CC BY
100
ЭЛЕКТРОНИКА
УДК 621.385.64
СРАВНЕНИЕ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА В ДЕКАРТОВОЙ И ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
ЧУРЮМОВ Г.И., СТАРЧЕВСКИЙЮ.Л., ЛЕБЕДЕВ О.Г., НОВИКОВ Н.И.
Рассматривается трёхмерное численное решение уравнения Пуассона конечно-разностным неявным итерационным методом в декартовой и цилиндрической системах координат. Показывается, что погрешность аппроксимации уравнения Пуассона в декартовой системе координат зависит только от величины пространственной дискретизации, а в цилиндрической системе координат эта погрешность зависит от величины пространственной дискретизации и радиуса. Для оценки влияния этих факторов на эффективность численного решения уравнения Пуассона проводится вычислительный эксперимент, который позволяет дать количественную сравнительную оценку точности и времени решения.
1. Введение
При проведении электродинамических расчётов численными методами важным этапом является выбор и проверка согласованности, точности, устойчивости и эффективности разностных схем аппроксимации уравнений в частных производных [1]. В практике разработки численных математических моделей используются различные схемы разностной аппроксимации. Это требует проведения подробного анализа данных моделей с точки зрения удовлетворения указанным выше критериям.
Целью данной работы является анализ точности и эффективности численного решения уравнения Пуассона в декартовой и цил индрической системах координат.
лений. Однако применение декартовой системы координат для решения задач, обладающих азимутальной симметрией, вызывает трудности, связанные с корректным заданием граничных условий. Для оценки точности вычислений рассмотрим и сравним численное решение азимутально-симметричной задачи в двух системах координат, выделяя положительные и отрицательные моменты такого решения.
а
Рис. 1. Выбор системы координат
В декартовой системе координат уравнение Пуассона запишется в виде:
g2U(x,y,z) f a2U(x,y,z) + ax2 ay2
| a2U(x,y,z) p(x,y,z) * (1) 2
az2 єо '
2. Постановка задачи
Известно, что аналитические решения уравнения Пуассона существуют только для простейших случаев задания граничных условий. В действительности часто приходится сталкиваться со сложной геометрией электродов и неравномерным распределением плотности объёмного заряда р . Поэтому приходится применять численные методы решения. В этом случае выбор системы координат для решения уравнения Пуассона зависит от конфигурации электродов и исследуемого пространства (рис. 1, а и б). К тому же, конечно-разностные выражения, записанные в декартовой системе координат, обычно более простые и легче для вычис-
Решение (1) ищется при помощи разностной схемы, которая показана на рис. 2 и описана в работе [2]. Используя трёхточечную разностную аппроксимацию, уравнение (1) запишем в виде:
Ui+1,j,k 2' Ui, j,k + Ui-1,j,k
hx Г
, Ui,j+1,k _ 2' Ui,j, k + Ui,j-1,k
' hy , Ui,j,k+1 _ 2 • Ui,j, k + Ui,j,k-1
' hz2
Pi,j,k
є0
(2)
32
РИ, 2004, № 3
Переменные i, j, k в (2) обозначают номер узла по осям x, y, z . Количество узлов по каждой оси и размеры расчётной области выбираются пользователем, и, исходя из этих данных, вычисляются
соответствующие шаги сетки hx, hy, hz .
Рис. 2. Сеточная схема в декартовой системе координат
Во всех точках сетки задаются начальные значения потенциала и плотности заряда. Окончательно
потенциал для (i, j, k) узла может быть представлен в виде:
Pi,j,k + U.+1,j,k + Ui-1,j,k
є0
Uj =---Т
---2 +---2 +---2
hx2 hy2 hz2
Ui,j+1,k + Ui,j-1,k + Ui,j,k+1 + Ui,j,k-1
■ + sl(hX
(3)
---2 +---2 +---2
hx 2 hy2 hz2
h
x
2
h
h
y
z
1
1
1
2
где Є1 (h) — ошибка разностной аппроксимации уравнения Пуассона в декартовой системе координат.
