Спектроскопия перепутанных бифотонных состояний Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.14

ФЕДОРОВ Михаил Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий теоретической лабораторией отдела мощных лазеров Института общей физики имени А.М. Прохорова Российской академии наук. Автор 230 научных публикаций, в т.ч. 4 монографии

МИХАЙЛОВА Юлия Михайловна, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института общей физики имени А.М. Прохорова Российской академии наук. Автор 20 научных публикаций

ВОЛКОВ Петр Александрович, научный сотрудник Института общей физики имени А.М. Прохорова Российской академии наук. Автор 12 научных публикаций

ПОЛУЭКТОВ Николай Павлович, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института общей физики имени А.М. Прохорова Российской академии наук. Автор 17 научных публикаций

СПЕКТРОСКОПИЯ ПЕРЕПУТАННЫХ БИФОТОННЫХ СОСТОЯНИЙ*

В работе найдены и описаны спектры бифотонных состояний, образующихся в процессе спонтанного параметрического рассеяния света с синхронизмом типа I при вырожденных центральных частотах спектров излученных фотонов и импульсной накачке.

Спонтанное параметрическое рассеяние, перепутывание, одночастичный спектр и спектр совпадений

1. Волновая функция бифотона. Один из наиболее эффективных методов получения перепутанных бифотонных состояний - это спонтанное параметрическое рассеяние света (СПРС). В этом процессе при облучении нелинейного двулучепреломляющего кристалла полем накачки с некоторой малой вероятностью фотоны накачки распадаются каждый на два фотона меньших частот - сигнальный и холостой, или просто фотоны 1 и 2. Если считать, что накачка - это классическое внешнее поле, то для квантованного поля излучения началь-

ное состояние есть вакуум, а в результате взаимодействия накачки с кристаллом возникает суперпозиция вакуума и бифотонного состояния:

Iуас) ^|уас) +У [А(к1ъ1,к2о2) \~ ,1-

°1> °2

. . (!)

где к^И к2 ~ волновые векторы излученных фотонов,

- их поляризационные переменные, принимающие только два значения Н и V (горизонтальная и вертикальная поляризации в_плоскостях, перпендикулярных кх и к2).

* Работа поддержана грантами РФФИ № 08-02-01404 и 08-02-12091.

Авторы благодарны за многочисленные плодотворные обсуждения С.П. Кулику, Е.В. Моревой, С.С. Страупе и М. Дженовезе.

В данной статье мы рассматриваем только случай СПРС с синхронизмом типа I, когда накачка - это необыкновенная волна, а оба излученных фотона принадлежат к типу обыкновенных волн, т.е. рассматривается распад фотонов типа е ^ О + О. В таких процессах амплитуда А всегда симметрична и с точностью до нормировки совпадает с волновой функцией Т. Более того, в случае СПРС с синхронизмом типа I поляризации фотонов 1 и 2 одинаковы, и поэтому зависимость волновой функции бифотона от поляризационных переменных о1 и 02 становится тривиальной, типа §а н5а н, и в дальнейшем может не рассматриваться.

В общем случае процессов рассматриваемого типа волновая функция Т определяется выражением [1]

¥ (кх, к2) = х | & | Ж | dkp х

:ехр[/А г - /(raj + ю2 - юр )t]Ер (кр).

(2)

^ ^ _гдеТ; - нелинейная восприимчивость,

А = к1 +к2 - к^ - расстройка фазового синхронизма, к„ - волновой вектор,

Ер (кр) - Фурье-образ поля

накачки.

