CC BY-NC-ND
55
Сравнение моделей прогноза волатильности криптовалют и фондового рынка
Аганин А.Д., Маневич В.А., Пересецкий А.А., Погорелова П.В.
В статье сравниваются между собой GARCH и HAR-модели для прогноза на один день вперед реализованной волатильности финансовых рядов. В качестве примера выбрана криптовалюта с наибольшей капитализацией - Bit-coin. Ее реализованная волатильность вычисляется по внутридневным (внут-рисуточным - 24 часа) данным, с использованием закрывающих значений пятиминутных торговых интервалов. В работе предложен способ вычисления реализованной волатильности для случая наличия пропусков в пятиминутных внутрисуточных данных. Это позволяет добиться сопоставимости дневных величин реализованной волатильности активов, время торгов которых отличается. Среди выбранных для прогнозирования дней практически в равной степени присутствуют все дни недели. Для сравнения выбран актив - E-mini S&P 500 - фьючерсный контракт, который торгуется 23 часа в сутки. Сравнение происходит на интервале наблюдений с 01.01.2018 г. по 29.12.2021 г. Поскольку на этом интервале могли быть (и были) структурные изменения рынков, то модели оцениваются в скользящих окнах длиной 399 дней. Для каждого ряда сравниваются 810 GARCH-моделей (с учетом всех спецификаций моделей), а также 46312 HAR-моделей (с учетом различных преобразований данных 138936 моделей). Для отбора лучших моделей используется MCS-тест (на уровне значимости 0,01). Показано, что GARCH-мо-дели уступают HAR-моделям в точности прогноза как реализованной волатильности Bitcoin, так и E-mini S&P 500. При этом относительная точность
Статья подготовлена при поддержке Программы фундаментальных исследований Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ).
Аганин Артем Давидович - к.э.н.; независимый исследователь. E-mail: artyomaganin@gmail.com Маневич Вячеслав Андреевич - аспирант 1 года; Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики». E-mail: vmanevich@hse.ru
Пересецкий Анатолий Абрамович - д.э.н.; Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики». E-mail: aperesetsky@hse.ru
Погорелова Полина Вячеславовна - аспирант 3 года; Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики». E-mail: pvpogorelova@gmail.com
Статья поступила: 31.10.2022/Статья принята: 26.01.2023.
прогноза реализованной волатильности Bitcoin выше, чем точность прогноза реализованной волатильности фьючерса E-mini S&P 500. Наименьшие относительные погрешности для прогнозов реализованной волатильности Bit-coin и E-mini S&P 500 составляют соответственно 29,5 и 36,1%.
Ключевые слова: биткоин; криптовалюта; реализованная волатильность; E-mini S&P 500; GARCH-модель; HAR-RV-модель.
DOI: 10.17323/1813-8691-2023-27-1-49-77
Для цитирования: Аганин А.Д., Маневич В.А., Пересецкий А.А., Погорелова П.В. Сравнение моделей прогноза волатильности криптовалют и фондового рынка. Экономический журнал ВШЭ. 2023; 27(1): 49-77.
For citation: Aganin A.D., Manevich V.A., Peresetsky A.A., Pogorelova P.V. Comparison of Crypto-currency and Stock Market Volatility Forecast Models. HSE Economic Journal. 2023; 27(1): 49-77. (In Russ.)
1. Введение
Первая и занимающая большую часть рынка криптовалют цифровая валюта Bitcoin была создана Satoshi Nakamoto - разработчиком или группой разработчиков в 2009 г., сразу после финансового кризиса 2008 г. Предполагалось, что Bitcoin станет аналогом классических биржевых инструментов и прочих финансовых активов. Его отличительной особенностью являлась полная децентрализованность сети и анонимность пользователей, что позволяло совершать неотслеживаемые трансакции. Изначально Bitcoin не получил большой популярности или признания, в 2010 г. его стоимость не достигала 0,5 долл. Первый скачок роста пришелся на 2014 г., тогда его цена достигала почти 1000 долл. Однако после небольшого пика популярности средняя стоимость криптовалюты опустилась до 400 долл. и держалась на таком уровне с небольшими колебаниями вплоть до начала 2017 г. В 2017 г. начался сильный рост, который достиг своего пика в декабре 2017 г. - стоимость одного Bitcoin достигала 17,5 тыс. долл. Период роста сменился спадом, который длился вплоть до октября 2020 г. Затем Bitcoin начал быстро расти, и 10.11.2021 г. его курс превысил 69 тыс. долл. за один Bitcoin, при этом капитализация достигла 1260 млрд долл. Далее цена опускалась и в августе 2022 г. была менее 15 тыс. долл. и капитализация 460 млрд долл.
Подобный скачок некоторые исследователи связывают с пандемией коронавиру-са, а также увеличением возможностей оплаты товаров и услуг криптовалютой. Идея создания Bitcoin подтолкнула многих энтузиастов к созданию своих собственных крип-товалют. Некоторые из них отличаются от Bitcoin по протоколам работы и взаимодействия, некоторые достигли колоссальной капитализации (Ethereum), однако до сих пор Bitcoin является «главной» криптовалютой и, как правило, изменения его курса влекут за собой схожие изменения курса прочих криптовалют.
Высокая волатильность Bitcoin отличает его от классических финансовых инструментов, таких, например, как индекс S&P 500. Данный индекс является одним из основ-
ных мировых финансовых индексов, он включает в себя акции 505 крупнейших компаний США. В данный момент его капитализация оценивается в 80% от капитализации фондового рынка США, он содержит акции компаний различных секторов экономики, как промышленных, так и финансовых компаний. Bitcoin и S&P 500, можно сказать, представляют две стороны современного биржевого рынка и их анализ, в общем и целом, позволяет судить о прочих участниках рынка.
Индекс S&P 500 является значительно менее волатильным активом. По объему он существенно превосходит рынок Bitcoin. Его капитализация в мае 2022 г. составляла около 38 трлн долл.
Задача прогнозирования волатильности финансовых активов является исключительно важной для инвесторов, банков. Под прогнозом волатильности подразумевается прогноз
(ненаблюдаемой) величины - условной волатильности ст2+1 = Vt (rt+1) = V (rt+1 | Ft), где rt+1 - доходность актива в день t +1; Ft - информация, доступная в день t. В предположении Et (rt+1 ) = 0 получаем = Et (rt+j) = E (rt+j | Ft). Поскольку условная вола-
тильность G2t+1 ненаблюдаема, то сравнение качества ее прогнозов ht+1 производится сравнением прогноза ht+1 с некоторым ее аналогом (прокси) G. В качестве Gв статьях часто берут rt+1 (оценка по двум значениям цены в день t), либо выборочную волатильность по наблюдениям rt_k+2, rt_k+3,..., rt+1 (за k последних дней), либо реализованную волатильность RVtd+l. В данной статье используется реализованная волатиль-ность, поскольку она рассчитывается по большому количеству внутридневных наблюдений в день t +1 и поэтому содержит меньше шума, чем первые два аналога. Заметим, что
выбор «оптимальной» модели прогноза зависит также от функции потерь L (af+1, ht+1), которую использует потребитель прогноза. Потребитель может быть также заинтересован в «оптимальном» прогнозе at+1 или ln at+1.
Значительное количество работ посвящено применению моделей семейства GARCH для прогнозирования волатильности курсов традиционных финансовых инструментов, акций, индексов и курсов валют.
Например, Кисинбей [Kisinbay, 2010] использует реализованную волатильность для сравнения прогнозов и приходит к выводу, что асимметричные GARCH-модели типа EGARCH, APARCH и TS-GARCH по точности прогноза превосходят GARCH при прогнозировании волатильности акций, асимметричные модели также дают дают лучшие прогнозы и для валютных курсов.
Другое направление прогноза волатильности, не использующее параметрические модели, - HAR-RV (heterogeneous autoregressive model for realized volatility) модели были предложены Корси [Corsi, 2009], после чего появилось множество работ с различными усовершествованиями, модификациями и сравнениями этих моделей с уже существующими.
Авторы работы [Lahaye, Shaw, 2014] рассматривали произвольную нелинейную функцию от лагированных дневной, недельной и месячной волатильностей как модель
для прогноза реализованной волатильности на один шаг и показали, что для моделирования индекса S&P 500 достаточно стандартной линейной спецификации HAR-RV(1,5,21) модели. В этой модели учитывается гетерогенность рынка, поскольку кроме значения реализованной волатильности передыдущего дня в ней используются ее средние за неделю (5 торговых дней) и за месяц (21 торговый день).
В работе [Mastro, 2014] использовалась реализованная волатильность как прокси условной волатильности. На примере прогнозирования волатильности фондовых индексов S&P 500, DAX, FTSE 100, NIKKEY 255 было показано, что самая простая HAR-RV-модель превосходит модели GARCH(1,1) и EGARCH(1,1). В качестве меры точности прогноза использовалась MSE (среднеквадратичное отклонение).
