Справедливое разделение пропускной способности каналов сети Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.711.7 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 2

В. В. Мазалов, Ю. В. Чуйко

СПРАВЕДЛИВОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ КАНАЛОВ СЕТИ

1. Введение. В последнее время в исследованиях, связанных с оптимизацией работы вычислительных сетей, стали применяться методы некооперативной теории игр п лиц. При этом каждый сервер, входящий в сеть, трактуется как некоторый игрок. Это направление получило название игры в сетях, или Networking games [1]. Один из классов задач данного направления составляют задачи оптимального распределения ресурсов сети между пользователями [2-7], в частности, задачи разделения пропускной способности [8-10].

В работе рассматриваются два варианта моделей справедливого разделения пропускных способностей каналов в сети между пользователями.

Задаче маршрутизации и разделения пропускной способности каналов в открытой сети посвящен п. 2. Практическим примером такой задачи является назначение владельцами крупных локальных или региональных сетей клиентам (организациям, населенным пунктам) гарантированной величины пропускной способности (скорости) доступа по каналам своей сети к внешнему сетевому пространству. В такой модели пользователи сети из своих узлов получают доступ к внешнему сетевому пространству через узлы внешнего доступа данной сети. Задача заключается в составлении оптимальной схемы маршрутизации соединений внутри сети и выделения соединениям части пропускной способности используемых ими каналов. Критерием полезности для каждого пользователя является выделяемая суммарная пропускная способность для его соединений к узлам внешнего доступа.

В п. 3 в задаче разделения пропускной способности каналов сети между внутрисете-выми соединениями критерием полезности для каждого пользователя служит чистая прибыль, получаемая пользователем от использования сети. Если в первой модели осуществляется формальное разделение ресурсов каналов между пользователями, то здесь строится схема оптимального использования данных ресурсов. При этом учитывается влияние уровня загрузки канала на время прохождения данных по нему и, следовательно, на плату за его использование. Такая модель рассматривается для упрощенного варианта топологии сети - изолированной сети с общей шиной (линейной сети) с известной заранее схемой внутрисетевых соединений. Задача заключается в оптимальном определении пользовательских квот на объем отправляемых данных.

В обеих моделях в качестве критерия оптимальности используется обобщенный критерий справедливости, предложенный в работах [4, 8-10]: N игроков определяют значения вектора х = (xj,... ,xn), fi{x) - функция полезности i игрока.

Справедливое решение является решением задачи

1 N

max--Y^fi(x)1 а ^ 0, аф 1,

х 1 — а

где а - параметр справедливости: при а —> пропорциональная справедливость; а —> 2 тах-нип решение (равновесие по Нэшу).

© В. В. Мазалов, Ю. В. Чуйко, 2000

0 - решение - глобальный оптимум, а —> 1 -- гармоническая справедливость; а —> оо -

2. Маршрутизация и разделение пропускной способности каналов в открытой сети. Постановка задачи. Рассмотрим открытую сеть передачи данных, состоящих из следующих компонентов:

• набор узлов, в которых находятся пользователи сети (каждому узлу соответствует один пользователь);

• набор узлов, предоставляющих доступ к внешнему сетевому пространству;

• набор переходных узлов, которые служат точками объединения/разветвления каналов связи;

• набор каналов связи с ограниченной пропускной способностью, передающих данные в обоих направлениях.

Будем считать, что внутрисетевые соединения (передача данных между пользователями только в пределах сети) отсутствуют. Пользователи стремятся получить доступ из своей сети к внешнему сетевому пространству. В сети для каждого пользователя образуются виртуальные соединения между данным пользователем и узлами доступа во внешнее сетевое пространство, по которым идет передача его исходящего и входящего трафика. Каждое такое соединение представляет собой объединение всех сеансов связи между узлом пользователя и узлами внешнего доступа по некоторым маршрутам через каналы связи и другие узлы. Примем, что такие сеансы возникают постоянно и их суммарные требования к ресурсам пропускной способности сети остаются неизменными.

