CC BY
5МАТЕМАТИКА (MATHEMATICS)
УДК 51
Вдовина Ю.В.
магистрант 1 курса кафедры «Высшая и прикладная математика» Пензенский государственный университет (г. Пенза, Россия)
СПЛАЙН-МЕТОДЫ РАСТРОВО-ВЕКТОРНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
Аннотация: изучаются теоретические понятия растрово-векторного преобразования графической информации с использованием сплайнов. Рассматривается использование жирных Б-сплайновых кривых для описания формы плоских объектов.
Ключевые слова: векторизация изображений, сплайн-методы, жирная Б-сплайновая кривая, интерполяция.
Сплайн-методы растрово-векторного преобразования графической информации - это современный и эффективный подход к обработке изображений, который сочетает преимущества обоих форматов.
Все существующие методы векторизации изображения разделены на три этапа. На первом этапе происходит сегментация, на втором этапе происходит процесс векторизации. В результате этого получается модель растра, которая моделирует границы и линии площадных объектов изображения. На третьем этапе происходит обработка результатов с целью повышения качества итогового векторного изображения.
Основные различия алгоритмов заключаются в процессе векторизации. В компьютерной графике для описания плоских объектов используют несколько математических моделей. Известен подход представления плоских фигур с
помощью так называемых жирных линий [1] - семейство кругов переменного радиуса с центрами на непрерывных кривых.
В качестве математического аппарата для описания жирных линий в [1] использованы сплайны Безье второй степени. Представление плоских объектов с помощью сплайнов Безье весьма компактно и позволяет достаточно просто и эффективно описывать геометрические объекты различной сложности и формы. Данный аппарат в силу своей простоты и универсальности идеально подходит для работы с одноцветными линиями. Однако если рассматривать вопросы преобразования цветных растровых образов, составленных из нескольких жирных кривых Безье, то обеспечение гладкости составной кривой весьма сложно поддерживать на автоматическом уровне.
В данной работе в качестве математического аппарата для представления жирных линий предложено использовать Б-сплайны, у которых в отличие от сплайнов Безье, гладкость составной кривой заложена изначально.
Использование жирных Б-сплайновых кривых для описания формы плоских объектов ставит ряд задач: задача восстановления жирной Б-сплайновой кривой по семейству опорных кругов, задача вычисления циркулярных координат для Б-сплайновой жирной линии.
Жирной линией F = (u(t ), v(t ), r(t )) называется множество точек, образованных объединением ct = {(x, y) g R2 : (x - u(t))2 + (y - v(t))2 < r(t)2} на
евклидовой плоскости r2 , где u,v,r - непрерывные дифференцируемые функции, причем r (t ) > 0[1]. Кривая P(t ) = (u(t ), v(t )) называется осью жирной линии, а r (t ) -ее шириной.
Жирную линию можно рассматривать как след от перемещения окружности c переменного радиуса вдоль осевой линии P(t). Элементарная
кубическая жирная Б-сплайновая кривая, заданная на отрезке [a, b] = [0,1], определяется следующим векторным уравнением [2]:
1 3
g (t ) = 1 S B (t )* Нг
6 i=0
Где t е [0,1] - параметр, Ht = {Hx, Hy, Hir} - семейство контрольных кругов с центрами в (Hix,Hy)и радиусами Hir,i = 0,...,3, а Bi(t)- базовые функции
кубического Б-сплайна.
Любую жирную Б-сплайновую кривую можно представить в виде жирной кривой Безье. Эта возможность открывает широкие перспективы в использовании Б-сплайнов совместно с кривыми Безье.
Задача восстановления (curve fitting) является фундаментальной в компьютерной графике. Решение этой задачи предложено в терминах жирных линий, основанных на перемещении круга [3].
Задача восстановления жирной Б-сплайновой кривой ставится следующим образом. Дана последовательность опорных кругов G0,... ,Gn-1 , каждый из которых описывается в виде Gj = (Gjx, Gjy, Gjr), где (Gjx, Gjy) -координаты центра круга, а Gir- его радиус. Требуется построить жирную Б-сплайновую кривую g (t), такую чтобы она точно проходила через все круги Gj - задача интерполяции, либо достаточно близко от кругов G j - задача аппроксимации. Кривую, проходящую точно через все опорные круги назовем интерполяционной кривой, кривую, проходящую достаточно близко к опорным кругам - аппроксимационной кривой.
Таким образом, для восстановления жирной Б-сплайновой кривой необходимо найти семейство контрольных кругов H j таких, чтобы получившаяся жирная линия точно проходила через все опорные круги Gj .
Будем искать интерполяционный сплайн в виде вектор функции g(t) =[ x(t X y(t X r (t)], которая имеет следующую форму:
я+1
8 ) = Е н1 * 5) Л),
где п - количество опорных кругов, н1 = (нх, ну, нг) - искомые вектора коэффициентов, - базисный интерполяционные сплайн третьей степени [4].
Суть заключается в том, чтобы отобрать из исходного множества часть опорных кругов Bj построить для них интерполяционную жирную кривую такую, чтобы не вошедшие в это подмножество круги лежали достаточно близко от полученной кривой. Задача выбора подмножества кругов среди Gj является NP-полной, поэтому предлагается приближенный алгоритм, состоящий в следующем.
Разобьем наше семейство опорных кругов на два подмножества Ij и I2. Первый назовем списком включенных кругов, а второй списком исключенных. Алгоритм состоит в последовательном конструировании первого множества путем переноса в него части кругов из второго [5].
Алгоритм формирования множества Ij следующий:
Начальный шаг.
Множество Ij состоит из четырех элементов: первого, последнего и двух опорных кругов, приблизительно равномерно разделяющих все множество на три части. Множество I2 содержит все остальные круги.
Основной цикл алгоритма.
Для всех кругов из множества Ij решаем задачу интерполяции. В результате получаем кривую, заведомо проходящую через все круги множества Ij. Для каждого круга Gi с параметром ti из множества 12 вычисляем р(g(t), G). Выбираем круг Gi , у которого эта величина максимальна, перемещаем его из множества I2 в Ij и снова проделываем шаг восстановления жирной линии уже по обновленному множеству Ij . Данный цикл повторяется до тех пор, пока не получится max p(g(ti), Gi) <s, VG e I2, либо пока множество I2 не станет пустым, е называют допустимой ошибкой аппроксимации.
Представить в виде жирных линий можно практически любой растровый образ с довольно замысловатой формой и структурой. Преобразования над фигурами, описанными таким способом в терминах контрольных кругов, осуществляются путем перемещения центров кругов и изменения их радиуса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Л.М. Местецкий. Компьютерная графика на основе жирных линий. Труды международной конференции по компьютерной графике «Графикон2001», Москва, МГУ, 2000.
2. Д. Роджерс, Дж. Адамс. Математические основы машинной графики. Москва, «Мир», 2001.
3. А.Б. Семенов, Л.М. Местецкий. Жирные линии на основе Б-сплайнов. Сложные системы: моделирование и оптимизация. Сборник научных трудов. Тверской государственный университет. 2001.
4. L.M. Mestetskii. Fat curves and representation of planar figures. Computers and Graphics, Vol. 24(1-2),2000.
5. C. Yao, J. Rokne. Fat curves. Computer graphics forum, 10, 1991.
Vdovina Yu.V.
Penza State University (Penza, Russia)
SPLINE METHODS OF RASTER-VECTOR TRANSFORMATION OF GRAPHIC INFORMATION
Abstract: theoretical concepts of raster-vector transformation of graphic information using splines are studied. The use of bold B-spline curves to describe the shape of flat objects is considered.
Keywords: image vectorization, spline methods, bold B-spline curve, interpolation.