Интегрирование по времени t в уравнении (2) дает дельта-функцию, которая связывает частоты излученных фотонов и накачки Wj + ю2 = ю р .В приближении широкого кристалла также легко выполняется в уравнении (1) и интегрирование по координатам , перпендикулярным оси накачки 0z. Это интегрирование вновь дает дельта-функцию, определяющую связь поперечных компонентов волновых векторов ^излученных фотонов и накачки ^1 ^ ^2 = кр и позволяющую без затруднений вычислить интеграл по кр. Наконец, интегрирование по z от 0 до Z дает sinc( LAz/2), где L - длина кристалла и sinc(w) = sin и/и. Будем рассматривать далее только простейший (и оптимальный) случай, когда регистрируются исключительно фотоны с волновыми вектора-

ми, параллельными оси 02, кх\\ к2\\ кр || 0.^, и, следовательно, кХ22 = А^2 = п0(ю12)х$>1,2/с > кр2 = кр = «е(ю1 + ю2)х(ю1 + ю2)/с. В эксперименте данное условие выполняется с помощью фокусировки бифотонного пучка вне кристалла и установки очень узких щелей перед детекторами в фокальной плоскости линзы. В рамках сделанных предположений, волновая функция (2) оказывается зависящей только от частот излученных фотонов, ¥ = Т(ш1,ш2). При этом спектральная напряженность накачки импульсной может быть аппроксимирована Гауссовой функцией

Ер (кр) = £0ехр

X2(®! + ю2 - ю0) 81п2

2 А

где х _ длительность импульса накачки.

Предположим далее, что центральные частоты спектров излученных фотонов ю{°) равны половине центральной частоты спектра накачки: = ю0/2, а отклонения от центральных

частот v12 = 2 - ш|0>

К2 « ®о-

малы,

Предположим, кристалл ориентирован так, что на центральных частотах выполнено условие точного коллинеарного синхронизма

Аг = К г + к2 г - кр г = К + ^2 “ кр = 0 ИЛИ

Пе К) = По К/2)-в этих условиях расстройка фазового синхронизма А2(ю15ю2) может быть разложена по степеням у1 2 до второго порядка, в результате чего спектральная волновая функция бифотона становится функцией V] и У2 и принимает вид [1,2]

' т2(уі +уг)2 ^

¥ (vlsv2) к £0ехр

81п2

х sine

L_

2с

A(vx +v2) - В ^l_^) шл

(3)

где А и В - константы временного сноса и дисперсии,

А = ■

с

с

И В —

сю0 с1 гкх

в|°)

групповые скорости накачки и излученных фотонов.

2. Одночастичный спектр и спектр совпадений. Ввиду того, что волновая функция бифотона (3) зависит от двух частотных переменных У|ИУ2 и не факторизуется, т.е. не представляется в виде произведения двух функций, зависящих только ОТ и только ОТ У2 каждая, состояние, описываемое такой волновой функцией, перепутано, и, кроме того, существует две возможности измерения и описания спектров подобного состояния. Первая возможность состоит в том, чтобы использовать один детектор (счетчик фотонов) и, перестраивая его, измерять распределение количества фотонов (фотоотсчетов) по частоте Уг, независимо от того, какую частоту имеет второй фотон. Это метод одночастичных измерений. Математически одночастичное распределение описывается безусловной плотностью вероятности:

=1п^2)|2.

(4)

Вторая возможность экспериментального исследования связана с измерениями частотных распределений фотонов с помощью двух детекторов, один из которых имеет фиксированную настройку, а другой перестраивается, причем учитываются только одновременные фотоотсчеты двух детекторов. Это есть метод измерений спектров по схеме совпадений. Математически измерения по схеме совпадений характеризуются условной плотностью вероятности обнаружения фотона с частотой у1 при условии, что второй фотон имеет некоторую фиксированную частоту У2:

dw(c}(vl) _ |^(У1,У2)|2

(5)

Как следует прямо из определений (4) и (5), соответствующие спектральные распределения совпадают, если двухчастичная волновая функция факторизована, т.е. имеет вид произведения одночастичных волновых функций: ^ (у\ууг)= ^(у1)х(у2)- Различие же одночастичного спектра и спектра совпадений однозначно свидетельствует о том, что бифотонная волновая функция нефакторизуема.

