Сравнение методов сезонной корректировки временных рядов Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ЪТуманов

СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ СЕЗОННОЙ КОРРЕКТИРОВКИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Введение. Задачи декомпозиции экономических временных рядов (ЭВР) на эволюционную компоненту и циклические компоненты принадлежат к классу обратных задач обработки и интерпретации экспериментальных данных. Сезонная корректировка - это частный случай более общей задачи декомпозиции временных рядов, когда выделяется циклическая компонента с периодом равным году (для помесячных ЭВР период Т = 12 ). Оставшаяся компонента называется скорректированным рядом.

В обратных задачах наблюдаемой (известной) величиной является исходный ЭВР, т. е. результат сложения (умножения, для мультипликативных моделей ЭВР [1]) скорректированного ряда и циклической компоненты. Другими словами, известно следствие - результат сложения, и требуется определить причины - отдельные слагаемые. Для сезонных колебаний показателя одно и то же следствие может быть вызвано совершенно разными, более того, даже противоположными причинами. Например, летнее снижение цен на сельскохозяйственную продукцию может быть малым как по причине летней засухи, так и при дождливом лете.

Уже из того, что по известной сумме рядов требуется определить отдельные слагаемые ясно, что такая задача не корректна. Как правило, большинство обратных задач не имеют однозначного решения и представляют собой не корректные по Адамару задачи. Корректность по Адамару имеет простой математический смысл [2]. Исходное множество данных не должно быть противоречивым, т.е. чтобы поставленная задача, в принципе, могла иметь решение. Во-вторых, данные должны позволять однозначно определять решение - единственность. И, наконец, малые изменения исходных данных должны приводить к малым изменениям в решении. Нарушение третьего условия особенно важно при анализе экспериментальных данных, когда присутствует ошибка измерения, а временной ряд непрерывно пополняется новыми данными.

Можно выделить два основных подхода к решению обратных задач выделения циклических компонент из произвольного ЭВР. Первый подход связан с гипотезой, что для анализируемого ряда спра-

ведлива некоторая модель процесса (например, модель АШМА) и не известно только множество параметров модели. Тогда решение обратной задачи сводится к определению неизвестных параметров модели.

Другой подход устанавливает некоторые принципы выделения циклических компонент и определяет свойства, которым должны удовлетворять циклические компоненты и скорректированный временной ряд. Такой подход выглядит более удобным и простым при оценке адекватности результатов декомпозиции ЭВР. В естественных науках его часто называют подходом «из первых принципов». Таким образом, справедливость результатов декомпозиции ЭВР напрямую связана с теми вариационными принципами, которые положены в основу процедуры выделения циклической компоненты ряда.

В практике анализа экономических показателей часто используются простые, но не адекватные методы исключения циклической компоненты. Так в эконометрике (см., например, работу [3]), для устранения периодических изменений во временных рядах используется регрессионный анализ с введением фиктивных переменных. В этом случае теряется информация об изменении циклической компоненты от периода к периоду, а внутригодовая динамика показателя повторяется на всем временном интервале его наблюдения.

Другой популярный прием исключения сезонных факторов - использование скользящих средних для сглаживания зависимостей, что приводит к новой корреляции уровней показателей и к возникновению циклических артефактов в обработанных данных [4].

Опыт декомпозиции ЭВР и сезонной корректировки экономических данных дает возможность построить набор алгоритмов для сезонной корректировки определенной группы экономических показателей, например, процедура Х-12 [5]. Однако уверенность, что подобный подход будет эффективен при анализе кризисных явлений или при существенной перестройке экономической динамики, отсутствует.

Очевидно, что сравнение различных методов решения обратной задачи декомпозиции ЭВР - сезонной корректировки, возможно только на модельных временных рядах, когда отдельные компоненты (сезонные циклы и тренд) априори известны. Критерием качества и эффективности алгоритмов будет отклонение сезонно скорректированного ряда от модельного тренда в какой-либо метрике. Ошибки в исходных данных можно смоделировать добавление нерегулярной компоненты с заданной плотностью распределения и автокорреляционной функцией уровней с минимальной шириной основного пика.

В настоящей работе сравниваются три алгоритма сезонной корректировки ЭВР. Первые два алгоритма - это популярные в Европе и Америке

методы сезонной корректировки временных рядов X-12-ARIMA US Census Bureau’s (в дальнейшем X-12) и TRAMO/ SEATS (Time series Regression with ARIMA noise, Missing observations, and Outliers & Signal Extraction in ARIMA Time Series), в дальнейшем T/S, в основе которых лежит модель ARIMA [5-13], а также метод сезонной корректировки, основанный на вариационных принципах - Adjust Z5 [14-16].

