Спектрально-угловые плотности при и ДПИ в монокристалле в условии многократного рассеяния Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.8

DOI 10.18413/2075-4639-2018-50-4-433-441

СПЕКТРАЛЬНО-УГЛОВЫЕ ПЛОТНОСТИ ПРИ И ДПИ В МОНОКРИСТАЛЛЕ В УСЛОВИИ МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ

SPECTRAL ANGULAR DENSITY OF PXR AND DTR IN A SINGLE CRYSTAL UNDER CONDITION OF MULTIPLE SCATTERING

С.В. Блажевич1, Р.А. Загороднюк1, Д.Н. Ефимцева1, А.В. Носков1'2 S. V. Blazhevich1' R.A. Zagorodnyuk1, D.N. Efimtceva1, A.V.Noskov1,2

1 Белгородский национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85. Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia.

2Белгородский государственный технологический университет имени В.Г. Шухова Россия, 308012, Белгород, ул. Костюкова, 46. Belgorod State Technological University named after V.G. Shukhov 46 Kostukova St., Belgorod, 308012, Russia.

E-mail: noskovbupk@mail.ru

Аннотация

Развита динамическая теория когерентного рентгеновского излучения расходящегося пучка релятивистских электронов, генерируемого в монокристаллической пластине в условиях многократного рассеяния падающих частиц. Проведено усреднение сечений излучения по расширяющемуся пучку прямолинейных траекторий электронов. Получены выражения, описывающие спектрально-угловые характеристики параметрического рентгеновского и дифрагированного переходного излучений в условиях многократного рассеяния. Показаны условия, в которых вкладом дифрагированного тормозного излучения можно пренебречь.

Abstract

The dynamic theory of coherent X-ray radiation generated by relativistic electron beam in a single crystal plate has been developed for condition of multiple scattering of electrons. The radiation cross-section averaging was carried out over the rectilinear trajectories of expended electron beam. The expressions for spectralangular characteristic of PXR and DTR were derived for conditions of electron multiple scattering. The numerical calculations of PXR and DTR spectral-angular characteristics were carried out for concrete conditions.

Ключевые слова: параметрическое рентгеновское излучение, многократное рассеяние, динамическая дифракция, дифрагированное тормозное излучение.

Keywords: parametric X-rays, multiple scattering, dynamic diffraction, diffracted bremsstrahlung.

Введение

Когда быстрая заряженная частица пересекает монокристалл, ее кулоновское поле рассеивается на системе параллельных атомных плоскостей кристалла, порождая параметрическое рентгеновское излучение (ПРИ) [1-3]. При пересечении заряженной частицы поверхности пластинки возникает переходное излучение (ПИ) [4-5], которое впоследствии дифрагирует на системе параллельных атомных плоскостей кристалла в направлении рассеяния Брэгга, образуя дифрагированное переходное излучение ДПИ [6-7].