На рис. 1 приведены спектр совпадений (а) и одночастичный спектр (б), рассчитанные теоретически с помощью формул (3)-(5) и измеренные экспериментально [3]. Для удобства сравнения теории с экспериментом формулы (4) и (5) пересчитаны на зависимости вероятностей от длин волн фотонов, а не их частот.

Наибольшего внимания заслуживает различие масштабов по горизонтальной оси на рис. 1, которое показывает, что спектр совпадений значительно уже, чем одночастичный спектр -это очень важно для характеристики степени перепутывания состояний (см. следующий раздел). Можно заметить также некоторые количественные различия теоретической и экспериментальной кривых в одночастичном спектре (рис. 16). Мы думам, что эти различия связаны с некоторыми особенностями экспериментальной установки. Они еще не до конца поняты, но, с другой стороны, не влияют на качественные выводы обсуждаемые ниже.

Одной из существенных характеристик спектральных распределений фотонов являются их ширины на полувысоте от максимума. В теории эти ширины могут быть найдены аналитически в двух предельных случаях - коротких и длинных импульсов накачки. Будем считать, что импульсы накачки короткие или длинные, если, например, в зависимости от у1 при фиксированной величине У2, соответственно, гауссова функция в уравнении (3) значительно уже или значительно шире, чем втс-функция. С учетом этих особенностей находим ширины спектральных одночастичных кривых и кривых совпадений [1]:

.(С) _ 5.56с . ^) _ /2Аш01п2

АЬ

Вт

(6)

и

Ди,с, = 41п2 „, = 12.78 с Юр

т ’ ^10^ Л LB . (7)

С учетом данного выше определения разграничения случаев коротких и длинных импульсов накачки, находим, что количественно это разграничение контролируется параметром

л „ 2_сг

П ДиЙ8 ' ЛЬ ■ <*)

Импульсы накачки короткие, если ^ << 1, и длинные, если ^ >> 1. В рассматриваемых условиях промежуточное значение 1 соответствует т ~ 1 пс. Физический смысл параметра "Л состоит в том, что он равен отношению удвоенной длительности импульса накачки к разности времен, которые требуются для прохождения всего кристалла фотонами накачки и излученными фотонами.

Заметим, что, как следует из уравнений (6)-(7), и в случае коротких, и в случае длинных импульсов накачки, ширины одночастичного спектра стремятся к бесконечности В ^ 0. Это и понятно, т.к. при В - 0 гауссова функция и втс-функция в уравнении (3) зависят от одной и той же комбинации частотных переменных, У1 + У2. По этой причине интеграл по У2 в уравнении (4), определяющий одночастичный спектр, при В - 0 оказывается независящим от у15 т.е. ширина спектра оказывается бесконечно большой, чего не может быть. На самом деле, безусловно, В Ф 0, и все спектральные ширины всегда конечны. Но приведенные рассуждения показывают, что учет квадратичного слагаемого в аргументе втс-функции в выражении (3) для волновой функции бифотона принципиально необходим, хотя это слагаемое и мало по сравнению с линейным слагаемым.

3. Спектральное перепутывание состояний, параметр, теорема и моды Шмидта. Существует несколько параметров, которые могут быть использованы для характеристики степени перепутывания бифотонных состояний. Один из них - это так называемый параметр

Шмидта К [4, 5]. Опишем коротко, как он определяется и в чем состоит его физический смысл.

Если задана какая-то волновая функция чистого состояния двух частиц ¥(1,2), то ей соответствует матрица плотности

р(1,2;1',2') = ¥(1,2)¥*(1',2'), (9)

где цифры 1 и 2 в данном случае символизируют переменные частиц, которые могут быть или дискретными, или непрерывными.