Сравнительное исследование GARCH и HAR-моделей на данных биржевых активов российских компаний проведено в статье [Аганин, 2017]. В работе проведено сравнение 88 GARCH-моделей с моделями ARFIMA и HAR-RV. В результате было получено, что GARCH и ARFIMA-модели уступают моделям семейства HAR в прогнозной силе.
К 2014 г. развитие рынка Bitcon вызвало интерес к моделированию его волатильности. Гронвалд [Gronwald, 2014] был одним из первых, кто оценил GARCH-модель со скачкообразной интенсивностью доходностей на примере криптовалют. Он обнаружил, что цены на Bitcoin характеризуются экстремальными движениями цен, что является признаком незрелого рынка, что не удивительно, ведь в 2014 г. рынок криптовалют, фактически, только начинал формироваться.
Авторы исследования [Chen et al., 2016] использовали различные спецификации моделей GARCH для анализа индексов CRIX (Cryptocurrency IndeX - индекс, составленный по 30 криптовалютам), используя ежедневные данные за 2014-2016 гг. Авторы пришли к выводу, что модель t-GARCH (1,1) (c t-распределением ошибок) является наилучшей моделью для всех данных выборки на основе критериев AIC и BIC.
Авторы работы [Pichl, Kaizoji, 2017] использовали модель HAR-RV со скачками, а также дневное распределение логарифмов доходности для моделирования волатильно-сти биткоина. Они обнаружили, что модель HAR-RV-J достаточно хорошо отражает динамику реализованной волатильности биткоина.
Исследователи [Caporale, Zekokh, 2019] попытались определить набор лучших моделей, используя более 1000 GARCH-моделей для прогнозирования волатильности некоторых популярных криптовалют. Они пришли к выводу, что стандартные GARCH-моде-ли недостаточно эффективны для моделирования волатильности криптовалют.
В работе [Kaya Soylu et al., 2020] волатильность трех криптовалют, Ripple, Ethereum и Bitcoin, моделировалась с учетом свойств долгой памяти этих криптовалют. Было показано, что на криптовалютном рынке существует эффект долгой памяти. Получен результат, что гиперболическая модель HYGARCH является наиболее подходящей моделью для Bitcoin, FIGARCH со скошенным распределением Стьюдента дает лучшие оценки для Ethereum, а модель FIGARCH с распределением Стьюдента хорошо подходит для доходности Ripple.
В работе [Chkili, 2021] исследуется модель длинной памяти и модель переключения Маркова. Эмпирические результаты указывают на присутствие длинной памяти в динамике волатильности рынка биткоина. Модель FIGARCH, явно учитывающая длинную память, превосходит все остальные модели в моделировании волатильности цен на Bitcoin.
Исследователи [Segnon, Bekiros, 2020] рассматривают GARCH-модели и марковские модели переключения для определения режимности Вксот и построения прогноза. Авторы подтверждают, что Вксот характеризуется сменой режимов, долгой памятью и муль-тифрактальностью. Мультифрактальные марковские модели переключения и FIGARCH превосходят другие модели типа GARCH в прогнозировании волатильности Вксот. Более того, комбинированные прогнозы улучшают прогнозы, полученные с помощью отдельных моделей.
В работе [Panagiotidis et а1., 2022] проведен широкий сравнительный анализ GARCH-моделей с 1, 2, 3-мя марковскими режимами переключения для 292 криптовалют. Оказалось, что для прогноза волатильности на один шаг для биткоина наилучший результат как по MSE и МАЕ-критериям показывает NGARCH-N с одним режимом (однако для большинства других криптовалют наилучший результат показали модели с двумя режимами. Модели с переключением режимов могут учитывать структурные изменения рынка. Эта цель может достигаться также и при оценке моделей в скользящих окнах.
Авторы работы [Ве^Н et а1., 2022] сравнивают прогнозы реализованной волатильности Вксот, полученные при помощи различных GARCH и HAR-моделей. Авторы получили, что EGARCH и APARCH показывают лучшие результаты среди GARCH-моделей. Однако модели HAR работают лучше, чем модели GARCH, основанные на дневных данных. Превосходство моделей HAR над моделями GARCH сильнее всего проявляется при прогнозировании краткосрочной однодневной волатильности. Погрешности HAR-моделей, приведенных авторами, составляют порядка 40-60%.
В данной работе проводится исследование применимости GARCH-моделей с разнообразными моделями распределения ошибок, а также HAR-моделей и их различных спецификаций в задачах прогнозирования реализованной волатильности на один шаг вперед в скользящем окне длиной 399 значений с шагом в 5 значений. В качестве примеров выбраны Вксот и Е-тШ S&P 500, представляющие криптовалютный и классический фондовый рынки.
Тематика работы [Ве^Н et а1., 2022] близка к данной, однако в нашей работе мы проводим значительно более широкий анализ моделей, не фиксируя порядки недельной и месячной компонент HAR-моделей. Кроме того, для сравнения моделей для Вксот и Е-тт S&P 500 рассматриваются только те дни торговли Вйсот, в которые также торговался и фьючерс. Отметим, что погрешности прогноза отобранных моделей для Вксот на 10% ниже, чем в работе [Ве^Н et а1., 2022].
Отличительной чертой работы является перебор значительного числа GARCH (810 моделей) и HAR (138936 моделей) для прогнозирования реализованной волатильности Вксот и фьючерса Е-тт S&P 500. После построения прогнозов при помощи MCS-теста проводится отбор наилучших моделей по точности прогноза на один день вперед.
2. Данные
В работе исследуется период с 01.01.2018 г. по 29.12.2021 г. (включительно), все данные с частотой 5 минут взяты с сайта finam.ru.
В качестве представителей рынка криптовалют и фондового рынка для анализа выбраны следующие биржевые активы (выбор определен, в том числе, наличием высокочастотных данных):
• Bitcoin (btc) - криптовалюта с наибольшей капитализацией, фактически наиболее представительная из криптовалют, с наибольшей историей. Торгуется 24/7.
• E-mini S&P 500 - это фьючерсный контракт, который торгуется на Чикагской товарной бирже (CME), представляющий одну пятую стоимости стандартного фьючерсного контракта на индекс S&P 500. В индекс S&P 500 включены: 400 промышленных корпораций, 20 транспортных, 40 финансовых и 40 коммунальных. Почти все компании обращаются на NYSE, однако присутствуют и те, которые торгуются на AMEX и Nasdaq. Базовым активом для этого фьючерса является значение фондового индекса S&P 500. Данный фьючерс представляет ценность для исследования, так как он связан с одним из крупнейших индексов S&P 500 и торгуется почти полный день. Торговля ведется с б00 воскресенья по 500 пятницы (время Чикагской биржи) с ежедневным перерывом с 500 до б00.
На рис. 1 представлены средние однодневных доходностей активов, рассчитанных в скользящем окне длины 399 дней (шаг скольжения окна 5 дней). Как можно видеть, доходность btc характеризуется довольно сильными изменениями, хотя в целом присутствует восходящий тренд. В то же время для доходностей фьючерса в целом не наблюдается таких резких и частых скачков, кроме периодов с марта по апрель 2020 г. и с мая по июнь 2021 г. В конце интервала наблюдений средние доходности btc выше, чем доходности фьючеса. Отметим, что значения оси абсцисс соответствуют правому концу окна.
0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0
-0,001 -0,002 -0,003 -0,004
"Bitcoin
■E-mini S&P 500
т
/\|Wv
ЧО 00
cK cK cK cK cK
ЧО 00
ЧО 00
<N<N<N<N<N<N<N<N<N<N<N<N ООООО000000000000 <N<N<N<N<N<N<N<N<N<N<N<N<N<N<N<N<N
Рис. 1. Средние однодневных доходностей активов, рассчитанных в скользящем окне длины 399 дней
На рис. 2 представлены выборочные дисперсии однодневных доходностей, рассчитанные в скользящих окнах длиной 399 дней. Дисперсия доходностей Ыт выше, чем дисперсия доходностей фьючеса. Для Ыс в период с марта по апрель 2020 г. наблюдается резкий скачок, а с мая по июнь 2021 г. - падение. Аналогичный подъем есть и на графике
Е-тш S&P 500, что свидетельствовует о схожести процессов волатильностей активов, возникающей в процессе развития рынка криптовалют. Скачок волатильности в начале 2020 г., вероятно, связан с пандемией COVID-19.
Рис. 2. Выборочные дисперсии однодневных доходностей, рассчитанные в скользящих окнах длины 399 дней. Левая шкала - Вксот, правая шкала - Е-тШ S&P 500
2.1. Реализованные волатильности
В качестве реализованной волатильности используется пятиминутная реализованная волатильность. Выбор именно таких временных промежутков обусловлен исследованием [Andersen, Bollerslev, 1998], в котором показано, что значения реализованной волатильности, рассчитанные по пятиминутным интервалам, являются наиболее оптимальными с точки зрения точности с учетом микроструктуры ошибок, возникающих в результате особенностей и специфики финансовых рынков. Ранее такая же форма расчета волатильности использовалась в работе [Маневич и др., 2022].