Многократное рассеяние релятивистских электронов на атомах монокристалла может оказывать влияние на спектрально-угловые характеристики параметрического излучения и дифрагированного переходного излучения. Естественная ширина спектра ПРИ определяется числом неоднородностей, с которыми взаимодействует электрон. В эксперименте по исследованию ширины спектра ПРИ в кристалле, представленном в работе [8], ширина спектральных линий оказалась значительно больше, чем естественная ширина спектра ПРИ, то есть когда электрон движется прямолинейно. В работе [9] на основе кинематической теории было показано, что многократное рассеяние оказывает существенное влияние на ширину спектра ПРИ "назад" в кристалле, при этом усреднение спектрально-угловой плотности излучения проведено на основе метода функционального интегрирования. Существование вкладов дифрагированного тормозного излучения (ДТИ) и дифрагированного переходного излучения в работе [9] не рассматривалось. Традиционно влияние многократного рассеяния на свойства параметрического излучения учитывается усреднением сечения параметрического излучения по расширяющемуся пучку прямолинейных траекторий излучающих электронов. Между тем в ряде экспериментальных работ [10-11] указывалось на несоответствие теории параметрического излучения, использующей усреднение по пучку прямолинейных траекторий излучающих частиц, полученным экспериментальным данным. Очевидно, в рамках такого подхода теряется вклад дифрагированного тормозного излучения. В рамках динамической теории дифракции в работе [12] была развита теория ПРИ в безграничном кристалле, не учитывающая ДНИ, но корректно учитывающая влияния многократного рассеяния излучающего электрона на характеристики ПРИ. В цитируемой работе на основе строгого кинетического подхода к усреднению сечения излучения по всем возможным траекториям излучающих частиц показано, что вклад ДТИ может быть весьма существенным. Необходимо отметить, что в [12] получены выражения, описывающие спектрально-угловые характеристики полного выхода излучения, без разделения когерентного излучения на механизмы ПРИ и ДТИ, что позволило оценить только относительный вклад этих механизмов излучения. В работе найдено условие существенности, и как следствие, противоположное условие несущественности вклада ДТИ в полный выход излучения.

Процесс когерентного рентгеновского излучения релятивистских электронов в кристалле в рамках динамической теории дифракции рентгеновских волн развит в работах [13-19]. Необходимо отметить, что в работах [13-15] рассматривалось когерентное рентгеновское излучение в частном случае симметричного отражения, когда отражающая система атомных плоскостей кристалла расположена параллельно поверхности мишени в случае геометрии рассеяния Брэгга и перпендикулярно в случае геометрии рассеяния Лауэ. В работах [16-19] развита динамическая теория когерентного рентгеновского излучения релятивистских электронов в монокристалле в общем случае асимметричного отражения поля электрона относительно поверхности мишени, когда система параллельных отражающих слоев мишени может располагаться под произвольным углом к поверхности мишени. В рамках двухволнового приближения динамической теории дифракции получены и исследованы выражения описывающие ПРИ и ДНИ в общем случае асимметричного отражения.

Настоящая работа посвящена развитию динамической теории когерентного рентгеновского излучения релятивистского электрона пересекающего монокристаллическую пластинку произвольной толщины в геометрии рассеяния Лауэ с учетом многократного рассеяния пучка релятивистских электронах на атомах мишени. Для учета многократного рассеяния используется традиционный метод усреднения спектрально-угловой и угловой плотностей излучений по расширяющемуся пучку прямолинейных траекторий электронов. Необходимо отметить, что строгий кинетический подход, описанный в работе [12], не позволяет довольно легко рассмотреть излучение из

мишени конечной толщины, а также не позволяет отдельно рассмотреть механизмы излучения ПРИ и ДНИ. Использование же критерия возможности вклада ДТИ в выход излучения, полученный в работе [12], позволяет рассматривать условия, при которых вклад ДТИ отсутствует, то есть традиционный подход вполне оправдан.

2. Спектрально-угловая плотность когерентного рентгеновского излучения

Рассмотрим пучок релятивистских электронов пересекающих кристаллическую пластинку (Рис. 1). Введем угловые переменные у , в и 0О в соответствии с

определениями скорости релятивистского электрона V и единичных векторов: в направлении импульса фотона п излученного вблизи скорости электрона и в направлении рассеяния Брэгга пй :

v=|i-1 у~2 -e+^,

e^ = 0

n

1 -1 <902 |e1 + 00, e100 = 0, e1e2 = cos26B.

2

n„ =|1 -1 в2 e, + 0, e20 = 0

(1)

где в - угол излучения, отсчитываемый от оси детектора излучения е2 , у - угол отклонения электрона в пучке, отсчитываемый от оси электронного пучка е}, в о - угол

между направлением распространения падающего фотона и осью е}, у = 1^1 — V2 -Лоренц-фактор частицы. Угловые переменные раскладываются на составляющие параллельные и перпендикулярные плоскости рисунка: в = вц + в±

у = у ц+ у ±, у0 - начальная расходимость электронного пучка.

00 = 00|| + 00 ±

Рис.1. Геометрия процесса излучения Fig.1. The geometry of the radiation process

При решении задачи будем рассматривать уравнение для Фурье-образа E(k,0) = Jdt d3r E(r,t)exp(iat -ikr) электромагнитного поля, возбуждаемого электроном в кристалле, следующее из системы уравнений Максвелла

(k2 -a2(\ + х0))E(k,a)-k(kE(k,a))-a2 Z X-gE(k + g,a) = Amaina), (2)

g

где J(k, a) = 2meVS(a- kV) - Фурье-образ плотности тока излучающего электрона, X0 (a) - средняя диэлектрическая восприимчивость, x2 и x-2 коэффициенты Фурье разложения диэлектрической восприимчивости кристалла по векторам обратной решетки g

Х(® r) =1 + Хо (a) + Z Xg(a) exp(/gr) , (3)

g

где Хо = X0 + x0, Xg = Xg + ixg . Так как излучаемое релятивистским электроном электромагнитное поле является поперечным в рентгеновском диапазоне частот, то падающая E(k,a) и дифрагированная E(k + g, a) в кристалле электромагнитные волны определяются двумя амплитудами с разными значениями поперечной поляризации

E(k,a) = £®(k,a)e0\) + E,(2)(k,a)e02),

(4)

E(k + g, a) = Ef (k, a)e(\) + E™ (k, a)e(2),

где вектора e01) и e(2) перпендикулярны вектору k, а векторы e\1) и e\2) перпендикулярны вектору kg = k + g . Векторы e02) , e(2) лежат в плоскости векторов k и kg ( m -

поляризация), а вектора e01-1 и e(1) перпендикулярны ей ( a -поляризация); g - вектор

обратной решетки, определяющий систему отражающих атомных плоскостей кристалла. В рамках двухволнового приближения динамической теории дифракции уравнение (2) сводится к хорошо известной системе уравнений [21]:

í(a2(\ + x0) - k2)E(0s) +a2x-gC(s)Egs) = 8m2ieae0S)VS(a - kV),

g g (5)

I a2XgC(s)E0s) + (a2 (\ + xo) - kg2)Egs) = 0.

Будем рассматривать кристалл с центральной симметрией (xg = X-g) . xg и xg' определяются следующим образом:

Xg =x0(F(g)/Z)(S(g)/N)exp (-g2ul /2), (6a)

Xg'=x0exp\g2u2 j , (6b)

где Xo = Xo + iXo - средняя диэлектрическая восприимчивость, F(g) - форм фактор атома, содержащего Z электронов, S(g) - структурный фактор элементарной ячейки, содержащей N0 атомов, uT - среднеквадратичная амплитуда тепловых колебаний атомов кристалла. В работе рассматривается рентгеновская область частот (xg < 0, xó < 0) . Величины Си P(s) в системе (5) определены следующим образом: C(s) = e(s)e(s), С(1) = \, С(2) = cos2eB, Р(1) = sinp, P(2) = cosp,

e¡f)-V = (в- щ)Р(1) =0l-Wl , e(02)V = (в + ¥)P(2) = в + щ„ , (7)

где вв - угол между осью пучка электрона и системой кристаллографических плоскостей (угол Брэгга); р - азимутальный угол излучения, отсчитываемый от плоскости, образованной векторами V и g . Величина вектора обратной решетки определяется выражением g = 2aB sin вв / V, где aB - частота Брэгга. Система уравнений (5) при s = \ описывает поля a -поляризованные, а при s = 2 поля m -поляризованные.

Выполнив для направления распространения излученного фотона к* = к^п^ (см.