Первые два алгоритма реализуют подход к решению обратной задачи декомпозиции ЭВР, который предполагает, что справедлива некоторая модель динамики временного ряда (в данном случае ARIMA). Они имеют общие черты - состоят из двух блоков обработки исходного ряда [13]. В первом блоке обоих алгоритмов (для T/S - это блок TRAMO) осуществляется предобработка временного ряда, когда устраняются детерминированные сезонные эффекты, например календарные факторы и переходящие из года в год праздники и очевидные «шоки».

Во втором блоке осуществляется собственно сезонная корректировка временного ряда «очищенного» от детерминированных сезонных эффектов. В этом блоке алгоритмы X-12 и T/S отличаются. В основе выделения сезонной волны алгоритмом X-12 лежит набор процедур сглаживания скользящим средним, известный как фильтр X-11 [7]. Используется мультипликативная модель временного ряда в виде произведения yt=xfifit, где yt - исходный ряд, xt - скорректированная компонента (trend-cycle component), ct- сезонная компонента, st - иррегулярная компонента. Оценка компонент ряда производится в три этапа: первоначальная оценка компонент, промежуточная оценка компонент ряда и окончательная оценка сенной компоненты и скорректированного ряда.

После формирования модели тренда центрированным алгоритмом скользящего среднего - Xt, исходный ряд делится на эту оценку

и получается начальная оценка «зашумленной» циклической компоненты - ctst. Для оценки сезонной компоненты, «зашумленная» циклическая компонента сглаживается сезонным скользящим средним, который усредняет отдельные составляющие, соответствующие сезонным коэффициентам для январей, февралей и т.д. Получается оценка сезонного фактора - ct. На этом этапе оценка сезонных коэффициентов нормируется так, чтобы их произведение на каждом периоде было равно единице. После этого, делением исходного ряда на оценку сезонного фактора, получается оценка «зашумленной» скорректированной компоненты - xtst.

На промежуточном этапе компонента x$t сглаживается взвешенным скользящим средним Хендерсона (фильтр Хендерсона предло-

жен в 1916 г. для сглаживания рядов статистических данных)1. Аналогичным образом (сглаживание и деление на сглаженную составляющую) оцениваются и другие компоненты ряда.

На финальном этапе оценки компонент ряда из «зашумленного» тренда опять сглаживанием выделяют окончательную трендовую компоненту и с ее помощью извлекают иррегулярную составляющую, которая необходима для статистической идентификации соответствующих компонент.

Поскольку основная цель декомпозиции ЭВР - это прогноз их динамики на будущее, то на основе выделенного тренда формируется некоторая модель для экстраполяции динамики показателя, например, ARIMA. Далее, модель идентифицируется стандартными эконометрическими методами [3] и, в случае невыполнения статистических критериев, параметры (p, I, q) модели ARIMA пересматриваются.

Основные ограничения подхода, заложенного в процедуру декомпозиции X-11, можно разделить на две группы. Во-первых, многократное использование скользящих средних приводит к возникновению циклических артефактов, которые искажают выделенный тренд. Другое существенное ограничение также связано с алгоритмом сглаживания. Для корректной работы алгоритма на краях временного ряда он должен быть продолжен, по меньшей мере, на половину длины скользящего среднего, что приводит либо к существенному (для коротких рядов) уменьшению числа точек анализируемого ряда, либо к возникновению значимых краевых эффектов. Другими словами, декомпозиция ЭВР на краях становится ненадежной.

Во-вторых, сама модель временного ряда ARIMA имеет ограниченную область применения, поскольку корректно определена только для временных рядов близких к стационарным временным рядам. Идентификация модели ARIMA и оценка точности определения регрессионных коэффициентов осуществляется на основе статистических критериев и вероятностных оценок.

В программе T/S функцию фильтра X-11 выполняет программа SEATS. Принципы построения алгоритма декомпозиции во многом схожи и различаются, в основном, на этапе оценки параметров модели ARIMA. Для этой цели используются принципы оптимальной фильтрации сигналов из смеси сигнала и шума с элементами адаптивной калмановской фильтрации (КФ) [11]. При переходе от авто-

1 Фильтр Хендерсона представляет собой взвешенную скользящую среднюю определенной длины — Н. В терминах спектрального анализа сигналов — это полосовой фильтр для временных рядов, ширина полосы пропускания которого определяется его длиной: чем больше Н, тем уже полоса пропускания.

