CC BY
45
УДК 551.46
СПОСОБ РАЗДЕЛЕНИЯ НА УЧАСТКИ ДИСКРЕТНОЙ ХАОТИЧЕСКОЙ
ФУНКЦИИ
© 2014 В. Г. Василевский
аспирант каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: vw17@mail.ru Курский государственный университет
Статья содержит сведения о решении задачи разделения на отрезки хаотического сигнала. Постановка задачи выражена в формальном виде. Решение задачи объяснено на примерах и с границами применения. Актуальность и цели соответствуют направлению поставленной задачи. Суть метода для выделения участков раскрыта в соответствии с целями и актуальностью направления. Реализации алгоритма в действии объяснена на примерах хаотических систем.
Ключевые слова: хаотические системы, сигнал, разделение на отрезки, признаки, состояние.
Общепринятого определения хаоса не существует. Хаотическим можно назвать поведение системы в установившемся состоянии, которое локализовано в ограниченной области и не является ни положением равновесия, ни периодическим или квазипериодическим [Паркер, Чжуа 1987].
Изучение дискретных хаотических функций вызывает интерес в области компьютерных технологий из-за широкого распространения в цифровой технике представления сигналов в виде дискретной функции, а также востребованности методов и инструментов для исследования хаотических динамических систем с помощью средств вычислительной техники. Многим еще не изученным динамическим системам соответствуют только собранные о них описания и сигналы в виде дискретных функций на носителях данных. Структурирование и систематизация этих сведений должны быть более эффективными с использованием специальных программных инструментов.
Хаотические функции среди прочего интересны наличием точек бифуркации и изменением состояния, от которого зависит бассейн притяжения значений.
В общем виде задача заключается в том, чтобы найти подмножество аргументов функции, которые являются концами участков, обладающих некоторыми особенностями (например, постоянство некоторой величины: математического
ожидания, дисперсии, производной и т.п.). Задача анализа хаотических функций, в том числе разделения их на участки, актуальна из-за их широкой распространенности в протекании естественных процессов, а также из-за недостаточной изученности этой области знаний. Целью такой задачи является прогресс в изучении хаотических функций, формулировка метода сбора сведений о них, в том числе о состояниях и их свойствах.
Формально задачу можно записать как поиск алгоритма отображения:
Ji(x) x ? Xi, f2(x) x iX2, J3(x) x iX3, ...} - {Xi, X2, X3, ... },
где X/ I Xi - подмножество аргументов функции fi(x) x i Xi.
Рассмотрим один из частных вариантов решения, а именно поиск локальных перепадов стабильного возрастания, убывания и состояния колебаний малого периода. Такое деление позволяет детализированно рассматривать дискретную хаотическую функцию, говоря о её характерных особенностях относительно выбранных точек.
ФИЗИКО -МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Также важным в хаотических функциях является изучение их аттрактора, которое требует рассмотрения значений функции относительно друг друга в порядке следования, то есть таких кортежей, которые отражают возможные зависимости или их отсутствие для данной конфигурации. В случае использования только некоторых точек, сведений о которых достаточно для работы в некоторой конфигурации, работа с хаотическим сигналом существенно упрощается. Существует гипотеза, что дискретной хаотической функции можно поставить в соответствие упрощенную модель, на основе которой можно решить ряд задач, связанных с их исследованием.
Исследуемые детерминированно-хаотические сигналы характеризуются разным математическим ожиданием и дисперсией на достаточно длинных, отличных друг от друга участках, наличием некоторого незначительного «дрожания», мелкого колебания сигнала.
На рисунке 1 изображен график дискретной функции, которая имеет хаотическое поведение. Функция имеет более 3000 точек.
Участки, на которые требуется разделять функции, должны отражать те её части, на которых, несмотря на мелкие колебания, развитие функции остается неизменным (возрастает, уменьшается или колеблется в некоторой области). Не должно оставаться незадействованных частей функции, после каждого не последнего участка должны находиться те точки, которые относятся к следующему участку, однако это правило относится только к конкретному варианту задачи, в иных ситуациях, возможно, требуется только выделить участки определенного вида (например, переходный процесс хаотической функции).
Задача поиска участков дискретной функции сводится к поиску концов этих участков, так как по ним можно точно восстановить сами участки. Таким образом, необходимо сформулировать некоторое уравнение и его решение, результатом которого будет именно множество искомых точек. Применение классического решения для поиска экстремума (решение уравнения f(x) = 0) не подходит, из-за того что функция дискретная и имеет небольшое «дрожание» по мере увеличения числа отсчетов сигнала. В такой ситуации появляется совокупность точек, которые являются локальными экстремумами, отражающими каждое мелкое колебание. Это не соответствует поставленной задаче, и поэтому был разработан некоторый аналог l(x) поиска точек
Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 1
Василевский В. Г. Способ разделения на участки дискретной хаотической функции
экстремума непрерывной функции, но для дискретного хаотического варианта. Его сущность в том, что приращение вычисляется в так называемом окне (интервале), а не в отдельных точках. Положение окна привязано к некоторому аргументу (от которого берется функция /(х)). В результате формируется подмножество точек из крайних точек сигнала и точек, соответствующих решению уравнения /(х) = 0. Приращение окна равно разности суммы второй и первой половин окна, деленной на количество точек в окне.
i i+n
/(х) = [ I Ах) - I АхЛ 1 (2n\
j =i-n j =i
где n - половина длины окна,
i - натуральное число в промежутке от n до m-n,
где m — количество аргументов функции.
Так как функция /(х) является дискретной, то в результат решения уравнения /(х)=0 берётся подмножество аргументов, для которых выполняется следующее условие:
(/(х) > 0 И /(Xi+i) < 0) ИЛИ (/(х) < 0 И /(Xi+i) > 0).
Такая работа с дискретной функцией обусловлена тем, что в том месте, где функция должна быть равна нулю, точка дискретной функции может просто отсутствовать. Полагая, что исходная функция являлась непрерывной, мы принимаем, что на участке между точками с разными знаками должна находиться точка пересечения с осью абсцисс. При этом выбирается одна из двух рассматриваемых точек, в нашем случае та, у которой меньше аргумент. В результате такое действие приводит к некоторой погрешности, но при этом не искажаются исходные данные — используется существующая точка сигнала, но не генерируется новая. При этом нужно учитывать случаи больших скачков анализируемой функции /(х).
На рисунке 2 изображен график функции приращения окна /(х), рассчитанный на множестве аргументов функции /(х).
Таким образом, в ходе разработки был создан способ отображения функции в подмножество её аргументов, представляющих собой концы отрезков, которым соответствует возрастание, убывание или мелкое колебание функции. В отличие от методов разделения дискретной хаотической функции относительно некоторых уровней (например, при пересечении математического ожидания и значения функции), разработанный метод является приемлемым для практического применения, поскольку
ФИЗИКО -МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
по мере развития динамической системы её состояние меняется и установить какую-либо универсальную величину для всего протяжения сигнала не представляется возможным. В сравнении с периодическими методами, разработанный метод имеет преимущество, потому что некоторый зафиксированный период, который является изменяющимся во времени, может не соответствовать вариациям в хаотическом сигнале. Предлагаемый метод требует вспомогательных вычислений, таких как расчет дополнительной функции и поиск подмножества аргументов.
Библиографический список
Паркер Т.С, Чжуа Л.О. Введение в теорию хаотических систем для инженеров // ТИИЭР 1987. Т. 75. № 8. С. 6-40.
Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 1
