Спектральные алгоритмы имитации сигналов как учебно-методический инструмент подготовки инженеров Текст научной статьи по специальности «Математика»

Наука А Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Сетевое научное издание

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 07. С. 21-33.

ISSN 1994-0408

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

19.07.2016

УДК 378; 519.216.1/2

Спектральные алгоритмы имитации сигналов как учебно-методический инструмент подготовки инженеров

профессор Сюзев В. В.1, Гуренко В. В.1, Смирнова Е. В.1*

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В рамках международного научного конгресса "Наука и инженерное образование. 8ББ-2016", II международная научно-методическая конференция «Управление качеством инженерного образования. Возможности вузов и потребности промышленности» (23-25 июня 2016 г., МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия).

:'evsmi rno va@b ms tu.m

Для решения учебно-методической задачи формирования индивидуальных заданий самостоятельной инженерной подготовки студентов в области разработки и исследования систем управления и контроля реального времени предложен спектральный метод имитации детерминированных сигналов в рамках корреляционной теории. Приведена методика настройки алгоритмов имитации на заданные спектрально-корреляционные характеристики сигнала и их параметры в гармонических базисах Фурье и Хартли. С целью расширения множества независимых вариантов самостоятельной подготовки поставлена и решена общая задача имитации сигналов в произвольных комплексных и вещественных системах ортогональных базисных функций. Сформулированы требования к используемым базисам и рекомендации по их практическому применению, учитывающие многовариантность, точность и вычислительную сложность получаемых при этом спектральных алгоритмов имитации.

Ключевые слова: базисные функции, спектральный метод, самостоятельная работа, инженерная подготовка, алгоритмы имитации сигналов, функция спектральной плотности мощности, автокорреляционная функция

Введение

Важными составляющими учебного процесса инженерной подготовки студентов являются самостоятельные практические занятия, включающие курсовое проектирование, домашние задания и научно-исследовательские работы. При этом эффективность усвоения изучаемого материала во многом зависит от индивидуальных заданий, получаемых студентом при реализации самостоятельной работы. Поскольку эти задания должны быть ориентированы на многочисленные группы обучающихся, они должны обладать многовариантностью и информативностью, позволяющей перекрывать большой объем компетенций, задаваемых учебным планом направления подготовки.

При изучении дисциплин, связанных с проектированием вычислительных систем управления и контроля реального времени самого разного назначения, в качестве такого учебно-методического инструментария самостоятельной работы могут успешно использоваться методы и алгоритмы воспроизведения различного вида сигналов, применяемых в задачах хранения, обработки и передачи информации. Вопросы разработки таких методов и алгоритмов рассмотрены в работах ряда авторов [1-6], однако в большинстве из них речь идет о временном представлении полиномиальных либо тригонометрических сигналов с требуемыми структурными характеристиками.

В данной работе предлагаются алгоритмы имитации, использующие спектральное представление сигналов в различных ортогональных базисах. Такой подход позволяет за счет выбора конкретных систем базисных функций синтезировать алгоритмы имитации, различающиеся по точности и вычислительной сложности, обеспечивая тем самым их многовариантность. Кроме того, самостоятельное исследование разнообразных спектральных представлений позволит обучающемуся расширить область своих знаний и умений в теории и практике спектральной обработки аналоговых и цифровых сигналов.

Из всех видов используемых сигналов в данной работе рассматриваются только детерминированные сигналы в рамках корреляционной теории, которые находят широкое применение в качестве полезных составляющих входных сигналов различных систем управления и контроля. Варьирование частотных характеристик таких сигналов также обеспечивает расширение множества вариантов получаемых алгоритмов имитации, что может быть учтено при составлении заданий для студентов.

Алгоритмы имитации в комплексных экспоненциальных базисах.