регрессионной формы представления временного ряда к модели пространства состояний - КФ, применяется проективный оператор, который существенно снижает уровень шумов в отдельных компонентах ряда. Поэтому такой подход выгодно использовать при наличии существенных ошибок измерения уровней ЭВР и нестационар-ности трендовой компоненты.

Определенные трудности при использовании алгоритма SEATS связаны с методом оценки параметров КФ, которые определяются из логарифма максимума правдоподобия нормально распределенного отклонения оценки от реальных данных [9]. При уменьшении длины анализируемого ЭВР (N<5T) надежность статистических выводов и оценки параметров КФ падают. Но такой эффект характерен для всех статистических выводов по выборкам малого объема.

Альтернативный подход к решению обратной задачи декомпозиции ЭВР и выделению циклической компоненты не использует вероятностные критерии при идентификации модели временного ряда. В основе алгоритма Adjust Z5 лежат предположения, что сезонная компонента и скорректированный ряд удовлетворяют некоторым ограничениям. Эти ограничения сконцентрированы в двух вариационных (оптимизационных) принципах: принцип минимума суммы квадратов первых разностей скорректированного ряда2 [14-16] и принцип минимума суммарной кривизны отдельных компонент корректируемого ряда [16]. При таком подходе никаких предположений о характере нерегулярной компоненты не выдвигалось - они просто не требовались.

Формирование модельных рядов. В обратных задачах результат декомпозиции зависит от вида временных зависимостей отдельных компонент модельного ряда. Так, для линейного тренда и стационарной сезонной волны результат будет один, а для нелинейного тренда, сходного с одним периодом синусоиды, результат будет другой. Степень отклонения сезонной волны от стационарной циклической компоненты также существенно меняет результат декомпозиции. На сезонную корректировку также оказывает влияние наличие или отсутствие шумовой (нерегулярной) компоненты.

Сравнивать различные алгоритмы сезонной корректировки можно по отклонению сезонно скорректированного ряда от заданного тренда в какой-либо метрике. Проще всего это сделать в евклидовой метрике, когда результат сезонной корректировки различными алго-

2 В классической механике вариационные принципы подобного рода хорошо известны и часто применяются для решения конкретных задач. Первый принцип — это принцип наименьшего действия для движущейся точки при отсутствии активных сил, а второй принцип — вариационный принцип Герца.

ритмами оценивается по суммарному квадрату разницы между скорректированным рядом и модельным трендом. В нашем случае такой показатель будет объективным критерием эффективности действия выбранной процедуры декомпозиции.

Представим модельные ряды в виде суммы трех компонент: тренда, сезонной волны и нерегулярной компоненты. Аддитивное представление модельного ряда у имеет следующий вид:

У, = X + с, + е,,

где хг — полиномиальный или кусочно-линейный тренд, ег — циклическая компонента и е, — шумовая компонента.

Для сезонной корректировки выбирались такие типы трендов и сезонных компонент, которые затрудняют эффективную корректировку ЭВР с тем, чтобы оценить, как алгоритмы работают в самых «тяжелых» случаях. Это случаи, когда на интервале наблюдения сменяются тенденции, например, тренд сначала растет, а затем падает, или когда уровни циклической компоненты сначала малы, а затем они становятся соизмеримыми с уровнями тренда. Пожалуй, наиболее сложный случай - это когда циклическая компонента сначала растет, а затем убывает, т.е. имеет форму сходную с формой волнового пакета.

Кроме того, всегда присутствуют нерегулярные изменения уровней экономических показателей, возникновение которых связано с ошибками измерений, погрешностями методик оценки и, часто, с недостоверностью поступающих данных. Здесь ситуация сходна с оптимальной обработкой радиосигналов - чем лучше алгоритм обработки, тем сильнее он подавляет шумовую компоненту и тем точнее выделяет сигнал. Априорные предположения относительно шумовой компоненты предполагались следующими: нерегулярная компонента - это случайный вектор с равномерным распределением, нулевым средним и минимальной шириной автокорреляционной функции.

Сформировано четыре типа трендов: кусочно-линейный тренд и три полиномиальных тренда, которые формировались как кубический сплайн по четырем заданным значениям. Начальный или конечный уровень всех модельных трендов устанавливался равным единице (ряды нормированы по первому или последнему уровню). Временные зависимости модельных трендов показаны на рис. 1.