Реализованная волатильность в день t представляется в виде
¡288
t1) RVt =JIfu ,
где rt j = log (pt j ) — log (pt j_j ) - доходности; pt j - цена актива в день t на конец внутридневного интервала j длины 5 минут, с общим числом таких интервалов за один день, равным 288.
RV, описанная выше, является корнем из реализованной дисперсии (realized variance). Реализованная волатильность является прокси для ненаблюдаемой волатильности, ее непараметрической оценкой.
В GARCH-моделях используемого программного пакета прогнозируются значения условной дисперссии ut (в качестве ее прокси берутся RV, указанные выше). В программном пакете для расчета HAR-моделей прогнозируются реализованные дисперсии, после чего от них берутся корни для получения реализованных волатильностей.
В том случае, кода есть наблюдения по всем пятиминуткам, реализованная волатильность в день t рассчитывается по формуле (1). Однако есть дни с неполными данными. В этом случае для получения соизмеримых результатов в данной работе реализованная волатильность вычисляется следующим образом:
• если в сутках имеются данные менее чем за 5 часов, то соответствующий день удаляется из выборки;
• при пропуске наблюдений в начале и/или конце суток реализованная волатильность рассчитывается по имеющимся K пятиминутным интервалам, а затем приводится к суточным данным масштабированием:
(1b)
=f It;
• в случае пропуска данных внутри суток, например, между моментами j 1 и j2, соответствующая сумма заменяется на квадрат доходности за пропущенный период.
Таким образом, получена сопоставимость значений дневной реализованной волатильности фьючерса с дневной реализованной волатильностью Bitcoin в разные дни.
На рис. 3 представлены реализованные волатильности Bitcoin и E-mini S&P 500 в логарифмическом масштабе.
Рис. 3. Реализованная волатильность Bitcoin (черная линия) и E-mini S&P 500
Волатильность Вксот выше чем волатильнось Е-тт S&P 500. Это соответствует тому, что рынок криптовалюты молодой и объем его гораздо меньше, чем объем фондового рыка. Оба графика демонстрируют волатильность реализованной волатильности.
3. Методология
В данной работе модели сравниваются по точности прогноза волатильности на один день вперед. Поскольку в течение рассматриваемого периода изменялись макроэкономические показатели, изменялся объем торговли криптовалютой, то было бы неправильно предполагать постоянство параметров моделей на всем интервале наблюдений. Поэтому каждая из моделей оценивается в скользящем окне длиной 399 дней и делается прогноз на один день вперед. Размер окна выбран из соображений получения устойчивых оценок параметров GARCH-моделей.
Для сокращения времени расчетов шаг сдвига окна выбран 5 дней. Поскольку некоторые дни пропущены, то получено следующее распределение прогнозов по дням недели (см. табл. 1). В целом, распределение прогнозов по дням недели почти равномерное, что делает результаты репрезентативными.
Таблица 1.
Встречаемость дней недели
Частота встречаемости Процент от выборки
День недели:
понедельник 27/170 15,9
вторник 27/170 15,9
среда 31/170 18,2
четверг 30/170 17,6
пятница 28/170 16,5
воскресенье 27/170 15,9
Для сравнения моделей по точности прогноза используется MCS-тест (Model Confidence Set), введенный в работе [Hansen et al., 2011]1. Этот тест позволяет учесть несовершенство данных, и, при его наличии, выбирается не одна, а несколько моделей, которые в равной степени лучше прочих.
В качестве метрик ошибки в MCS-тесте в работе используются три различные функции потерь:
(2) MSE = (RVk - hk)2,
(3) MAE = |RVk - hk\,
1 Выбран уровень значимости 0,01.
(4) MAPE =
RV - h
RVk
100%,
где hk - прогноз на момент времени k; RVk - значение реализованной волатильности
в день k. Тест проводится на уровне значимости 0,01.
Сравнение производится по метрикам (2)-(4) для GARCH-моделей и (2)-(3) для HAR-моделей.
В работе рассмотрено 810 моделей типа GARCH и 46312 HAR-моделей трех типов. Поскольку MCS-тест является требовательным к мощности компьютера, то для сокращения времени расчетов используется следующая процедура. Для каждого типа моделей отбирались 400 лучших, т.е. с наименьшими значениями средних значений ошибок, после чего отобранные модели сравнивались MCS-тестом. Для сокращения объема таблиц результатов приводятся только значения функций потерь для наилучшей из моделей, отобранных MCS-тестом.
3.1. GARCH-модели
Все GARCH-модели рассматриваются с AR(1)-частью для доходностей (среднее значение равно нулю):
rt = ф Г, +Б,,
где rt - доходность в момент t; ф - параметр. Предварительный анализ AR-моделей показал, что лаги выше второго незначимы. В скользящих окнах и параметр ф, как правило, оказывается незначимым, но он включен в модель для более корректного оценивания параметров GARCH-моделей. В работе [Angelidis, 2004] также отмечается, что оценки параметров волатильности в GARCH-моделях практически не зависят от порядка AR-спе-цификации.
Для оценивания GARCH-моделей используется метод максимального правдоподобия, с робастными стандартными ошибками и тестами [White, 1982], реализованный в пакете «rugarch» языка R2.
В сравнении участвуют следующие десять GARCH-моделей.
1. Стандартная GARCH( p, q) модель [Bollerslev, 1986].
(5) е t = CTt zt,
q p
(6) ®2t = «о+Zai&1t-i+Zp j J '
i=1 j=1
где а2 - условная дисперсия в момент ?; г - доходность в момент ?; ф, 0, а, в - параметры, оцениваемые методом максимального правдоподобия; 2, - шум, от распределения которого зависит модель (в классической модели 2, ~ г,г,<3 (0,1)).
2 Package «rugarch» (2022). См.: https://cran.r-project.org/web/packages/rugarch/rugarch.pdf
2. Экспоненциальная GARCH-модель - EGARCH [Nelson, 1991].
Эта модель учитывает асимметрию влияния положительных и отрицательных шо-ков. Кроме того, поскольку в уравнении используется логарифм условной дисперсии, то
прогнозное значение условной дисперсии ст] автоматически положительно (в отличие
от GARCH( p, q ) модели).
q p
(7) In (2) = а0 + £[агz,_ + уг (\z,_ \ - E\zt_ |)] + £р}In (2_} )
i=1 j=1
(параметры p, q , a0 и векторы а, в, у ).
3. Пороговая GJR-GARCH [Glosten et al., 1993].
ч p ils <0
(8) tf2 = a0 + £( + Y i/-i ) + £ p j a2- y, где I- l = t - °
i=1 j=1 1°' st - 0
(параметры p, q , a0 и векторы a, в, y ).
4. Асимметричная степенная ARCH-APARCH [Ding et al., 1993]:
(9) ^ = ao + £а. (е,-у. e,- ) + £ вj а^
i=1
(параметры p, q , a0, X и векторы a, в, у ).
J
J=1
5. Component sGARCH-csGARCH [Lee, Engle, 1999].
Эта модель раскладывает условную дисперсию на постоянную и временную компоненты, чтобы исследовать долгосрочные и краткосрочные движения волатильностей.
Ч р
(10) ^ = Чг + £«> - Чг- ) + £Р у (- у - Чг - у )
¿=1 ]=1
С11) = w + рд{+ф(б2-! -а2-!)
(параметры р, ц, w, р, ф и векторы а, в ), где qt - постоянная компонента условной дисперсии. Разница между условной дисперсией и ее трендом — qt_) является временной (транзитивной) компонентой условной дисперсии. 6. ALLGARCH-HGARCH [НеШзЛе1, 1995].
(12) а] = ^ + £а, а]_г- ((- х2г | - х1г (_1 - х2г)) + £ в
I=1 ]=1
(параметры р, ц , w, X и векторы а, в, т1, т2).
7. Asymmetric Absolute Value GARCH, AVGARCH [Taylor, 1986; Schwert, 1990].
q p
(13) at = w + Xa.at((- - Tjj (zt- x2i)) + Xp}at_}
i=1 j=1
(параметры p, q , w и векторы а, P, Xj, т2).
8. Threshold GARCH-TGARCH [Zakoian, 1994].
q p
(14) ct, = w + CT-1 ((-Ti z,-i) + X p j аг - j
i=1 j=1
(параметры p, q , w и векторы a, P, т).
9. Nonlinear ARCH-NARCH [Higgins et al., 1992].
q , p
t = w+Xa- oj- |zt _i|j + X в j 0- j
i=1 j=1
(параметры p, q , w, А, и векторы a, P ).
10. Nonlinear Asymmetric GARCH-NAGARCH [Engle, Ng, 1993]:
q p
(16) a? = w + Xa a?-i (- -тг) + X в j a
i=1 j=1
(параметры p, q , w и векторы a, P, т).
Отметим, что модели 1, 3, 4, 7, 8, 9, 10 являются частными случаями модели 6, при наложении ограничений на параметры. Конечно, значение функции правоподобия при оценке моделей будет наибольшее для модели 6 (без ограничений на параметры). Это, однако, не означает, что полная модель будет наилучшей по точности прогноза.
