CC BY
8ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5
37
модель удовлетворительно описывает совершаемое движение. Следует также отметить, что методика, примененная в настоящей работе, может быть использована при комплексировании других наборов биомеханических измерений.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 05-01-00418).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Perry J. Gait Analysis: Normal and Pathological Function. N. Y.: McGraw Hill, Inc., 1992.
2. Gage J.R. Gait Analysis: An essential tool in the treatment of cerebral palsy // Clin. Orthop. and Relat. Res. 1993. 288. 26-34.
3. Кручинин П.А., Мишанов А.Ю., Саенко Д.Г. О возможности совместной обработки показаний системы видеоанализа движений и стабилографической платформы // Математическое моделирование движений человека в норме и при некоторых видах патологии / Под ред. И.В. Новожилова и П.А. Кручинина. М.: Изд-во МГУ, 2005. 28-53.
4. Кручинин П.А., Кудряшов О.Э., Мишанов А.Ю., Паварэ З. Восстановление показаний системы видеоанализа движений человека с использованием измерений нормальной реакции опоры // Bull. Int. Sci. Surgical Assoc. 2007. 2, N 1. 66-68.
5. Кручинин П.А., Кудряшов О.Э., Мишанов А.Ю., Паварэ З. Построение сглаживающего сплайна при восстановлении показаний системы видеоанализа по измерениям силовой платформы // Мехатроника и информационные технологии в современной медицине. № 8 (приложение к журналу "Мехатроника, автоматизация, управление"). М.: Новые технологии, 2007. 16-19.
6. Воронов А.В. Анатомическое строение и биомеханические характеристики мышц и суставов нижней конечности. М.: Физкультура, образование и наука, 2003.
7. Скворцов Д.В. Клинический анализ движений. Стабилометрия. М.: Научно-медицинская фирма МБН. Антидор, 2000.
8. Лоусон Ч, Хенсон Р. Численное решение задач методом наименьших квадратов. М.: Наука, 1986.
9. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. М.: Недра, 1987.
Поступила в редакцию 04.06.2007
УДК 539.3
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В ЛИНЕЙНОЙ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
С. Е. Омаров1
С использованием метода осреднения определяются материальные функции линейной моментной теории упругости. Предложенная методика применяется для отыскания константы материала в задаче о равновесии бесконечной плоскости, ослабленной круговым отверстием.
Ключевые слова: материальные функции, моментная теория упругости, теория нулевого приближения, асимптотическое разложение.
The homogenization method is used to determine material fuctions in the linear moment theory of elasticity. The proposed technique is applied to find the material constant in the equilibrium problem for an infinite plane weakened by a circular hole.
Key words: material fuctions, moment theory of elasticity, zeroth-approximation theory, asymptotic expansion.
В работе [1] предложен способ определения материальных функций определяющих соотношений линейной моментной теории упругости с использованием основных положений метода осреднения [2].
1 Омаров Сансызбай Ембергенович — канд. физ.-мат. наук, докторант каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pob@mail.ru.
38
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5
В настоящей работе этот способ применяется для отыскания материальной константы в задаче о равновесии бесконечной плоскости, ослабленной круговым отверстием. Полученные результаты сравниваются с известными решениями аналогичной задачи в работах [3, 4].
1. Определяющие соотношения линейной моментной теории упругости представляют собой обобщения закона Гука и записываются в виде [5, 6]
= Агзкгик,г + Вцкгкы, Цу = О^ыи^г + Егзкгккг- (1)
Здесь щ — компоненты вектора перемещений; агз, ц^ — тензоры напряжений и моментных напряжений; кгз — тензор искривлений, который связан с вектором вращения ш формулами
кг3 = иг,3 - (2)
Пусть в некотором объеме V С К3 заданы объемные силы Xг и объемные моменты Мг. На части £1, ограничивающей объем V, заданы перемещения и° и компоненты вектора вращения на части £2 — поверхностные силы Б° и поверхностные моменты М°. Тогда краевая задача моментной теории упругости с учетом соотношений (1), (2) заключается в решении шести уравнений равновесия в V
а3г ,3 + XI = 0, 3 ,3 + £г зк азк + Мг = 0 (3)
при удовлетворении граничным условиям
щ Ых = u0í, азгп3 |Е2 = , |Ех = и"0, 3 Щ |е2 = М0.
Здесь щ — компоненты вектора единичной нормали, егзк — символы Леви-Чивиты.
В [2] методом осреднения решена статическая задача теории упругости для композита с компонентами, описываемыми с помощью линейных соотношений
а3 = с-ук^ки (5)
где с^кг — компоненты тензора модулей упругости, а тензор деформации £к\ связан с вектором перемещений и формулами Коши
£кг = 1/2 (ик,г + иг,к) - (6)
Согласно методу осреднения, решение задачи сводится к решению двух рекуррентных последовательностей задач теории упругости. Одна из этих рекуррентных последовательностей связана с решением краевых задач теории упругости для однородной среды, а другая — с решением задач для неоднородной среды на ячейке периодичности.