Два типа тренда, «восходящий» и «нисходящий», моделируют типичную динамику экономических показателей, когда экономический показатель возрастает или убывает. Два других (кусочнолинейный и полиномиальный тренд) моделируют более сложные явления. В зависимости от длины временного ряда, они могут имитировать либо конъюнктурные циклы, либо кризисные явления.

Рис. 1. Типы модельных трендов для сравнения процедур сезонной корректировки:

— кусочно-линейный; — полиномиальный; — восходящий; — нисходящий

В качестве моделей циклических компонент использовался набор гармоник основного колебания. Стационарная волна формировалась как аддитивная смесь основного колебания и трех высших гармоник на интервале [1^121], которая затем искажалась с тем, чтобы максимальные значения на положительной полуволне отличались от максимальных значений на отрицательной полуволне. Таким способом осуществлялась «дегармонизация» сезонной волны с целью максимального приближения к реальным сезонным компонентам. Вид стационарной сезонной компоненты показан на рис. 2а.

Второй тип модельной сезонной волны представляет собой циклическую компоненту, максимальные значения уровней которой от периода к периоду сначала растут, а затем уменьшаются. Условно назовем такую циклическую компоненту «волновым пакетом». Форма циклов также формировалась как аддитивная смесь четырех гармоник с изменяющейся от периода к периоду амплитудой. Вид волнового пакета показан на рис. 2б.

И, наконец, спадающая циклическая компонента, которая моделирует уменьшение сезонной компоненты в экономических показателях. Характерная особенность спадающей циклической компоненты в том, что амплитуда основного колебания с периодом 12 спадает, а амплитуды высших гармоник (периоды 4 и 3) остаются постоянными либо возрастают. Поэтому характер зависимости на второй части интервала наблюдения существенно отличается от временной зависимости циклов на периоде в первой части. Вид спадающей циклической компоненты показан на рис. 2в.

Значение

а)

«Волновой пакет»

Значения

б)

Спадающая волна

Значения

в)

Рис. 2. Типы модельных сезонных компонент

Шумовая компонента формировалась с помощью функции RAND пакета Microsoft Excel. Был выбран вариант с равномерной плотностью распределения случайных отсчетов и нулевым средним значением (нулевым первым моментом). Оценка дисперсии шумовой компоненты функцией STDEV пакета Excel составляла 10% от оценки дисперсии циклической компоненты и, таким образом фиксировалось отношение шум/циклическая компонента (отношение шум/сигнал - ш/с). Изменяя масштаб по оси ординат в два и три раза, фиксировались различные отношения ш/с. Вид нерегулярной компоненты для отношения ш/с=10% показан на рис. 3.

Значение

Рис. 3. Шумовая компонента с минимальной шириной пика автокорреляционной функции

Минимизация корреляционных связей шумовой компоненты осуществлялась простейшим способом - из 50 реализаций была выбрана та, у которой пик автокорреляционной функции имел наименьшую ширину5.

Пример модельного ряда в виде суммы полиномиального тренда, спадающей циклической компоненты и шумовой компоненты (ш/с составляет 20%) показан на рис. 4.

Модельные ряды формировались по следующему правилу: сначала варьировался тип тренда (кусочно-линейный тренд - 1, полиномиальный тренд - 2, убывающий тренд - 3, возрастающий тренд - 4). Затем, изменялся тип сезонной волны (стационарная волна - 1, волновой па-

5 Более строгая процедура «отбеливания» шумовой компоненты на конечном интервале времени может быть осуществлена на основе той же задачи выделения циклической компоненты с периодом T=2 из реализации случайного процесса с равномерной плотностью распределения процедурой RAND.

кет - 2, убывающая волна - 3) и, наконец, по отношению дисперсии шумовой компоненты к дисперсии сезонной волны (0%, 10%, 20%, 30% - всего четыре уровня «зашумленности»).

Значения

2,1

0,5

Номер

11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111

точки

Рис. 4. Пример модельного ряда с отношением шум/сигнал 20%

Таким образом, варьируя тип тренда, тип циклической компоненты и отношение шум/сигнал получилось 48 модельных временных рядов, на которых проводилось сравнение трех вышеуказанных процедур сезонной корректировки.

Процедуры сезонной корректировки X-12 и T/S в составе эконометрического пакета EViews осуществляли декомпозицию аддитивной смеси компонент в автоматическом режиме. Это значит, что никаких априорных предположений о характере сезонной компоненты или скорректированного ряда не выдвигалось. Точно так же осуществлялась сезонная корректировка с помощью процедуры, основанной на вариационных принципах - Adjust Z5 (в дальнейшем, просто Z5).

