CC BY
7
Способы вычисления геометрических характеристик арок кругового очертания
А.С. Торлин
Национальный исследовательский Московский государственный строительный
университет
Аннотация: Данная статья посвящена нахождению ключевых геометрических характеристик арок кругового очертания графическим и аналитическим способами. Также в данной статье разобраны алгоритмы решения задачи по нахождению геометрических характеристик графическим и аналитическим способами и проведено сравнение данных способов по скорости и удобству применения.
Ключевые слова: арка, геометрия, способы расчета, прямолинейные сегменты, углы поворота.
Введение
Сегодня решать геометрические задачи можно в многочисленных графических редакторах. Такие редакторы позволяют быстро вычислить необходимые геометрические характеристики любой конструкции, для этого достаточно в программном комплексе начертить чертеж, искомые данные будут получены автоматически.
Однако, есть и другой метод решения таких задач, например, с помощью формул. Такой метод построен по принципу алгоритма или последовательности формул, благодаря которой можно, задав известные характеристики, получить неизвестные, а также решить обратную задачу. Также данный метод позволяет создать на базе алгоритма программное обеспечение, которое значительно упростит и ускорит решение подобной задачи.
Целью исследования, описанного в данной статье, является создание алгоритма решения задач нахождения геометрических характеристик арочной конструкции кругового очертания [1] по известным математическим формулам с последующей реализацией этого алгоритма средствами программирования в Excel. Полученная таким образом программа расчета сократит время на выбор необходимых геометрических характеристик
арочной конструкции, таких, как, например, длина прямолинейного сегмента 1, угол поворота фланцевых листов ф относительно центральной оси сегмента. Также, в качестве альтернативы и метода проверки, в этой статье представлен алгоритм, который позволяет найти угол ф и параметр 1 с помощью простых геометрических построений. Метод геометрического построения, описанный в статье, может быть реализован в различных графических редакторах, таких как AutoCAD [2] и CorelDRAW [3], а также при ручном построении.
Данное исследование в области геометрии арочных конструкций проводится в связи с исследованием возможности получения формообразующих элементов сборного универсального каркаса из арочных конструкций [4] путем добавления к ним механизма трансформации [5,6]. Такие каркасы обычно изготавливаются из легких, но в то же время прочных металлоконструкций (СП 16.13330.2017), в некоторых случаях из легких стальных тонкостенных конструкций (СП 260.1325800.2016), а в качестве ограждающих элементов используется защитный сэндвич-тент [7] или сэндвич-панели (СП 362.1325800.2017). Конструкции, собранные по каркасно-тентовой технологии [8], обладают практически всеми свойствами капитальных зданий, их строительство обходится дешевле, занимает гораздо меньше времени и труда. Арочные сооружения, появившиеся во времена Древнего Рима, на рубеже 3-го и 2-го веков. До н.э., в виде мостов, акведуков и других инженерных сооружений [9], благодаря уникальному распределению сил внутри сооружения [1 0], не потеряли своей актуальности. Они востребованы в различных сферах человеческой деятельности, начиная от небольших туристических палаток и заканчивая огромными выставочными павильонами, зданиями аэропортов, железнодорожных вокзалов, ангарами для самолетов.
Постановка задачи
Рассмотрим решение задачи нахождения геометрических характеристик арочной конструкции с использованием графического [11] и аналитического методов [12] расчета, то есть метода расчета по конструкции и метода расчета по формулам.
Требуется определить геометрические параметры сквозной стальной арки (рис. 1а.) с жестким верхним поясом и гибким нижним поясом, пролетом L, стрелой подъема нижнего пояса Ип и верхнего Ь. Конструкция верхнего пояса состоит из 18 прямолинейных сегментов одинаковой длины. Прямолинейные сегменты образуют контуры арки, примыкая друг к другу через пластину-фланец, зеркально симметрично приваренный к концам сегмента под некоторым тупым углом ф относительно осевой линии сегмента, что позволяет прямолинейным сегментам принимать очертания арки при соединении. Задача состоит в том, чтобы найти угол ф и длину отрезка 1 (рис.1б.).
