CC BY
0УДК 62 Цхай Н.В., Котов Е. С.
Цхай Н.В.
магистрант группы АиУМ-22-2 Карагандинский технический университет им. А. Сагинова (г. Караганда, Казахстан)
Котов Е.С.
ст. пр. каф. АПП, PhD Карагандинский технический университет им. А. Сагинова (г. Караганда, Казахстан)
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ МАНИПУЛЯТОРОВ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ С ПОМОЩЬЮ
МЕТОДА КВАТЕРНИОНОВ
Аннотация: в работе представлен анализ методов решения прямой задачи кинематики и на их основе, а также на основе методов кватернионов представлено решение обратной задачи кинематики манипуляторов.
Ключевые слова: матрица Денавита-Хартенберга, манипулятор, углы Эйлера, кватернионы.
Матрица Денавита-Хартенберга - это метод, используемый в кинематике роботов для описания относительного положения и ориентации звеньев робота. Она состоит из матрицы 4x4 для каждого звена, описывающей положение и ориентацию относительно предыдущего звена. Этот метод часто используется при расчетах кинематики робота и планировании движения. Матрица для n-ого количества звеньев имеет вид:[1]
СОS0i С050^
sinаi 0 0
То _ sin0i Тп _ 0
где:
sin0isinai ai * cos0i —cos0isinai ai * sin0i
cosa 0
di 1
,(1.1)
0i -угол вокруг оси от Х1-1 до х1; а - угол вокруг оси XI от 21-1 до 21 ; ai - расстояние вдоль оси х1 от до 2\;
di -расстояние вдоль оси 2\-1 от Х1-1 до х1
Результирующая матрица перемещения имеет вид: Тп°(я) _ То(я) * Тх(я) * ... * Тп(я) _ Я°п0(ч) рП<я), (1.2) где:
Х0 (ц)
р0 (я)_у°(я), (1.3) ^0(я)
является матрицей координат конечной точки искомой системы координат;
Гц (Я) Г12(Я) Г13 (я)
Я0п(я)_Г21 (я) Г22 (я) Г23 (я), (1.4)
Г31(я) Г32(я) Г33(я)
является матрицей поворота, решения которой имеют несколько вариаций.
Если Г33 (я)^±1
в1п(0(я))= ±71 — (0)=±71 — Гзз (я) 0(я) _ atan2(±VT—"Г33(я)),Гзз (я) ф(я) _ atan2(±Г2з (я),+Г13 (я)) ф(я) _ atan2(±Гз2(я),±Гзl(я)) Если Г33 (я) _ 1 %) = 0,
^(д) + ^(д) = а1ап2 (г21(д), г11(^))
Если Г33 (я) = -1 %) = л
^(д) - ^(д) = а1ап2 (-г12(д), -г11(д)). где:
0 - угол поворота вокруг оси Yi ^ - угол поворота вокруг оси Zi 4>- угол поворота вокруг оси Xi
Основные преимущества применения матрицы Денавита-Хартенберга это простота представления, так как матрица Денавита-Хартенберга представляет собой стандартный и удобный способ описания кинематики робота. Простая структура делает ее понятной и позволяет использовать в самых разных приложениях. Универсальный метод может быть применен к широкому спектру роботов, включая манипуляторы с различными конфигурациями и степенями свободы. Его можно применять для моделирования и управления как промышленными, так и сервисными роботами. Расчет кинематики и планирование движения данным способом облегчает расчет кинематики робота и планирование движения. Это позволяет определять положение и ориентацию рабочего инструмента на основе углов сочленений. [2]
Однако существуют некоторые недостатки. К ним можно отнести аппроксимацию - матричный метод Денавита-Хартенберга основан на предположении, что каждое звено робота жесткое и имеет идеальную форму. В реальности роботы могут иметь гибкие элементы и неидеальные сочленения, что может привести к неправильной оценке. Также чувствительность к ошибкам параметров существенно требовательны к точным данным углов и длины звеньев. Даже небольшие погрешности в измерениях могут привести к большим ошибкам в расчетах. Матричный метод Денавита-Хартенберга не учитывает динамические эффекты, такие как инерционные силы и гравитация.