Для определенности считаем каждое соединение ориентированным от пользователя к узлам внешнего доступа. Тогда соединения могут быть представлены как потоки по сети от пользователей к узлам внешнего доступа. Размер потока определяется как часть ресурсов пропускной способности сети, которая выделяется пользователю. Пользователи генерируют потоки, проходящие через цепи каналов связи к поглощающим их узлам внешнего доступа. При этом для потоков каждого пользователя все промежуточные узлы на маршрутах от узла-источника к поглощающим узлам являются транзитными. Такими узлами могут быть как переходные узлы, так и узлы-источники других пользователей.

Каждый поток считаем бесконечно разделяемым. Это означает, что входящие в транзитный узел по разным каналам потоки от одного пользователя могут быть объединены и перераспределены в любых пропорциях в новый набор исходящих потоков.

Задача заключается в составлении оптимальной схемы распределения потоков в

Математическая модель. Компонентами сети являются:

• 5 = {«¿, г = 1,..., ./V} - узлы пользователей, генерирующие потоки;

• Т = {«г, г = (./V + 1),..., (ТУ + ^оипЬ)} ~ переходные узлы;

• О = {е.;, г = (N + ЬсоипЬ + 1),... + ЬсоипЬ + йсоипЬ)} - узлы внешнего доступа, поглощающие потоки;

• Ь = {/_, = (вг^к),] = 1 ,...,1соипЬ\81,8к £ 5 и Т и В} - каналы связи, V = 1,..., 1соипЬ С] - пропускная способность канала I

Каждый канал может передавать потоки в обоих направлениях. Для каждого канала 1: = определим направление в» —» вк как положительное, если г < к, и как отрицательное, если г > к.

Для каждого пользовательского узла й,- по каналам необходимо определить: Ф^ -поток по каналу ^ в положительном направлении, фЗ+1ооип' _ поток по каналу ^ в отрицательном направлении. Потоки должны соответствовать следующим ограничениям:

1. Величины всех потоков ^ О V? = 1,..., (1соип1 * 2) являются неотрицательными.

2. Для каждого пользовательского узла его собственные потоки, входящие в данный узел по инцидентным ему каналам, равны нулю.

3. Потоки, исходящие из узлов внешнего доступа по инцидентным им каналам, -нулевые.

4. Для каждого транзитного узла сумма входящих в него потоков одного пользователя должна равняться сумме исходящих потоков того же пользователя.

5. Сумма всех потоков, идущих по одному каналу, не должна превышать его пропускной способности.

Данные ограничения формально представляются в следующем виде:

1. Уг = 1,..., N Vj — 1,..., ЦсоипЬ * 2) ф{ ^ 0.

2. Уг = 1,...,ЛГ

V? = 1,..., 1соипг : Ц = («<, в*),« < к ф{+1с°ип< = 0 и У7 = 1,..., ^couní : 1= , вд;), г > к Ф\ — 0.

3. Уг = (ТУ + + 1),..., (И + + йсоипЬ)

У/ = 1 ,...,1соитИ : ^ = > к ф{+1с™п< = 0 и

У= 1,..., 1соипЬ : I] = (в,, вь), г < к Ф\ = 0.

4. Уг =

УА; = 1,..., (ЛГ + ШиЫ) : к ф г где

= -1 и г\)+1соип1 = 1 У/; = (8к,8т) : кшит/!иш^ + гсоипЬ; Л,} = 0 и = 1 ^ = («/!, вщ) : /с < т и = г;

= -1 и г[ )+1соип1 = 0 У^- = («к, зт) : /с < т и т > N + ¿согт*; = 1 и г\^+1соип1 = -1 У/_/ = (в/ь «т) : Ьшит/1'ит^ + ШиМ;

гк,1 = 1 и пм-нсогт« = 0 ^ = («ь*т) = к > 771 и 7п = V,

гк,з = 0 и гк,з+1соип1 = = (вл. 8т) : /г>тито>ДГ + ¿согтг;

все остальные г[, - = 0.