Рассмотрим решение задачи имитации сигналов в рамках корреляционной теории в спектральной области комплексных экспоненциальных базисов. Пусть задана функция спектральной плотности мощности [3, 7]:

5(ш) = lim---= lim —-—, U)

T^m l Т^<х> I

где ш является циклической частотой, а

Х(ш) = | x(t)exp(-jMt)dt (2)

— m

представляет собой интегральное преобразование Фурье сигнала x(t), определенного на двухстороннем бесконечном интервале

(J = V-1). Спектр Х'(ш)

в выражении (1) является комплексно сопряженным спектру Х(ш), а

|Х(ш)| = ^Re[X(u)]2 + 1т[Х(ш)]2

- его амплитудным спектром (Re и Im обозначают здесь действительную и мнимую части комплексной величины).

Если сигнал х(€) является интегрируемой с квадратом функцией, обладает конечной средней мощностью и определен на конечном симметричном интервале времени длительностью Т, то бесконечный интервал в спектре (2) становится конечным, и предельный переход из выражения (1) исключается. Поэтому в данном случае

1 1

= Бт(ы) = -\Хт(ы)\2 = -{Ке[Хт(ы)]2 + 1т[Хт(ы)]2},

где

Т/2

Хт(ш) = | хЮ ехр(-]ш^ №.

-Т/2

Рассмотрим функцию спектральной плотности мощности и интегральный спектр Фурье в выборочных точках частотной оси, взятых с постоянным интервалом дискретизации Аш = 2п/Т. В них они будут равны соответственно

1

5т(кАш) =- \Хт(кАш)\2, к = 0,1,2,...; (3)

Т/2

Хт(кАш) = I х(г) ехр = 0,1,2,... . (4)

-Т/2

Если теперь сравнить спектр Фурье (4) со спектральными коэффициентами прямого преобразования Фурье ограниченного во времени сигнала х(€) в базисе комплексных экспоненциальных функций Фурье {ехр (¡^ы)} [1, 3, 7]

Т/2 -Т/2

то получим, что

Хт(кАш) = ТХф(к). (5)

Тогда из формул (5) и (3) следует, что

5т(кАш) = Т\Хф(к)\2 = Т{Яе[Хф(к)]2 + 1т[Хф(к)]2}. (6)

Зависимость (6) может быть использована для определения спектральных коэффициентов Хф(к) по заданной функции спектральной плотности мощности БТ(кАш):

Хф(к) = Ие[Хф(к)] -)1т[Хф(к)]. (7)

Однако при этом следует учесть, что по одному уравнению (6) невозможно определить две неизвестные составляющие спектра (7). Это также следует из того факта, что спектральная плотность мощности учитывает только амплитудную составляющую комплексного спектра ХТ(ш), оставляя без внимания его фазовую составляющую [3, 7]. Поэтому 5т(ш) определяет не один конкретный сигнал, а некоторое множество сигналов с различной фазовой составляющей. Если фазовая плотность

гр(ш) = а^[1т[Хт(ш)]/Ке[Хт(ш)]} также задана, то, квантуя ее с тем же частотным интервалом Аш, получим: Щгр(кАш) = 1т[Хт(кАш)]/Ке[Хт(кАш)] =

= 1т[Хф(к) ]/Ие[Хф(к)] = Лк,к = 0,1,2,... . (8)

Соотношение (8) для фазовых соотношений Ак задает второе уравнение для определения спектра Фурье (7).

Уравнение (8) совместно с уравнением (6) определяет процедуру настройки алгоритма имитации сигнала в базисе комплексных экспоненциальных функций Фурье. Сам алгоритм имитации в этом случае представляется обратным преобразованием Фурье в том же базисе и принимает следующий вид:

2п \ Т Т Xф(k)exp(jYkt),--<t <-. (9)

к=0

Если фазовая плотность сигнала не задана, то фазовые соотношения (8) для имитации следует задать. В простейшем случае все Ак можно принять равными 1.