Каждая из выше перечисленных моделей GARCH-типа оценивается с каждой из девяти моделей условного распределения нормированных ошибок zt = st /ot, приведенных ниже.
1. Стандартное нормальное распределение (norm) с функцией плотности
1
(17) Ф(x) = ^= e 2 .
V 2п
2. Скошенное нормальное распределение (snorm) [O'Hagan, Leonard, 1976], с плотностью параметра, зависящей от параметра скошенности а :
(18) f (x) = 2ф(x)Ф(аx),
где ф( х) и Ф( х) - функция плотности вероятности и функция распределения стандарт-
ной нормальной случайной величины. Дисперсия равна 1 —
2 а2
п 1 + а2
3. Нормальное обратное гауссовское распределение (nig)
\ (о/б2 + (х-|д )2
(19) /(х,0) = а-ехр(^а2 -р2 + Р(х-ц)) ^ 2
п V8 +(х-ц)
где х е Я, параметры а >0, Ре (-а, а), 8 е (0, да), у = у] а2 -р2 , а К1 (w) = 1|exp1 w(и + и-1 )) du - модифицированная функция Бесселя третьего рода с индексом единица.
2(2 2\-3/2
Дисперсия этого распределения равна а 8(а — в ) , для нормировки диспер-
-2 1 2 2
сии на единицу можно взять 8 = а (а — в ) .
4. ^ -распределение Стьюдента фф с V степенями свободы.
(20) f ( x) = -
V + 1 I v+1
V
x
Г| — 1 ( ,-21 2
i+■ Pv
о v-2
Для нормировки дисперсии на единицу полагаем р =-.
V
5. Скошенное ^ -распределение Стьюдента (sstd) имеет плотность
(21) / (* %) = %+%-г [ / (% *) (-* )+/ (* 1 % ) (* )] >
(1, 2 > 0,
где /(х) плотность распределения Стьюдента, I(г) = <! . Параметры £,,Р, V вы-
[0, г < 0,
бираются так, что дисперсия равна единице.
6. Обобщенное распределение ошибок (ged).
-о,5 —
ке 1 в
(22) /(х) = 1к-1 , Л ,
2 рг(-1)
где а, Р, к - параметры расположения, масштаба и формы.
Для нормировки дисперсии на единицу имеем в = 2
-1/k
Г
(-1)
Г
(3k-1)
7. Скошенное обобщенное распределение ошибок (sged).
Функция плотности имеет громоздкий вид и получается из плотности обобщенного распределения ошибок (22) с помощью введения параметра скошенности 2,, аналогично (21).
8. Johnson's reparametrized SU распределение (jsu).
Первая версия распределения - Johnson's SU-распределение было предложено Джонсоном [Johnson, 1949]. Репараметризация увеличивает куртозис, но, при том, сохраняет математическое ожидание и дисперсию обычного Johnson's SU.
(23)
f ( z) = -
n1+
z -т
n
л2
■Ф
С С -
Y + 6 sh-1 —
К П ))
(параметры 0, п, т, V; функция ф - плотность стандартного нормального распределения). 9. Обобщенное гиперболическое распределение ^ур).
(у / 8) KX-1/2 I а (24) f (x; X, ав, 8, ц )= U '--
^82 + (x -ц )2
3 ( х-ц)
^ (8Y) ^82 + (x -ц)2/а}'
\1/2-Х
где Кх - модифицированная функция Бесселя третьего рода порядка X; 5 - коэффициент масштаба; в - коэффициент ассиметрии. При X <0, 8 >0, у > 0, при X = 0, 5 >0, у >0, при X >0, 8>0, у >0.
Отметим, что все распределения 1-9 используются в нормированном виде - со средним ноль и дисперсией единица, что соответствует случайной величине zt в декомпозиции (5) ошибки .
3.2. HAR-модели
В основе HAR-моделей [Сога, 2009] лежит предположение о неоднородности (гетерогенности) рынка. Эти модели используют дневную, недельную и месячную компонеты волатильности и позволяют учесть длинную память волатильности и ее устойчивость, одностороннее влияние долгосрочной волатильности на краткосрочную. В HAR-моделях рассматриваются оценки ненаблюдаемых волатильностей, а именно, реализованные дисперсии, которые являются квадратами реализованных волатильностей. Модели этого семейства позволяют учесть неоднородность рынка и влияние на моделируемые величины
дневных, недельных и месячных лагов реализованной волатильности. В данный момент HAR-модели являются, вероятно, наилучшими инструментами для моделирования RV, что было также показано в работах [Soucek, Todorova, 2014; Lahaye, Shaw, 2014].
Так как HAR-модели были созданы для моделирования и прогнозирования классических рынков, принято использовать параметры (1,5,21) [Craioveanu, Hillebrand, 2012], эффективность которых была показана в работе [Andersen et al., 2007]. Однако, так как в данной работе изучается Bitcoin, торгуемый 7 дней в неделю (в работе рассматривается 6 для сравнимости с E-mini S&P 500), исследуются также и другие порядки лагов.
В работе для оценивания HAR-моделей применяется пакет «highfrequency» языка
R3. В описании моделей типа HAR ниже используется RV? - реализованная дисперсия в день t, квадрат реализованной волатильности (1)-(1b); ее средние за недельный и месячный периоды вычисляются по формулам
1 w-1 1 m-1
(25) RV; = - £ RVf- j , RVtm = - £ RV?- ] .
w j=0 m ]=0
В стандартной HAR-RV-модели [Corsi, 2009] для фондового индекса используются w = 5, m = 21. Поскольку торговля криптовалютой отличается от обычной биржевой торговли, то в данной работе используются все пары (m, w), где 4 < w < 7 и 21 < m < 27.
В обобщениях HAR-моделей участвуют:
• Realized bipower variation. Эта величина является альтернативной оценкой реализованной дисперсии, робастной при наличии редких скачков [Barndorff-Nielsen, She-pard, 2004]:
N-1
(26) BPVt = r;
j=i
• Realized quarticity участвует в оценке точности реализованной волатильности. Включение ее в HAR-модель позволяет учесть влияния скачков реализованной волатильности [Corsi et al., 2005]:/
N N
(27) RQt = N £j.
3 j=1
• Jump [Barndorff-Nielsen, Shepard, 2004] является оценкой квадратичной вариации компоненты скачков:
(28) Jt = max(RV? -BPVt, 0).
• Continuous sample path представляет непрерывную компоненту RV [Andersen et
al., 2007]:
(29) Ct = RV? - Jt.
3 Package «highfrequency» (2022). См.: https://cran.r-project.org/web/packages/highfrequency/ highfrequency.pdf
Поскольку есть пропуски в данных, то к вычислению BPVt (26), RQt (27) применяется нормировка, аналогичная нормировке (1b) для реализованной дисперсии.
Средние значения BPVt, RQt, Jt за неделю и месяц вычисляются аналогично (26).
Заметим, что для HAR-модели проводится перебор двух параметров - недельная компонента принимает 4 различных значения, а месячная компонента 7 значений, таким образом, получается 4 х 7 = 28 конфигураций моделей. Аналогично, HARQJ содержит 3 компоненты, каждая из которых имеет 2 параметра (недельный и месячный), таким образом, проводится перебор по 3 параметрам, принимающим 4 значения, и 3 параметрам, принимающим 7 значений, и получается 4 х 4 х 4 х 7 х 7 х 7 = 21952 моделей. В целом, с перебором всех параметров гетерогенности m, w всех моделей рассматривается 46312 моделей для каждого из исследуемых рядов данных.
Так как сама реализованная волатильность обладает логнормальным распределением, рассматривается также и логарифмическая спецификация всех моделей, т.е. вместо всех исходных величин берутся их натуральные логарифмы. Другой подход заключается в моделировании стандартных отклонений, т.е. корней из реализованной дисперсии (корневая спецификация). В работе оцениваются следующие модели, а также их логарифмическая и корневая спецификации, таким образом в работе оценивается 138936 (46312 х 3) различных моделей типа HAR:
1. HAR (w,m) [Corsi, 2009]:
RVf+i = во +р 2 RVtw + вз RVtm +St+1.
2. HARJ (w,m) с порядком BPV ( w1, m1 ) - HAR со скачками [Andersen et al., 2007]:
RVt+i = во + в iRVf + в 2RVtw + вз RVr + в 4 J + Ps JW1 + вб J? + et+1.
3. HARCJ (w,m) с порядком BPV ( w1, m1 ) - HAR with Jump and Continuous sample Path [Andersen et al., 2007]:
Rvth=во+PiC+p2cw+вз cm+в 4 j+Ps JW+вб Jm+et+1.
4. HARQ (w,m) с порядком RQ ( w1,m1 ) - HAR with Realized Quarticity. В пакете реализована модель, являющаяся модификацией модели из работы [Bollerslev et al., 2016]:
RVtd+1 = p0 + eW + p 2rv; + Рз RVtm + P4 RQt + PsRQ;1 + p6 RQt"1 + Et+1.