5. У; = 1,..., /согт* ЕГ=, (Ф? + <^+,соип<) <С с,,

Для каждого пользовательского узла «г сумма генерируемых им потоков а,^ = + ф1+1соип1). Введем также для каждого из пользовательских узлов в; весовой коэффициент ги^. В реальности, в зависимости от знака 1 — а < 0 или 1 — а > 0, весовые коэффициенты или ~ соответственно можно интерпретировать, например, как численность населения или число подключенных к сети компьютеров в пунктах, являющихся пользовательскими узлами. Тогда, в соответствии с обобщенным критерием справедливости, критерий оптимальности распределения потоков будет выглядеть следующим образом:

- гЬЕ

где параметр справедливости а > 0, а / 1. Данная функция является вогнутой, множество ограничений - выпукло. То есть локальное решение поставленной задачи оптимизации будет являться глобальным.

Сокращение размерности задачи. В исходном виде задача включает N*1соипЫ 2 переменных. За счет ограничений 2 и 3 из рассмотрения сразу могут быть исключены все участвующие в них переменные, число которых складывается из числа каналов, инцидентных пользовательским узлам, и числа каналов, инцидентных узлам внешнего доступа.

Ограничения 4 представляют собой набор N систем N + tcount — 1 линейных уравнений с коэффициентами —1, 0, 1. Причем в каждую систему г с ненулевыми коэффициентами входят только переменные, соответствующие собственным потокам г-го узла. Каждая из систем является линейно независимой. Путем применения алгоритма Гаусса из каждой из них могут быть выражены N -I- tcount — 1 зависимых переменных. Полученные выражения подставляются в ограничения 1 и 5. Таким образом, размерность задачи сокращается еще на N + tcount — 1, а из ограничений остаются только ограничения-неравенства.

В общем виде полученная задача оптимизации может быть записана как

F($) -> max, ЛФ ^ Ъ,

здесь Ф - вектор переменных, оставшихся после сокращения размерности задачи, А -матрица коэффициентов, а Ъ - столбец свободных членов преобразованной системы ограничений 1 й 5 после подстановки в нее выражений зависимых переменных.

Пример 1. Рассмотрим схему доступа к Интернет из сети МГУ-РАН. Три основных ее узла связаны в треугольник каналами 155 Мбит/с. Распределение пользователей, подключенных на данные узлы (напрямую или через транзитные маршрутизаторы) составляет примерно 50, 30 и 20%. Между 1-м и 3-м узлами существует резервный канал 1 Гбит/с. Узел 1 соединен с узлом внешнего доступа каналом 100 Мбит/с.

Результаты решения для различных значений а отражены в табл. 1.

Таблица 1. Решение для схемы доступа МГУ—РАН

Узел-источник потока Маршрут Размер потока

а = 0,5 а = 2 а = 3 а = 5

1 1 - Интернет 50 41,55 44,65 46,62

2 2 - 1 - Интернет 30 32,17 31,76 30,98

3 3-2-1 0 8,45 5,34 3,14

3 3 - 1 20 17,83 18,24 19,26

3 1 - Интернет 20 26,28 23,59 22,4

Пример 2. Рассмотрим участок сети ТрансТелеКом Центрально-Черноземного региона России (рис. 1) *' . В качестве пользовательских узлов берем узлы доступа ТрансТелеКом, расположенные в городах региона, имеющих население более 10 тыс. чел. Доступ из них к внешнему сетевому пространству осуществляется через Москву, Ростов, Украину, Пензу и Саратов. Узлы данной сети связаны между собой волоконно-оптическими линиями с пропускной способностью около 2,5 Гбит/с. Будем считать, что на каждой из линий часть пропускной способности величиной 2 Гбит/с необходимо формально распределить между использующими линию населенными пунктами, оставляя 0,5 Гбит/с в качестве резерва.

Приведенное решение этой задачи было получено для параметра справедливости а = 3. Для каждого пользовательского узла в качестве весового коэффициента используется численность населения города, в котором он расположен. В табл. 2 приведены полученные в результате решения задачи суммарные пропускные способности каналов, выделенные каждому из пользовательских узлов, которые равны суммарным потокам, исходящим из таких узлов.

*) Данные о структуре сети Центрально-Черноземного региона России были получены с сайта компании ЗАО «Юго-Восток ТрансТелеКом» [11].

Москва

Выделяемая узлу суммарная пропускная способность (Мбит/с)

Аркадак^

/

/Саратов

Балашов

Рис. 1. Решение для участка сети ТрансТелеКом.