Алгоритм настройки на заданные амплитудный и фазовый спектры (6) и (8) можно записать в более удобной для практического использования форме. Для этого следует учесть, что действительная составляющая комплексных функций Фурье является четной

функцией (cos2^kt), а мнимая - нечетной (эт^к^. Поэтому и спектр Фурье Хф(к) также можно представить в виде четных Хфч(к) и нечетных Хфн(к) составляющих:

Хф(к) = Хфч(к) -]Хфн(к), (10)

где

Хфч(к) = Ие[Хф(к) ],Хфн(к) = 1т[Хф(к) ]. (11)

Учитывая это, целесообразно соотношения (6) и (8) в процедуре настройки переписать в виде следующей системы уравнений:

БТ(0) = ТХфч(0); 5т(кАш) = Т[Х^ч(к) + Х^Ш \ (п)

Хфн(к) = ЛкХфч(к). Ее решение приводит к замкнутым выражениям для Хфч (к) и Хфн (к):

у ™ рт(0) у ^г(кАш)

Хфч(0) = I—-—,Хфч(к) =

т ^^ Т(1+Л2У

. Бт(кАш)

Хфн(к) = Лк I-=-, к = 1,2,....

фнУ ^ к \Т(1+Л2к)

(13)

Алгоритм имитации (9) представляет собой непрерывный ряд Фурье в комплексном экспоненциальном базисе. При бесконечном числе членов ряд сходится к сигналу х(€).

Наличие в нем отрицательных значений времени не имеет для имитации принципиального значения. При практической реализации алгоритма (9) ряд Фурье ограничивают до N членов, и сигнал с его помощью вычисляется на совокупности М дискретных временных точек I Е [-М/2,М/2), где / = 1/Да М = Т/ Дt. Величина интервала дискретизации по времени Д t при этом выбирается из условий требуемой точности воспроизведения сигнала х(0, а число N членов ряда - из требуемой точности воспроизведения спектрально-корреляционных свойств сигнала.

Алгоритм (9) интересен тем, что его ряд Фурье, усеченный до N членов, позволяет воспроизводить сигнал х(€) с функцией спектральной плотности мощности, которая в точках кАш точно совпадает с заданной Бт(ш). В промежуточных же частотных значениях теоретическая и практическая плотности будут различаться. С увеличением N число совпадающих точек возрастает, и погрешность представления 5т(ш) между точками уменьшается. В общем случае в ряде (9) величины N и М могут не совпадать.

Рассмотренный способ имитации может быть использован и для воспроизведения дискретных сигналов х(Г), определенных на интервале [-Ы/2, N/2). В этом случае алгоритм имитации принимает вид дискретного ряда Фурье в решетчатом комплексном экс-

где спектр Хф(к) по-прежнему состоит из четных Хфч(к) и нечетных Хфн(к) составляющих (см. (10)), которые вычисляются по соотношениям (13).

В дискретном ряде (14) величины N и М совпадают, а интервал дискретизации по времени Д t должен быть согласован по теореме Найквиста - Котельникова [4, 7] с верхней частотой (частотой среза) шв частотного спектра непрерывного сигнала. Величина N выбирается из условия требуемой точности воспроизведения 5т(ш) между точками Бт(кАш).

В приведенных алгоритмах имитации сигналов характер преобразования функции спектральной плотности прост: она дискретизируется с частотой Аш на интервале своего определения. При этом представляет интерес характер изменения автокорреляционной функции. Для его выявления запишем автокорреляционную функцию ограниченного по времени сигнала х(€)

-Т/2

и подставим в нее выражение этого сигнала через двухсторонний спектр Фурье комплексного экспоненциального базиса. Тогда получим:

(14)

Т/2

Т/2

= ^ ХФ(к) 1 J x(t + x)exp(jkAMt)dt.

к = -т -Т/2

Умножим подынтегральное выражение в этой формуле на произведение ехр(]кАшт) ехр(-]кАшт>), численно равное 1. После преобразования получим:

Т/2

Rt(t) = ^ ХФ(к) 1 J x(t + x)exp(jkAM(t + T))dt

k=-m

exp(-jkAwT).

-Т/2

Часть этого выражения, заключенная в квадратные скобки, определяет комплексно-сопряженный спектр Хф(к) исходного сигнала. Поэтому

т т

Ет(т)= ^ ХФ(к) Хф(к) ехр(-'кАшт) = ^ \ХФ(к)\2 ехр(-'кАшт).