Результаты сравнение процедур сезонной корректировки и их обсуждение. Сравнение результатов декомпозиции осуществлялось по мере отклонения скорректированного ряда от модельного тренда в евклидовой метрике:

ного ряда.

Помимо сравнения процедур сезонной корректировки по значению отклонения скорректированного ряда от модельного тренда, ал-

где xt - уровни модельного ряда, а xt - уровни скорректирован-

горитмы также сравнивались по суммарной кривизне скорректиро-

ности ряда х{). Несмотря на то, что этот показатель субъективен в

принципе, он фиксирует степень сглаживания скорректированного ряда и, в какой-то степени, характеризует степень подавления шумовой компоненты.

Результаты сравнения процедур сезонной корректировки по значению отклонения скорректированного ряда от модельного тренда - 5 г

приведены на рис. 1-4 (Приложение 1). (Случаи 1-4 - номера на оси абсцисс под каждой диаграммой на одном рисунке, соответствуют различным типам трендов: случай 1 - кусочно-линейный тренд, 2 - полиномиальный тренд, 3 - восходящий тренд, 4 - нисходящий тренд). Рисунки: а) - соответствуют волновому пакету; б) - спадающей волне.

Результаты сравнения по суммарной кривизне скорректированного ряда приводятся на рис. 1-4 (Приложение 2). Здесь помимо суммарной кривизны скорректированных рядов приводятся значения суммарной кривизны модельного тренда (черные столбцы на рисунках). В ряде случаев, например при кусочно-линейной временной зависимости тренда и стационарной сезонной компоненте, «гладкость» модельного тренда будет меньше, чем скорректированного ряда. Такой результат связан с тем, что процедура усреднения (алгоритм 25) или сглаживания (алгоритмы Х-12 и Т/Б) «стирает» резкую смену тенденций, когда меняется знак первых разностей модельного тренда.

Для большинства близких к реальной динамике экономических показателей суммарная кривизна модельного тренда будет значительно меньше суммарной кривизны скорректированного ряда.

Дело в том, что в качестве модельного тренда используются «гладкие» кривые, суммарная кривизна которых всегда меньше суммарной кривизны близких по форме, но «изрезанных» кривых. Из рис. 1-4 (Приложение 2) видно, что алгоритмы Х-12 и Т/Б значительно больше увеличивают волатильность скорректированного ряда, чем алгоритм 25, даже для кусочно-линейного тренда.

На рис. 1-4 (Приложение 1) приводятся результаты сравнения трех алгоритмов сезонной корректировки для выделения нестационарных циклических компонент. Результаты для идеального случая - стационарной сезонной волны не приводятся по следующим причинам. Во-первых, стационарная (периодическая) сезонная компонента в реаль-

(2 )

(знак А' - означает вторые раз-

ных экономических показателях не встречается - это идеальных случай интересный только с теоретической точки зрения.

Во-вторых, априори ясно4, что модель АШМА более адекватна случаю выделения стационарной циклической компоненты из исходного ряда в виде суммы такой компоненты и тренда близкого к линейному.

В-третьих, добавление нерегулярной компоненты - шума к стационарной сезонной компоненте приводит к ее «динамизации». Иными словами, результаты выделения стационарной циклической компоненты с шумом эквивалентны результатам декомпозиции исходного ряда на тренд и динамическую сезонную компоненту.

Для динамической сезонной компоненты в отсутствие шума, результаты сезонной корректировки алгоритмами Т/Б и 25 оказываются значительно лучше, чем результаты процедуры Х-12, причем результаты алгоритма 25 близки к результатам корректировки методом Т/Б -рис. 1 (Приложение 1). Аналогичные результаты получаются и при малой «зашумленности» модельной реализации - рис. 2 (Приложение 1). Небольшие различия в результатах между алгоритмами Т/Б и 25 зависят от конкретного вида модельного тренда и сезонной волны.

Результаты сравнения алгоритмов при наличии значительной по уровню шумовой компоненты (рис. 3-4 (Приложение 1)) выявило следующие особенности сезонной корректировки рассматриваемыми алгоритмами. Использование проективных операторов в алгоритмах Т/Б (калмановская фильтрация [12]) и 25 [15] привело к значительному подавлению шумовой компоненты по сравнению с алгоритмом Х-12. Поэтому качество декомпозиции модельных временных рядов процедурами 25 и Т/Б значительно лучше, чем процедурой Х-12.

