CC BY
124
Section 3. Computer science
Section 3. Computer science Секция 3. Информатика
Proletarsky Audrey Viktorovich, Professor E-mail: [email protected]
Neusipin Konstantin Avenirovitch, Professor E-mail: [email protected]
Shen Kai, Postgraduate student, Bauman Moscow State Technical University, Department of Information and Control Systems E-mail: [email protected]
Modification of Kalman Filtering by Utilizing Linear Trends
Abstract: In this paper, navigation system of flight vehicle and unstable Kalman filtering were described. Moreover, an approach to identify coefficient of aircraft error-models was proposed by applying linear Demark trends and modified Demark trends.
Keywords: flight vehicle, navigation system, unstable Kalman filtering, Demark trend.
Пролетарский Андрей Викторович, профессор E-mail: [email protected]
Неусыпин Константин Авенирович, профессор E-mail: [email protected]
Шэнь Кай, студент, МГТУ им. Н. Э. Баумана, Факультет «Информатика и системы управления»
E-mail: [email protected]
Способ модификации фильтра Калмана с использованием линейных трендов
Аннотация: В статье рассмотрены навигационные системы ЛА и нестационарный фильтр Калмана. Предложено идентифицировать коэффициенты модели погрешностей системы ЛА в алгоритме оценивания с помощью линейных трендов Демарка и модифицированных трендов Демарка.
Ключевые слова: летательный аппарат, навигационная система, нестационарный фильтр Калмана, тренд Демарка.
1. Введение
Управление летательными аппаратами (ЛА) осуществляется на основе измеряемой информации о состоянии ЛА. В практических приложениях измеряемая информация искажена шумами различной природы, поэтому эта информация обычно подвергается обработке с помощью алгоритмов оценивания [1; 2; 3].
Наиболее распространенными алгоритмами оценивания в задачах обработки информации в измери-
тельных комплексах ЛА являются фильтр Калмана и его адаптивные модификации [4] и нелинейный фильтр Калмана и его модификации [5].
При применении матричных алгоритмов оценивания обычно используются априорные математические модели. В процессе полета некоторые коэффициенты матрицы модели существенно отличаются от реальных коэффициентов, особенно при интенсивном маневрировании ЛА. Поэтому для
16
Секция 3. Информатика
повышения точности оценивания целесообразно осуществлять идентификацию таких коэффициентов в полете.
2. Нестационарный фильтр Калмана
Достаточно высокой точностью и в то же время простотой реализации в БЦВМ отличается нестационарный фильтра Калмана. Рассмотрим дискретное линейное уравнение, описывающее динамический объект, например измерение погрешностей ИНС:
Хк+1 = Фk+1,kXk + Gk+1,kWk , (l)
где: xk — вектор состояния; wk - вектор входного возмущения; Фк+1>к - матрица объекта; Gk+hk - матрица входа.
Входные возмущения предполагаются дискретным аналогом гауссового белого шума с нулевым математическим ожиданием и известной ковариационной матрицей Qk.
Часть вектора состояния измеряется:
z(c+1 = Hk+ixk+1 + Vk+1 (2)
Здесь: zk+1 -вектор измерений; vk+1 -вектор ошибок измерения; Hk+1 — матрица измерений.
Ошибки измерений предполагаются дискретным аналогом гауссового белого шума с нулевым математическим ожиданием и известной ковариационной матрицей Rk.
Ошибки измерения (иначе измерительный шум) и входные возмущения (иначе входной шум) некор-релированы M[vJwTk ] = 0 при любых j и к.
Начальное значение вектора состояния полагаем гауссовым случайным вектором с нулевым математическим ожиданием, независящим от входных возмущений ошибок измерений: M[x0wl] = 0 и M[x0Ц] = 0 для любого к.
Ковариационная матрица M[x ox0 ] = P0 представляет собой неотрицательно определенную матрицу размерности.
Требуется на основе математического ожидания объекта и априорной информации о статистических характеристиках входных и измерительных шумов и осуществляя измерения части вектора состояния оценить вектор состояния так, чтобы функционал Jk принимал минимальное значение:
Jk = M[(xk -xk) (xk -xk)] = min .
(3)
Здесь: xk - оценка вектора состояния. Оптимальная оценка вектора состояния определяется из уравнения вида:
xk+i =фк+1,кхк + Kk+ivk+i, (4)
где Kk+1 — матрица усиления фильтра;
vk+1 = zk+1 - Hk+1Фк+ukxk — обновляемая последовательность.
Уравнение (4) имеет следующий физический смысл. На основе оценки вектора состояния и матрицы объекта производится прогноз для следующего шага вычисления оценки. Одновременно производится коррекция этого прогноза посредством использования обновляемой последовательности. Обновляемая последовательность представляет собой сумму ошибки прогноза и измерительного шума.
Матрица усиления фильтра определяет вес, с которым входит обновляемая последовательность в оценку вектора состояния. В случае проведения идеальных измерений, то есть когда измерительный шум отсутствует, матрица усиления выбирается максимальной. Чем больше измерительный шум, тем с меньшим весом учитывается обновляемая последовательность при формировании оценки вектора состояния. Фильтр Калмана имеет вид:
1 ьХь + Kb,iVi.
xk+1 _ Ф +1,kxk + Kk +1vk+1 Pk+1/k = ^+1,kPk ^+1,k + Qk
Kk+1 _ Pk+1,kHk+1
k+1Pk+1,kHk+1 + Rk+1
((
Pk+1 =( - Kk+Hk+1 ))+1>(
)
(5)
Здесь: Pk+1k - априорная ковариационная матрица ошибок оценивания; Pk+1 — апостериорная ковариационная матрица ошибок оценивания.
