Спектральный анализ в радиотехнических устройствах с комплексной нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.376

Спектральный анализ в радиотехнических устройствах с комплексной нелинейностью

Мошнина Е.Н.

В работе получены аналитические выражения для спектральных составляющих выходного сигнала устройства с комплексной нелинейностью.

Ключевые слова: спектральный анализ, комплексная нелинейность, функции Бесселя.

Введение

Радиотехнические устройства с амплитудной нелинейностью и амплитудно-фазовой конверсией обычно описывают с помощью амплитудно-амплитудной и фазо-амплитудной характеристик, которые удобно объединить в одну комплексную передаточную характеристику или комплексный коэффициент передачи. Такие устройства называют устройствами с комплексной нелинейность. Амплитудно-фазовая конверсия - возникновение амплитудно-зависимых фазовых сдвигов в различных, работающих в нелинейных режимах узлах приемно-усилительных трактов. Амплитудно-фазовая конверсия отражает явления, происходящие в цепи и проявляющиеся в зависимости временной задержки выходного колебания относительно входного, от изменения уровня входного сигнала. Такое явление существует в любом реальном устройстве, и пренебречь им нельзя. Расчет спектра выходного сигнала очень важен не только для анализа работы устройства, но и для исследования проявления амплитудно-фазовой конверсии, которое можно оценить по искажениям сигнала, прошедшего через радиотехническое устройство.

Целью данной работы является разработка и исследование методики применения спектрального анализа в устройствах с комплексной нелинейностью.

Пусть на входе устройства с комплексной нелинейностью действует узкополосный сигнал с медленно меняющимися амплитудой и фазой ф(?) - амплитудно-модулированное колебание

и(^ = Ц^)сов(м+ ф(г)). (1)

Необходимо найти аналитически спектральные составляющие выходного сигнала, который также обладает медленно меняющимися амплитудой и фазой

у( t )= Г(и(ф«ф({ И™», (2)

где комплексная динамическая передаточная характеристика устройства

¥(и(г))= У(и({))в№(и((), (3)

в которую объединены динамические амплитудная У(и(^) и фазо-амплитудная (?)) характеристики, являющиеся функциями одного аргумента - амплитуды входного сигнала [1]. Такое действие целесообразно для анализа устройств, в которых амплитудная нелинейность и амплитудно-фазовая конверсия проявляются в равной мере. Устройства, в которых конверсия мала, полностью характеризует амплитудная характеристика

У(и(*)).

В [2] было предложено представить входное полигармоническое воздействие как линейную комбинацию гармонических составляющих с частотами - гармониками базовой частоты юб, выбираемой как наибольший общий делитель частот действующих парциальных гармонических колебаний

/ к' ^ и(^ = и 1 + £ Аксс5(каб ^ +ф'к)

V к=1 )

К "

cos

W Pt + X Yksin(ka>6t +j"k)

k=0

(4)

где Ак, - коэффициенты амплитудной и индексы фазовой модуляции; (р'к, рф - фазы парциальных колебаний, коэффициент про-

Формирование и усиление сигналов

ШЖ221-2574

а

порциональности p = — . В суммах имеется аб

столько членов, сколько парциальных колебаний во входном сигнале.

Задача приближенного представления характеристик нелинейных устройств возникла с момента их изготовления из полупроводниковых приборов, поскольку физические процесссы, проходящие в них, очень сложны и зависят от многих факторов, влияние которых трудно учесть однозначно. Теоретически не удалось еще получить достаточно простые и точно отражающие процессы формулы, пригодные для практических расчетов. Имеющиеся формулы, полученные для частных случаев, не приемлемы для общих аналитических выводов. Поэтому для характеристик, снятых экспериментально, то есть для зависимостей, заданных графически, приходится подбирать аналитические выражения - то есть их аппроксимировать. Опираясь на известные математические модели радиотехнических устройств, для аппроксимации комплексной передаточной характеристики с заданной точностью в [1] предложено использовать экспоненциальный полином с комплексными коэффициентами

M

У(и(г )) = X

ст е

ьши (г)

(5)

