CC BY
15
УДК 556.161
СПОСОБ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ БОКОВОЙ ПРИТОЧНОСТИ НА МАЛЫХ ВОДОСБОРАХ БАССЕЙНА ВЕРХНЕЙ ОБИ
В.Ю. Филимонов, К.Б. Кошелев, А.В. Кудишин
Институт водных и экологических проблем СО РАН, г. Барнаул, E-mail: kudishin@iwep.ru
В рамках создания системы прогнозирования половодий в бассейне реки Обь предложен способ восстановления величины боковой приточности в период снеготаяния. Метод позволяет оценить величину бокового притока на ограниченном временном интервале периода снеготаяния и эквивалентную массу сток, а также разработать методику прогнозирования эмпирической функции пространственно-временного распределения бокового притока по результатам многолетних измерений.
Ключевые слова: гидрология, гидравлика, математическое моделирование, речной сток, снежный покров.
Одной из практически значимых задач гидрологии является определение бокового притока речного русла в период снеготаяния на изучаемом участке водосбора [1-2]. Это является чрезвычайно важным для прогнозирования опасных гидрологических ситуаций, а также для расчета активного снеготаяния, приводящего к наводнениям. Возможность определения динамики бокового притока в период половодья позволяет провести корреляционный анализ снегозапасов на водосборе и интегральной массы водного потока, стекающего в речное русло за период многолетних наблюдений. Последнее дает возможность разработать статистическую прогнозную модель для расчета бокового притока в зависимости от снегозапасов на изучаемом участке русла. Один из способов решения этой проблемы основан на численных методах решения обратных задач для системы одномерных уравнений Сен-Венана [2], которые используются для расчета русловых течений. Однако вполне естественно, что боковой приток определяется, прежде всего, сезонными снегозапасами на водосборе и условиями снеготаяния и не зависит от гидрологических характеристик русла. В настоящей работе пред-
ложена модель «элементарного участка», которая позволяет оценить динамику бокового притока в период снеготаяния. Модель основана на решении обратной задачи для уравнения неразрывности.
Постановка задачи
Рассмотрим участок речного русла между двумя точками х1х2, в которых
ведется непрерывный контроль уровней и объемных расходов воды.
■' • 1 •. -i ••' ■ • {.Водосбор;.-- ■ 4 Щт : К
1 1 1. : f .1 i t
X. X; ?(0
| | J J J
Рис. 1. Схематическое представление участка речного русла между двумя произвольными точками
Для расчета гидравлического режима равнинных участков рек очень часто используется система уравнений Сен-Венана, для одномерного случая имеющая вид [2]: да д(
— + — = д, дг дх
д0 + _д_ дг дх
2\ Г +gш
у
дх К2
(1)
= 0, (2)
где ю - площадь поперечного сечения потока, Q(x,t) - расход воды, q(x,t) -удельный (приходящийся на единицу длины русла) боковой приток воды, h(x,t) - ордината поверхности потока; K - модуль расхода, g - ускорение силы тяжести, x - продольная координата, t -
к
время, причем ш(х, к) =1 Ь(х, ,
•ЧСх)
где Ь(хД) - ширина русла в створе с координатой x на отметке го(х) - ордината линии дна. В принятых обозначениях средняя по сечению скорость потока и = (/ ш.
Исходя из задач прикладной гидрологии, для определения бокового притока д гораздо важнее решать обратные задачи для уравнений (1)-(2). Рассмотрению этих вопросов посвящено значительное количество экспериментальных и теоретических исследований [3-8]. Основная сложность при численном расчете такого рода задач связана со сложной схемой моделирования уравнения (2), которое требует знания подробных характеристик, описывающих морфометрию и гидравлику русла [8]. Для этого должны выполняться требования, указанные в [7]:
- наличие наблюдений за расходами и уровнями в достаточно большом числе створов по длине реки;
- уровни воды должны быть известны для достаточно большого количества водопостов, а расходы только в начальном и конечном створах.
Одним из подходов к решению таких задач является использование решений интегральных уравнений Фред-гольма первого рода. Однако это связано с серьезными математическими трудностями, поскольку для проведения такого рода расчетов требуется детальное знание соответствующих гидрологических характеристик данного русла. В связи с этим разработка простых, надежных и универсальных методов решения обратных задач гидрологии остается актуальной задачей.
Основные уравнения и упрощающие предположения
При определенных условиях имеется возможность избежать необходимости рассмотрения уравнения (2) и тем самым существенно упростить обратную задачу определения динамики бокового притока, используя лишь закон сохранения массы. Проинтегрируем уравнение (1) по длине участка русла:
'•да
\--dx + (2(г) - а (Г) = | д(х, г )йх . (3)
При половодьях производная д(/ дх является гладкой функцией и из уравнения (2), соответственно, следует гладкость по «х» производной да/дг. Если производная да/дг слабо зависит от координаты «х», то в первом приближе-да ~дг
рему о среднем, можно вынести за знак интеграла:
''•да
"дГ
нии величину — в (3), используя тео-
Л2 ^ 2
^—йх = ^ (г) * | йх = ^ (г) * Ь,
где Б - средняя на участке х,,х2 производная да/дг, например в виде: Яг) = 0.5*(/(х2,г)+/(х,,г)), /(х,г) = да/дг
Тогда уравнение (3) можно записать:
х2
Дг)*Ь + (2(г)-а(г)« |ч(х,г)йх (4)
х1
Вводя в рассмотрение усредненный боковой приток
^ х2
д(г) = 11 д(х, г)йх,
(5)
получим усредненное уравнение неразрывности с сосредоточенными параметрами:
F (г) + Ад(г) = дг), (6)
где Ад = {(2 - )/Ь разность объемных расходов на границах участка наблюдения на единицу длины русла.
Из общих соображений следует, что уравнение (6) можно считать приближенно справедливым в случае, когда характерный пространственный масштаб изменения возмущений уровней и объемных расходов Л вдоль русла значительно превышает интервал области наблюдения:
Ь<< Л (7)
Условие (7) эквивалентно условию слабой зависимости производных д(/дх и да/дг от координаты «х». Другими словами, размер участка наблюдения должен быть достаточно «элементарным» по отношению к масштабу внешних возмущений.
Выделение составляющей бокового притока
При отсутствии бокового притока в соответствии с (6) должна наблюдаться зеркальная симметрия относительно временной оси профилей Б и Ад (рис. 2а).
При наличии бокового притока симметрия нарушается (рис. 2б). Если действие бокового притока ограничено промежутком времени (0, г *), то справедливо:
* — при г < г F (г) + Ад(г) = д(г), (8)
при г > г Ад(г) = -Р (г).
(9)
В предельном случае при Ад(г) << Р(г):
Р(г) - д(г) (10)
Очевидно, что в рамках излагаемой методики структура гидрографа определяется преимущественно боковым притоком. С учетом этого факта использование формул (8-10) дает возможность выделения усредненной составляющей бокового притока.
х
Рис. 2. Профили потоков для случая отсутствия (а) и наличия бокового притока (б)
Одним из главных факторов, влияющих на величину бокового притока, является сезонный снегозапас. По известной зависимости можно оценить полную массу притока за период
снеготаяния на исследуемом участке:
т
Ашв = ре Ь\д (г =ре Ь8 (11)
0
где ре - плотность воды, Т — время снеготаяния, £ — площадь под кривой (рис. 3).
Очевидно, что при многолетних наблюдениях полная масса должна коррелировать со снегозапасом. Зная оценку полной массы снега на водосборе, можно оценить объем задержанной на водосборе влаги. Следует ожидать, что характерное время гтах будет определяться условиями снеготаяния.
Если имеется п последовательных участков наблюдения, то можно построить пространственное распределение бокового притока д(х, г) (рис. 4). Последнее позволяет поставить прямую задачу для уравнений Сен-Венана (1)-(2).
Обсуждение
В заключение следует подчеркнуть ряд преимуществ предложенного метода «элементарного участка» по сравне-
Рис. 3. Схематически представленная зависимость бокового притока от времени для различных сезонов снеготаяния
нию с подходом, основанным на решении обратной задачи. При традиционном применении метода обратных задач нужна подробная и персонифицированная информация о пространственном и временном распределении объемных расходов и уровней по п участкам наблюдения (г), (г) . Эти данные и гидравлические параметры участка русла необходимы для использования полной системы (1)-(2). Затем полученные значения нужно подставить в конечно-разностную схему [2] для уравнения (2). Далее необходимо разработать численный алгоритм для пошагового решения интегральных уравнений с целью определения соответствующих зависимостей ди (г) . Последнее является громоздкой и
сложной задачей. Результатом ее решения будет являться сезонная функция д( х, Х), полученная на сравнительно протяженном участке наблюдения. В результате расчета внешний боковой приток оказывается косвенно связанным с характеристиками русла, что, естественно, не должно быть. Кроме того, неточности в априорном определении параметров русла будут вносить дополнительную погрешность в расчет.