Рис. 1) аналитические процедуры, аналогичные представленным в работах [18,19], получим выражения для спектрально-угловых плотностей ПРИ и ДНИ с учетом отклонения направления скорости электрона V относительно оси электронного пучка е}:

ш-

2 лгО)

ПРИ

ё2 N

О

(*)2

-Я

(*)

Я (*) = ЯПРИ =

1—

£

Л

ёшёО 4л2 (А —х0)2 НРИ'

21 + ехр (— 2Ь (*)р(*) А(1)) — 2ехр (— Ь (*)р(*) А(1))

(8а)

008

£

+ 8

( ( Ь(*)

V V

^ +

+ 8

/у

(

а( *) +

+ 8

"V

2 т2

+ р(*)2 А(1)

ш

ё2 N(^

и 1ДНИ

ёшёО 4 л

п (*)2

1

А А —х О

Я (*) =

ЯДПИ е, \ 2

V

[ехр (— 2Ь(*) р( *) А(1))+ ехр (— 2Ь« р(*) А(2))—

Я (*) ЯДПИ ■

(8Ь) (9а)

о /

£(ш)2 +8

— 2 • ехр I — Ь(* )р

(*) (*)

1 + 8

(

00Б

2Ь

(*

+8

(9Ь)

где

А(е±, в//, Ух, V у) = у-2 + (0± — Ух )2 + (0// + V //)2, О(1) =е± — Ух, о(2) = 0 +V,

А(2) =8+1 + 28 28

^<*)2 +8 £

(*)

(*)

А(1) =

8+1 1—8

£

(*)

К

( *)

( *)2

+8

28 28

^ +8 Л

(*)2

^ = ^7*7 И + (вх — Ух)2 + (0// + V// )2 — ХО ),

Ь (*) =

С(

_ ът(5 +0В) (*) _ 8 = . _ , р =

+8 X о

81П(5 — 0В )

Ь

281П(^ — 0В ) Ье)

X С(*) чТ(^

(*) _ (*) х"С

Уу ' = ■

— , К^ = ,£(*) (ш)=^(ш) +

х о Хо

X * С (*) 1 — 8

Г!{ *) (ш) =

2Б1П2 0 Гш(1 — 0 оог0в) ^ --1

V 2| С

(*)

ш

2у(, (10)

Выражения (8) и (9) описывают спектрально-угловую плотность НРИ и ДНИ релятивистского электрона, пересекающего кристаллическую пластинку под углом у

относительно оси электронного пучка е1 . Выражения получены в рамках двухволнового приближения динамической теории дифракции с учетом угла между отражающей системой параллельных атомных плоскостей кристалла и поверхности мишени (угол 5 ). Важным параметром в выражениях (8-10) является параметр 8 , определяющий степень асимметрии отражения поля в кристаллической пластинке относительно поверхности мишени, 5 - угол между поверхностью мишени и отражающими плоскостями. Нараметр р(5) , характеризующий степень поглощения рентгеновских волн в кристалле, равен отношению длины экстинкции = |С(5) к длине поглощения ЬаЬз = 1/шХо

2

е

8

V

у

8

V

/

2

1

2

8

8

1

рентгеновских волн: р(я) = ЬХ /ЬаЬ . Параметр Ь(5) , характеризующий толщину кристаллической пластинки, равен отношению половины пути электрона в мишени Ье = Ь /§т{ё — 6в) к длине экстинкции ЬХ. Параметр И5-*, принимающий значения в

промежутке 0 < 1 , определяет степень отражения волн от кристалла, которая обуславливается характером интерференции волн, отраженных от разных плоскостей

(конструктивным ( «1 ) или деструктивным ( V(я) « 0 )). Параметр к*-5-* определяет степень проявления эффекта аномального слабого фотопоглощения (эффекта Бормана) в прохождении рентгеновских фотонов излучений ПРИ и ДНИ через кристаллическую мишень [20].

Чтобы найти угловую плотность ПРИ, проинтегри

1 Ия), ч ^а

функции д (а) , используя соотношение

эуем выражение (8) по частотной

4 С

( я)

ад(я) , следующее из

а 2БШ2 дв

выражения (10). Так как р(5)А(1) << 1, такое интегрирование может быть выполнено с использованием аппроксимации

—^Ц- (1 + е"2Ьа — 2а~Ьа ес8(Ьх)) ^ - (1 — е"2Ьа 5(х). (11)

х + а а

Результат интегрирования представим в виде

_ е2V(5)282О(

1 — ехр ^ — 2Ь (я) р(я)

V(5 )2 +(Е +1)2 8

(£ +1)2 — 2к(я) V(я) (£ +1) + V (

аО 4-8Ш2 0вх0 (Е +1)2 — 2к(я)V(я)(Е + l)+v(

(12)

где 2 = А/|х0|.

Найдем угловую плотность ДПИ, проинтегрировав (9) по частотной функции

д(5)(а):

амДПИ = е-V(я) О(я)2(1 — ]

ап 8-2 б1П2 и е+

1 V ш

— 1 | адя )(а). (13)

У —ад

Выражения (8) и (9), описывающие соответственно спектрально-угловые плотности ПРИ и ДПИ, а также выражения (12) и (13), описывающие угловые плотности ПРИ и ДПИ, получены впервые в рамках двухволнового приближения динамической теории дифракции с учетом возможного отклонения (угол у ) направления скорости

электрона V относительно оси электронного пучка в! (см. Рис. 1). Полученные выражения учитывают асимметрию отражения поля электрона относительно поверхности мишени, характеризуемую углом между поверхностью мишени и системой дифрагирующих атомных плоскостей кристалла (угол 5 ).

3. Учет многократного рассеяния электронного пучка на атомах мишени

Так как многократное рассеяние электронов на атомах среды может привести к генерации тормозного излучения, которая далее может дифрагировать на системе параллельных атомных плоскостей кристалла в направлении рассеяния Брэгга , то

далее рассмотрим возможность и условие вклада дифрагированного тормозного излучения (ДТИ) в полный выход излучения. Необходимо отметить, что исследование относительного вклада ДТИ в полный выход излучения проведено в работе [12]. Поясним возможность вклада дифрагированного тормозного излучения в полный выход излучения

при многократном рассеянии релятивистских электронов в кристалле. Рассмотрим

-2 21

величину уЬР = 1С равную среднему квадрату угла многократного рассеяния электрона

на длине формирования тормозного излучения 1С = 2 у2/ ю . у2 =

квадрат угла многократного рассеяния электрона на единице длины, Е

2 2т

т у Ьк 4лт2

среднии

21 МэВ,

Ьк - радиационная длина. В области энергии электронов у > уЬР =у]е2 юв ЬЯ /8л проявляется эффект Ландау - Померанчука в тормозном излучении. Если выполняется условие у > у1Р , то угол многократного рассеяния электрона на длине формирования

излучения существенно превышает величину характерного угла излучения

-1

релятивистскои частицы у , поэтому тормозной квант разделяется с кулоновским полем электрона на расстоянии, малом по сравнению с длиной формирования 1С, на которой электрон может излучить несколько тормозных фотонов, которые далее дифрагируют на слоях мишени, внося вклад в ДТИ. С другой стороны, в области энергии электрона Т>Тгм=юв /ю0 ( ю0 - плазменная частота) проявляется подавление тормозного

излучения (на частоте ю « шв) вследствие эффекта Тер - Микаэляна, а также насыщение выхода параметрического излучения вследствие эффекта плотности Ферми. В случае же уьР < у < у ТМ подавления тормозного излучения не происходит, и ДТИ может дать существенный вклад в полный выход излучения. Таким образом, при выполнении одного из условия у > уТМ или у < уЬР , вклад ДТИ в полный выход излучения можно не учитывать и применить традиционный метод усреднения спектрально-угловых характеристик излучений по расширяющемуся пучку прямолинейных траекторий излучающих электронов.

Проведем усреднение спектрально-угловых плотностей ПРИ и ДПИ по функции распределения

I (V, О =

1

ж(у2 + у ^)

(14)

то есть по расширяющемуся пучку прямолинейных траекторий излучающих электронов. у0 - начальная расходимость электронного пучка. Выражения, описывающие спектрально-угловые плотности ПРИ и ДПИ, усредненные по расширяющемуся пучку прямолинейных траекторий излучающих электронов на длине пути электрона, в мишени Ье имеют вид

2 лгОО

ю-

1

ёюсЮ.

жЬ

е

| бХ Ц б у бу

2 лгОО

б1К

е 0

// Уо2 + У2

ю

бюбО.

(15)

Используя (8), (9) и (14), получим выражения, описывающие спектрально-угловые плотности ПРИ и ДПИ с учетом многократного рассеяния электрона на атомах периодической слоистой среды

(

2 лгМ

б2 К

ю-

бюбО,

4ж3у2 Ь

Л

О'

с* )2

(А-^0 )2

-Я

(*)

У ,У//) | ^—бх

...г . ...г х

(16)

2

е

у

уо

е

2

е

2 2

!"±+у//

2

е

щ+уА

2 лг1»

dtr

d2 N

dadQ 4л v° L

Ц dVi dV/,

Q

(s)2

1

1

A A-x0

о У

rDTR(Viv„) J —dx

V v

2 2 X

Vi+V°

. (17)

Используя (12), (13) и (15), получим выражения, описывающие угловые плотности ПРИ и ДНИ с учетом многократного рассеяния

((

1 - exp 2b(s) р

'dNP X)R ' i dQ

(s)n(s)

e2v(s) s2

4л2 sin2 0вx0>2Le

JJ dy± dy/7Q(s)2

(E +1)2 - 2к(s)v(s)(E + l)+v

( s )

2

v(s )2 +

(S +1)2

V0 e - x

(E +1)2 - 2к(s) v(s) (E +1) +

v

(s)2

J -dx

J V

v2 + v°Le

(18)

'dN

( s ) DTR

e2 v(s)

dQ I 8л3 sin2 0в|x0 V2Le _

J R % dI(s) JJ dVi dV //

2 2 vi+v//

Q

(s)2

1 1

л2 v0

A A-x0

0 У v1+v2

J -dx

J V

(19)

Выражения (16)—(19), полученные в рамках двухволнового приближения динамической теории дифракции в геометрии рассеяния Лауэ, в общем случае асимметричного отражения поля электрона относительно поверхности мишени, является главным результатом настоящей работы.

Wi+V

2

2

e

(f0 +V2Le

X

v i+v°

s

v i+v°

ад

—X

Vo +v; Le

4. Заключение

Развита динамическая теория когерентного рентгеновского излучения релятивистского электрона, пересекающего монокристаллическую пластину произвольной толщины в условиях многократного рассеяния релятивистских электронов на атомах мишени. Используется традиционный метод усреднения сечений излучения по расширяющемуся пучку прямолинейных траекторий электронов, не учитывающий вклада дифрагированного тормозного излучения в полный выход излучения. В рамках двухволнового приближения динамической теории дифракции получены аналитические выражения для спектрально-угловой плотности и угловой плотности параметрического рентгеновского и дифрагированного переходного излучений в условиях многократного рассеяния. Даны оценки условия существенности (несущественности) вклада ДТИ в выход излучения, показаны условия применимости традиционного метода для описания полного выхода излучения, генерируемого пучком релятивистских электронов в кристалле.

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки РФ (проект № 3.4877.2017/ВУ).

Список литературы References

1. Тер-Микаэлян М.Л. 1969. Влияние среды на электромагнитные процессы при высоких энергиях. Ереван: АН АрмССР, 459 с.

Ter-Mikaelyan M. L. 1969, Impact of Environment on Electromagnetic Processes at High Energies (Yerevan) [in Russian].

2. Garibian G.M., Yang C. 1971. Quantum microscopic the-ory of radiation by a charged particle moving uni-formly in a crystal. Sov. Phys. JETP, №34(3): 495.

3. Baryshevskii V.G. and Feranchuk I.D.1971. Transition radiation of y-rays in a crystal. Sov. Phys. JETP. 1971, №34 (3): 502.

4. Ginzburg V. L. and Frank I. M. 1946. Sov. Phys. JETP 16: 15.

5. Ginzburg V. L. and Tsytovich V. N. 1984. Transition Radiation and Transition Scattering. Nauka, Moscow.

6. Caticha A. 1989. Phys. Rev. Transition-diffracted radiation and the Cherenkov emission of X-rays A 40 : 4322.

7. Nasonov N. 1999. Borrman effect in parametric X-ray radiation, Phys. Lett. A., 260: 391.

8. Backe H., Kube G. and Lanth W. 2001. Electron-Photon Interaction in Dense Media, Ed. H. Wiedemann, Kluwer Academic Publishers, Dortrecht: 153-181.

9. Shul'ga N. F. and Tabrizi M. 2002. Method of functional inte-gration in the problem of line width of parametric X-ray relativistic electron radiation in a crystal, JETP Lett, 76 (5): 279.

10. Chesonov O.V., Kalinin B.N., Naumenko G.A., Podalko D.V. et al. 2001,. Experimental comparison of parametric X-ray radiation and diffracted brems-strahlung in a pyrolytic graphite crystal. Nucl. Instr.Meth.B, V.173: 18.

11. Bogomazova E.A., Kalinin B.N., Naumenko G.A., Podalko D.V. et al. 2003. Diffraction of real and virtual photons in a pyrolytic graphite crystal as source of intensive quasimonochromatic X-ray beam. Nucl. Instr.Meth B 2003, V.201: 276.

12. Nasonov N. N., Nasonova V. A., and Noskov A. V. 2004. Poverkhnost'. On the influence of multiple scattering on the parametric X-ray properties, No. 4: 18.

13. Nasonov N. 2001. On the effect of anomalous photoab-sorption in the parametric X-rays. Physics Letters A 292: 146.

14. Nasonov N., Noskov A. 2003. On the parametric X-rays along an emitting particle velocity. Nucl. Instr. Meth. In Phys. Res. B 201: 67.

15. Nasonov N.N., Zhukova P., Piestrup M.A., Park H. 2006. Grazing incidence parametric X-ray emis-sion. Nucl. Instr. Meth. In Phys. Res. B 251: 96 .

16. Blazhevich S., Noskov A. 2006. On the dynamical effects in the char-acteristics of transition radiation pro-duced by a relativistic electron in a single crystal plate. Nucl. Instr. Meth. In Phys. Res. B 252: 69.

17. Blazhevich S.V., Noskov A.V. 2008. Coherent X-radiation of relativistic electron in a single crystal under asymmetric reflection conditions. Nucl. Instr. Meth. In Phys. Res. B, 266: 3770.

18. Blazhevich S., Noskov A. 2009. Parametric X-ray radia-tion along relativistic electron velocity in asym-metric Laue geometry. ^3TO, 136: 1043.

19. Blazhevich S. V. and Noskov A. V. 2010. On the Ratio of the Relativistic Electron PXR in the Bragg Direction and in the Forward Direction in Laue Geometry J. Surf. Invest.: Xray, Synchrotron Neutron Tech. 2 (4): 303.

20. Blazhevich S.V., Noskov A.V. 2008. The Borrmann effect in parametric X-radiation under asymmetric reflection conditions. Nucl. Instr. Meth. In Phys. Res. B: 3777.