¡ердобск

Пристень

Белгороду Ч'чу' Алексеева

366'41 Россошь

46Кантемировка

Ростов

Рис. 2. Схема доступа из г. Курска.

Уровень заштрихованности на рис. 1 позволяет визуально оценить распределение полученных суммарных пропускных способностей, выделяемых для каждого из пользовательских узлов, а также загруженность каналов при условии максимального ис-

пользования узлами выделенной им пропускной способности. Знаком (!) отмечены каналы, пропускная способность которых распределена полностью.

Таблица 2. Решение для участка сети ТрансТелеКом

Город Численность населения, тыс. чел. Выделяемая пропускная способность, Мбит/с

Воронеж 906,9 2032,38

Липецк 521,6 1405,59

Курск 441,6 1257,92

Белгород 344,2 1065,38

Тамбов 309,1 991,66

Старый Оскол 215,8 780,43

Мичуринск 119,4 525,98

Елец 118,9 524,51

Балашов 95,9 454,48

Губкин 87,0 425,90

Россошь 64,4 348,52

Лиски 55,5 315,62

Грязи 49,3 291,65

Ртищево 44,8 273,62

Сердобск 40,9 257,50

Алексеевка 38,0 245,18

Валуйки 35,8 235,62

Новый Оскол 20,8 164,06

Кирсанов 19,8 158,76

Поворино 19,6 157,69

Аркадак 14,5 128,99

Таловая 13,9 125,40

Кантемировка 13,2 121,16

Москва

Пенза

Тамбов

гсанов

\5,6

)ердобск

ичуринск

\_76.ir, Елец 69,84 Липецк

....."............ '4 69,84 117в,4^^ГрЯ31

5,3_

Касгорная ¡Воронеж

2449,24

Гу^щ!/Старый Оской48,8

- Ъ 840.12

"Ноши Оскол 49'^-^уТйскн-

49,24 \

, 492 V- А ле ксее пк а

„ 67'71р0СС0ШЬ

8 Налуики ,,

° К Я 11' 1 11 \ < ! Т

аловая

840,12

____' -...... Н7.21

840Д2^-^рКадак

12^'Балашов Саратов" оворино

Пристень

Белгород1

украина

67 73Кантемировка Ростов

Рис. 3. Схема доступа из г. Воронежа.

Для каждого из пользовательских узлов сети построена схема маршрутов доступа к внешнему сетевому пространству из данного узла. Маршруты характеризуются набо-

ром каналов, через которые осуществляется доступ из данного пользовательского узла к узлам внешнего доступа. На каждом из таких каналов для пользовательских узлов определены выделенные ему пропускные способности. Примеры таких схем приведены для Курска (рис. 2) и Воронежа (рис. 3).

3. Разделение пропускной способности каналов в линейной сети. Постановка задачи. Рассмотрим сеть передачи данных, имеющую линейную структуру (рис. 4).

N + 1 N4-2 2ЛГ -

1 2 I N - 1

Х\ Х-2 ХЯ-1 Хн

Рис. 4- Структура линейной сети.

Сеть состоит из следующих компонентов:

• N пользовательских узлов сети (например, рабочих станций или выходов в другие сети), в которых находятся ее пользователи;

• N транзитных узлов (маршрутизаторов, концентраторов);

• Ь = 2И — 1 каналов связи, для каждого / = 1,..., Ь С1 - пропускная способность канала I.

В сети между парами пользовательских узлов создаются соединения, по которым пользователи обмениваются данными. Каждое такое соединение между пользователями г < У занимает каналы г, i + N, 1 + N + 1,..., N + j — 2, N + ] — I, Будем считать, что каждый пользователь г = 1,..., N создает одно соединение на некоторый другой пользовательский узел и ему выделяется квота на объем отправляемых данных Для каждого пользователя г = 1,..., ЛГ определены минимальные требования к отправке данных: ^ А,-. Будем считать, что пропускная способность сети позволяет выполнить все минимальные требования пользователей.