Выражение (3) используется для определения потенциалов узлов в рассматриваемой области с помощью итерационного метода, который подробно описан в [2].
В цилиндрической системе координат уравнение Пуассона запишется в виде:
д 2U(r, 9,z) д 2U(r, 9,z)
д? + бТ2 +
+ 6U(r, 9,z) + 92U(r, 9,z) _ p(r, 9,z) (4)
r-dr r2-5ф2 so
Решение (4) ищется при помощи разностной схемы, которая показана на рис. 3 и описана в работе [2].
РИ, 2004, № 3
Рис. 3. Сеточная схема в цилиндрической системе координат
В этом случае (4) приближённо записывается в виде:
Ui, j,k+1 2' Ui,j,k + Ui,j,k-1
+ Ui+1,j,k ~ 2' Ui,j,k + Ui —1, j,k +
Ui+1,j,k _ Ui-1,j,k H------^---------’J:—|-
2 • r • hr
Ui,j+1,k ~ 2' Ui,j,k + Ui,j—1,k _ Pi,j,k
r2 • h 2 A ААф
s 0
2
h
z
h
r
(5)
Переменные i, j, k в (5) обозначают номер узла по осям r , ф, z . По аналогии с декартовой системой координат окончательно получаем потенциал для (i, j, k) узла:
Ui,j,k+1 + Ui,j,k-1 + Ui+1,j,k + Ui—1, j,k
Uj =■
2 •
11
, 2 ,2 2 и 2
hx hr r •hф J
Ui+1,j,k + Ui—1,j,k + Ui,j+1,k + Ui,j-1,k | Pi,j,k
2 • r • h
2
r2 • hф2
eo
2 •
( \ 1 1 1
. 2 + , 2 + 2^2 hx hr r • hm
v x r ФУ
(6)
+ Є 2(h),
h
h
z
r
1
r
где є 2(h) — ошибка разностной аппроксимации уравнения Пуассона в цилиндрической системе координат.
33
Выражения (3) и (6) являются базовыми для решения уравнения Пуассона в декартовой и цилиндрической системах координат. Для более точного представления границ расчётной области в декартовой системе координат использовался метод, предложенный в [3]. Он заключался в применении опорных точек в местах пересечения границ с линиями сетки для составления разностных уравнений. Для определения координат опорных точек необходимо решать систему уравнений, описывающих границы расчётной области и линии сетки. Это несколько усложняет алгоритм, однако позволяет значительно повысить точность описания границ электродов с помощью равномерной сетки разбиения. В результате имеем, что в области, прилегающей непосредственно к поверхности электродов, сетка становится неравномерной. В этом случае уравнение (1) перепишется в виде1:
U(x + hx) - U U - U(x - h x)
h:
h x
hx + hx 2
U(y + h+) - U U - U(y - h^)
h:
h:
h у + h y 2
U(z + hz) - U U - U(z - hz)
h:
h7
(7)
hz + hz
p(x,y, z)
e0 ’
+
2
где h x,h y,hz — расстояние между соответствующими текущими и следующими узлами координат-
ной сетки; hx ,h y,hz — расстояние между соответствующими текущими и предыдущими узлами координатной сетки.
Из выражения (7) можно получить следующую итерационную формулу для общего случая неравномерной сетки:
U(x + h X) + U(x - hx) hx hx
hx + h x
U =
_L _L —+— _L _1
h^h£+ Ц hy | h+ + h-
hx ^ hx hy + hy hz ^ hz
222
(8)
Для сокращения записей переменные, по которым не ведётся дифференцирование, опущены.