В процессе сведения исходной задачи для упругого композита к упомянутым выше рекуррентным последовательностям задач приходится использовать понятия моментных теорий упругости.
Если рассматривать только теорию "нулевого приближения" [2], то можно построить эффективные характеристики моментной теории упругости для композита исследуемой структуры.
В методе осреднения вводится малый геометрический параметр а, характеризующий структуру композита. Вводятся "быстрые" координаты связанные с глобальными координатами х формулами = Хг/а, г = 1,2,3.
Пусть задан вектор определяющий структуру композита:
фг(£) = а£г( ао + ааз + а2Ьзк£з +
где ао, аз, Ь3к, ... — известные величины.
Введем компоненты тензора моментных напряжений, например, следующим образом:
= ещ<£к (£)аи - (7)
Используя асимптотическое разложение
щ = уг(х) + аМ(Ц1 (£)Уз,кх (х) + а2^2^ (£Ккк (х) + ---,
выразим напряжения (5) и моментные напряжения (7) через перемещения согласно (5), (6) и подставим в уравнения (3) и граничные условия (4). Получим две рекуррентные последовательности задач: одну — для отыскания вектора у(х), а другую — для определения локальных функций ^^^ (£), (£),
^^к^кз(£), ••• . При этом усредненные значения по ячейке периодичности этих величин, обозначенные угловыми скобками, равны нулю:
< = , «...^ - 0, а> 0.
По известным локальным функциям находятся эффективные тензоры Л(0кг1, Л-г^, Л-г^ ¡3, • ••: Ъ(я) = /с - 1 N(я) + с-- N(я+1) \ а = 01
Чертой обозначаются производные по быстрым переменным
Для теорий нулевого и первого приближений достаточно рассмотреть только по две задачи каждой из рекуррентных последовательностей.
После того как найдены эффективные модули Л—^, Л—Ы2 и локальные функции ^^ (£), (£),
можно записать соотношения, связывающие средние напряжения (а—) и моментные напряжения (ц—) со средними кинематическими характеристиками ы- (х) и Ф— = 1/2 £кт ыт,к-:
{(а%з) = А-кгык,г + Bijk¡фk¡, ) = 0-кгык,г + Eijk¡фk¡,
где
(8)
— = — - «пт Ь-mI,
— £-тп ^стряNpk¡\q + стЫ^ ^ , — Фя (CiPmsNmnr¡\s + сгрт1 Nmnr^ ^ £пгк • (9)
При сравнении соотношений (8) и (1) видно, что материальные функции определяющих соотношений моментной теории упругости (1) могут быть найдены методом осреднения из теории первого приближения (9). Никаких дополнительных экспериментов не требуется.
2. В работе [3] получено решение задачи о круговом отверстии радиуса а в однородном поле растяжения р. Контур отверстия г — а свободен от напряжений и моментных напряжений, а на бесконечности реализуется напряженное состояние
ах - р1 ау - Тху - Тух - цх - цу - 0
Здесь ах, •••,цу — обозначения для напряжений и моментных напряжений, используемые в [3]. Соотношения, связывающие моментные напряжения с кривизнами, приняты в виде
Цх - 4Вкх, Цу - 4Вку• (10)
Константа В выражается через константу материала I:
е = си)
В полярной системе координат (г, в) при I - 0, г - а, в - ±п/2 вычисляется коэффициент концентрации напряжений
3 + Е
к = (?в)тж/Р = (12)
где
р= 8(1-«/)
4 + (а/1)2 + 2(а/1)К0(а/О/К (а/1)' Ко (а/1), К1(а/1) — модифицированные функции Бесселя второго рода нулевого и первого порядка соот-
ветственно.
Таким образом, при учете моментных напряжений коэффициент концентрации зависит от коэффициента Пуассона v и от отношения радиуса отверстия к постоянной материала l. Если пренебречь моментными напряжениями, то следует положить l = 0. Тогда в силу того, что
lim ™ = 1,
a/г^ж K\ (a/l)
решение задачи сводится к известному решению Кирша [7]: коэффициент концентрации при F = 0 принимает обычную величину 3. При уменьшении отношения a/l уменьшается и коэффициент концентрации. Например, при a/l = 3
= 3 + 0,44(1 -г/) 1а/1=3 1 + 0,44(1 - и)'
так что при изменении v от 0 до 1/2 коэффициент концентрации напряжений изменяется в пределах от 2,4 до 2,6.
