯ 0,127 0,146 0,127 0,131 0,122 0,051 0,137 0,123 0,050 0,127 0,146 0,051

СУаЯ 0,123 0,128 0,123 0,128 0,127 0,128 0,144 0,128 0,128 0,123 0,128 0,128

Е-УаЯ 0,127 0,017 0,127 0,131 0,051 0,051 0,137 0,051 0,050 0,127 0,017 0,051

Е-СУаЯ 0,096 0,144 0,096 0,128 0,124 0,128 0,138 0,136 0,134 0,096 0,144 0,121

М-УаЯ 0,127 0,106 0,127 0,128 0,114 0,051 0,128 0,130 0,050 0,127 0,106 0,051

М-СУаЯ 0,123 0,125 0,123 0,128 0,124 0,124 0,144 0,124 0,124 0,123 0,125 0,126

ССУаЯ 0,144 0,144 0,141 0,128 0,127 0,128 0,136 0,136 0,136 0,144 0,144 0,144

Историч. доходность 0,124 0,124 0,124 0,124 0,124 0,124 0,124 0,124 0,124 0,124 0,124 0,124

Стандарт. откл. 0,064 0,064 0,064 0,017 0,017 0,017 0,062 0,062 0,062 0,064 0,064 0,064

На основе полученных данных можно сделать вывод о том, что в целом наиболее доходными являются оптимальные портфели, построенные при а=0,95. Очевидно, что для критериев исторической доходности и стандартного отклонения доходность не зависит от изменений коэффициента а.

Диверсифицированность оптимальных портфелей

=г ■&

1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

□ 3 года ■ 2 года

□ 1 год

□ 6 мес

СУа1* ЕЛ/а1* Е-СУа1* МЛ/а1* М-СУа1* ССУаР*

Ист. дох-ть

Ст. откп.

Мера риска

рис. 2. Диверсифицированность оптимальных портфелей за временные промежутки Т от 6 мес до 3 лет при а= 95%

1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Цель: сравнить меры диверсифицированности оптимальных портфелей; выявить зависимость ди-версифицированности оптимальных портфелей от изменения а и временного промежутка Т (рис. 2).

результаты. В качестве оценки меры диверсифи-цированности полученных оптимальных портфелей

принята максимальная доля акций по каждой мере риска в оптимальном портфеле. Чем меньше эта величина, тем более диверсифицирован портфель.

Следует заметить, что не выявлено меры риска, которая устойчиво давала бы наиболее диверсифицированные оптимальные портфели. Установлено также, что при уменьшении а степень диверсифицированности оптимальных портфелей снижалась (рис. 3).

Следует отметить, что в целом на российском рынке наиболее диверсифицированными являлись оптимальные портфели при временном промежутке Т, равном одному году для мер риска VaR и 6 мес для мер риска CVaR. Они же являются и наиболее доходными для этих мер риска.

□ 0,95 ■ 0,5

□ 0,2

СУаР* ЕЛ/аК Е-СУа!* МЛ/аР

М-

СЛ/аР

ССЛ/аК Мера риска

рис. 3. Мера диверсифицированности оптимальных портфелей при различных а

Доходность оптимальных портфелей

Цель: проведение сравнительного анализа доходности портфелей, оптимальных по разным мерам риска и при различных значениях Т.

результаты. Ниже приведены полученные средние (для пяти моментов времени) изменения доходности для различных мер риска за разные временные диапазоны (табл. 2).

Для мер риска VaR, CVaR, ЕЛ^, E-CVaR, M-VaR, M-CVaR наиболее доходными оказались оптимальные портфели на временном промежутке Т, равном 1 году. Для меры риска CCVaR наиболее доходными были портфели при Т, равном 3 годам. При этом в среднем наиболее доходными являются CCVaR оптимальные портфели.

Таблица 2

Средняя доходность оптимальных портфелей при различных периодах времени Т для разных мер риска

Период VaR CVaR E-VaR E-CVaR МЛ^ M-CVaR CCVaR Ист. дох-ть Ст. откл.

6 мес 0,127 0,123 0,127 0,096 0,127 0,123 0,143 0,124 0,064

1 год 0,137 0,143 0,137 0,138 0,128 0,143 0,136 0,124 0,062

2 года 0,131 0,128 0,131 0,128 0,128 0,128 0,128 0,124 0,017

3 года 0,127 0,123 0,127 0,096 0,127 0,123 0,144 0,124 0,064

4 года 0,127 0,122 0,125 0,096 0,125 0,121 0,143 0,124 0,018

5 лет 0,126 0,121 0,124 0,080 0,123 0,120 0,142 0,124 0,025

Для сравнения приведены значения доходности портфелей, оптимальных по критерию исторической доходности и стандартного отклонения. Очевидно, что их доходность намного уступает доходности портфелей, оптимальных по другим мерам риска.

По критерию исторической доходности выбирается наиболее доходный портфель за промежуток времени Т. Портфели, оптимальные по критерию исторической доходности, оказались недиверсифицированными. Наиболее доходными за последние годы оказались акции Сбербанка, а также Норильского Никеля и Сибнефти. Они чаще всего входили в структуру портфеля, оптимального по исторической доходности.

Анализ «скользящей» стратегии

Методика исследования состояла в следующем:

1) имеющиеся исторические данные были поделены на несколько равных временных промежутков T:

12 3 4

I-

+

+

3) полученные портфели анализировались на доходность на промежутке 2;

4) затем на промежутке 2 рассчитывались оптимальные портфели;

5) на промежутке 3 портфели проверялись на доходность и т.д.

Рассматривалась накопленная доходность, полученная в результате применения данной методики (т.е. суммарная доходность за все промежутки Т). Использовались значения Т от 3 мес до 1 года.

При Т, равном 3 мес, наибольшую накопленную доходность показали портфели, оптимальные по критерию исторической доходности (рис. 4, 5).

Полученные результаты показали, что при небольшом временном промежутке T (несколько месяцев) критерий исторической доходности довольно эффективен. Однако при увеличении временного промежутка его эффективность снижается. Меры риска, основанные на VaR и CVaR, а также CCVaR показывают более стабильные результаты. Портфели, оптимальные по стандартному отклонению, были наименее доходными.

Быводы

2) на промежутке 1 рассчитывались оптимальные портфели по всем критериям;

1. При построении CCVaR оптимального портфеля следует использовать критическое значение

2 1,8 1,6 1,4 1,2 1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

УаК СЧаИ. ЕЛ/аК Е-СУаК МЛ/аР? М-СУаК ССЛ/а!* Ист. Ст.

дох-ть откл.

Рис. 4. Накопленная доходность оптимальных портфелей при Т, равном 3 мес

л

ь о о

X

ч: о х о ч

со х

1,4 1,2 1

0,8 0,6 0,4 0,2

Уа!* СУа!* Е-Уа!* Е-СУа!* М-УаР М-СУа!* ССУаР} Ист. дох-ть Ст. откл.

Мера риска

Рис. 5. Накопленная доходность оптимальных портфелей при скользящем методе исследования для Т = 1 году

Оценка инвестиционных рискоВ 3 (60) - 2006

коэффициента Р=20. В таком случае оптимальный портфель оказывается наиболее доходным.

2. Наиболее доходными являются оптимальные портфели, построенные при а=0,95.

3. При а=0,95 оптимальные портфели наиболее диверсифицированы.

4. В целом наиболее доходными являются CCVaR оптимальные портфели при Т=3 годам, а=0,95 и р=20.

5. Используемые для сравнения критерии исторической доходности и стандартного отклонения были менее эффективными. Портфели, оптимальные по критерию исторической доходности, были недиверсифицированными. Портфели, оптимальные по стандартному отклонению, были наименее доходными при растущем рынке, а в остальных ситуациях — убыточными.

6. Для каждой меры риска существует свой оптимальный временной диапазон Т. Для мер VaR, CVaR, ЕЛ/кК., E-CVaR, МЛ/кК., M-CVaR наиболее доходными оказались оптимальные портфели при

Реклама в журналах Издательского дома «Финансы и кредит»

Мы гарантируем Вам:

^ Оперативное размещение ^ Гибкую систему скидок ^ Индивидуальный подход ^ Особые условия для рекламных агентств. Ваши выгоды очевидны, потому что у нас: ^ Самые низкие цены

^ Широкая профессиональная аудитория по всей территории России и СНГ ^ Оперативная публикация рекламы осуществляется в необходимые Вам сроки ^ Высокая эффективность рекламы проверена временем.

Реклама в наших журналах — прямой путь к конечному потребителю.

Тел./факс: (495) 921-69-49, http: www.financepress.ru

(495) 921-91-90 E-mail: post@financepress.ru

временном промежутке T, равном 1 году. Для меры риска CCVaR наиболее доходными были портфели при временном промежутке T, равном 3 годам.

Анализ показал, что в российских условиях целесообразно применение новой меры риска CCVaR, а также M-VaR и M-CVaR наряду с другими мерами риска. При этом следует учитывать рекомендации по установлению параметров а и ß, а также выбору временного диапазона исследования T.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 04-06-80009).

Литература

1. Меньшиков И.С., Шелагин Д.А. Рыночные риски: модели и методы. —Вычислительный центр РАН, 2000.

2. Artzner Ph., Delbaen F., Eber J.-M, Health D. Thinking Coherently, Risk 10, November, 1997, 68-71.

3. Uryasev S. Conditional Value-at-Risk: Optimization Algorithms and Applications. Financial Eng. News, 14, February 2000, 1-5.

4. R. Tyrrell Rockafellar, S. Uryasev, M. Zabarankin. Deviation Measures in Risk Analysis and Optimization. Research Report 2002-7, ISE Dept. Univ. Florida.