Из матрицы плотности р можно получить

редуцированные матрицы плотности частиц 1 и 2:

р, (1,1') = р"» = Тг2р = £ ¥(1,2)¥*(1',2),

2

рг (2,2') = р<2> = Щр = £^(1,2)¥*(1,2'). (10)

1

Редуцированные матрицы плотности характеризуют одночастичные состояния, которые могут уже и не быть чистыми. Степень чистоты этих состояний может характеризоваться параметром, равным следу от квадрата любой

из редуцированных матриц Тг (р2^, а обратная

величина - от степени чистоты одночастичных состояний - это и есть параметр Шмидта:

к=гйй- (Ю

Моды Шмидта - это ортонормированные собственные функции редуцированных матриц

плотности (рп и , определяемые уравнениями на собственные значения и собственные функции

Рг1}% = ^п<Рп > Рг2)Хй = ^п%п > (12)

где п = 1,2,3...,

А,п - собственные значения редуцированных матриц плотности, одинаковые для и р®.

В представлении мод Шмидта:

Р™(1,1’)=£ \,№„ (1)«;(1'),

р<2)(2,2') = Х и, (2)£ (2'). (13)

п

В случае бифотонных состояний, волновые функции которых обязательно симметричны, идентичны также и собственные функции редуцированных матриц плотности фп и%п .В терминах Хп определение параметра Шмидта (11) принимает вид

К =

1

(14)

Моды Шмидта позволяют получить уникальное разложение двухчастичной волновой функции, известное как теорема Шмидта:

(15)

Из этого разложения и определения параметра Шмидта К (14) можно найти, что параметр Шмидта характеризует количество слагаемых в разложении (15), коэффициенты которых п не малы. Если К = 1, то А-1 = 1, а

все остальные

равны нулю, и

¥ (1,2) = ^1(1)Х1(2),т.е. волновая функция факторизована, и состояние не перепутано. Если же К > 1, то уже не только одно слагаемое в разложении (15) отлично от нуля, т.е. волновая функция не факторизуется и состояние имеет некоторую степень перепутывания. Чем больше К, тем большее число слагаемых дает существенный вклад в разложение (15) и тем выше степень перепутывания состояния. Можно сказать, что параметр Шмидта К определяет минимальное число произведений ортонор-мированных функций фп и%п, на сумму которых может быть разложена двухчастичная волновая функция ¥(1,2).

В случае дискретных переменных величина параметра Шмидта ограничена величиной

Ктах = d, где d - размерность одночастичных состояний, т.е. число значений, которые могут принимать переменные 1и 2. Например, в случае чисто поляризационных бифотонных состояний переменные 01 и 02 могут принимать только два значения -Н и Г, и, соответственно, d = Ктах = 2. В случае непрерывных перемен-

ных d = ,и, значит, параметр Шмидта и сте-

пень перепутывания могут быть неограниченно велики. Реальное ограничение степени перепутывания определяется в этом случае конкретным видом двухчастичной волновой функции и конкретными значениями определяющих ее параметров.

Заметим, наконец, что в случае непрерывных переменных суммы, определяющие след матриц в уравнениях (10)и(11), превращаются в интегралы. В этом случае для параметра Шмидта можно получить общее интегральное выражение через произведения двухчастичных волновых функций:

К = 11 dxldx2 dx[dx2x¥( хр х2)¥*х

X (х[, х2)¥* (х1, х2 )¥(х|, х2)

-1

(16)

где х1 и х2 — непрерывные переменные частиц.

Выражение такого же типа определяет параметр Шмидта и в случае дискретных переменных, но с заменой интегралов на суммы.