/
Рис. 1а. - Геометрические параметры сквозной стальной арки
и
Рис. 1б. - Угол ф и длина отрезка 1
Графический метод решения
Рис. 2. - Схема построения
Решаем задачу графическим методом, используя известные значения, а именно пролет арки и строительную высоту подъема. Схема построения приведена на (рис. 2.). Сначала мы строим окружность, используя три точки [13]. Для этого в масштабе чертежа строим горизонтальный отрезок длиной L=36 м с конечными точками Р1 и Р3, затем на вспомогательной нормали к этому отрезку, проведенной от его середины и имеющей длину 10 м, отмечаем точку Р2. Затем мы соединяем точки Р^2 и P2Pз прямыми линиями а и Ь соответственно. Мы строим вспомогательную дугу с центром в точке Р1 и радиусом, визуально большим, чем середина отрезка и отмечаем
точку пересечения этой дуги и отрезка Р^2 как Р12. Мы строим еще одну дугу с тем же радиусом от точки Р2 и отмечаем точку ее пересечения с отрезком P1P2 как Р11. Мы строим два круга одного и того же произвольного радиуса с центрами в точках Р11 и Р12. Эти окружности имеют две точки пересечения Р7 и Р8. Соединив точки Р7 и Р8, мы получаем прямую с, которая пересекает отрезок Р^2 под прямым углом в точке Р4, эта точка делит отрезок Р^2 пополам. Мы строим линию d аналогичным образом. Линия с пересекается с линией d в точке Р6, которая является центром желаемой дуги. Далее мы строим дугу радиусом Р1Р6, проходящую через три точки Р1Р2Р3.
Далее мы находим длину хорды Р3Р15. Для этого мы задаем количество строительных сегментов п, в нашем случае п=18. Мы измеряем угол а, и, разделив полученное значение на 18 равных частей, получаем значение угла у. Этот угол для всех 18 частей конструкции будет одинаковым. Угол ф, необходимый для сварки стыковых фланцев, измеряется между лучом, начинающимся в точке Р6, проходящем через точку Р15, и сегментом PзP15. (Рис. 3, Рис. 4Ь.).
Искомая длина прямолинейного сегмента верхнего пояса арки будет равна длине сегмента PзP15 (рис. 4a).
и
Рис. 3. - Схема построения (продолжение)
Рис. 4а - Длина сегмента I
Рис. 4б - Угол ф
Аналитический метод решения
В этом разделе будет описан алгоритм решения задачи аналитическим методом.
и
Опишем место положения прямых, а и Ь (Рис. 2.) построенных в плоской системе координат с помощью уравнений:
У а = ка(х-х1) + у1 (1)
Уь = кь(х - х2) + у2 (2)
Где: уа=уь -координаты центра окружности по оси Y
ка-коэффициент наклона прямой а
кь -коэффициент наклона прямой Ь
х± -координата точки Р1 по оси Х
х2-координата точки Р2 по оси Х
ух-координата точки Р1 по оси Y
у2 -координата точки Р2 по оси Y
Л-2 Л1
, Уг-Уг
къ = I—!Г (4)
л3 л2
Где: уз-координата точки Р3 по оси Y х3 -координата точки Р3 по оси Y
Далее запишем уравнения прямых, перпендикулярных прямым а и Ь, проходящих через центры этих прямых:
1 / хл + х2\ VI + у2
1 / Х2 + ХоЧ у2 + Уз
Данные прямые пресекутся в центре окружности, точке о. решение относительно х даст значение координаты центра окружности по оси абсцисс:
_ Ккь(У1 ~ Уз) + кь(х1 + х2) - ка(х2 + х3) Х~ 2 (к„-ка) Ы
Подставив полученное в формуле (7) значение х в одно из уравнений прямых (1) или (2), перпендикулярных прямым а и Ь, мы получим координату центра окружности по оси ординат.