ш=0

где Ст = ат + ^тЬт = (- ^Г Ш, ат¿т - коэффициенты аппроксимации действительной и мнимой частей комплексной передаточной характеристики (3), получаемые методом минимизации среднего квадратического отклонения, подробно рассмотренным в [3, 4]. Приведенный вид аппроксимации позволяет не только создать любую непрерывную функцию, равномерно приближенную к исходной. Он в наибольшей степени отражает сущность физических процессов, происходящих в полупроводниковых приборах и микросхемах (диффузионные и дрейфовые потоки носителей), удобен для проведения дальнейшего спектрального анализа сигнала на выходе устройства.

Ряд Фурье для выходного колебания

У( г )= X У, • е'Шб пг,

П=-¥

где комплексные амплитуды спектральных составляющих выходного сигнала, являющиеся гармониками базовой частоты, которые найдем через интеграл Фурье -

1 р

У = -р IЯ гУ* ^ (а).

-р

Из формул (2)-(5) в результате проведенных преобразований экспонент по формуле Эйлера, разложения по модифицированным функциям Бесселя

еасоэх = X1П(а)еП,

П=-¥

и по цилиндрическим функциям Бесселя 1-го рода

Iа эт х X 1 Т ( \ 1пх

е = X JП(а)е ,

П=-¥

а также из свойств интегралов от четной и нечетной функций в симметричных пределах, получено аналитическое выражение для комплексных амплитуд выходного сигнала

1 М К"

1 ^ • -ЬшУл

МкРк

У = 2 X СшеЬ"'иП X Л. (*. )е

2 ш=0 к=от,=-¥

К ^

•П XПЬиА,у*-¡п-Р-АЬшил)•

к =2пк =-¥

- е^(п-р-ьЫ , (6) где 1п(х) - модифицированные, а ]- цилиндрические функции Бесселя 1-го рода, причем коэффициент для индексов.

А = Кктк - Т,кУк . (7)

к=1 к=2

Полученное аналитическое выражение (6) может быть при необходимости разбито по аналогии с [1] на действительную и мнимую части. Оно очень удобно для расчетов, поскольку требует только задания номера вычисляемой спектральной составляющей выходного сигнала П , параметров входного сигнала Ак; и;фк;ук;ф" и характеристики устройства, которую предварительно лучше

аппроксимировать, и вычисления с необходимой точностью коэффициентов ст. При постоянном значении порядка аппроксимирующего полинома точность можно увеличить, как показано в [3], выбором значения коэффициента Ь. При формировании (6) использованы правила автоматического отбора индексов (7) и модифицированных, и цилиндрических функций Бесселя, представляющие собой решения Диофантовых уравнений в целых числах [2], которые являются линейно зависимыми, и могут быть выражены через произвольные постоянные. Именно они определяет, какие гармоники входного сигнала дадут вклад в п -ую гармонику базовой частоты выходного сигнала. Путем перебора в суммах (7), поскольку модифицированные функции Бесселя 1.' (о) равны единице только при Ук = 0, иначе 1.(0) = 0, и

вся сумма вырождается в единицу, получим значительное упрощение выражения. При расчетах бесконечные суммы, конечно, не требуются - все определяется разумной точностью вычислений, да и функции Бесселя, довольно быстро убывают. Можно также использовать прикладные стандартные пакеты МаШСАБ [4], МаШешайеа, и др.

Приведем некоторые частные случаи.

1. На входе устройства действует ампли-тудно-модулированное колебание

/ к Л

ф )= и1 + £ Ак сов(кщ^ + фк) .

V к=1 )

Из общего выражения (6) с учетом свойств модифицированных функций Бесселя получим значение комплексной амплитуды п -ой гармоники базовой частоты выходного сигнала

& = 11 YV(bmUAk)• eivj

M

K

' m=0

• I

n- p -A'

k=2 vk =-¥

(bmUA )•

i (n- p-A')j

(8)

k '

где A' = Y kvk .

k=2

Из анализа полученного результата следует, что при амплитудно-модулированном входном колебании в формуле (8) присутствуют только суммы по модифицированным функциям Бесселя, что согласуется с [2].