Согласно методу, изложенному в п. 1, вычислим константу B в соотношениях (10) по формулам теории первого приближения. Пусть ^>3 = aao£. Тогда при сравнении соотношений (10) и (9) получим для слоистого двухкомпонентного композита с изотропными упругими компонентами
B = 0,02083 а2a0Px7(1 - 7) [№72 - ^(1 - 7)2], (13)
где
р № - ßi
Ц2 + (1 - 7)^1'
7 — концентрация связующего в периоде структуры композита, ¡1 и ¡12 — модули сдвига компонентов 1 и 2.
По формулам [3] при V = 1/2, а/1 = 10, а = 30, С = ц = 0,3333 Е (Е — модуль Юнга) из (11) следует
а2
В = 12С = I2 0,3333 Е =-0,3333 Е.
100 '
Соответствующее значение коэффициента концентрации к1а/г=ю = 2,98.
Для тех же исходных данных вычислим значение В по формуле (13). Считаем, что ¡2 > ¡1, VI = 0,3. Тогда
ш= , Е1 . = 0,3846153 Е\, и2 = ,Е<2 = 0,3333^2, И 2(1 + г/1) ' Ь И2 2(1 + г/2)
где Е1, Е2, Vl, V2 — модули Юнга и коэффициенты Пуассона компонентов 1, 2 периода структуры композита.
Пусть v2 = V, Е2 = Е, Е1 = 0,2 Е2. При а = 0,1, 7 = 0,7, v2 = 1/2, а0 = 107 получим В = 10,089416 • 0,3333 Е2, откуда следует, что I = 3,1763811. Это означает, что а/1 = 9,4447 при г = 30. По формуле (12) вычислим коэффициент концентрации:
к|а/г=9,4447 = 2,94
Таким образом, при одних и тех же исходных данных получено для константы В, вычисленной с применением метода осреднения, значение коэффициента концентрации к, меньшее, чем значение коэффициента концентрации, вычисленное для константы В из определяющих соотношений Миндлина. Это означает, что если вычислять константу материала I с применением метода осреднения, то соответствующее значение максимального окружного напряжения на контуре отверстия будет меньше значения максимального окружного напряжения в той же точке, вычисленного по методике Миндлина.
Автор приносит благодарность научному руководителю Б.Е. Победре за постановку задачи и большую помощь в работе над статьей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Победря Б.Е., Омаров С.Е. Определяющие соотношения моментной теории упругости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 3. 56-58.
2. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.
3. Миндлин Р.Д. Влияние моментных напряжений на концентрацию напряжений // Механика: Период. сб. переводов иностр. статей. 1964. № 4. 115-128.
4. Пальмов В.А. Плоская задача теории несимметричной упругости // Прикл. матем. и механ. 1964. 28, вып. 6. 1117-1120.
5. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физ. твердого тела. 1960. 2, вып. 7. 1399-1409.
6. Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет "внутреннего" вращения // Физ. твердого тела. 1963. 5, вып. 9. 2591-2598.
7. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.
Поступила в редакцию 17.10.2007
УДК 593.374
НОВЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ Б.Е. Победря1, А. Б. Анисимов2
В данной статье рассматривается обобщение соотношений вязкоупругости Победри в предположении об изотропности материала и об упругом поведении объема. Рассматриваются модельные задачи о всестороннем сжатии и об одноосном растяжении образца. Исходя из полученных выражений для деформаций находятся необходимые условия нерелаксирующего поведения объема. Рассматривается случай произвольного малого на-гружения образца и доказывается, что полученные условия нерелаксирующего поведения объема не только необходимы, но и достаточны.
Ключевые слова: вязкоупругость, нелинейная теория вязкоупругости Победри, эффект ускорения ползучести.
In this paper a generalization of Pobedria's viscoelasticity theory is considered for an isotropic solid with non-relaxing volume. Two types of special loads are considered for samples of Pobedria's material — isotropic compression and monoaxial tension. The obtained formulas are used to deduce necessary conditions of non-relaxing behavior of volume. It is shown that the conditions obtained in such a way are not only necessary, but also sufficient for the non-relaxing behavior of volume, even in the case of an arbitrary load.
Key words: viscoelasticity, non-linear viscoelasticity theory of Pobedria, effect of "accelerated creep".
Постановка задачи. В работе [1] рассмотрены определяющие соотношения нелинейной теории вязкоупругости Победри [2] для случая одномерной задачи и с их помощью описан эффект ускорения ползучести при пульсирующем нагружении. Указанные определяющие соотношения изучены только для задачи о растяжении-сжатии стержня и имеют вид
t
*) = /
n(t - т) da(r)
1 -и р(! - О МО'
Здесь е — деформация, а — напряжение, П и р — ядра ползучести. В книге [2] рассматривается общий случай трехмерной задачи для вязкоупругого материала:
г
е%зСО = У Щкрдз^ - т) [А-1{г,тйаиР{т), (1)
о
1 Победря Борис Ефимович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pob@mech.math.msu.su.
2 Анисимов Артем Борисович — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anisimov@inbox.ru.