к=-ж к=-ж

Учитывая четность суммируемых функций относительно индекса к, можно этот ряд упростить и записать автокорреляционную функцию следующим образом:

т

Кт(т) = \Хф(0)\2 + 2^\Хф(к)\2 ^(кАшт) =

к=1

m

= Хфч (0) + 2^ [Хфч (к) + Хфн (к)] cos (кАшт), (15)

к=1

а связь спектров Хф(к) и Хт(к) между собой (формула (5)) и с функцией спектральной плотности мощности (формула (3)) позволяет представить rt(t) в следующем виде:

1 m 9

IX2(0)I t 2^1Хт(кАШ)12 rt(t) — + -T- cos(kAMT) =

к=1

m

ST(0) 2 V1

= + -^ST(kAu)cos(kAMT). (16)

k=1

Приведенные формулы (15) и (16) могут быть использованы для экспериментального исследования автокорреляционной функции сигнала x(t).

Алгоритмы имитации в тригонометрических базисах.

В тригонометрических базисах Фурье чередуются четные косинусные и нечетные синусные функции одного порядка (номера) {cos (2~kt) ,sin(2~kty}. Эти базисы являются

действительными с интервалом ортогональности [-Т/2,Т/2) и ненормированными, поскольку мощность каждой к-й базисной функции для к = 1,2,... равна 0,5. Мощность нулевой функции равна 1. Сигнал конечной мощности, определенный на том же интервале [-Т/2, Т/2), может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье

сю

со

х(г) = Хч(0) + ^ [хч(к)соз (^кг) + Хн(к)зт (у кг) к=1

где

Т/2

Хч(0)

=11

х(г)йг, хч(к)

Т/2

2 Г (2п \

= У I х^)соз(—№)№,

-Т/2 -Т/2

Т/2

2 Г (2п

- I х(0зт (у

Т/2

2 Г (2п \

Хн(к) =- I х(0зт (^т^) йг, к = 1,2,■■■ .

(18)

Чтобы использовать этот ряд Фурье для имитации сигнала с заданной БТ(ш), необходимо связать его тригонометрический спектр {Хч( к),Хн(к)} с действительной и мнимой частями комплексного спектра {Хфч( к),Хфн(к)}, зависящими от БТ(кАш) (см. формулы (13)). Это нетрудно сделать, если учесть, что

Т/2 Т/2

Хфч(0)

Хфн(к)

=1 I Хфч(к)=1 I х(0соз(^к^№,

- Т/2 - Т/2

Т/2

= 1 I х(0з1и кг) йг, к = 1,2,... .

- Т/2

(19)

Сравнивая между собой соотношения (18) и (19), получим:

Хч(0) = Хфч(0),Хч(к) = 2Хфч(к),Хн(к) = 2Хфн(к),к = 1,2,... и ряд Фурье (17) примет следующий вид:

х(г) = Хфч(0) + 2 ^ [Хфч(к)соз (-^кг) + Хфн(к)зт (^кг) к=1

(20)

(21)

где -Т/2 < г < Т/2.

Вычисляя спектральные коэффициенты этого ряда по формулам (13), получим из него алгоритм имитации сигнала х(г) в непрерывном тригонометрическом базисе Фурье. При этом воспроизводимый сигнал х( ) будет обладать такой же функцией спектральной плотности мощности, какой обладает сигнал х( ) (9) в комплексном экспоненциальном базисе Фурье.

В ходе реализации алгоритма (21) тригонометрический ряд также усекается до N членов, а время квантуется с шагом Д t = Т/М. Требования к^ Дг и М остаются здесь такими же, как и в экспоненциальном базисе.

При имитации дискретных сигналов тригонометрический ряд записывается следующим образом:

У

Z-I

2 2 2 x(i) = ХФч(0) + 2 ^ jjx^^cos (-j^ki) + Xi>H(k)sin (—> k=l

+

+ХФч (j) cos(ni), i = -N/2,-N/2 + 1,., N/2-1. (22)

В этом случае M = N и N = T/At.

