CC BY
18Отметим, что наличие характерного квазипрямолинейного участка не проявилось в результатах расчетов, приведенных в [3, 4].
Авторы признательны доценту Б.Я. Локшину за полезные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 12-01-00364, 14-08-01130).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ashby N., Britten W.E., Love И"./•'.. Wyss W. Brachistochrone with Coulomb friction // Amer. J. Phys. 1975. 43, N 10. 902-905.
2. Lipp S.C. Brachistochrone with Coulomb friction // SIAM J. Control Optim. 1997. 35, N 2. 562-584.
3. Negron-Marrero P. V., Santiago-Figueroa B.L. The Nonlinear Brachistochrone Problem with Friction. Department of Mathematics, University of Puerto Rico. Technical Report PR 00791-4300. Humacao, 2005.
4. Голубев Ю.Ф. Брахистохрона с трением // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. № 5. 41-52.
5. Абуладзе М.В. О пассивном полете на максимальную дальность // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1986. № 2. 102-105.
6. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
Поступила в редакцию 15.11.2013
УДК 511
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПЛИТ НА МНОГОСЛОЙНОМ ОСНОВАНИИ
А. С. Солодовников1
В работе изложен аналитический метод решения задачи об изгибе упругой плиты, покоящейся на многослойном упругом полупространстве. Метод основан на интегральных преобразованиях. Плита моделируется согласно теории тонких пластин Кирхгофа-Лява. Данный метод сравнивается с методом конечных элементов. Представлены результаты численного решения такого класса задач, когда для моделирования работы плиты используются уравнения теории упругости. Осуществлено сравнение решения с решением, полученным на основе теории тонких пластин. Написана программа, позволяющая определять напряженно-деформированное состояние рассмотренных в работе конструкций.
Ключевые слова: теория упругости, теория тонких пластин, многослойное полупространство, метод конченых элементов.
An analytical method to solve the bending problem for an elastic slab resting on an elastic multilayered half-space is considered. This method is based on the application of integral transforms. The slab is modeled according to the Kirchhoff-Love theory of thin plates. The method is compared with a finite element method. A number of numerical results are discussed for the case when the elasticity theory equations are used to model the slab behavior and are compared with the solution obtained on the basis of the thin plate theory. A computer program was developed to specify the stress-strain state of structures considered in this paper.
Key words: theory of elasticity, thin plate theory, multilayered half-space, finite element method.
1. Аналитическое решение. Для определения напряженно-деформированного состояния упругого многослойного полупространства, к поверхности которого приложена нагрузка, существует несколько подходов. Это метод Никишина, Шапиро [1], основанный на использовании интегральных преобразований, метод осреднения [2, 3] и метод конечных элементов [4, 5]. В настоящей работе подробно исследованы первый и третий способы.
Рассматривается многослойное упругое полупространство, состоящее из (N + 1) бесконечного плоскопараллельного слоя, имеющего модуль упругости Ei, коэффициент Пуассона V и толщи ну AHi (i =
1 Солодовников Александр Сергеевич — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, науч. сотр. Научно-технол. и проект, ин-та транспорт, инфраструктуры (НТПИТИ), e-mail: solodovnikovsQmail.ru.
N
1, 2,... N + 1). Слоистое полупространство, толщи на которого И = ^ АНг, лежит на однородном упруга
гом полупространстве, принятом за N + 1)-й слой бесконечной толщины. Принимается, что начало отсчета прямоугольной декартовой системы координат X, У, 2 находится на граничной плоскости между слоями N и N + 1. Ось 02 ортогональна слоям и направлена вверх. К поверхности первого слоя г = И приложена вертикальная нагрузка. Под действием нагрузки в многослойном полупространстве возникает напряженно-деформированное состояние с отличными от нуля нормальными ах, ау, ах и касательными тхх, Туг, тху напряжениями.
На всех границах слоев имеет место идеальный контакт, когда вектор напряжения и все перемещения и, у, , сохраняют непрерывность при переходе через границы слоев:
и.
г=И^ а^г+1\2=н., тххг\г=н. тххг+1\г=н., тугг\г=и. тугг+1\г=щ'
иг+1\г=щ , = уг+1\2=щ , = ™г+1и=щ (г = 1 . ,Ж).
(1)
Для такой задачи теории упругости решения находятся с помощью интегрального преобразования Фурье в трехмерном случае и интегрального преобразования Ханкеля в плоском случае [1].