Подводя итог сравнения результатов сезонной корректировки тремя различными процедурами, можно отметить следующее:

• стационарная сезонная волна в отсутствие шумов для всех видов тренда лучше выделяется процедурами Т/Б и Х-12 (четыре модельных ряда);

• динамические сезонные волны в случае отсутствия шумов лучше выделяются процедурой 25;

4Модель АШМА (алгоритмы Х-12 и Т/Б) определяется тремя параметрами, причем первые два параметра задают максимальную степень полинома, который моделирует временную зависимость тренда. Использование первого вариационного принципа наименьшего действия (алгоритм 25) допускает точное решение с нулевой ошибкой только для линейной зависимости усредненного по периодам тренда с периодической компонентой. Это означает, что в случае стационарной волны часть нелинейности тренда может переходить в циклическую компоненту.

• при 10% отношении шум/волна в десяти случаях из двенадцати процедура 25 показывает лучшие результаты, но в двух случаях немного (порядка 10%) хуже, чем Т/Б;

• во всех остальных случаях (отношение ш/с > 10%) процедура 25 показывает лучшие результаты, чем процедуры Т/Б и Х-12.

Для большинства модельных рядов результаты сезонной корректировки процедурой Х-12 значительно хуже, чем результаты корректировки методами 25 и Т/Б. Сходные результаты сезонной корректировки процедурами Т/Б и 25 объясняются тем, что в обоих методах использовались принципы оптимальной обработки сигналов, которые в большинстве случаев связаны с проектированием шумовой компоненты на ожидаемый, циклический результат.

Результаты по суммарной кривизне скорректированного ряда оказались в значительной степени ожидаемыми. Процедура сезонной корректировки временных рядов, основанная на вариационных принципах - 25, при наличии шумовой компоненты всегда сглаживает скорректированный ряд значительно сильнее процедур Х-12 и Т/Б. Этот факт подтверждается результатами, показанными на графиках рис. 3-4 (Приложение 1), рис. 1-2 (Приложение 2).

Сравнение результатов сезонной корректировки с «формальными.» методами исключения сезонного фактора. В качестве характерного примера не корректного способа компенсации сезонных эффектов рассмотрим использование популярной формы индексов «...к соответствующему периоду предыдущего года» - ІҐТ. Пусть некоторый модельный показатель уҐ наблюдается на интервале в 78 точек. Показатель строится следующим образом: тренд хҐ представляет собой кусочно-линейную функцию, которая до пятидесятой точки возрастает, а затем убывает. В этот момент тенденция роста показателя сменяется тенденцией спада. Сезонные эффекты моделируются простой синусоидой - ^ = 0.48ІП (2П / Т) с периодом в один

год - Т=12, и Ґ меняется от 1 до 78 соответственно. Отдельные компоненты модельного ряда и сам ряд показаны на рис. 5.

Для построения показателя в виде индекса «к соответствующему периоду (месяцу) предыдущего года» - 1[т= уг / у-Т - первый период принимаем за базисный. Нижний индекс меняется в диапазоне Ґ є [13 -¥ 78]. Естественно, внутригодовая динамика показателя за базисный год теряется.

Рис. 5. Модельный ряд (—), построенный из кусочно-линейного тренда (—) и синусоидальной волны (—) (первый период не показан)

Теперь построим индекс «к соответствующему периоду предыдущего года» сразу для двух рядов - по тренду и по суммарному ряду с сезонными эффектами. Результат такого построения показан на рис. 6.

Рис. 6. Индекс по модельному ряду (-) и по кусочно-линейному тренду (—):

— тренд

Предполагалось, что с помощью такой процедуры можно избавиться от сезонных эффектов, но в действительности, они только уменьшились (приблизительно в два раза по сравнению с амплитудой исходного колебания). Появилось много эффектов «смен тенденций» при формировании 1^т по исходному ряду. Причем из гра-

фика на рис. 6 легко заметить, что влияние остаточного колебания в индексе по ряду смещает начало спада тренда на квартал. Смена динамики индекса по тренду растянулась на год, хотя при корректной сезонной корректировке ее можно диагностировать за месяц.

Каких-либо преимуществ у такой формы представления экономических индикаторов нет. Есть масса недостатков, которые искажают реальную динамику экономических процессов. Искажения связаны с тем, что при формировании 1[т одновременно используется и текущее значение, и значение показателя с лагом в год. В простейшем случае линейной зависимости показателя от времени при переходе от исходного ряда уг к 1^т сам индекс будет уже дробнорациональной функцией вида 1[т= у- / (у-а). В случае кусочнолинейного тренда (см. рис. 5) «излом» тренда порождает три разных дробно-рациональных зависимости от времени.