Пусть ау = 1, если между пользователями г и ] существует соединение, и 0 -если нет. Обозначим Т;(х) - среднее время прохождения единицы объема данных по каналу I:

Щх) =

С1—Х1— £ Ор1Хр Р=1

О - ¿1 (аряхр+аягхч)

для 1 < / ^ ./V,

для N + 1 < I ^ 2ЛГ - 1.

Если на каком-либо канале соединения полностью используют его ресурс пропускной способности, то время прохождения данных по этому каналу становится равным оо.

Для каждого пользователя г = 1,..., ЛГ определяется функция полезности использования сети

N ( тах{1,>}+Л'-1

/г(х) = щ(Хг) - Х^Ч ТДх) + ^ Т; (х) + Т, (х) ] =

.7 = 1 \ l=min{i,j} + N

(ma.x{i,j}+N-l

1=Ш1 п{г,у} + ЛГ

где ] - номер узла, которому пользователь г отправляет данные (1 ^ ] ^ N : а^ = 1); - прибыль, получаемая пользователем от отправки данных. Необходимо

каждому пользователю г = 1,..., N установить квоту на объем отправляемых данных Х1, максимизирующую его функцию полезности.

Лемма. Пусть Н(х) : X —> Я - выпуклая функция, определенная па выпуклом множестве X С Дп, неубывающая по всем своим аргументам х¿. Тогда для любого 1 ^ г ^ п х;/г(х) также является выпуклой.

Доказательство. Пусть р € (0,1), х, х' € X. Тогда, в силу выпуклости к(х):

(рхг + (1 - р)х\)Н{рх + (1 - р)х') ^ (рхг + (1 - р)х\){рК{х) + (1 - р)Цх')) =

= р2хМх) + р{ 1 - р)х\1г{х) + (1 - р)2х\Н{х') + р( 1 - р)хМх') = = рхМх) -р( 1 -р)н{х){хг - х-) + (1 -р)х'М:г') - р{ 1 - р)1г(х'){х\ - х¿) = = рхМх) 4- (1 - р)х\Н(х') - р{ 1 - р)(х[ - х*)(/г.(х') - 1г{х)). Так как Ь(х) - неубывающая по х;, то (х- — х{)(/г(х') — /г(х)) ^ 0. Следовательно,

(рхг + (1 - р)х\)11{рх + (1 - р)х') ^ рхг/г(х) + (1 - р)х\Цх'),

что означает выпуклость х;й(х). Лемма доказана.

В силу линейности ограничений, в задаче условной максимизации допустимое множество решений является выпуклым. Х/(х) - выпуклые функции, неубывающие по всем аргументам. Пусть все и^х^ - вогнутые функции. Тогда все функции полезности являются вогнутыми. Действительно, для р 6 (0,1) и любых х,х', удовлетворяющих ограничениям задачи условной максимизации, используя вышеприведенную лемму, получаем

Мрх + (1 - р)х') > рШ + (1 - р)Л(х').

Так как все функции полезности - вогнутые, то для решения задачи справедливого разделения пропускной способности каналов может быть применен обобщенный критерий справедливости [8-10]. В соответствии с ним справедливым будет решение задачи условной максимизации

1 Ы

тах--УЧ(х)1 а^О, а ф 1,

х 1 — а

1=1

V г = 1,..., N XI > А;,

V 1 = \,...,Ь о.

Первая группа ограничений связана с минимальны,ми требованиями пользователей к выделяемой квоте на объем отправляемых данных. Схема следования данным ограничениям будет следующей:

1) решается задача без учета минимальных требований;

2) если не нарушено ни одно из ограничений на минимальные требования, задача решена;

3) если существует пользователь г, для которого требования нарушены, то определяем х; = А;, снижая на 1 размерность задачи, и переходим к п. 1.

Рассмотрим вторую группу ограничений, связанных с пропускной способностью каналов. Из вида функций Г;(х), определяющих среднее время прохождения данных по каналу, следует, что ни одна из них не может принимать нулевые значения. Следовательно, множители Лагранжа, соответствующие этим ограничениям, будут равны 0, а знак нестрогого неравенства здесь может быть заменен строгим.

Пример 3. Рассмотрим задачу с двумя пользователями и тремя каналами (ДГ = 2). Допустим, что пропускная способность всех каналов равна с и пользователи, отправляя данные, получают прибыль, равную иХ{. Очевидно, что если минимальные требования пользователей одинаковы, то значения хг для обоих пользователей в этом случае также должны совпадать. Решением без учета минимальных требований будет £1 = х-2 = |(с — При условии си > 3 такое решение будет положительным

и не будет превышать — - пороговое значение для Х\ = х2, ниже которого функции полезности для пользователей остаются положительными. Если минимальные требования пользователей выполнены, то данное решение будет решением задачи справедливого разделения пропускной способности каналов сети. Иначе, пусть для х,\ требование х\ ^ А1 нарушено. Тогда принимаем х\ — А1, а х^ определяем из уравнения

и(с. - А! - х-2)2 - с + Ах = ЗА;

Если для получившегося х2 нарушается условие

^ Аг, то принимаем = А2.

Параллельная передача данных. Рассмотрим задачу, в которой четное число пользовательских узлов. Пользователи создают следующие попарные соединения: V 1 ^ г ^ у (г) -> (./V - г + 1) и (./V - г + 1) (г) через каналы г, г + ЛГ,..., 2ЛГ - г, N — г + 1. Допустим, что пропускная способность всех каналов равна с и пользователи, отправляя данные, получают прибыль, равную ихц. Пусть все Хг = 0.

Целевая функция в задаче максимизации будет выглядеть следующим образом:

N/2 . N+N/2-1

Р(х) =

1

1 - а Е

г=1

2 Т,(х)

£

l = i+N

В силу симметричности задачи, оптимальное решение будет также симметричным: 1 ^ г ^ у хг = х-лг_г+1. Обозначим

N+N/2-1

ЗД = = и- 2Щх) - 2

Хг

£ Ъ{х)-Тм+ц;{х).

1=1+N

Тогда оптимальное решение находится из системы 1 О

N .2

N/2

Е

»—1,

'Ф]

<У + Л'/2- 1

! Е

Т?(х)-Т1

+

+

N + N/2- 1 I -2Т?(х)-2 £ Т?(х)-Т1

1 ¡=i+N ™

(Ы*))а

В матричном виде данная система представляется как

= 0.

в(х) ■ сИад(2х) + rfгa3(5(x))J («/.-(г))-0}^2) = 0.

где в (г) - оператор, симметричный в матричном представлении относительно своей главной диагонали:

&ц(х) = <

N+N/2-1

0тах{и}(*) = -2 Е Т?(х)-Т1+К(х), гф],

l=nmx{i,j}+N 2

N+N/2-1

Яг{х) = -2Т?(х)-2 Е Т?(х)-Т* + „(х), (=1.

1=г+N

Вычитая из г-го уравнения системы г + 1-е (1 ^ г ^ у — 1), получаем систему для нахождения оптимального решения, эквивалентную исходной и оптимизированную по количеству арифметических действий для расчета значений составляющих ее компонентов:

'в'(х) ■ сИад(2х) + Лод(5'(®))>) ({(/«(х))"0}^ - О,

в которой для 1 ^ г ^ у — 1

&'гЛх) =

f -2Т?+„(х), г <

-2Т?+„(х)-2ТПх), г = з,

2 Т?(х), г + 1 = з,

О, иначе,

и для всех 1 гС ^ ~ <Э'К .(х) = Эк Ах), а оператор 5'(ж) имеет вид

2 3 2

5'(х) =

/5! (х) —52(х) о о

О 52(х) -ЯзСх) О О 0 53(х) -54(х)

V

о

о

о

о

О \ о о

Пусть для данной системы найдено неотрицательное решение х = (х, ^ 0, 1 ^ г ^

£). Тогда

С / N / I 2 М~2г Г /г(х) = ^ Х1 ( IX - ------- | = Хг \ и

N + 3 - 2г

Для любых 1 ^ г ^ у справедливо и — ^ гг — |. Правая часть этого неравенства

будет отрицательной, если для начальных условий задачи выполнено си < 3. Тогда все функции полезности пользователей будут принимать отрицательные значения, если найденное оптимальное решение неотрицательно. Таким образом, си > 3 - одно из необходимых условий наличия в задаче допустимого решения.