Определив координаты центра окружности, по теореме Пифагора формуле (8) определим радиус окружности:
(у^)2 + (§)' W
я =
N
Радиус окружности, зная параметры h и L можно определить по формуле (8.1) также данную формулу можно использовать в качестве проверки алгоритма решения, приведенного выше:
_ й I2
~2 + Ш (8.1)
Для определения угла а воспользуемся формулой (16) [14]:
к2 + к2 - I2 2К2 -12 С°5а= 2ЯЯ (9)
Сектор окружности, ограниченный двумя радиусами и углом а, сужаем до сектора окружности, ограниченной двумя радиусами и углом у , данный угол находится по формуле (10):
а
г = - (ю)
п - Количество сегментов арочной конструкции.
Определим искомый тупой угол ф, расположенный между радиусом окружности R и отрезком Р7Р3 по формуле (12):
(р = 180-(90-|) (11)
Определим искомую длину одного сегмента 1, численно равную длине отрезка Р15Р3 по формуле (12):
1 гяапГ 2
Выводы
В данной статье рассматриваются методы решения задачи нахождения геометрических характеристик арочной конструкции. Методология графического решения обеспечивает как возможность использования графических систем, таких как AutoCAD, CorelDRAW, так и возможность
работы без них, используя ручные инструменты черчения. Аналитический метод позволяет производить расчеты с использованием формул. Оба метода показали свою применимость и эффективность при решении задачи нахождения ключевых геометрических характеристик круговых арок.
Преимущество графического метода решения геометрических задач определяется скоростью получения результатов и практически полным отсутствием каких-либо арифметических вычислений. Однако в полной мере оценить скорость и удобство этой техники можно только с использованием компьютеров и специальных программ. Ручные построения и измерения будут не такими точными и быстрыми, хотя они вполне применимы для решения ряда простых практических задач. Использование результатов геометрических построений удобно для последующего создания ßD-моделей конструктивных элементов, узлов и соединений, проведения кинематических и прочностных расчетов, расчетов методом конечных элементов.
Преимущество аналитического метода определяется возможностью использования вычислительных алгоритмов для создания программ на основе Excel или использования языков программирования для их перевода в параметрическую форму с целью дальнейшей автоматизации решений групп сходных геометрических задач. Кроме того, доработка алгоритмов позволяет, помимо расчетов геометрических характеристик, также автоматизировать ряд других расчетов, таких, как расчеты на прочность, устойчивость и живучесть.
Литература
1. Стрелецкий Н.С., Гениев А.Н., Беленя Е.И., Балдин В.А., Лессиг Е.Н. Металлические конструкции / Под ред. Н.С. Стрелецкого. Москва. Стройиздат. 1961. С. 612-629
2. Полещук Н.Н. Самоучитель AutoCAD 2014. СПб. БХВ-Петербург. 2014. 464 с.
3. Федоров А.В. Corel Draw. Экспресс-курс. СПб. БХВ-Петербург. 2005. 400 с.
4. Таратута В.Д. Большепролетные конструкции промышленных и гражданских зданий и сооружений. Краснодар. КубГАУ. 2017. 187 с.
5. Сольберг П. Патент SU688142A3. 1979. URL: patenton.ru/patent/SU688142A3.
6. Лебедев Ю.С., Фролов В.И., Ларионов Е.И. Патент МПК E04B1/32 E04B1/343. 1990. URL: patenton.ru/patent/SU1544904A1.
7. Кузнецов Л.А. Сэндвич-панели: строительный фаст-фуд для быстровозводимых зданий. Строительство. 2015. № 4. С. 3-8.
8. Скопенко В.А. Шатровая архитектура: вчера, сегодня, завтра. Академический вестник Урал-N II проект РААСН. 2010. № 1. С. 30-36.