Таким образом, попытка избавиться от сезонных эффектов простейшими средствами приводит к такому искажению экономической динамики, которое не позволяет сделать адекватных экономических выводов относительно роста или спада показателя.

Заключение. Анализ исходной постановки задачи позволил сделать вывод о том, что проблема декомпозиции ЭВР на эволюционную компоненту и циклические компоненты относится к классу обратных задач обработки и интерпретации экспериментальных данных. Такие задачи являются не корректными по Адамару и для их однозначного решения должны быть доопределены. Это может быть сделано двумя способами, приняв гипотезу о том, что справедлива некоторая модель динамики временного ряда, например модель АЫМА (алгоритмы сезонной корректировки Х-12 и ТКАМО/ББАТБ), или приняв гипотезу о справедливости некоторых вариационных (оптимизационных принципов), как это сделано в алгоритме 25. Поэтому одной из задач данной работы было сравнение качества сезонной корректировки модельных ЭВР алгоритмами, в основе которых лежат принципиально разные подходы к решению обратных задач5.

Рассмотрены особенности, принципы построения и качество сезонной корректировки ЭВР наиболее распространенными алгоритмами - Х-12 и Т/Б как методами решения обратной задачи декомпозиции на основе принятой модели динамики временного ряда. С другой стороны, отмечены основные принципы построения алгоритма 25, который представляет собой альтернативный подход к решению обратной задачи декомпозиции.

5 В работе [17] сравниваются две процедуры сезонной корректировки, причем обе они основаны на модельном подходе к решению обратных задач.

В процедурах ZS и T/S оптимальность выделения циклической компоненты достигается тем, что в них используются проекционные операторы, тогда как «фильтр» Х-11 [У] в процедуре Х-12 носит больше эмпирический характер.

Качество декомпозиции разработанного алгоритма ZS сравнивалось с качеством работы алгоритмов Х-12 и T/S на множестве специально сформированных модельных рядов. Ряды формировались таким образом, чтобы процедура корректировки представляла собой наиболее сложные случаи декомпозиции временных зависимостей экономических индикаторов, которые соответствуют нестационарной экономической динамике. Это означает, что тренд и циклическая компонента существенно меняются на интервале наблюдения аналогично тому, как меняются показатели в кризисные периоды экономической динамики.

Большая часть модельных рядов была специально «зашумлена» введением нерегулярной компоненты с узким автокорреляционным пиком («окрашенный» шум близкий к «белому»). Результаты сравнения трех алгоритмов сезонной корректировки показали определенное преимущество процедуры Z5 над остальными процедурами по критерию минимального отклонения скорректированного ряда от модельного тренда.

По сравнению с X-12 процедура Z5 выделяет модельный тренд точнее во всех случаях, кроме случаев стационарной сезонной волны в отсутствие нерегулярной компоненты. Для алгоритмов T/S и ZS результаты имеют сходный характер, но только для случая небольших уровней нерегулярной компоненты (отношение ш/с менее 10%). В остальных случаях подавление нерегулярной компоненты лучше осуществляется процедурой ZS. Такое поведение ZS связано с особенностями построения процедуры сезонной корректировки ЭВР. На первом этапе строится стационарная сезонная компонента однозначно соответствующая исходному ряду, а на ее основе формируется алгоритм выделения динамической сезонной компоненты.

С другой стороны, в алгоритмах Х-12 и T/S основные характеристики нерегулярной компоненты принимаются априори, например, для T/S предполагается, что шум нормальный, с одинаково распределенными независимыми отсчетами n.i.i.d. (normal, independent and identically distributed приближение [3]). Для нестационарных экономик вообще возможность оценки статистических характеристик временных рядов становится проблематичной.

Можно сделать вывод, что разработанная процедура сезонной корректировки и декомпозиции экономических временных рядов Adjust ZS в наибольшей степени приспособлена к количественному анализу процессов в нестационарных экономиках с элементами кризисных явлений.

1б4

Литература и информационные источники

1. Кендалл М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика, 1981.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 2001.

4. Слуцкий Е. Е. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1960.

5. Shiskin, J., Young, A.H. and Musgrave, J.C. The X-12 Variant of Census Method II Seasonal Adjustment // Technical Paper no. 15 Bureau of the Census, US Department of Commerce. 1967.