При помощи фильтра Калмана осуществляется не только восстановление всего вектора состояния системы, но подавляется влияние измерительного шума. Уравнения фильтра Калмана очень удобны для реализации на БЦВМ, так как просты в вычислительном плане и не требуют большого объема машинной памяти. Однако при незапланированном изменении коэффициентов матрицы Ф точность оценивания снижается.
3. Методы построения моделей Линии тренда достаточно часто используются в задачах прогнозирования. С помощью регрессионного анализа можно продолжить линию тренда вперед или назад, экстраполировать ее за пределы, в которых данные уже известны, и показать тенденцию их изменения. Можно также построить линию скользящего среднего, которая сглаживает случайные флуктуации, яснее демонстрирует модель и прослеживает тенденцию изменения данных.
Линейные тренды, типа трендов Демарка отличаются простотой реализации и позволяют определить тенденцию изменения исследуемого процесса за минимальный интервал времени. Такие тренды можно использовать для прогноза с использованием коротких измерительных выборок.
17
Section 3. Computer science
а) Классические тренды Демарка определяются двумя точками, которые выбираются следующими способами:
Тренд, построенный по экстремальным точкам выборки, выражается в виде:
z0t = k0i ■ tt + d0t, (6)
где z0 - прогнозируемая величина, k0l,d0l - параметры тренда, являющиеся крутизной и константой тренда соответственно, tt - обозначает момент времени, в который используется данная модель для получения прогнозируемой величины.
k0l ,d0l получают следующим образом: Измерительная выборка разделяется на две определенные группы в зависимости от ее длительности, выбираются из каждой группы точки с максимальными и минимальными значениями. Для получения тренда соединяются прямой линией две точки, имеющие максимальное и минимальное значения, в следующей последовательности: при нисходящей тенденции выборки используется максимальное значение, а при восходящей тенденции выборки используется минимальное значение. Такие точки для укладки тренда в дальнейшем будем называть опорными точками.
Модель (6) имеет преимущество при изменении выборки с высокой динамикой.
б) Модифицированный тренд Демарка, построенный на основе осредненных значений выборки с выбранными опорными точками a1,b1, выражаются в виде:
zu (a1,b1) = klt ■ tt + dlt, (7)
где: zu - прогнозируемая величина, kit ,du - параметры тренда, являющиеся крутизной и константой, a1,b1 - координаты опорных точек, tt — обозначает момент времени, в который используется данная модель для получения прогнозируемой величины. ku ,dlt и avbx получаются следующим образом: Измерительная выборка делится на две части. Ос-редняются величины всех точек в каждой части и получаются два средних значений, которые использованы как координаты опорных точек в сочетании с выбранными flj, b. Соединяются прямой линией две опорные точки и получается тренд.
Модель (7) отличается более точной аппроксимацией к ближайшей тенденции выборки. Классические тренды Демарка имеют невысокую точность, особенно в условиях интенсивного маневрирования объекта [6]. Поэтому применять классические тренды Демарка в практических приложениях возможно лишь на более-менее прямолинейных участках полета и только для краткосрочного прогнозирования.
Для долгосрочного прогнозирования целесообразно использовать высокоточные методы построения моделей: нейронные сети, генетические алгоритмы и методы самоорганизации [7]. С помощью этих методов удается построить нелинейные модели исследуемых процессов, но для этого требуется получить измерительную выборку большую чем для линейного тренда.
Список литературы:
1. Шэнь Кай. Исследование алгоритмов оценивания погрешностей навигационных систем. Материали за X международна научна практична конференция, «Бьдещите изследвания», 17-25 февруари, - 2014, Република България, гр. София. Том 49. Технологии. Физика. - с. 14.
2. Шэнь Кай. Разработка алгоритмов оценивания для коррекции навигационных систем. Труды первого международного симпозиума «Современные аспекты фундаментальных наук/под.ред. Л. И. Рогачевой, К. А. Неусыпина. - М.: ИИУ МГОУ - 2013. - 382 с. - с. 247-251.
3. Proletarsky A V, Neusipin K A. Research filtering algorithm with delay effect for measurement system. Science & Military. - 2010. - № 2, Vol 6:17-21.
4. Proletarsky A V, Neusipin K A. Adaptive filtering for navigation systems of robot-aircraft. Science & Military. -2011. - Vol.5: 75-80.
5. Neusipin K A, SHEN Kai, LIU Rong-zhong. Modification of nonlinear Kalman filter using self-organizing approaches and genetic algorithms. International Journal of Information Engineering, - Dec. 2013, - Vol. 3, -Iss. 4: 129-136.
6. Neusipin K A, Ke Fang. Research progress of intelligent control systems of aerocrafts. Acta Armamentarii, - Jul. 2010, - vol. 31, № 7: 939-949. [in Chinese].
7. K. A. Neusipin, SHEN Kai, and WANG Lin. Some Standard Mathematic Models for Management, Organization and Prediction in Economic Fields [C].2014 4th International Conference on Applied Social Science (ICASS 2014), Advances in Education Research, Published by Information Engineering Research Institute USA, March 20-21, - 2014, - Singapore, - vol. 51: 72-76.
18