9. Колпинский Ю.Д., Бритова Н.Н. Искусство этрусков и Древнего Рима. Москва. Искусство. 1982. 112 с.
10. Горев В.В., Аржаков В.Г., Бабкин В.И., Енджиевский Л.В., Зверев В.В., Казарновский В.С. Металлические конструкции. В 3 т. Т.3. Специальные конструкции и сооружения: Учеб. для строит. вузов. 2-е изд. / Под ред. В.В. Горева. Москва. Высш.шк. 2002. 544 c.
11. Лунина Л.С. Обучение решению алгебраических задач геометрическим методом. Математика в школе. Москва. Школа-Пресс. 1996.-№ 1. С. 34-39.
12. Золотов А.Б. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций. Москва. АСВ. 2009. 336 c.
13. Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений : учеб. пособие для студентов пед. ин-тов. - 2-е изд. Москва. Учпедгиз. 1952. 147 с.
14. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Москва. АСТ.
2008. - 992 c.
References
1. Streletsky N.S., Geniyev A.N., Belenya E.I., Baldin V.A., Lessig E.N. Metallicheskiye konstruktsii [Metal constructions]. Streletsky N. S. editor. Moscow. Stroiizdat Publ. 1961. pp. 612-629.
2. Poleshhuk N.N. Samouchitel AutoCAD 2014 [Tutorial AutoCAD 2014]. SPb.: BXV-Peterburg. 2014. 464 p.
3. Fedorov A.V. Corel Draw. Ekspress-kurs [CorelDraw. Express course]. SPb. BHV-Peterburg. 2005. 400 p.
4. Taratuta V.D. Bolsheproletnye konstrukcii promyshlennyx i grazhdanskix zdanij i sooruzhenij [Large-span structures of industrial and civil buildings and structures]. Krasnodar. KubGAU. 2017. 187 p.
5. Solberg P. Patent SU688142A3. 1979. URL: patenton.ru/patent/SU688142A3.
6. Lebedev Yu.S., Frolov V.I., Larionov E.I. Patent MPK E04B1/32 E04B1/343. 1990. URL: patenton.ru/patent/SU1544904A1.
7. Kuzneczov L.A. Stroitelstvo. Moscow. 2015. № 4. pp. 3-8.
8. Skopenko V.A. Akademicheskij vestnik Ural-N II proekt RAASN. 2010. № 1. pp. 30-36.
9. Kolpinskij Yu.D., Britova N.N. Iskusstvo etruskov i Drevnego Rima [The art of the Etruscans and Ancient Rome]. Moscow. Iskusstvo. 1982. 112 p.
10. Gorev V.V., Arzhakov V.G., Babkin V.I., Endzhievskij L.V., Zverev V.V., Kazarnovskij V.S. Metallicheskie konstrukcii. V 3 t. T.3. Specialnye konstrukcii i sooruzheniya: Ucheb. dlya stroit. vuzov. 2 -e izd. [Metal structures. In 3 t. t.3. Special constructions and structures: Study. for builds. universities. 2nd ed]. V.V. Gorev editor. Moscow. Vyssh.shk. 2002. 544 p.
11. Lunina L.S. Matematika v shkole. Moscow. Shkola-Press. 1996.-№ 1. p.p.
34-39.
12. Zolotov A.B. Chislenny'e i analiticheskie metody rascheta stroitelnyx konstrukcij [Numerical and analytical methods of calculation building structures]. Moskva. ASV. 2009. 336 p.
13. Chetveruxin N.F. Metody geometricheskix postroenij : ucheb. posobie dlya studentov ped. in-tov. 2-e izd [Methods of geometric constructions: textbook. stipend for students of pedagogical institute - 2nd ed]. Moscow. Uchpedgiz. 1952. 147 p.
14. Vygodskij M.Ya. Spravochnik po vysshej matematike [Handbook of Higher Mathematics]. Moskva. AST. 2008. 992 p.