Последовательная передача данных. Рассмотрим задачу, в которой присутствуют следующие соединения между пользовательскими узлами:

•V 1 ^ г ^ N - 1 (г) (г + 1) через каналы г, г 4- -/V, г + 1;

• (АГ) (1) через каналы 1, N + 1, ... ,2^-1, N. Допустим, что пропускная способность всех каналов равна с и пользователи, отправляя данные, получают прибыль, равную их1. Минимальные требования пользователей считаем нулевыми.

Целевая функция в задаче максимизации будет выглядеть следующим образом:

лг-1

= Т(и- Щх) - Т1+Ы{х) - Т^(х))1-ах]'а+ 1 — а *—'

г=1

, 2ЛГ-1

Обозначим

ЗД = =и-Т{(х) - Т„+г(х) - Тг+1(х),

5„{х) = М?1 = и-Тм(х)- Т ТМ-Щх). х» т

Тогда система для нахождения оптимального решения предстанет в следующем виде:

(Т12(х)+Т^ + 1(х)+Т|(х))т1-51(х) Г|(х)х2 (Т^(х) + Т%^1(х))х,у _

2ЛГ-1

Т^(х)х,-1 (Г2(х) + Г2+Дх) + Г2+1(х))х,-5Лх)

(1;-Лх))а + Ш*))а 2

ты+<{х)хп 2 < 1 < N — 2

Т^_1(х)хлг-2 (Т^_1(х)+Т221у_1(х) + Г^(х))хл,-1-5лГ-1(х)

+

(/1 (*))■=

+ £

¿=2

+

= О

(ТЦх)+Т^_1(х))хк

(Т12(х)+Т2+1(х))х1 Т2+Лх)^ (Т^СаНТ^х))^-!

- • ■• « + (/«-1(х))°

+

(Т2(х) + £ Г,2(х)+Т2(х))х«-5,*(х)

+_'=л' + 1_ = О

Пусть для нее найдено неотрицательное решение х = (ж, ^ 0, 1 ^ г ^ АГ). Тогда

fi(x) = Х{3{(х) ^ Xг — ДЛЯ любого 1 ^ Аг.

Следовательно, как и в предыдущем случае, си > 3 - одно из необходимых условий наличия в задаче допустимого решения.

Численные эксперименты. Рассматриваются задачи с параллельной и последовательной передачей данных, в которой АГ = 12 пользователей делят ресурсы сети с пропускной способностью каналов с = 4. Пусть и = 5.

Для различных значений параметра а найдены численные решения задачи и вычислены соответствующие им значения пользовательских функций полезности. В процессе решения параметр а изменялся с шагом малой величины 0,005, и решение, полученное на текущем шаге, использовалось как начальное приближение решения для следующего шага.

Для обеих задач построено графическое представление полученных решений, позволяющее визуально оценить изменение решений задач с варьированием значения параметра справедливости а.

На рис. 5 показано, как изменяются распределения пользовательских квот на объем отправляемых данных ж,; и соответствующие функции полезности в зависимости от параметра справедливости а. В модели с параллельной передачей данных при малых а наибольшие квоты на объем отправляемых данных устанавливаются для центральной пары узлов сети. При этом на краях сети квоты равны нулю. При увеличении а происходит перераспределение равновесных значений квот таким образом, что максимальными они будут на краях сети, а минимальными - в центральных узлах. Аналогичная картина наблюдается и в модели с последовательной передачей данных. Здесь при малых а минимальную квоту имеет последний узел, а при увеличении а его квота

А

Рис. 5. Зависимость решения х и /¡(ж) от а в задачах с параллельной (А) и последовательной (Б) передачей данных.

растет с уменьшением квоты остальных узлов. При этом в обеих моделях разность между максимальным и минимальным значениями квоты для узла в сети для больших а меньше, чем для малых. На данных графиках также видно, как при росте а выравниваются равновесные значения функций полезности для разных пользователей.

4. Заключение. В работе представлены результаты исследования задачи справедливого разделения пропускной способности каналов сети в двух вариантах постановки.