На основе метода [1] в работе [6] исследованы задачи об изгибе упругой плиты, покоящейся на многослойном упругом полупространстве. Упругая плита принимается бесконечной в плоскости Х,У (рис. 1). Прогибы плиты описываются дифференциальным уравнением [7]
{Ь + Ю (I* + Ю У) = Ъ У) ~ У))'
(2)
где р(х, у) — интенсивность давления многослойного полупространства на плиту; д(х, у) — интенсивность
' Ек3
известной внешней нагрузки на плиту, равномерно распределенной по площади круга; V = —--
12(1 — V2)
жесткость плиты при изгибе; Е, V, Н — соответственно модуль упругости, коэффициент Пуассона и толщина плиты.
На границе контакта между плитой и полупространством прогибы плиты , и вертикальные перемещения многослойного полупространства , совпадают:
,(х,у) = ,1(х,у, г)\г=н, —ж <х,у < +ж. (3)
Нормальные напряжения на поверхности полупространства равны давлениям многослойного полупространства на плиту:
а^1\2=н = Р(х,у), —ж <х,у< +ж. (4)
Дополнительно задаются нулевые касательные напряжения на поверхности полупространства:
ии 1Ш?
1 //1
2 ЕгУ2 //2
Н
/ E¡,vi Я, Д Я,
N Ядг
тхг1\2=н = туг1\г=н = ° —ж <х,у < + ж
(5)
X
Рис. 1. Плита, покоящаяся на многослойном основании
Путем совместного решения уравнения равновесия плиты (2) и уравнения прогиба поверхности многослойного полупространства с учетом условий (3) (5) в работе [6] были найдены функции прогиба плоскости контакта плиты и полупространства и реактивных давлений. Там же с использованием полученных функций и известных решений теории упругости для многослойного полупространства определены компоненты напряженно-деформированного состояния многоелойной конструкции.
2. Решение задачи с помощью метода конечных элементов. Многослойное полупространство также состоит из (Ж + 1) плоскопараллельного слоя, имеющего модуль упругости Ег, коэффициент Пуассона VI и толщи ну АНг (г = 1, 2,... + 1). Считается, что на всех границах слоев идеальный контакт. Отличие данной задачи от описанной в п. 1 заключается в том, что все слои имеют конечные размеры вдоль осей X и У, (Ж + 1)-й слой имеет конечную толщину и на нижней поверхности (Ж + 1)-го слоя перемещения обращаются в нуль:
и(х, у, г) = у(х, у, г) = ,(х, у, г) = 0.
Деформирование плиты также описывается с помощью теории тонких пластинок. Граничные условия на контакте плиты и основания записываются в виде, аналогичном (3) (5).
Для построения конечно-элементной модели плиты использовались плоские четырехугольные элементы, работающие на изгиб и содержащие три степени свободы в каждом узле — прогиб и> и два угла поворота вх, 9у. Для моделирования многослойного полупространства использовались шестигранные конечные элементы в форме прямоугольного параллелепипеда, содержащие три степени свободы в каждом узле — перемещения и, V, в направлении координат X, У, 2 соответственно. Результирующая система уравнений решалась методом Гаусса [5].
3. Сравнение двух изложенных методов. Для сравнения методов были выбраны конструкции, представленные на рис. 2. В первой задаче плита покоится на однородном многослойном полупространстве (слева), во второй задаче также на однородном многослойном полупространстве, но на небольшой глубине находится более жесткая толща (справа). Для расчетного метода, в котором применялось интегральное преобразование Фурье, использовались результаты работы [6]. Целью было сравнить значения нормальных напряжений ах и ах по глубине подстилающего плиту полупространства.
Рис. 2. Конструкции для численного эксперимента
В результате расчетов были получены эпюры нормальных вертикальных их и горизонтальных ах напряжений под плитой по глубине слоя толщиной Н\ в случае однородного упругого полупространства (Е1/Е2 = 1) и слоя конечной мощности (Е1/Е2 = 0,01) при Н\/К = 7; 4,1; 2,8; 2; 1,5; 1; 0,5. Модуль упругости бетонной плиты покрытия Ер принят равным 33 ООО МПа, коэффициент Пуассона плиты ир = 0,167, толщина плиты Ьр = 0,25 м. Модуль упругости грунта Е1 = 100 МПа, коэффициент Пуассона VI = 0,25. В центре плиты приложена нагрузка интенсивности Р = 60 т/м2, распределенная по площади квадрата, равновеликого площади круга радиуса К.