Алгоритмы имитации в базисах Хартли.

В системе Хартли [7, 8] каждая функция к-го порядка представляется в виде суммы четной косинусной и нечетной синусной функций того же порядка. В непрерывном варианте для t Е [-T/2, T/2) получаем:

cas (~fkt) = cos (~fkt) + sin (2~kt), к = 0,1,2,....

Система таких функций является ортонормированной и полной и может быть использована для представления любого непрерывного сигнала x(t) ограниченной мощности в виде следующего ряда Фурье - Хартли:

x(t) = Xx(0)+^Xx(k)cas(-^kt), t Е [-T/2,T/2), к=1

где коэффициенты

Т/2 Т/2

Хх(0)=1 | х(г)йг, Хх(к) =^ | х(г)сж(-^кг)йг, к = 1,2,...

-Т/2 -Т/2

являются составляющими общего спектра Хартли. Сравнивая спектр Хартли со спектром Фурье в комплексном базисе, получим, что

Хх(0) = Хфч(0),Хх(к) = Хфч(к) + Хфн(к), к = 1,2,... (23)

и, следовательно, итоговый алгоритм имитации сигнала х(€) в базисе Хартли примет следующий вид:

x(t) = Хфч(0) +^[хФч(к) + Хфн(к)]саз(-£ы),1 Е [-T/2,T/2), (24)

к=1

где все Хфч(к) и Хфн(к) определяются по формулам (13). Данный алгоритм также позволяет воспроизвести сигнал х(€) с заданной функцией спектральной плотности мощности.

Для практической реализации ряд Хартли (24) удобнее записать с учетом соотношений (13) в следующем виде:

N-1

T éiJ T(1 + Al) \T

со

где t = Шг, / = -М/2, -М/2 + 1, ...,М/2 — 1 и величины ^ М и Дг выбираются, следуя тем же требованиям, что и в рассмотренных выше базисах.

Для имитации дискретных сигналов х(1) ряд Хартли также становится дискретным и алгоритм имитации в базисе Хартли записывается следующим образом:

Ь^+^саз^к). (26)

Здесь Дш = 2п/(МДг) и I = —N/2, —N/2 + 1, ..,N/2 — 1.

Приведенные спектральные алгоритмы имитации используют одну и ту же аналитическую связь между спектром имитирующего ряда и задаваемыми спектрально-корреляционными характеристиками сигнала, а также базисные системы, основанные на одних и тех же гармонических четных и нечетных функциях. В этом смысле рассмотренные алгоритмы имитации являются родственными, воспроизводят одинаковые сигналы и различаются только своей вычислительной сложностью. При этом следует учесть, что в комплексных базисах Фурье и действительных базисах Хартли существуют быстрые алгоритмы спектральных преобразований [1, 2, 7, 8], а для тригонометрических базисов имеются специальные рекуррентные алгоритмы вычисления тригонометрических функций [7]. Их применение позволяет создавать быстрые модификации алгоритмов имитации в гармонических базисах.

Алгоритмы имитации в гармонических базисах могут быть использованы также в качестве базовых алгоритмов имитации в произвольных ортогональных базисах.

Алгоритмы имитации в произвольных ортогональных базисах.

Действительно, если известны спектры имитируемого сигнала в гармонических базисах, то с помощью математического аппарата обобщенного анализа спектра [7] по ним можно определить спектры этого же сигнала и в любом другом ортогональном базисе. После этого сам сигнал может быть восстановлен за счет обратного преобразования Фурье в этом базисе. Выбор конкретного базиса может быть осуществлен преподавателем при составлении задания на самостоятельную работу либо самим студентом, исходя из выданных ему дополнительных требований по вычислительной сложности и точности получаемых алгоритмов имитации. Если выбранный базис будет комплексного характера, то за основу разработки в нем алгоритма имитации целесообразно взять алгоритм имитации в комплексном экспоненциальном базисе Фурье. Если же будет выбран действительный базис, то построение в нем алгоритма имитации следует выполнить на основе действительных имитирующих алгоритмов в тригонометрическом базисе или базисе Хартли.