4. Спектральное перепутывание состояний, экспериментально измеряемый параметр перепутывания Я. Недостатком параметра Шмидта, так же как и многих других параметров, характеризующих степень перепутывания, является невозможность их прямого экспериментального измерения. В связи с этим в работе [6] было предложено характеризовать степень перепутывания чистых двухчастичных состояний очень простым и доступным прямому измерению параметром Я, определяемым как отношение ширин распределений, измеренных по схеме одночастичных измерений и по схеме совпадений (или рассчитанных с помощью абсолютной и условной плотностями вероятности). В случае частотных переменных это определение записывается как

Аш

(с)

(17)

С помощью формул (6) и (7) отсюда мы легко находим аналитические выражения для

параметра Я в двух предельных случаях - коротких и длинных импульсов накачки Я8Ьог1 и ^1опё, а также с помощью простой квадратичной интерполяции и параметр Я при любых величинах длительности импульса Т:

ад-^5^. _(18)

где зависимость ^(т) определена уравнением (8).

Ряд свойств параметра Я обосновывает использование его в качестве перепутывания. Во-первых, в случае факторизуемых неперепу-

танных состояний Я = 1 (так же, как и параметр Шмидта К). Во-вторых, существует широкий класс перепутанных двухчастичных состояний, для которых Я = К [7] - это состояния, характеризуемые двойными гауссовыми функциями вида

" -1-^)- (-^}

(19)

где а,Р,5,у, а и Ь - произвольные константы.

Наконец, для волновой функции ¥(у15у2) (3), не имеющей вида двойной гауссовой функции, параметр Я(т) сравнивался с параметром

Шмидта К(т), рассчитанным численно в работе [8], и оказалось, что эти параметры очень близки друг к другу. Зависимости Я(т) и К(т) приведены на рис. 2. Близость двух кривых на рисунке подтверждает, что и для волновых функций вида (3) параметр Л(т) является хорошим показателем степени перепутывания двухфотонных состояний, которая тем самым может быть прямо определена из экспериментальных данных о ширинах одночастичного спектра и спектра совпадений, как это и было сделано в работе [3].

Один из результатов этой работы состоит в том, что в случае СПРС в кристалле ЬПОЗ длиной 1 см при длине волны накачки

А0 = 397,5 нм и длительности импульса 176 фс параметр Я, измеренный экспериментально, оказался равным 349±43, что хорошо согласуется с теоретическим значением ^=316. В целом же, согласно результатам, описываемым формулой (18)и кривыми на рис. 2, спектральное перепутывание весьма велико при любых значениях длительности импульсов накачки, в т.ч. и при тех, которые соответствуют минимуму кривых Я(т) и К(т). Как следует из уравнения (18), большая величина минимального значения параметра перепутывания опре-

3

| 0.5

(л) ]

Ч \

и в 1 \

V Ь 0.5 $ / \

■ 'г N ' ч и и и VI Ч

•чг/ Л> 0 V \

794,4

795

нм

794,6

700

750

800

Эц, ни

850 8У0

Рис. 1. Спектр совпадений (а) и одночастичный спектр (Ь), теория (сплошные кривые^ и эксперимент [3]; СПРС в кристалле 0103, длина кристалла Ь— 1 см, центральная длина волны накачки 397,5 нм

Рис. 2. Параметры К [8] (пунктир) и Я (18) (сплошная линия) в зависимости от длительности импульсов накачки т для СПРС в ЫЮЗ с Ь—0,5 сми = 397,5 нм

деляется в основном большой величиной отношения длины кристалла к длине волны накачки,

5. Моды Шмидта. В общем случае моды Шмидта определены уравнениями (12). Явные аналитические выражения для мод Шмидта известны только двойных гауссовых волновых функций вида (19) [9]. В частном случае симметричной двойной гауссовой волновой функции

¥ (х1, х2) = N ехр ^

ехр

(Хі -х2У 2 Ъ2

(20)

парные функции мод Шмидта фп и%п тождественны и имеют вид [ 10]