6. Fisher B. Decomposition of Time Series. Comparing Different Methods in Theory and Practice. Eurostat working group document. 1995.

http://europa.eu.int/en/comm/eurostat/research/noris4/documents/decomp.pdf

7. Ladiray D., Quenneville B. Seasonal adjustment with X-11 method. New York: Springer-Verlag. 2001.

8. Burman J.P. Seasonal adjustment by signal extraction // Journal of the Royal Statistical Society, Series A 143 (1980).

9. Gomez V., Maravall V. Estimation, Prediction, and Interpolation for Nonstationary Series With the Kalman Filter //Journal of the American Statistical Association June 1994, Vol. 87, No. 426.

10. Pollock D.S.G. A Revue of TSW: The Windows Version of the TRAMO-SEATS Program / Journal of Applied Econometrics, 17 (2002).

11. V. Gomez. Brief Description of the Programs. http://www.bde.es/webbde/es/secciones/servicio/software/tramo/summprogs.pdf

12. V. Gomez, A. Maravall. Seasonal Adjustment and Signal Extraction in Economic Time Series. http://www.bde.es/webbde/es/secciones/servicio/sojtware/tramo/sasex.pdf

13. C. C. Hood, J.D. Ashley, D. F. Findley. An Empirical Evaluation of the Performance of TRAMO/SEATS on Simulated Series. http.V/www.census.gov/tg/papers/asaOO^s.pdf

14. Губанов В.А., Ковальджи А.К. Выделение сезонных колебаний на основе вариационных принципов //ЭММ, 2001, том 37, №1.

15. Губанов В.А. Выделение нестационарной циклической составляющей из временнтрядов // ЭММ, 2003, том 39, № 1.

16. Губанов В.А. Выделение тренда из временных рядов макроэкономических показателей // Научные труды ИНП РАН. М.: МАКС Пресс, 2005.

17. Feldpoausch RM., Hood C.C.H., Wills K.C. Diagnostics for Model-Based Seasonal Adjustment. http://www.census.gov/ts/papers/jsm2004rmf.pdf

Волновой пакет, ш/с=0%

□ Х-12 пт/в СПб

Спадающая волна, ш/с=0%

а)

б)

Рис. 1. Отклонения скорректированного ряда от модельного тренда в отсутствие шума

Волновой пакет, ш/с=10%

□ Х-12

□ т/в

□ 75

Спадающая волна, ш/с=10%

□ Х-12

□ т/в

□ 75

а)

б)

Рис. 2. Отклонения скорректированного ряда от модельного тренда, отношение шум/сигнал - 10%

□ 75

12 3 4

□ Х-12 пТ/Б □ 75

Спадающая волна, ш/с=20%

□ Х-12

□ Т/в

□ 25

а)

б)

Рис. 3. Отклонения скорректированного ряда от модельного тренда, отношение шум/сигнал - 20%

Волновой пакет, ш/с=30%

□ Х-12

□ Т/Б

□ 25

Спадающая волна, ш/с=30%

□ Х-12

□ Т/Б

□ 25

а)

б)

Рис. 4. Отклонения скорректированного ряда от модельного тренда,

отношение шум/сигнал - 30%.

Волновой пакет, ш/с=0%

□ X-12 □ TS □ Z5

] Trend

Спадающая волна, ш/с=0%

□ X-12 □ TS □ Z5

] Trend

а)

б)

Рис. 1. Суммарная кривизна скорректированного ряда и модельных трендов

в отсутствие шума

Волновой пакет, ш/с=10%

□ X-12 nTS □ Z5

] Trend

Спадающая волна, ш/с=10%

□ X-12 DTS □ Z5

] Trend

а)

б)

Рис. 2. Суммарная кривизна скорректированных рядов и модельных трендов, отношение шум/сигнал - 10%

Волновой пакет, ш/с=20%

HX-12 DTS QZ5

] Trend

Спадающая волна, ш/с=20%

□ X-12 □ TS QZ5

] Trend

а)

б)

Рис. 3. Суммарная кривизна скорректированных рядов и модельных трендов, отношение шум/сигнал - 20%

Волновой пакет, ш/с=30%

□ X-12 □ TS □ Z5

] Trend

Спадающая волна, ш/с=30%

□ X-12 nTS QZ5

] Trend

а)

б)

Рис. 4. Суммарная кривизна скорректированных рядов и модельных трендов, отношение шум/сигнал - 30%