т ш -г- ВсдеТ :бор чМ —— Т"
\ \ Русло --
Водос бор
0 :
г—, ии
^ п ?5(0 -■■уу
1! 1 1 ! Г \ \
Рис. 4. Схематическое представление пространственного распределения бокового притока
Пространственное распределение бокового притока трудно связать с интегральным снегозапасом на протяженном участке наблюдения. Как следствие, необходимо проводить дополнительное пространственное усреднение рассчитанной функции на участке наблюдения для проведения корреляционного анализа.
Предложенный метод «элементарного участка» не требует знания гидрологических характеристик русла и дает возможность прямой оценки величины д(г) с последующим проведением корреляционного анализа со снегозапасом на наблюдаемом водосборе. Последнее позволит строить прогноз функции д(х, г) по текущим значениям снегоза-паса на водосборе.
Заключение
В работе предложена методика определения динамики бокового притока русла в период снеготаяния. Модель
основана на решении обратной задачи для пространственно-осредненного одномерного уравнения неразрывности на данном участке водосбора. Указанный метод не связан с необходимостью решения уравнения Сен-Венана и не требует знания соответствующих гидрологических характеристик русла. Для применения метода необходим набор данных по синхронному измерению объемных расходов и уровней русла в период активного снеготаяния на двух водомерных постах. По результатам анализа предложена прогнозная методика определения пространственно-временной зависимости бокового притока на основании корреляционной связи между величиной снегозапасов и величиной бокового притока по результатам многолетних наблюдений. По результатам априорного определения указанной эмпирической функции появляется возможность решения прямой задачи (1)-(2).
Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках проекта СО РАН УШ.76.1.1 «Исследование процессов формирования стока и разработка информационно-моделирующих систем оперативного прогнозирования опасных гидрологических ситуаций для крупных речных систем Сибири».
Список литературы
1. КучментЛ.С. Речной сток. - М., 2008, - 394 с.
2. Кюнж Ж.А., Холли Ф.М. Численные методы в задачах речной гидравлики. - М., 1985. - 256 с.
3. Корень В.И. Математические модели в прогнозах речного стока. - Л., 1991. -199 с.
4. Бельчиков В.А., Корень В.И. Модель формирования талого и дождевого стока для лесных водосборов // Тр. Гидрометцентра СССР. - 1979. - Вып. 218. - С. 3-21.
5. Бельчиков В.А., Корень В.И. Опыт использования модели формирования талого и дождевого стока рек лесной зоны Европейской территории СССР // Тр. Гидрометцентра СССР. - 1983. - Вып. 246. - С. 3-20.
6. Алексеевский Н.И., Жук В.А., Иванов В.Ю., Фролова И.Л. Особенности формирования и расчета притока воды к тракту москворецкого водоисточника // Водные ресурсы. - 1988. - Т. 25. - № 2. - С. 146-151.
7. Романов А.В. Обратные задачи математического моделирования неустановившегося движения воды в реках. - М., 2008. - 184 с.
8. Романов А.В. О технологии идентификации одномерной модели неустановившегося движения воды в сложном речном русле // Мелиорация и водное хозяйство. -2009. - № 4. - С. 37-41.
METHOD FOR RESTORATION OF INTERMEDIATE INFLOW IN SMALL CATCHMENTS OF THE UPPER OB BASIN
V.U. Filimonov, K.B. Koshelev, A.V. Kudishin
Institute for Water and Environmental Problems SB RAS, Barnaul, E-mail: kudishin@iwep.ru
In the framework of development of flood forecasting system for the Ob river basin a method for restoration of the intermediate inflow during the snowmelt period is proposed. The method allows to evaluate the intermediate inflow in a limited time interval of the snowmelt period, the equivalent flow mass and to develop a methodology for predicting the empirical function of spatial-temporal distribution of the intermediate inflow using the results of long-term measurements.
Key words: hydrology, hydraulics, mathematical modelling, river runoff, snow cover.