5. HARQJ(w,m) с порядками BPV ( w1, m1 ) и RQ ( w2,m2 ) - HAR with Realized Quarticity and Jump [Bollerslev et al., 2016]:
RVtd+i = p0 + p iRVf + p2 RVtw + Рз RVtm + P 4 Jt + Ps J + Рб JT + + P7 RQt + P8 RQW2 +P9 RQT2 + e,+1.
6. CHAR(w,m) - HAR with Continuous sample path [Andersen et al., 2007]. В данной модели Ct соответствует непрерывному компоненту RVtd и оценивается как BPVt :
RVtd+i = во + Pi BPVf + в 2 BPVtw + вз ВРУГ + 8г+1.
7. CHARQ (w,m) с порядком RQ ( w1, mx ) - HAR with Realized Quarticity and Continuous
sample path. В пакете реализована модель, являющаяся модификацией модели из работы [Bollerslev et al., 2016]:
RVf+1 = p0 + Pi J? + P 2 + Рз Jm + P 4 RQ? + Ps RQW + p6 RQm + Et+1.
В логарифмической и корневой спецификациях вместо RVtd и прочих составляющих RQt, BPVt, Jt берутся соответственно In (RVf ) и ^RVf .
4. Результаты
В табл. 2 приведены лучшие модели для реализованных волатильностей исследуемых процессов. В первом столбце указана метрика и количество отобранных в этой метрике MCS-тестом моделей. В столбце «Лучшие модели» находятся модели с наименьшей погрешностью в указанной метрике из всех отобранных в этой метрике MCS-тестом моделей. Последние два столбца показывают соответствующие погрешности выбранных моделей. Строка Benchmark содержит значения погрешностей MAE, MAPE для «эталонных» моделей GARCH(1,1)-norm и HAR_RV(5,21) или их модификаций с In(rVtd ) и •sjRV/ .
4.1. Bitcoin. GARCH
Далее представлены лучшие GARCH-модели для прогноза реализованной вола-тильности Bitcoin.
Как можно видеть из табл. 2, наилучшая GARCH-модель для Bitcoin обладает MAPE больше 30%, а модели с наименьшими показателями погрешностей отобраны в MAPE и MAE-метриках.
Таблица 2.
Лучшие GARCH-модели для прогноза реализованной волатильности Bitcoin
Лучшие модели MAE MAPE, %
Метрика, количество отобранных
MCS-тестом моделей:
MAE, 1 csGARCH(1,0)-snorm 0,01277 33,45
MSE, 7 csGARCH(2,2)-snorm 0,01415 46,11
MAPE, 1 csGARCH(1,0)-ged 0,01277 33,45
Benchmark GARCH(1,1)-norm 0,01521 49,51
Также среди всех отобранных моделей наблюдаются только модели csGARCH со скошенным нормальным распределением и обощенным распределением ошибок. ВепЛ-тагк-модель уступает всем выбранным моделям.
4.2. Bitcoin. HAR-RV
В табл. 3 представлены лучшие модели среди HAR-RV для прогноза реализованной волатильности Вксот. Модели, выбранные в метриках MSE и МАРЕ, совпадают. Однако они хуже большей части отобранных GARCH-моделей с точки зрения точности прогноза. ВепЛтагк-модель сопоставима с отобранными во всех метриках моделями.
Таблица 3.
Лучшие HAR-RV-модели для прогноза реализованной волатильности Bitcoin
Лучшие модели
MAE
MAPE, %
Метрика, количество отобранных MCS-тестом моделей
MAE, 400
MSE, 400
MAPE, 400
HARJ_RV(7,27)_BPV(7,26) 0,01376 45,92
HAR_RV(4,21) 0,01377 45,20
HAR_RV(4,21) 0,01377 45,20
Benchmark
HAR_RV(5,21)
0,01399
45,72
В табл. 4 представлены лучшие модели из . Средние относительные по-
грешности близки друг к другу, и среди отобранных моделей присутствуют только модели с учетом скачка - HARJ. В целом средние относительные погрешности меньше, чем для линейной спецификации и составляют порядка 33,4%. Это сопоставимо с лучшими GARCH-моделями и немного превосходит их. Модели, отобранные по метрикам MSE и МАРЕ, совпадают. ВепЛтагк-модель несколько уступает всем выбранным моделям.
Таблица 4.
Лучшие HAR-^/ ИУ -модели для прогноза реализованной волатильности Bitcoin
Лучшие модели
MAE
MAPE, %
Метрика, количество отобранных MCS-тестом моделей:
MAE, 9
MSE, 27
MAPE, 166
HARJ_RV(6,27)_BPV(7,24) 0,01193 33,46
HARJ_RV(6,27)_BPV(5,23) 0,01200 33,34
HARJ_RV(6,27)_BPV(5,23) 0,01200 33,34
Benchmark
HAR_RV(5,21)
0,01227
34,00
В табл. 5 представлены лучшие модели из HAR-ln(RV). Результаты данных моделей лучше прогнозов классических HAR-RV и GARCH-моделей, их средние относительные погрешности составляют около 30%. В MAE и MSE отобрано всего по одной модели семейства CHARQ, в то время как в MAPE выбрано множество равномощных моделей. В основном выбраны модели с порядком RV части 27 и порядком RQ части 24. Benchmark-мо-дель несколько уступает всем выбранным моделям.
Таблица 5.
Лучшие HAR-lnCRVj-модели для прогноза реализованной волатильности Bitcoin
Лучшие модели MAE MAPE, %
Метрика, количество отобранных MCS-тестом моделей:
MAE, 1 CHARQ_RV(5,27)_BPV(4,26)_RQ(5,24) 0,01146 29,74
MSE, 1 CHARQ_RV(7,27)_BPV(6,24)_RQ(7,22) 0,01155 30,25
MAPE, 94 HARQJ_RV(5,27)_BPV(4,21)_RQ(6,24) 0,01165 29,51
Benchmark HAR_RV(5,21) 0,01192 30,51
На рис. 4 представлены реализованная волатильность Вксот и две модели из семейств GARCH и HAR-ln(RV], которые определены как лучшие MCS-тестом и отобраны как модели с наименьшей средней относительной погрешностью. График построен в логарифмических шкалах. Как можно видеть, HAR-модель лучше и точнее моделирует пики и всплески исследуемого ряда данных, в то время как GARCH-модель скорее усредняет данные, как правило, слабо улавливая пики. Для GARCH-модели средняя относительная погрешность прогноза равна 48% в периоды малой волатильности (меньше 0,025) против 34% в периоды большей волатильности (более 0,045). Для HAR-модели средняя относительная погрешность прогноза равна 40 и 34% соответственно. Таким образом можно сказать, что в периоды большей волатильности модели показали более хорошие прогнозные способности.
Для визуализации точности прогноза на рис. 5 представлена диаграмма рассеяния для реализованной волатильности Вксот и ее прогноза по лучшей из GARCH и HAR-моделей. График также представлен в логарифмических шкалах.
В целом лучше всего себя показали логарифмические спецификации HAR-моде-лей, что согласуется с тем, что реализованные волатильности имеют логнормальное распределение, и с результатами, полученными в работе [Аганин, 2017]. Точность прогноза 30%, вероятно, не является впечатляющей, однако модели показывают свою пригодность к моделированию процесса с точки зрения отражения основных закономерностей и трендов, что в дальнейшем может быть применено, например, в гибридных нейро-сетевых моделях.
0.128 -1-1-1-^-'-'-1-1-1-I-1-1-1-1-1-г
гч п 1—< N гч гч п гч гч гч гч п гч 1—1 Г4 гч I—I гч гч ГЧ
1 О ■ о СО С о 1 м 1 п О ■ 3 1 •с Г: оо с о 1 гч 1 гч о I ПО 1 о у со с- о га
Он о. С\ сл о п о гч О гч о гч о гч гч Г-1 гч г-4 гч г—< гч 1—4 гч гч
гч м гч гч гч гч гч гч гч гч гч гч п гч
БИсош геОАКСН ( 1 о ) - гес — НАЕК^ ИУ(3 27) ВРУ (4, 21) RQ ( 6, 24)
Рис. 4. Черная сплошная линия - реализованная волатильность Вксот, пунктир и серая - ее прогнозы по лучшим GARCH и HAR-моделям
о о 0<Ь_ о ° о „0 по
О ° оо% ° сР О О о
® с о о ьФ* о = °«, о о° 5 °
о ° о о
0.008 0.016 0.032 0.064 0.128
Рис. 5. Диаграмма рассеяния. По горизонтали - реализованная волатильность В^сот, по вертикали ее прогноз по модели HARQJ_RV[5,27)_BPV[4,21)_RQ[6,24)
4.3. E-mini S&P 500. GARCH
В табл. 6 представлены лучшие GARCH-модели для реализованной волатильности фьючерса Е-тш S&P 500. Как можно видеть, относительные погрешности больше соответствующих погрешностей для Вксот. (Абсолютные погрешности меньше, просто по той причине, что волатильность Вксот выше, чем волатильность фьючерса, см. рис. 3).