Существует также метод углов Эйлера для решения прямой задачи кинематики. Данный метод представляет собой решение перемещения в
пространстве как вращение вокруг одной оси, которая сопряжена с начальной системы координат. Уравнение матрицы углов Эйлера имеет вид:
R ф8ф = R z^*Ru,8*Rw,^ =
С05ф — 5тф 0 10 0 cos^ —sin^ 0
= sinф cosф 0*0 cos0 —sin0* sin^ cos^ 0 = 0 0 10 sin0 cos0 0 0 1
cosфcosф — sinфcos0sinф —cosфsinф — sinфcos0cosф sinфsin0 sinфcosф + cosфsinфcos0 —sinфsinф + cosфcosфcos0 —cosфsin0(2. sinфsin0 cosфsin0 cos0
1)
где:
0 - угол поворота вокруг оси U сопряженной оси Yi (тангаж) ^ - угол поворота вокруг оси V сопряженной оси Zi (крен) ■0- угол поворота вокруг оси W сопряженной оси Xi (рысканье) Однако уравнение для полного перемещения имеет вид:
R ф8ф = R z,ф*R u,8*R w,^ *P (2.2)
Где Р является матрицей перемещения вдоль осей U,V,W и имеет вид: a
P=b, где а - перемещение вдоль оси U, b - вдоль оси V, c - вдоль оси W c
Преимущества данного метода заключается в исключении неоднозначности нахождения конечной системы координат при решении прямой задачи кинематики манипуляторов. Также удобство изменения ориентации в пространстве. К недостатку можно отнести сложность программирования и настройки данного метода, особенно для сложных манипуляторов со множеством звеньев. Также возможны проблемы с вычислительной производительностью при работе в реальном времени.
Метод кватернионов.
Существует еще один способ решения прямой задачи кинематики- метод кватернионов. Метод кватернионов — это математический метод представления перемещения предмета в трёхмерном пространстве. Кватернионы это
расширенный комплекс чисел, включающий в себя дополнительное векторное измерения вида: q=a+bi+cj+dk. Где: I, j,k мнимые некоммутативные единицы, которые удовлетворяют правило умножения i2=j2=k2=ijk=-1. Метод кватернионов использует сопряженное умножение, которое удовлетворяет угол вектора или биквантериона поворота в трехмерном пространстве. Данный метод решения можно использовать для нахождения более точного положения поворота объекта в пространстве, что дает преимущество перед матрицами Денавита-Хартенберга.
Если представить условие задачи, что т = ш0+шх i+m2 j + т3к=Ь *а *сС
Где: Ь , а ,с векторы представленные в виде кватернионов а =а0+а1 i Ь=Ьо+Ь2 j с~=т0+с3 k (3.2)
Для решения необходимо решить вспомогательное уравнение: п =п0+п i+n2 j+n3k п =Ь + а (3.4)
По пз +П2 пх =0
Если п^п^О, то:
(3.1)
ас
Ь =(п2*7п2 + п2)/ п0, если пО^О
Ь =(-п3 *7п2 + п2)/ п0, если пО=0 Также введем А, В которые равны тождествам: А=т0т3+т2т1, В=т2-т2+т2-т3 А^О, то
Ь , а, с" имеют решения:
А2-(В+"^В2+4А2)
(В+УВТ+4А2)_(3 5)
3 2А2 + (В+7В2+4А2) 4 ' '
Ь , а определяются по формуле 3.2 , где п = т0 * (с0 — с3к) Если В^0 и А=0, то : п =тГ, сС=1
Основными преимуществами метода кватернионов является однозначность решений прямой задачи кинематики. Также если учитывать ускорение звеньев манипулятора, что можно задать при решении уравнения, можно рассчитать полную картину поведения манипулятора. Однако главным недостатком является применение мнимых единиц, что усложняет процесс решения задачи, так как не каждая программное обеспечения управления манипулятором может учитывать мнимую часть уравнений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Макаров И.М. Рахмаикулов В.З. Назаренко В.М. Робототехника и гибкие автоматизированные производства. Москва 2015.- 165 с;
2. А.С. Климчик Р.И. Гомолицкий Ф.В. Фурман К.И. Сёмкин. Разработка управляющих программ промышленных роботов. Минск 2016.- 131 с.
Международный научный журнал «ВЕСТНИК НА УКИ» № 5 (74) Том 1. МАЙ 2024 г. Tskhai N. V., Kotov E.S.
Tskhai N.V.
Karaganda Technical University (Karaganda, Kazakhstan)
Kotov E.S.
Karaganda Technical University (Karaganda, Kazakhstan)
COMPARISON OF METHODS FOR SOLVING DIRECT KINEMATICS PROBLEM OF MANIPULATORS AND PRESENTATION OF METHOD FOR SOLVING INVERSE KINEMATICS PROBLEM USING QUATERNION METHOD
Abstract: the paper presents an analysis of methods for solving the direct kinematics problem and on their basis, as well as on the basis of quaternion methods, a solution to the inverse kinematics problem of manipulators is presented.
Keywords: Denavit-Hartenberg matrix, manipulator, Euler angles, quaternions.