2. На входе устройства действует фазо-модулированное колебание

( к" Л

u(t)= Ucos W+ YYk sin(kw6t +j") .

V k=0 J

Из общего выражения (6) с учетом свойств цилиндрических функций получим значение комплексной амплитуды n -ой гармоники базовой частоты выходного сигнала

1 M

t = 2 Y^

2 m=0

Y yo )П Y Jmk yk )•

mo=

k=2 mk =-¥

¿mj"

J,

n- p-A

У )• ei(n- p-A')j

(9)

где A" = Y kmk .

k=2

При фазо-модулированном входном воздействии в формуле (9) присутствуют суммы только по цилиндрическим функциям Бесселя.

3. На входе устройства действует ампли-тудно-фазо-модулированное колебание одним тоном с модулирующей частотой, кратной несущей с коэффициентом пропорциональности равным р

и(г)= и (1 + А ео8 аб ео8( раб ^ + ¥ $таб г).

Формула для расчета комплексных амплитуд гармоник базовой частоты выходного сигнала значительно упрощается из-за отсутствия большого количества сумм и произведений

M

Y =1 Y& ebmU

2 m=0 mi=-¥

Y J mi УК p-mi (bmAU). (10)

Подобные формулы можно получить для конкретного входного воздействия и радиотехнического устройства. Так, для примера был рассчитан спектр выходного колебания фильтра, рассмотренного в [1] при действии на входе амплитудно-фазо-модулированного колебания с амплитудой и = 0,5 , и параметрами модуляций А = 1, ¥ = 0,1 одним тоном с различными коэффициентами пропорцио-

Формирование и усиление сигналов

ISSN2221-2574

нальности от p = 30 до p = 300 по весьма простой формуле, полученной из (10)

1 M 4

К = 11¡=mebm0,5 • I Jm(0,1)4_-,(bm • 0,5).

2 m=0

m=-4

Анализ результатов расчетов показывает, что на выходе устройства происходит обогащение как амплитудного, так и фазового спектров сигналов, что согласуется с практическими результатами проведенных экспериментов.

Полученные результаты позволяют надеяться на широкое применение предложенного метода расчета спектра выходного сигнала в радиотехнических устройства с комплексной нелинейностью.

Литература

1. Попов, П.А. Спектральный анализ в устройствах с амплитудно-фазовой конверсией при воздействии амплитудно-модулированного сигнала /

ПА Попов, Е.НМошнина // Радиотехника. -1988.-№ 4. -С. 47-50.

2. Попов, П.А. Метод анализа комбинационных колебаний произвольной нелинейной системы преобразования спектра / П.А. Попов, Е.Н.Мошнина // Радиотехника. - 1984. - № 1. -С. 48-49.

3. Попов, П.А. Использование экспоненциальной аппроксимации для гармонического анализа на ЭЦВМ / ПА. Попов, А.Н. Анучин // Радиотехника. - 1980. - № 12. -С. 34-37.

4. Мошнина, Е.Н. Метод аппроксимации нелинейных характеристик радиоустройств / Е.Н. Мош-нина, В.В. Ромашов, ЕА. Шуненкова, О.В. Перцева // Радиотехника, телевидение и связь. Межвузовский сборник, посвященный 110-летию В.К. Зворыкина. - Муром МИ ВлГУ, 1999. - С. 77.

5. Коврякова, О.В. Алгоритмы численного спектрального анализа отклика безынерционного нелинейного элемента при полигармоническом входном воздействии с использованием математической системы MathCAD / О.В. Коврякова, Е.Н. Мошнина // Вестник ВИ МВД России. -2001.-№2(9). -С.68 - 72.

Поступила 25 февраля 2012 г.

In work аге obtained analytical expressions for the spectral components of the output field device with a complex nonlinearity

Key words: spectral analysis, complex non-linearityof the Bessel function.

Мошнина Елена Николаевна - к.т.н., доцент, профессор кафедры Физики и прикладной математики Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых». E-mail: moshnina@mail.ru.