В первом варианте построена оптимальная схема распределения в сети потоков трафика от пользовательских узлов к узлам доступа к внешнему сетевому пространству. Для этой задачи построена математическая модель и предложен алгоритм ее численного решения методом допустимых направлений. Разработано программное обеспечение для нахождения численного решения задач указанного типа и визуализации получаемых решений. С помощью данного программного обеспечения проведены численные эксперименты по решению задач маршрутизации и разделения пропускной способности каналов для реальных примеров сетей.

Второй вариант постановки задачи разделения пропускной способности учитывает получаемую пользователями прибыль и затраты, которые они несут, в результате использования сети для передачи данных. В приведенной постановке схема маршрутизации соединений является заданной, кроме того, должны задаваться зависимости величин прибыли от выделяемых пропускных способностей. Такие требования усложняют возможность применения постановки к реальным сетям, поэтому математическая модель строится для упрощенной постановки для линейных сетей. Рассмотрены частные случаи сети с параллельной и последовательной схемами передачи данных. Для

них аналитически построены системы уравнений, решение которых дает решение поставленной задачи, и разработан алгоритм их численного решения. Проведены вычислительные эксперименты, результаты которых показывают, как равновесное решение задачи зависит от значения параметра справедливости.

Авторы благодарят В. Т. Вдовицына за оказанную полдержку в выполнении данной работы и А. А. Гончара за проявленный интерес и предоставленную информацию о схеме доступа к Интернет МГУ-РАН.

Работа выполнена при финансовой поддержке Отделения математических наук РАН по программе «Математические и алгоритмические проблемы информационных систем нового поколения» и Фонда содействия отечественной науке.

Summary

Mazalov V. V., Chuiko Ju. V. Fair bandwidth'sharing in networks.

Models of routing and fair bandwidth sharing in networks using methods of non-cooperative game theory are considered. As an optimization criterion the general fairness criterion by Walrand is used.

Литература

1. Altman E., Boulogne Т., El Azouzi R. et al. A survey on networking games in telecommunications // Computers and Operations Research. 2006. Vol. 33, Issue 2. P. 286-311.

2. Korilis Y. A., Lazar A. A., Orda A. Architecting noncooperative networks // J. on Selected Areas in Communications. 1995. Vol. 13, N 7. P. 1241-1251.

3. Maulloo A., Kelly F. P., Tan D. Rate control in communication networks: shadow prices, proportional fairness and stability // J. Oper. Res. Society. 1998. Vol. 49. P. 237-252.

4. Mo J., Walrand J. Fair end-to-end window-based congestion control // IEEE/ACM Trans. Networking. 2000. Vol. 8, N 5. P. 556-567.

5. Altman E., Wynter L. Equilibrium, games, and pricing in transportation and telecommunications networks // Networks and Spacial Economics. Special issue of "Crossovers between Transportation Planning and Telecommunications". 2004. Vol. 4, Issue 1. P. 7-21.

6. El Azouzi R., Altman E. Constrained traffic equilibrium in routing networks // IEEE Trans, on Automatic Control. 2003. Vol. 48, N 9. P. 1656-1660.

7. El Azouzi R., Altman E., Wynter L. Telecommunications network equilibrium with price and quality-of-service characteristics // Proc. of ITC. Berlin. Sept 2003. (http://www-sop.inria.fr/mistral/personnel/Rachid.Elazouzi/R-ElazouziITC.ps.)

8. Touati C., Altman E., Galtier J. On fairness in bandwidth allocation: Research Report N 4296. INRIA, Sophia Antipolis, France, 2001. 23 p.

9. Touati C., Altman E., Galtier J. Utility-based fair bandwidth allocation // Proc. of the IASTED Intern, conference on Networks, Parallel and Distributed Processing and Applications, Japan. 2002. P. 126-131.

10. Touati C., Altman E., Galtier J. Semi-definite programming approach for bandwidth allocation and routing in networks // Game Theory and Applications. Nova publ. 2003. Vol. 9. P. 169-179.

11. Юго-Восток ТрансТелеКом (http://www.uvttk.ru/).

Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 20 ноября 2006 г.