Выведем алгоритмы настройки и имитации для обоих случаев выбора базиса. Начнем с комплексного базиса {<р(т,г)} с мощностью Рт, определенного на интервале [—Т/2,Т/ 2) . Найдем спектр сигнала (9) в этом базисе:

Т/2

Х(р(т)=-— I х(0<р*(т,0№ =

Т Рп ^ -Т/2

1 п

Т/2

Т/2

РХП ( I -

Т

ж 12

к=0 п

Полученное выражение определяет оператор преобразования спектров Фурье в спектры произвольного базиса { р(т, 0) для одного и того же сигнала х(€). Соотношение, заключенное в данном операторе в квадратные скобки, задает ядро Фурье Ф(т,к) преобразования спектров:

Т/2

Ф(т,к)=— I ехр(-^кг)(р*(т,г)йг. (27)

п - Т/2

Математически оно представляет собой спектр базисных экспоненциальных функций ехр^^ы) по базисным функциям {р(т, 0). Функция р*(т,£) в его записи является

комплексно-сопряженной функции р (т, 1).

С учетом (27) искомый спектр Х^ (т) будет равен

ж

Х(р(т) = ^ХФ(к)Ф(т,к), т = 0,1,-,.... (28)

к=0

Спектр Хф(к) в нем по-прежнему определяется соотношениями (13). Для нормированного базиса { р(т, 0} все Рп = 1,и формула расчета ядра упрощается.

Алгоритм имитации сигнала в базисе { <(т,£)) принимает вид следующего ряда Фурье:

ж

х(г) = ^ Х(р(т)р(т, 0, t Е [-Т/-, Т/2). (29)

п=0

Его настройка на задаваемую функцию спектральной плотности мощности выполняется по формулам (13), (27) и (28). Процедура настройки в общем случае усложняется, что, однако, не имеет принципиального значения, так как может быть выполнена до имитации и с использованием ЭВМ.

При практической реализации ряд (29) усекается так же, как это делалось в гармонических базисах. Усекается при этом и ряд ядра (28) преобразования спектров.

В дискретном варианте алгоритмы имитации и настройки имеют следующий вид:

N-1

х(0 = ^ Х(р(т)р(т,1), I Е [-N/-,N/2),

п=0

N-1

Х(р(т) = 1 ХФ(к)Ф(т,к), т = 0,1,2, - 1,

к=0

N/2-1

-к-

к { = -N/2

Пусть теперь базис {ф(т, t)} является системой действительных базисных функций. Для получения в нем алгоритма имитации целесообразно взять за основу алгоритмы в базисах тригонометрических функций либо функций Хартли. Воспользуемся функциями Хартли. В этом случае спектр Х(р(т) определяется уже по сигналу х(1) (24) и будет равен:

Т/2

Х(р(т)=-— I х(0<р(т,0& =

Т Чп ^

1 п

- Т/2

Т/2

= ^[ХфЧ(к) + ХфН(к)]— I сж(-^кг)у(т,г)йг.

к=0 п - Т/2

Из этого выражения следует, что

т

Хср(т) = ^[Хфч(к) + Хфн(к)] Ф(т, к), т = 0,1,2..........(30)

= ^[Хфч(к) + Лфн(к)| Ф(т,к), т

к=0

Т/2

Ф(т,к)=^ I cas(2^кt)<(т,t)dt, (31)

п

Т/2

х(г) = ^ Х(р(т)<р(т, 0, t е [-Т/2, Т/2). (32)

п=0

Последняя формула ряда Фурье по форме записи совпадает с формулой (29). Составляющие Хфч(к) и Хфн(к) спектра Фурье в (30) находятся по формулам (13) и принимают такой же вид, как в ряде (25). В дискретном варианте

N-1

х(1) = ^ Х(р(т)<р(т,1), I е [-N/2,N/2);

п=0 N-1

Х(р

(т) = 1} П1 + Акк) Ф(т,к)

N/2-1

Ф(т,к) =— 1 сж(-^к1)<(т,0.

к ¿=-N/2

Здесь Аш = 2п/^Аг), а Я0 = 0.

00

а

со

Заключение.

Таким образом, задача имитации детерминированных сигналов в рамках корреляционной теории и спектральные алгоритмы ее решения являются эффективным методическим инструментом для формирования широкого множества индивидуальных вариантов заданий по всем видам самостоятельной работы студентов - от домашних заданий, курсовых работ и проектов до научно-исследовательских работ в предметной области, связанной с изучением систем управления и контроля реального времени. Изменяемыми параметрами, обеспечивающими многовариантность предложенных алгоритмов, служат форма и характеристики функции спектральной плотности мощности, интервалы определения сигналов, шаг их дискретизации по времени, требования по точности и сложности имитации и особенно системы базисных функций.

Из большого числа известных базисных систем наиболее привлекательными для поставленных целей являются параметрические базисы, содержащие в структуре своих функций изменяемые параметры, влияющие на их свойства. Примером таких базисов служат классы комплексных экспоненциальных функций Виленкина - Крестенсона и действительных обобщенных функций Хартли [7, 9-11], управление свойствами которых достигается с помощью вариации оснований используемых систем счисления. Изменяя основание системы счисления и выбирая различные способы упорядочения функций в системах, с их помощью можно получить большое семейство ортонормированных базисных систем с быстрыми алгоритмами спектральных преобразований. Частными случаями этих общих систем являются широко применяемые в обработке сигналов базисные системы Уолша, Пэли, Хармута, Адамара и Хаара [7], всю совокупность которых можно с успехом использовать для разработки интересных студенческих заданий.

Список литературы

[1]. Ahmed N., Rao K.R. Orthogonal Transforms for Digital Signal Processing. Berlin: Springer. 1975. 264 p. DOI: 10.1007/978-3-642-45450-9

[2]. Harmuth H. Sequence Theory: foundations and applications. New York: Academic Press. 1977. 574 p.

[3]. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов: учебник / пер. с англ. под ред. С. Ф. Боева. Изд. 3-е, испр. М.: Техносфера. 2012. 1046 с. [Oppenhein A., Schafer R. Digital Signal Processing. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 2012. 1120 p.]

[4]. Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подхода. 2-е изд. Пер. с англ. М.: Вильямс. 2004. 992 с. [Ifeachor E., Jervis B. Digital Signal Processing: A Practical Approach. 2nd Edition. Pearson Education. 2002. 934 p.]

[5]. Фарина А., Студер Ф. Цифровая обработка радиолокационной информации. Сопровождение целей. / Пер. с англ. А. М. Бочкарева; Под ред. А. Н. Юрьева. М.: Радио и связь. 1993. 320 с. [Farina A., Studer F. Radar Data Processing. Research Studies Press, 1985. 348 p.]

[6]. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. Пер. с англ. М.: Мир. 1990. 584 с. [Marple S.L., Jr. Digital Spectral Analysis with applications. New Jersey, USA: Prentice-Hall, Englewood Cliffs. 1987. 512 p.]

[7]. Сюзев В.В. Основы теории цифровой обработки сигналов: учебное пособие. М.: РТСофт: Космоскоп. 2014. 752 с.

[8]. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли. / Пер. с англ. А.И. Панкова, под ред. И.С. Рыжака. М.: Мир. 1990. 175 с. [Bracewell R. The Hartley Transform. Oxford University Press. 1986. 175 p.]

[9]. Сюзев В.В. Обобщенные функции и преобразования Хартли в системах счисления с постоянным основанием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2014. № 2. С. 63-79.

[10]. Сюзев В.В. Обобщенные функции и преобразования Хартли в многоосновных системах счисления // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. № 5. С. 44-60.

[11]. Сюзев В.В. Быстрые обобщенные преобразования Хартли в одноосновных системах счисления // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. № 6. С. 63-81.