г 2 У/4 Р.(*,) = [ -ьI V,

вой (20), то и выражения (21) не могут быть использованы прямо для описания спектральных мод Шмидта. Тем не менее, как показывает анализ [10], существует и можно найти приближенный двойной гауссов эквивалент волновой функции (3), что решает и задачу о нахождении мод Шмидта. В случае длинных импульсов накачки, "п >> 1, задача решается достаточно просто, т.к. в этом случае гауссова функция в уравнении (3) значительно уже, чем віпс-функция, в аргументе последней можно опустить слагаемое ХУ1 +У2- Возникающая в результате віпс-фун-кция с аргументом, только квадратично зависящим от частот у1 2 легко моделируется гауссовой функцией, что приводит полную волновую функцию бифотона к виду (20)

Г 2 У/4

х■<іг)=иі¥і

где ) - волновые функции одномерного

(21)

+У2)2

81п2

х ехр

-0.249

£Вг2(у1 -у2)2 2сюп

(22)

квантового

V„ (4) = (2"я !>/я )~1/2 е-^/2Н„ ф, Нп (^) _ полиномы Эрмита.

Но поскольку спектральная волновая функция бифотона (3) отличается от двойной гауссо-

осциллятора

В случае коротких импульсов накачки, "П << 1, процедура нахождения двойного гауссова эквивалента более сложна. Сперва, исходя из уравнений (3) и (10), а также учитывая, что теперь віпс-функция в (3) значительно уже, чем гауссова функция, приближенно находим реду-

цированную матрицу плотности р® (ввиду симметрии волновой функции (3) тождественную

Р(.2)):

Рг1)(^1,У1') = | (}у2 ¥ (у15у2)¥ \у[,у2)

:ехр

Sx2(Vj +Vj')4 sine ■ AL(vl — Vj) ■

4 A2®2 In 2 2c

(23)

Замечательная особенность этого результата состоит в том, что в отличие от волновой функции (3) в матрице плотности (22) sine- и экспоненциальная функции зависят от разных комбинаций частот vx и v2 даже без учета в аргументе sinc-функции малого квадратичного слагаемого, которое по этой причине может быть опущено. Матрица плотности вида (22) легко моделируется двойной гауссовой функцией. Далее в общем виде может быть установлена связь между параметрами двойных гауссовых выражений для редуцированной матрицы плотности и волновой функции, что решает задачу нахождения гауссового эквивалента для волновой функции бифотона (3) в случае коротких импульсов:

A2 l}(v, +v7f

■_____v 1__

-0.045-

х exp

-0.208

Bt(v1 -v2f Аю0 In 2

(24)

Для оценки качества моделирования с помощью этого выражения точной волновой функции (3) на рис. 3 показаны области их локали-

зации в переменных (у1,у2). Как видно, сходство очень большое. Единственное, что теряется при моделировании, - это малая кривизна области локализации, отсутствующая в гауссовой модели. Но это различие не слитком сильно влияет как на параметр, так и на моды Шмидта.

Наконец, оптимальная интерполяция позволяет найти двойной гауссов эквивалент и в общем случае произвольных величин длительности импульсов накачки. Результаты имеют следующий вид [10].

Волновая функция

¥(v1,v2;x):

а(г)Ь(г)

х ехр

(Vj +v2)2 (П -y2)2

2 a2(x) exp 2b2(x)

(25)

Ширины а(т) и Ь(г) в гауссовой модели

Ф) =-^ т (1 + ^ У11 s

Ау/Ы2 L

СЮ0 (1 + цs )УЪ

Кт) = \1 г

V 0.249BL ^

где S - интерполяционный параметр. Параметр Шмидта К(т)

— (1 + ц* )V2 *

(26)

л/л

(27)

Рис. 3. Области локализации волновых функций (3) (а) и (24) (б)

Прямое сравнение этого уравнения с уравнением (18) показывает, что использованная в последнем квадратичная интерполяция соответствует величине интерполяционного параметра 5 = 3. Оптимальная интерполяция может быть определена из условия максимальной близости

зависимости К(т) и численных результатов работы [8], что дает 5 ж 2,21.

Моды Шмидта определяются уравнениями (21) с заменой аиАна а(т) и Ь(т) (26).