34
U(y + h + ) U(y - h у)
h у + h y
1 1 1 ^ 1 1 1
- +- 7УГ+— — +---
~+ h* hy ^ hz hz
hx hx
hx + hx hy + hy hz + hz
U(z + hz) + U(z - h-)
hz + hz
11
- + —
11
-+—
+ h t h“ u+
11
+ —
hx hx
y
hz hz
hx + hx hy + hy hz + hz
222
p(x,y,z)
e0
11
- +-
11
-+-
+ ' h t h“ *•+
11
+ —
hz hz
hx hx __________т________
hx + hx hy + hy hz ^ hz
h
h
2
2
2
2
h
h
2
2
2
2
Выражение (8) позволяет при достаточном числе итераций получить численное решение уравнения Пуассона в декартовой системе координат.
3. Оценка точности разностной аппроксимации
В работе [2] при помощи разложения функции для потенциала в ряд Тейлора в окрестности точки
(i,j,k) , для которой z є [z-hz;z + hz],
r є [r-hr;r + hr], фє [ф-h9;ф + h^|, и последующей подстановки в разностные выражения показано, что трёхточечная разностная схема первой и второй производных имеет второй порядок точности.
Тогда первая и вторая производные могут быть представлены в виде суммы истинного значения и некоторой погрешности, связанной с разностной аппроксимацией.
Рассмотрим третий и четвёртый члены уравнения Пуассона (4) в цилиндрической системе координат:
Ш 5 2U
r -Sr и r2 • Эф2 .
(9)
С учётом сказанного выше выражения (9) запишутся в виде:
2
UW + OVi) и ШМ+. (10)
r r r2 r2
Первый член в каждом из выражений (10) представляет собой истинное значение соответствующего члена уравнения Пуассона, а второй характеризует вычислительную погрешность.
РИ, 2004, № 3
Уравнение Пуассона в декартовой системе координат не содержит членов, похожих на выражения (9), поэтому погрешность аппроксимации уравнения Пуассона в декартовых координатах определяется
величинами O(hx2), O(hy2), O(hz2). В цилиндрической системе координат погрешность аппроксимации уравнения Пуассона определяется величина-
O(hr)
O(hф2)
ми
~Т~ , O(hz2).
r
Для оценки влияния выбора системы координат на точность и эффективность решения уравнения Пуассона был проведен численный эксперимент для азимутально-симметричной задачи.
4. Численный эксперимент
Численное решение уравнения Пуассона проводилось для расчёта магнетронной пушки [4], схема пространства взаимодействия которой представлена на рис. 4.
, А
hv
Рис. 4. Схема рабочего пространства магнетронной пушки: 1 — катод; 2 — анод; 3 — коллектор;
4 — граница расчётной области
На рис.5 показано распределение потенциала в сечении А-А в цилиндрической системе координат, а на рис. 6 — распределение потенциала в сечении А-А в декартовой системе координат. Для расчёта распределения потенциала во всём объёме, заключённом в границе расчётной области, необходим обоснованный выбор шага сетки и количества итераций, поскольку эти параметры влияют на эффективность и точность расчёта процесса формирования электронного пучка. Максимальная погрешность расчёта методом сеток находится примерно в середине межэлектродного промежутка, поскольку на электродах значения потенциала заданы абсолютно точно граничными условиями.
Для оценки величины относительной погрешности dU и сравнения решений, проведенных в цилиндрической и декартовой системах координат, был просчитан ряд тестовых задач. Результаты расчётов приведены на рис. 7 и 8.
Для сравнения был выбран потенциал, рассчитанный аналитически в сечении А-А по формуле:
ln
U
истинное
(r) = U
1анода
катода /
ln
А-А
‘анода у гкатода )
r
(11)
Рис. 5. Распределение потенциала в цилиндрической системе координат
А-А
Рис. 6. Распределение потенциала в декартовой системе координат
На рис. 7 показаны зависимости относительной погрешности 5U от числа итераций N в цилиндрической системе координат, которая определяется с учётом (11) следующим выражением:
^Umax _ max
U
истинное
(Г) - U(r)
U
истинное
(r)
100%
(12)
На рис. 8 показаны зависимости относительной погрешности 5U от числа итераций N, рассчитанной по формуле (12) в декартовой системе координат.
Анализ показывает, что независимо от системы координат при уменьшении шага сетки для дости-
РИ, 2004, № 3
35
жения необходимой точности нужно увеличивать число итераций. При значительном увеличении числа итераций погрешность перестаёт уменьшаться и стремится к некоторому минимальному значению, которое определяется дискретностью пространственной сетки. Для дальнейшего уменьшения погрешности необходимо выбирать более мелкую сетку, а затем увеличивать число итераций.
—9—75*75*20 —в—50*50*20 —*— 35*35*20 —*— 15*15*20
Рис. 7. Зависимости максимальной относительной погрешности dU от числа итераций N в цилиндрической системе координат
Рис. 9. Время t, затрачиваемое на расчёт одной итерации, в зависимости от дискретности сетки
Для расчёта физических процессов, протекающих в азимутально-симметричных приборах, обычно используется цилиндрическая система координат. Рассмотрим возможность оптимизации расчётов, проведенных в работе [5], при помощи перехода к декартовой системе координат.
На рис. 10 показана зависимость относительной погрешности от числа итераций для двухмерных равномерных сеток 200*2 50 для цилиндрической и декартовой систем координат.
-А—35*35*20 —к—15*15*20
Рис. 8. Зависимости максимальной относительной погрешности dU от числа итераций N в декартовой системе координат
На рис. 9 представлена зависимость времени, затрачиваемого на расчёт одной итерации, от дискретности сетки. Время, затрачиваемое на расчёт одной итерации в цилиндрической и декартовой системе координат, практически одинаковое при соизмеримом числе узлов в сетках. Это объясняется идентичностью проделываемых операций. Поэтому полное время расчёта пропорционально числу итераций.
Точность расчёта при одинаковом числе итераций различна (см. рис. 7 и 8). Практический интерес представляет область, в которой относительная погрешность не превышает нескольких процентов. В декартовой системе координат предельная минимальная погрешность для рассматриваемых сеток наблюдается при 600 итерациях. Аналогичные сетки в цилиндрической системе координат не могут обеспечить аналогичную точность даже при числе итераций, превышающем 10000.
—$— Црщшндрическая система координат —В— Декартовая система координат
Рис. 10. Зависимость относительной погрешности dU от числа итераций N для цилиндрической и декартовой системы координат
Скорость счёта составляла 95,298 итераций в секунду (1 итерация за 0,0105 с). В декартовой системе координат минимально возможная погрешность при данной дискретности сетки (0,017%) достигалась за 1минуту 45 секунд. В цилиндрической системе координат для достижения такой точности необходимо более 5,5 минуты. При дальнейшем увеличении числа итераций цилиндрическая система координат способна обеспечить значительно более высокую точность (порядка 10_5 %). Декартовая система координат позволяет значительно быстрее получить решение с погрешностью в несколько процентов, а это важно при проведении большого количества расчётов. В этой области скорость сходимости решения уравнения Пуассона в декартовой системе координат превосходит скорость сходимости в цилиндрической системе координат более чем на порядок.
36
РИ, 2004, № 3
5. Выводы
Научная новизна данной работы заключается в том, что в декартовой системе координат численное решение уравнения Пуассона конечно-разностным неявным итерационным методом находится быстрее, чем в цилиндрической системе координат при соизмеримом числе узлов соответствующих сеток. Представлены расчётные зависимости, которые дают количественную оценку скорости счёта при заданной дискретности сетки в обеих системах координат.
Практическое значение полученных результатов заключается в возможности ускорения расчётов распределения потенциала, создаваемого электродами практически любой геометрии. В частности, результаты работы были использованы при моделировании электронных пучков в магнетронных пушках.
Сравнение использованного метода решения уравнения Пуассона с аналогичными методами показывает преимущество выбранного, поскольку он требует меньше оперативной памяти, которая ограничена.
Литература: 1 Поттер Д. Вычислительные методы в физике. M.: Мир, 1975. 391 с. 2. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616с. 3. Молоковский С.И., Сушков А.Д. Интенсивные электронные и ионные пучки. Ленинград: Энергия, 1972. 270с. 4. Волколу-
пов Ю.Я., Довбня А.Н., Закутин В.В., Красноголовец М.А., Решетняк Н.Г., Ромасько В.П. Быстрое формирование электронного пучка в магнетронной пушке с вторично-эмиссионным металлическим катодом // ЖТФ, 2001, Т.71, №9. C.134-136. 5. Агафонов А.В, Тараканов В.П., Федоров В.М. Динамика нарушения магнитной изоляции и самоорганизация электронного потока в магнетронном диоде // ЖТФ. 2004. Т.74, №1. C.93-103.
Поступила в редколлегию 11.03.2004
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Стасев Ю.В.
Чурюмов Геннадий Иванович, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры ФОЭТ ХНУРЭ. Научные интересы: Методы математического моделирования, СВЧ электроника и электродинамика, оптоэлектроника. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-057.
Старчевский Юрий Львович, аспирант кафедры ФОЭТ ХНУРЭ. Научные интересы: физика электронных пучков, программирование, математическое моделирование. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 32-49-19.
Лебедев Олег Григорьевич, канд. техн. наук, доцент, начальник кафедры №304 ХИ ВВС. Научные интересы: радиолокация и навигация, аэродромное оборудование. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Клочковс-кая, 228. тел. 30-82-14.
Новиков Николай Иванович, канд. военных наук, зам. начальника факультета по учебной и научной работе ХИ ВВС. Научные интересы: радиосвязь. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Клочковская, 228.
УДК 621.375.9
СЛОЖНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРОСТЫХ СИСТЕМ С S-ОБРАЗНОЙ ВОЛЬТАМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
ЛОШИЦКИЙ П.П., НИКОЛОВ Н.А.,
АЛЬ СИНЖЛАВИ Ш.______________________
Рассматриваются преобразователи стохастичности, построенные на электронных приборах с S-образной вольтамперной характеристикой. Показывается, что для генераторов, построенных на таких элементах (ЛПД, неоновая лампа, динистор), возможна реализация перехода к хаосу по сценарию, связанному с инерционностью основных параметров активного элемента.
Явление хаотизации динамических процессов в детерминированных нелинейных системах, которое совсем недавно казалось невероятным в рамках традиционных взглядов теории колебаний, в настоящее время представляет собой не только хорошо теоретически обоснованный факт, но и получило широкое практическое применение.
Одной из областей такого применения детерминированного хаоса является создание генераторов стохастичности. Основное их отличие от обычных генераторов шума заключается в следующем. В генераторах шума имеется первичный источник
шума, случайный сигнал которого требует достаточно большого усиления, что ограничивает область его применения. В генераторах стохастичности первичный источник используется для управления регулярными колебаниями большой амплитуды, преобразуя их в стохастические. При этом генераторы стохастичности создают столь сложные динамические колебания, что они мало отличаются от шумового сигнала. Таким образом, отличия генераторов шума от генераторов стохастичности заключаются не только в величине выходной мощности сигнала, но и в механизмах его реализации [ 1]. В теории детерминированного хаоса генераторы стохастичности нестрого делят на преобразователи, усилители и генераторы стохастичности.
Для преобразователей стохастичности источниками первичной случайности могут быть микроплазмы в твердотельных приборах, флуктуации параметров в вакуумных приборах, а также различные инерционные процессы.
Флуктуации оказывают относительно слабое влияние на устойчивые системы, имеющие малые отношения рабочей поверхности к объему активно -го элемента и работающие в частотных диапазонах, далеких от частоты (времени) релаксации флуктуаций. В неустойчивых системах рабочие частоты соизмеримы с частотами релаксации флуктуаций, и развитые поверхности последних играют решаю -щую роль в работе прибора, качественно меняя его параметры.
РИ, 2004, № 3
37