В целом, результаты схожи с результатами для Вксот, вероятно, для практических целей точность моделей недостаточна, однако они неплохо способны улавливать основные паттерны поведения исследуемых рядов, что может быть применено в гибридных моделях. Также стоит отметить, что единственная модель, отобранная в метрике МАРЕ, имеет наименьшую из всех погрешность 47,2% и является моделью csGARCH со скошенным нормальным распределением остатков. Веп^тагк-модель уступает выбранным моделям.
Таблица 6.
Лучшие GARCH-модели для прогноза реализованной волатильности E-mini S&P 500
Лучшие модели
MAE
MAPE, %
Метрика, количество отобранных MCS-тестом моделей:
MAE, 7
MSE, 47
MAPE, 1
NAGARCH(1,2)-std 0,004029 54,80
NAGARCH(1,2)-jsu 0,004081 58,10
csGARCH(1,0)-snorm 0,004178 47,18
Benchmark
GARCH(1,1)-norm
0,004623
61,97
4.4. E-mini S&P 500. HAR
В табл. 7 приведены результаты лучших HAR-RV для прогнозирования реализованной волатильности Е-тш S&P 500. Во всех метриках в качестве лучших выбраны HARJ-модели. Все модели практически равномощны, однако модели, отобранные в метрике МАРЕ, обладают несколько меньшими значениями относительных погрешностей. Все модели имеют большие средние относительные погрешности порядка 50%. Что, впрочем, меньше, чем погрешности для большинства отобранных GARCH-моделей. ВепЛ-тагк-модель несколько уступает всем выбранным моделям.
Таблица 7.
Лучшие HAR-RV-модели для прогноза реализованной волатильности E-mini S&P 500
Лучшие модели
MAE
MAPE, %
Метрика, количество отобранных MCS-тестом моделей: MAE, 41 MSE, 54 MAPE, 4
HARJ_RV(4,25)_BPV(7,22) 0,003819 50,82
HARJ_RV(4,25)_BPV(5,26) 0,003823 51,76
HARJ_RV(5,26)_BPV(7,22) 0,003884 47,69
Benchmark
HAR_RV(5,21)
0,003883
52,13
Лучшие модели среди HAR- -моделей для прогнозирования реализованной во-латильности E-mini S&P 500 представлены в табл. 8. Выбраны в основном HARQJ-модели, и нельзя однозначно определить общий порядок всех компонент, так как среди множества выбранных моделей присутствуют компоненты всех порядков. Как можно видеть, погрешности значительно снизились относительно погрешностей классических HAR-RV (табл. 7) и составляют около 41%, кроме единственной модели, выбранной в метрике MAPE, ее погрешность составляет 39,6%. Benchmark-модель уступает всем выбранным моделям. С точки зрения MCS-теста все 400 моделей по метрике MAE примерно равноценны.
Таблица 8.
Лучшие HAR-VRV -модели для прогноза реализованной волатильности E-mini S&P 500
Лучшие модели
MAE
MAPE, %
Метрика, количество отобранных MCS-тестом моделей:
MAE, 400
MSE, 159
MAPE, 1
HARQJ_RV(7,24)_BPV(4,25)_RQ(7,26) 0,003146 40,44 HARQJ_RV(7,23)_BPV(5,24)_RQ(5,25) 0,003186 41,23 CHARQ_RV(5,24)_BPV(7,27)_RQ(4,22) 0,003328 39,59
Benchmark
HAR_RV(5,21)
0,003464
41,40
Результаты для HAR-ln(RV)-моделей представлены в табл. 9. Логарифмическая спецификация моделей позволила улучшить получаемые прогнозы, средние относительные погрешности снизились в среднем до 36-37%. Benchmark-модель уступает всем выбранным моделям. С точки зрения MCS-теста все 400 моделей по метрикам MAE и MSE примерно равноценны.
Таблица 9.
Лучшие HAR-lnCRVj-модели для прогноза реализованной волатильности E-mini S&P 500
Лучшие модели
MAE
MAPE, %
Метрика, количество отобранных MCS-тестом моделей:
MAE, 400
MSE, 400
MAPE, 3
HARCJ_RV(5,27)_BPV(5,24) 0,003211 36,37
HARCJ_RV(5,27)_BPV(4,24) 0,003216 36,38
CHAR_RV(5,24) 0,003377 36,12
Benchmark
HAR_RV(5,21)
0,003452
37,19
На рис. 6 представлены в логарифмической шкале реализованная волатильность Е-тт S&P 500 и ее прогноз по двум моделям из семейств GARCH и HAR-ln(RV), которые определены как лучшие MCS-тестом и отобраны как модели с наименьшей средней от-
носительной погрешностью. HAR-модель значительно лучше и точнее моделирует пик исследуемого ряда данных, в то время как GARCH-модель усредняет значения, показывая основную динамику процесса. Отметим, что, парадоксально, относительная погрешность прогноза реализованной волатильности Е-тш S&P 500 несколько ниже, чем Вйсот.
Для визуализации точности прогноза на рис. 7 представлена диаграмма рассеяния для реализованной волатильности Е-тш S&P 500 и ее прогноза по лучшей из GARCH и НАЛ-моделей. График также представлен в логарифмических шкалах.
Рис. 6. Черная сплошная линия - реализованная волатильность Е-тШ S&P 500, пунктир и серая - ее прогнозы по лучшим GARCH и HAR-моделям
0.128
0.064
0.032
0.016
0.008
0.004
0.002
0.001
о о
4 /л ~ ии и о о
о" £ ш 30%
о< Ясо°1 о <ё оо
о о
0.001 0.002 0.004 0.008 0.016 0.032 0.064 0.128
Рис. 7. Диаграмма рассеяния. По горизонтали - реализованная волатильность Е-тШ S&P 500, по вертикали - ее прогноз по модели CHAR_RV(5,24)
В целом, по полученным моделям нельзя однозначно определить оптимальные порядки компонент w, m , полученные для близких значений порядков результаты почти
не различаются. Лучшими с точки зрения величины средней относительной погрешности являются логарифмические спецификации HAR-моделей, что согласуется с тем, что реализованные волатильности имеют логнормальное распределение и с результатами, полученными в работе [Аганин, 2017].
Таким образом, наилучшая по точности модель позволила достичь средней относительной погрешности в 36%, что, вероятно, неудовлетворительно для решения практических задач прогнозирования, но все же значительно лучше, чем результаты GARCH-моделей для аналогичного ряда данных.
5. Заключение
В работе были получены следующие результаты.
• GARCH-модели уступают HAR-моделям в точности прогноза реализованной во-латильности как Bitcoin, так и E-mini S&P 500.
• Для лучших HAR-моделей относительная точность прогноза реализованной во-латильности Bitcoin выше, чем для E-mini S&P 500. Возможно, это говорит о большей сегментированное™ (гетерогенности) рынка Bitcoin. Наименьшие средние относительные погрешности (MAPE), которых удалось достичь, - 29,51 и 36,12% для Bitcoin и E-mini S&P 500 соответственно.
• Среди всех отобранных моделей семейства GARCH большинство моделей для Bitcoin принадлежат семейству csGARCH. Такие модели позволяют учесть как долгосрочные, так и краткосрочные движения волатильностей. Это может указывать на наличие как долгосрочных, так и краткосрочных зависимостей в Bitcoin.
• Для обоих исследуемых временных рядов лучшие результаты показали модели спецификации HAR-ln(RV), что согласуется с логнормальной природой самой реализованной волатильности.
• Для обоих временных рядов в числе лучших HAR-моделей были выбраны модели, которые учитывают не только гетерогенность рынка, но также непрерывную компоненту и скачки. Такие модели по точности прогноза несколько превосходят стандартную HAR(5,21)-модель. Отметим, что поскольку данные используются по 6 дням в неделю, то месячная компонента в лучших моделях использует 25-27 наблюдений, что как и в стандартной HAR(5,21)-модели соответствует периоду в один месяц.
• Средняя относительная ошибка прогноза по HAR-ln(RV)-моделям для Bitcoin меньше, чем для E-mini S&P 500 (29,5 и 36,1% соответственно).
• Средняя относительная ошибка прогноза по GARCH-моделям для Bitcoin также меньше, чем для E-mini S&P 500 (33,5 и 47,2% соответственно).
Полученные результаты о «лучших» GARCH и HAR-моделях могут быть использованы в постоении гибридных моделей машинного обучения, которые в последнее время активно развиваются (см., например: [Kim, Won, 2018; Shen Z. et al., 2021]).
* * *
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
Аганин А.Д. Сравнение GARCH и HAR-RV моделей для прогноза реализованной волатиль-ности на российском рынке // Прикладная эконометрика. 2017. 48. С. 63-84.
Маневич ВА, Пересецкий АА, Погорелова П.В. Волатильность фондового рынка и волатильность криптовалют // Прикладная эконометрика. 2022. 65. С. 65-76. DOI: 10.22394/1993-7601-2022-65-65-76 Andersen T.G., BoHersIev T. Answering the Skeptics: Yes, Standard Volatility Models Do Provide Accurate Forecasts // International Economic Review. 1998. 39 (4). P. 885-905. DOI: 10.2307/2527343
Andersen T., BoIIersIev T., DieboId F.X. Roughing it up: Including Jump Components in Measuring, Modeling and Forecasting Asset Return Volatility // Review of Economics and Statistics. 2007. 89 (4). P. 701-720. DOI: 10.1162/rest.89.4.701
AngeIidis T., Benos A., Degiannakis S. The Use of GARCH Models in VaR Estimation // Statistical Methodology. 2004. 1. P. 105-128.
Barndorff-NieIsen O.E., Shepard N. Power and Bipower Variation with Stochastic Volatility and Jumps // Journal of Financial Econometrics. 2004. 2 (1). P. 1-37. DOI: 10.1093/jjfinec/nbh001
BergsIi L.0., Lind F.A., MoInar P., PoIasikc M. Forecasting Volatility of Bitcoin // Research in International Business and Finance. 2022. 59. 101540. DOI: 10.1016/j.ribaf.2021.101540
BoIIersIev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity // Journal of Econometrics. 1986. 31. P. 307-327. DOI: 10.1016/0304-4076(86)90063-1
BoIIersIev T., Patton A.J., QuaedvIieg R. Exploiting the Errors: A Simple Approach for Improved Volatility Forecasting // Journal of Econometrics. 2016. 192. P. 1-18. DOI: 10.1016/j.jeconom.2015.10.007
CaporaIe G.M., ZekokhT. Modelling Volatility of Cryptocurrencies Using Markov-Switching GARCH Models // Research in International Business and Finance. 2019. 48. P. 143-155. DOI: 10.1016/j.ribaf.2018.12.009 Chen S., Chen C., HärdIe W.K., Lee T.M., Ong B. A First Econometric Analysis of the CRIX Family. Humboldt-Universität zu Berlin. 2016. B 649 Discussion Paper 2016-031. DOI: 10.2139/ssrn.2832099
ChkiIi W. Modeling Bitcoin Price Volatility: Long Memory vs Markov Switching // Eurasian Economic Review. 2021. 11. P. 433-448. DOI: 10.1007/s40822-021-00180-7
Corsi F. A Simple Approximate Long-memory Model of Realized Volatility // Journal of Financial Econometrics. 2009. 7 (2). P. 174-196. DOI: 10.1093/jjfinec/nbp001
Corsi F., Mittnik S., Pigorsch C., Pigorsch U. The Volatility of Realized Volatility: CFS Working Paper. № 2005/33, Goethe University Frankfurt, 2005. DOI: 10.1080/07474930701853616
Craioveanu M., HiIIebrand E. Why it Is OK to Use the HAR-RV(1,5,21) Model: Working Papers № 1201. University of Central Missouri, 2012.
Ding Z., Granger C.W.J., EngIe R.F. A Long Memory Property of Stock Market Returns and a New Model // Journal of Empirical Finance. 1993. 1 (1). P. 83-106. DOI: 10.1016/0927-5398(93)90006-d
EngIe R.F., Ng V.K. Measuring and Testing the Impact of News on Volatility // The Journal of Finance. 1993. 48 (5). P. 1749-1778. DOI: 10.2307/2329066
GIosten L.R., Jagannathan R., RunkIe D.E. On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks // Journal of Finance. 1993. 48 (5). P. 1779-1801. DOI: 10.1111/j.1540-6261.1993.tb05128.x
GronwaId M. The Economics of Bitcoins Market Characteristics and Price Jumps: CESifo Working Paper Series. 2014. № 5121. DOI: 10.2139/ssrn.2548999
Hansen P., Lunde A., Nason J. The Model Confidence Set // Econometrica. 2011. 79 (2), P. 453-497. DOI: 10.2139/ssrn.522382
HentscheI L. All in the Family Nesting Symmetric and Asymmetric GARCH Models // Journal of Financial Economics. 1995. 39 (1). P. 71-104. DOI: 10.1016/0304-405x(94)00821-h
Higgins M.L., Bera A.K. A Class of Nonlinear ARCH Models // International Economic Review. 1992. 33 (1). P. 137-158. DOI: 10.2307/2526988
Johnson N. System of Frequency Curves Generated by Method of Translation // Biometrika. 1949. 36. P. 149-176.
Kaya Soylu P., Okur M., Qatikkas O., Altintig Z.A. Long Memory in the Volatility of Selected Crypto-currencies: Bitcoin, Ethereum and Ripple // Journal of Risk and Financial Management. 2020. 13 (6). P. 107. DOI: 10.3390/jrfm13060107
Kim H.Y., Won C.H. Forecasting the Volatility of Stock Price Index: A Hybrid Model Integrating LSTM with Multiple GARCH-type Models // Expert Systems with Applications. 2018. 103. P. 25-37. DOI: 10.1016/j.eswa.2018.03.002
Kisinbay T. Predictive Ability of Asymmetric Volatility Models at Medium-Term Horizons // Applied Economics. 2010. 42. P. 3813-3829. DOI: 10.1080/00036840802360211
Lahaye J., Shaw P. Can We Reject Linearity in an HAR-RV Model for the S&P 500? Insights from a Nonparametric HAR-RV // Economics Letters. 2014. 125 (1). P. 43-46. DOI: 10.1016/j.econlet.2014.07.003
Lee G.J., Engle R.F. A Permanent and Transitory Component Model of Stock Return Volatility // Cointegration Causality and Forecasting: A Festschrift in Honor of Clive W.J. Granger. Oxford University Press, 1999. P. 475-497.
Mastro D. Forecasting Realized Volatility: ARCH-Type Models vs. the HAR-RV Model: Dissertation. London: Kingston University, 2014. DOI: 10.2139/ssrn.2519107
Nelson D. Conditional Heteroskedasticity and Asset Returns: A New Approach // Econometrica. 1991. 59. P. 347-370. DOI: 10.2307/2938260
O'Hagan A., Leonard T. Bayes Estimation Subject to Uncertainty about Parameter Constraints // Biometrika. 1976. 63 (1). P. 201-203. DOI: 10.1093/BIOMET/63.1.201
Panagiotidis T., Papapanagiotou G., Stengos T. On the Volatility of Cryptocurrencies // Research in International Business and Finance. 2022. 62. 101724. DOI: 10.1016/j.ribaf.2022.101724
Pichl L., Kaizoji T. Volatility Analysis of Bitcoin Price Time Series // Quantitative Finance and Economics. 2017. 1 (4). P. 474-485. DOI: 10.3934/QFE.2017.4.474
Schwert G.W. Stock Volatility and the Crash of '87 // Review of Financial Studies. 1990. 3 (1). P. 77102.
Segnon M., Bekiros S. Forecasting Volatility in Bitcoin Market // Annals of Finance. 2020. Doi: 10.1007/s10436-020-00368-y
Shen Z, Wan Q, Leatham D.J. Bitcoin Return Volatility Forecasting: A Comparative Study between GARCH and RNN // Journal of Risk and Financial Management. 2021. 14 (7). P. 337. DOI: 10.3390/jrfm14070337 Soucek M., Todorova N. Realized Volatility Transmission: The Role of Jumps and Leverage Effects // Economics Letters. 2014. 122 (2). P. 111-115. DOI: 10.1016/j.econlet.2013.11.007 Taylor S.J. Modelling Financial Time Series. Wiley, 1986.
White H. Maximum Likelihood Estimation of Misspecified Models // Econometrica: Journal of the Econometric Society. 1982. 50(1). P. 1-25.
Zakoian J.-M. Threshold Heteroskedastic Models // Journal of Economic Dynamics and Control. 1994. 18 (5). P. 931-955. DOI: 10.1016/0165-1889(94)90039-6
Comparison of Cryptocurrency and Stock Market Volatility Forecast Models
Artem Aganin1, Vyacheslav Manevich2, Anatoly Peresetsky3, Polina Pogorelova4
1 Independent researcher E-mail: artyomaganin@gmail.com
2 National Research University Higher School of Economics, 11, Pokrovsky Boulevard, Moscow, 109028, Russian Federation.
E-mail: vip137@mail.ru
3 National Research University Higher School of Economics, 11, Pokrovsky Boulevard, Moscow, 109028, Russian Federation.
E-mail: aperesetsky@hse.ru
4 National Research University Higher School of Economics, 11, Pokrovsky Boulevard, Moscow, 109028, Russian Federation.
E-mail: pvpogorelova@hse.ru
The article compares GAROT and HAR models for 1 day ahead forecasting performance of the realized volatility of financial series. As an example, the cryptocurrency with the largest capitalization, Bitcoin, was chosen. Its realized volatility is calculated from intraday (24 hours) data, using the closing values of five-minute trading intervals. The paper proposes a method for calculating realized volatility for the case of gaps in 5-minute intraday data. This makes it possible to achieve comparability of the daily values of the realized volatility of assets with different trading times. All days of the week are almost equally present among the days selected for forecasting. For comparison, a stock market asset was chosen, E-mini S&P 500, a futures contract that is traded 23 hours a day. We use data from 01/01/2018 to 12/29/2021. Since there could be (and were) structural changes in the markets in this interval, the models are evaluated in rolling windows 399 days long. For each series 810 GARCH models and 46312 HAR models are compared. The MCS test is used to select the best models (at the significance level of 0,01). It is shown that GARCH models are inferior to HAR models in the accuracy of forecasting both the realized volatility of Bitcoin and the E-mini S&P 500. At the same time, the relative accuracy of the forecast of the realized volatility of Bitcoin is higher than the accuracy of the forecast of the realized volatility of the E-mini S&P 500 futures. The smallest relative errors for Bitcoin and E-mini S&P 500 realized volatility forecasts are 29,51% and 36,12%, respectively.
Key words: bitcoin; cryptocurrency; realized volatility; E-mini S&P 500; GARCH model; HAR-RV model.
JEL Classification: C32; C58; G15; G17.
* * *
References
Aganin A. (2017) Forecast Comparison of Volatility Models on Russian Stock Market. Applied Econometrics, 48, pp. 63-84. (In Russ.)
Andersen T.G., Bollerslev T. (1998) Answering the Skeptics: Yes, Standard Volatility Models Do Provide Accurate Forecasts. International Economic Review, 39, 4, pp. 885-905. DOI: 10.2307/2527343
Andersen T., Bollerslev T., Diebold F.X. (2007) Roughing it up: Including Jump Components in Measuring, Modeling and Forecasting Asset Return Volatility. Review of Economics and Statistics, 89, 4, pp. 701-720. DOI: 10.1162/rest.89.4.701
Angelidis T., Benos A., Degiannakis S. (2004) The Use of GARCH Models in VaR Estimation. Statistical Methodology, 1, pp. 105-128.
Barndorff-Nielsen O.E., Shepard N. (2004) Power and Bipower Variation with Stochastic Volatility and Jumps. Journal of Financial Econometrics, 2, 1, pp. 1-37. DOI: 10.1093/jjfinec/nbh001
Bergsli L.0., Lind F.A., Molnar P., Polasikc M. (2022) Forecasting Volatility of Bitcoin. Research in International Business and Finance, 59, 101540. DOI: 10.1016/j.ribaf.2021.101540
Bollerslev T. (1986) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31, pp. 307-327. DOI: 10.1016/0304-4076(86)90063-1
Bollerslev T., Patton A.J., Quaedvlieg R. (2016) Exploiting the Errors: A Simple Approach for Improved Volatility Forecasting. Journal of Econometrics, 192, pp. 1-18. DOI: 10.1016/j.jeconom.2015.10.007
Caporale G.M., ZekokhT. (2019) Modelling Volatility of Cryptocurrencies Using Markov-Switching GARCH Models. Research in International Business and Finance, 48, pp. 143-155. DOI: 10.1016/j.ribaf.2018.12.009 Chen S., Chen C., Härdle W.K., Lee T.M., Ong B. (2016) A First Econometric Analysis of the CRIX Family. Humboldt-Universität zu Berlin. B 649 Discussion Paper 2016-031. DOI: 10.2139/ssrn.2832099
Chkili W. (2021) Modeling Bitcoin Price Volatility: Long Memory vs Markov Switching. Eurasian Economic Review, 11, pp. 433-448. DOI: 10.1007/s40822-021-00180-7
Corsi F. (2009) A Simple Approximate Long-memory Model of Realized Volatility. Journal of Financial Econometrics, 7, 2, pp. 174-196. DOI: 10.1093/jjfinec/nbp001
Corsi F., Mittnik S., Pigorsch C., Pigorsch U. (2005) The Volatility of Realized Volatility. CFS Working Paper, no 2005/33, Goethe University Frankfurt. DOI: 10.1080/07474930701853616
Craioveanu M., Hillebrand E. (2012) Why it Is OK to Use the HAR-RV(1,5,21) Model. Working Papers no 1201. University of Central Missouri.
Ding Z., Granger C.W.J., Engle R.F. (1993) A Long Memory Property of Stock Market Returns and a New Model. Journal of Empirical Finance, 1, 1, pp. 83-106. DOI: 10.1016/0927-5398(93)90006-d
Engle R.F., Ng V.K. (1993) Measuring and Testing the Impact of News on Volatility. The Journal of Finance, 48, 5, pp. 1749-1778. DOI: 10.2307/2329066
Glosten L.R., Jagannathan R., Runkle D.E. (1993) On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks. Journal of Finance, 48, 5, pp. 1779-1801. DOI: 10.1111/j.1540-6261.1993.tb05128.x
Gronwald M. (2014) The Economics of Bitcoins Market Characteristics and Price Jumps. CESifo Working Paper Series, no 5121. DOI: 10.2139/ssrn.2548999
Hansen P., Lunde A., Nason J. (2011) The Model Confidence Set. Econometrica, 79, 2, pp. 453-497. DOI: 10.2139/ssrn.522382
Hentschel L. (1995) All in the Family Nesting Symmetric and Asymmetric GARCH Models. Journal of Financial Economics, 39, 1, pp. 71-104. DOI: 10.1016/0304-405x(94)00821-h
Higgins M.L., Bera A.K. (1992) A Class of Nonlinear ARCH Models. International Economic Review, 33, 1, pp. 137-158. DOI: 10.2307/2526988
Johnson N. (1949) System of Frequency Curves Generated by Method of Translation. Biometrika, 36, pp. 149-176.
Kaya Soylu P., Okur M., Çatikkas O., Altintig Z.A. (2020) Long Memory in the Volatility of Selected Cryptocurrencies: Bitcoin, Ethereum and Ripple. Journal of Risk and Financial Management, 13, 6, p. 107. DOI: 10.3390/jrfm13060107
Kim H.Y., Won C.H. (2018) Forecasting the Volatility of Stock Price Index: A Hybrid Model Integrating LSTM with Multiple GARCH-type Models. Expert Systems with Applications, 103, pp. 25-37. DOI: 10.1016/j.eswa.2018.03.002
Kisinbay T. (2010) Predictive Ability of Asymmetric Volatility Models at Medium-Term Horizons. Applied Economic, 42, pp. 3813-3829. DOI: 10.1080/00036840802360211
Lahaye J., Shaw P. (2014) Can We Reject Linearity in an HAR-RV Model for the S&P 500? Insights from a Nonparametric HAR-RV. Economics Letters, 125, 1, pp. 43-46. DOI: 10.1016/j.econlet.2014.07.003
Lee G.J., Engle R.F. (1999) A Permanent and Transitory Component Model of Stock Return Volatility. Cointegration Causality and Forecasting: A Festschrift in Honor of Clive W.J. Granger. Oxford University Press, pp. 475-497.
Manevich V.A., Peresetsky A.A., Pogorelova P.V. (2022) Stock Market and Cryptocurrency Market Volatility. Applied Econometrics, 65, pp. 65-76. DOI: 10.22394/1993-7601-2022-65-65-76. (In Russ.)
Mastro D. (2014) Forecasting Realized Volatility: ARCH-Type Models vs. the HAR-RV Model. Dissertation. London: Kingston University. DOI: 10.2139/ssrn.2519107
Nelson D. (1991) Conditional Heteroskedasticity and Asset Returns: A New Approach. Econo-metrica, 59, pp. 347-370. DOI: 10.2307/2938260
O'Hagan A., Leonard T. (1976) Bayes Estimation Subject to Uncertainty about Parameter Constraints. Biometrika, 63, 1, pp. 201-203. DOI: 10.1093/BIOMET/63.1.201
Panagiotidis T., Papapanagiotou G., Stengos T. (2022) On the Volatility of Cryptocurrencies. Research in International Business and Finance, 62, 101724. DOI: 10.1016/j.ribaf.2022.101724
Pichl L., Kaizoji T. (2017) Volatility Analysis of Bitcoin Price Time Series. Quantitative Finance and Economics, 1, 4, pp. 474-485. DOI: 10.3934/QFE.2017.4.474
Schwert G.W. (1990) Stock Volatility and the Crash of '87. Review of Financial Studies, 3, 1, pp. 77-102. Segnon M., Bekiros S. Forecasting Volatility in Bitcoin Market. Annals of Finance. 2020. Doi: 10.1007/s10436-020-00368-y
Shen Z., Wan Q., Leatham D.J. (2021) Bitcoin Return Volatility Forecasting: A Comparative Study between GARCH and RNN. Journal of Risk and Financial Management, 14, 7, p. 337. DOI: 10.3390/jrfm14070337
Soucek M., Todorova N. (2014) Realized Volatility Transmission: The Role of Jumps and Leverage Effects. Economics Letters, 122, 2, pp. 111-115. DOI: 10.1016/j.econlet.2013.11.007 Taylor S.J. (1986) Modelling Financial Time Series. Wiley.
White H. (1982) Maximum Likelihood Estimation of Misspecified Models. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 50, 1, pp. 1-25.
Zakoian J.-M. (1994) Threshold Heteroskedastic Models. Journal of Economic Dynamics and Control, 18, 5, pp. 931-955. DOI: 10.1016/0165-1889(94)90039-6