Собственные значения приведенных матриц плотности:

» _ 2 Г, 2 У 2 (2п )

" К{т) [ К{т)) * ВД6ХР[ ВД] • <28>

6. Заключение. В случае СПРС с коллине-арным синхронизмом типа I при импульсной накачке и вырожденных центральных частотах излученных фотонов степень спектрального перепутывания практически всегда велика и в основном определяется большим отношением

длины кристалла к длине волны накачки. В эксперименте при длительности импульса накачки 176 фс получены бифотонные состояния со степень перепутывания, характеризуемой величиной параметра Шмидта - 300.

Степень перепутывания чистых двухчастичных состояний может характеризоваться как параметром Шмидта К, так и параметром Я, равным отношению ширин одночастичного спектра и спектра совпадений. Найдено, что параметры йи К либо равны (в случае двойных гауссовых волновых функций), либо близки друг к другу (в случае реальной спектральной волновой функции бифотона в рассматриваемых условиях). Это делает доступным прямое измерение степени перепутывания в эксперименте, что весьма важно.

Найден двойной гауссов аналог спектральной волновой функции бифотона (3), что позволило найти аналитически моды Шмидта данного состояния и собственные числа редуцированных матриц плотности во всем диапазоне длительностей импульсов накачки.

Список литературы

1. Mikhailova Yu.M., Volkov P. A., Fedorov М. V. Biphoton Wave Packets in Parametric Down-conversion: Spectral and Temporal Structure and Degree ofEntanglement//Phys. Rev. A. 2008. 78, 062327.

2. Keller T.E., Rubin M.H. Theory of Two-photon Entanglement for Spontaneous Parametric Down-conversion Driven by a Narrow Pump Pulse//Phys. Rev. A. 1996. 54, 5349.

3. Characterization of Spectral Entanglement of Spontaneous Parametric-Down Conversion Biphotons in Femtosecond Pulsed Regime//2009. Eorphys. Lett. 87, 640003.

4. Grobe R., Rz№i'ewski K, Eberly J.H. Measure ofElectron-electron Correlation in Atomic Physics IIJ. Phys. B. 1994. 27,L503.

5. EkertA., Knight PL. Entangled Quantum Systems and the Schmidt Decomposition II Am. J. Phys. 1995. 63,415.

6. Packet Narrowing and Quantum Entanglement in Photoionization and Photodissociation II Phys. Rev. A. 2004. 69, 052117.

7. Packet Narrowing and Quantum Entanglement in Photoionization and Photodissociation II J. Phys. At. Mol. Opt. Phys. 2006.9, S467.

8. Mauerer W, Silberhom C. Numerical Analysis ofParametric Downconversion// 2009. AlPConf. Proc. 1110,220.

9. U'Ren A.B., Banaszek K, Walmsley I.A. Photon Engineering for Quantum Information Processing II Quantum Information and Computation. 2003. 3,480.

10. Fedorov М. V, Mikhailova Yu.M., Volkov P.A. Gaussian Modelling and Schmidt Modes of SPDC Biphoton States II J. Phys. At. Mol. Opt. Phys. 2009. 42,175503.

Fedorov Mikhail, Mikhailova Yulia, Volkov Petr, Poluektov Nikolay

SPECTROSCOPY OF ENTANGLED BIPHOTON STATES

The authors of the paper have found and describes spectra of biphoton states formed in the process of the spontaneous parametric light scattering (SPLS) with the type-1 phase matching, degenerate central frequencies of the emitted photons spectra, and a pulse pumping.

Контактная информация: Федоров Михаил Владимирович e-mail\ fedorovmv@gmai.com Михайлова Юлия Михайловна e-mail', mikhailova@ran.gpi.ru Волков Петр Александрович e-mail'. Peter.Volkov@gmail.com Полуэктов Николай Павлович e-mail', nickel@aha.ru

Рецензент - Матвеев В.И., доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова