CC BY
53
УДК 004.4
А. И. Мишичев, Н. В. Бабурина
СРАВНЕНИЕ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ ТОНКОСТЕННОГО ЦИЛИНДРА ПРИ АНАЛИЗЕ СОБСТВЕННЫХ ФОРМ И ЧАСТОТ
Динамические расчеты являются представительными, если расчетная модель включает в себя все элементы конструкции. Поэтому конечно-элементные модели (КЭМ) получаются весьма громоздкими, затратными и труднообозримыми. В связи с этим при разработке КЭМ исследователи прибегают к использованию наиболее простых типов конечных элементов (КЭ) для получения общей картины деформирования. Это позволяет выявить уязвимые зоны конструкции с тем, чтобы в дальнейшем более подробно описать их и целенаправленно уточнить КЭМ.
Такой подход не вызывает особых возражений, если линейные КЭ заменяются на линейные КЭ, а плоские - на плоские КЭ. Однако в этих случаях особого выигрыша в трудозатратах не достигается. В этом плане важно проанализировать допустимость использования балочных моделей вместо КЭМ, составленных из пластин или оболочек.
Ниже приведены результаты численных экспериментов на отдельном звене конструкции ледостойкой стационарной платформы (ЛСП) [1], а именно на стабилизирующей колонне. Были разработаны КЭМ из сочетания линейных и RIGID-элементов, а также КЭМ из КЭ типа PLATE. После верификации моделей путем статических расчетов на действие массовых сил был осуществлен анализ собственных колебаний этих моделей.
Объект и методика анализа собственных колебаний
Обычно целями определения частот и форм собственных колебаний являются:
- исследование частотных характеристик конструкции во избежание резонансных явлений;
- планирование экспериментальных исследований для определения зон расположения датчиков;
- быстрая оценка эффективности принимаемых решений по улучшению динамики конструкций.
Расчеты МКЭ проводились с помощью САЕ-системы (Computer Aided Engineering), включающей в себя препостпроцессор FEMAP [2] и решатель MSC.NASTRAN [3]. Технология реализации расчётов описана в [4].
Как правило, в основе динамических моделей CAE-систем лежит решение уравнения линейной теории колебаний
K ]М+[С Vt {5}+ M ]£ {5}+ {^ (t )}= 0,
ot ot
где [K], [С] и [M] - матрицы жесткости, демпфирования и масс; {5} - вектор перемещений; {F(t)} - вектор внешних сил.
Вещественная величина {5(t)} = {50}е™ представляет собой решение в форме периодических колебаний. Физически это означает, что все координаты конструкции изменяются синхронно: форма деформации не изменяется, изменяется только её амплитуда.
Уравнение для определения собственных частот получают из общего путём принятия [С] = 0 и {F = 0:
[K ]{5} + [M ]|2 {5}= 0.
ot
Это уравнение имеет вещественное периодическое решение {5} = {50}cos ®t, где ю - круговая частота (радиан в секунду), если выполняется условие
([K ]-та 2 [M ]){50 }= 0.
Последнее справедливо при некоторых значениях собственных угловых частот (Eigenvalue), каждая из которых определяет вектор (5о}„. Такие векторы называют модами системы (Normal Modes). В CAE-системах задачу о собственных колебаниях называют обычно Normal Modes/Eigenvalue, и она образует отдельный расчётный модуль.
Расчёт собственных частот сводится к решению проблемы собственных значений как множества и соответствующих 5„. Чаще всего только первые моды и соответствующие им низшие частоты имеют практическое значение, что упрощает анализ.
Предметом КЭ-моделирования служил стальной цилиндр радиусом R = 4,9 м, толщиной t = 0,02 м и длиной L = 9,25 м.
Его масса для балочной модели составила 89 235,53 кг (рис. 1).
Следует отметить, что первоначально оба конца цилиндра были жестко закреплены, далее один из концов был жестко соединен с некоторым объектом, который имитировал понтон, составленный из КЭ типа PLATE.
Результаты расчетов собственных колебаний
Балочное приближение. Некоторые из результатов расчетов для балочной модели (рис. 1) показаны на рис. 2.
V1
Output Set: Mode 1, 60.
1516 Hz
Deformed(0.00487): To^al Translation
Рис. 2. Формы колебаний: а - первая
V1
F
Output Set: Mode 4, 119.8543 Hz Deformed(0.0048): Total Translation
Рис. 2. Формы колебаний: б - вторая
Колебания цилиндра по первой форме совершаются с частотой 60,15 Гц (рис. 2, а), а по второй - с частотой 119,85 Гц (рис. 2, б).
Конечно-элементная модель из плоских элементов. Колебания плоской КЭМ отражают последовательность мод колебаний собственно оболочки. При этом частота колебаний по первой форме составляет 9,62 Гц, причем это чисто оболочечные колебания. Моды таких колебаний с нарастанием порядка продолжаются с малым приращением частоты достаточно долго. Все эти частоты, конечно, нет смысла сравнивать с балочными. Поэтому расчеты продолжались до тех пор, пока не была получена первая «глобальная» форма (рис. 3).
V1
Deformed(0.00606): Total Translation
Рис. 3. Глобальные колебания по первой форме плоской КЭМ Частота таких колебаний составила 63,97 Гц.
Выводы
1. Приведены сравнительные численные эксперименты по анализу собственных колебаний моделей тонкостенных цилиндров с использованием MSC.Nastran.
2. Для проведения расчётов построены КЭМ:
а) балочная - с применением комбинации элементов типа BAR и RIGID;
б) оболочечная - из КЭ типа PLATE.
3. Установлено, что частоты собственных колебаний по первым формам составили 60,15 Гц для балочной и 63,97 Гц - для оболочечной КЭМ.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Мишичев А. И., Круглов А. А. Анализ динамики ледостойкой стационарной платформы МКЭ в системе Femap-Nastran // Проблемы динамики и прочности исполнительных механизмов и машин / III науч. конф., Астрахань, 10-16 сент. 2007 г. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2007. - С. 170.
2. FEMAP Commands v. 8.2 EDS PLM Solutions, 2002.
3. MSC. Nastran 2004. Basic Dynamic Analysis.
4. Мишичев А. И. Решение задач динамики конструкций МКЭ с использованием САЕ-систем / Астра-хан. гос. техн. ун-т. - Астрахань, 2005. - 95 с. - Деп. в ВИНИТИ. 07.07.2005, № 956-B2005.
Статья поступила в редакцию 29.01.2008
THE COMPARISON OF THE FINITE ELEMENT MODELS OF THIN-WALLED CYLINDER
AT THE NATURAL MODE AND FREQUENCY ANALYSIS
A. I. Mishichev, N. V. Baburina
The numerical experiments of the natural vibrations of the thin-walled cylinder model are described by means of CAE-system FEMAP-NASTRAN. It is shown, that the frequencies of the natural vibrations at the first form are 60.15 Hz for the finite-element models with the application of the BAR and RIGID element type combination, and 63.97 Hz - for the finite-element models of PLATE type.
Key words: finite-element model, natural vibrations, superficial and linear elements, analytical model.