Общий вид эпюр напряжений их/Р совпадает, различие в максимальных значениях для случаев Ь1/К = 7; 4,1; 2,8; 2 не превышает 17%, для случаев Ь1/К = 1,5; 1; 0,5 не превышает 8%. При Е1 /Е2 = 0,01 различия аналогичные. Для максимальных значений напряжений ах/Р для всех отношений разница достигает 100%, для минимальных значений — 40%, однако значения напряжений ах/Р па порядки меньше, чем ах/Р. После сравнительного анализа полученных результатов по двум методикам подтвердились следующие предположения:
при наличии на небольшой глубине более Е2
пряжения их по всей глубине подстилающего слоя на 5-10% больше, чем при однородном упругом полупространстве;
при увеличении размера штампа, передающего нагрузку, напряжения ах затухают медленнее и их значения увеличиваются; напряжения ах также увеличиваются;
изменение величины коэффициента поперечной деформации подстилающего плиту однородного упругого основания в пределах от 0,1 до 0,4 не оказывает большого влияния на распределение в нем вертикальных нормальных напряжений ах, но значительно влияет па распределение в нем горизонтальных нормальных напряжений ах.
В работе [6] указано, что максимальные значения горизонтальных нормальных напряжений при расчете для второй задачи больше значений, полученных для первой задачи. При использовании метода конечных элементов это не подтвердилось.
Расчеты выполнялись для различных конечно-элементных сеток, и везде имели место аналогичные различия в значениях напряжений. Полученные результаты говорят о том, что замена бесконечной рас-
четной области на конечную при использовании метода конечных элементов не приводит к существенной ошибке. Следует признать, что метод конечных элементов, наиболее пригодный для решения сложных задач, может заменить аналитическое решение.
4. Плита как упругий слой конечной толщины. Здесь произведено сравнение двух подходов к моделированию работы упругой плиты, покоящейся на упругом многослойном основании. В первом случае для описания деформирования плиты применялась теория тонких пластинок. Во втором случае плита представляла собой упругий слой конечной толщины и использовались уравнения теории упругости. Построение конечно-элементной модели плиты в первом случае осуществлялось с помощью плоских четырехугольных элементов, работающих на изгиб, во втором — с помощью объемных конечных элементов в виде параллелепипеда. Работа основания для данных задач задавалась с помощью объемных конечных элементов в виде параллелепипеда. Далее под задачей 1 будем понимать упругую плиту на упругом многослойном полупространстве, под задачей 2 — многослойное упругое полупространство, где верхний слой имеет характеристики плиты.
В задаче 2 многослойное полупространство состоит из (N + 2) слоев. На месте упругой плиты — слой конечной толщины с номером 0. Граничные условия для перемещений на поверхности сопряжения слоев с номерами 0 и 1 имеют вид
W0\z=H = W1\z=H , (6)
для напряжений — вид
az0\z=H = az1\z=H, Txz0\z=H = Txz1\z=H = 0, Tyz0\z=H = Tyz1\z=H = 0; (7)
касательные напряжения на поверхности основания обращаются в нуль.
Граничные условия на поверхности сопряжения слоев с номерами 1,..., N+1 записываются в виде (1). Задача 1 остается без изменений и описана в п. 2. Граничные условия для задачи 2 в виде (1), (6), (7) дают эквивалентное описание задачи об изгибе плиты, лежащей без трения на многослойном упругом полупространстве.
Значения модуля упругости Ep и модуля упругости оспования E^, коэффициентов Пуассона vp и V1, величины распределенной нагрузки и площадь ее приложения для численного эксперимента принимались, как в п. 3. В результате расчетов были получены эпюры нормальных вертикальных az и горизонтальных ах напряжений и вертикальных перемещений w по глубине подстилающего плиту слоя для случаев h1/R = 4,1; 2,8; 1; 0,5.
w
значения нормальных напряжений az — на 5, касательных напряжений — на 4,5%. Вычисления также производились для различных конечно-элементных сеток, радиусов и величин приложенной нагрузки, и везде были получены аналогичные результаты. Таким образом, можно сказать, что использование уравнений теории упругости позволяет достаточно точно описать напряженно-деформированное состояние плиты, покоящейся на многослойном упругом основании. На базе изложенного материала и решенных задач автором была написана конечно-элементная программа.
Автор выражает глубокую благодарность профессору C.B. Шешенину за научные консультации и помощь в работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Никишин B.C., Шапиро Г. С. Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред. М.: Наука, 1970.
2. Осипов В.И., Шешенин C.B., Филимонов С.Д., Муравлева Л.В. Закономерность распределения напряженно-деформированного состояния в слоистых грунтовых массивах // Геоэкология. 1993. 6. 27-36.
3. Sheshenin S.V., Kalinin E.V., Bujakov M.I. Equivalent properties of rock strata: static and dynamic analysis // Int. J. Numer. and Anal. Methods Geomech. 1993. 21. 569-579.
4. Победря B.E. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Наука, 1995.
5. Зинкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Наука, 1986.
6. Никишин B.C., Чернигов A.B. Задачи об изгибе тонких упругих плит с шарнирами на многослойном полупространстве // Повышение долговечности дорожных конструкций: Тр. СОЮЗДОРНИИ. 1986. 4-20.
7. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.
Поступила в редакцию 28.05.2013
