CC BY
28
УДК 532.526/ 532.529
Д.И. Попов, А.М. Сагалаков
Спектр одной граничной задачи для модели двухскоростной жидкости
D.I. Popov, A.M. Sagalakov
The Spectrum of One Boundary Task for a Two-Speed Liquid Model
Получены оценки области, содержащей спектр линеаризованного оператора для монодисперсной смеси. Представлена псевдоспектральная схема решения спектральной задачи методом Галеркина с использованием полиномов Чебышева.
Ключевые слова: метод Галеркина, псевдоспектраль-ный метод, параллельные течения, монодисперсная смесь, показатели Ляпунова.
The authors estimate field containing spectra of linearized operator for mono-disperse mixture. They produced pseudo-spectral scheme based on Galerkin’s method using Chebyshev’s polinomials for spectral problem.
Key words: Galerkin’s method, pseudo-spectral method, parallel flow, mono-disperse mixture, Lyapunov’s exponents.
Введение. Модель монодисперсной смеси, меж-фазное взаимодействие в которой определяется силой Стокса [1], представляет собой пример простого, но нетривиального описания двухскоростного гидродинамического движения, которому будут соответствовать различные граничные задачи для системы уравнений смешанного типа. Вообще такие уравнения можно представить в виде
ди / дг + (иУ) и + Vp - уДи - (р / г) (у - и) = /1, ду / дг + (уУ)у-(1/т)(и - у) = /2, др/дг + (уУ)р + рУу) = /3. div и = 0. (1)
Здесь величина т = ЪЯ (V = 1/ Я) - безразмерное время стоксовой скоростной релаксации; Я - число Рейнольдса; £ - параметр, определяющий степень дисперсности примеси; р - безразмерная массовая плотность примеси. Разрешимость граничных задач для системы уравнений (1) в общем случае представляет отдельный технически сложный вопрос. Нас прежде всего будут интересовать спектр линеаризованного оператора для (1) и задача устойчивости по Ляпунову некоторой неподвижной точки системы (1). Известно [2, 3], что уравнение Навье-Стокса обладает хотя бы одной неподвижной точкой при всех числах Рейнольдса. Например, легко проверяется, что параллельные течения будут решением уравнений (1), если профиль сдвигового течения совпадает в обеих фазах [1]. Численный эксперимент показывает [1, 4], что достаточные условия устойчивости стационарных решений принимают сложную форму. Нейтральные и критические зависимости могут состоять из нескольких подобластей, окружающих области вязкой генера-
ции, а порог устойчивости в некоторых случаях повышается практически на порядок. Далее в работе объемная концентрация примеси считается постоянной.
Модельная задача. Линеаризуя уравнения (1) в окрестности неподвижной точки {и, и, р } в виде получим следующий результат:
У=У (x)eP
lPu+ P(U V)u+P(uV)U-{р/т) P(u-u)-vPAu=Pfu P+(U V)u+(uV)U-(l/r)(u-u) = f2.
(2)
Здесь Л=—іаЄ - характеристические показатели Ляпунова [5], р=сош1. Будем считать, что носитель О - открытая, локально звездная, ограниченная подобласть в Е” (п = 2, 3) с липшицевой границей дО. Для определенности здесь и далее будем рассматривать однородные граничные условия идО =0, (*°)|дО =0 , * - нормаль к дО. Отметим, что,
вообще говоря, последние два условия надо понимать в том смысле, что искомые функции исчезают на границе в некотором обобщенном смысле. Например, функции принадлежат ядру оператора сужения на дО. В случае /1 = /2 =0 будем говорить об уравнениях (2) с граничными условиями как о спектральной задаче для оператора
'(р/т)Р+РК—уРА -(р/т)Р ~
—(1/т) I К+(1/т) I
А=
(3)
заданного на некотором нормированном пространстве X=Х1 хХ2 (Р - проектор в Х1) с нормой и скалярным произведением следующего вида:
(U,0)x =(ui , ui ) Xi + (U2,U2) X
где и ={и1, и2}, и={и1,и2} - пары такие, что u1eX1, и2 eX2, u1 eX[, u2 eX2.
Здесь X' обозначает топологически сопряженное. Известно, что такому выбору нормировки соответствует равенство X '= X1 х X2. В дальнейшем нас, как правило, будут интересовать только гильбертовы пространства. Далее будем понимать X в смысле декартова произведения X1 х X2.
Функциональные пространства. Рассмотрим следующие обозначения:
Н: (П)={ВкоєЬ2а(П), к = 0,..., s},
Н'и(0)={ оєНЦ, (О), ^=0}, оснащенные соответствующей нормой
( s V/2
HL=[iZ 3 Dk°\adx
\o к =0 (k) )
Если весовая функция о = 1, то соответствующий индекс не указывается. Рассмотрим декартовы произведения
4(О)=(¿2(0))”, но (О)=(но (О) )и,
Hi,о (О)=(Н 1о(0))”
соответствующих пространств, оснащенных надлежащими нормами и скалярными произведениями. Носитель в обозначениях пространств не указан там, где это не вызывает недоразумений. Обозначим через S2 замыкание в L2 множества векторов V ={u : ueC0” (О), div u=0},
а через G2 - ортогональное дополнение S2 в L2. Детальное обсуждение указанных подпространств и краевых условий для различных классов границ можно найти в работах [6-8]. Здесь примем тот факт, что пространство L2 допускает разложение на ортогональную сумму L2 = S2 © G2. Решение отыскивается на классах функций следующего вида:
S2 (О) = {u : ueL2 (О), div u =0, u • n|ao=0},
G2(О) = {u : ueL2 (О), u = gradp, peW2(1)(О)} .
Обозначим через P оператор проектирования из L2 на S2 такой, что S2 = PL2. Известно, что оператор P ограничен и справедлива оценка (см.: [6, 7,
9])
\\Ь1^ S
<4c(d0). Таким образом, решения для
несущей жидкости должны быть элементами £2, тогда как, вообще говоря, решение для дисперсной фазы является элементом из Ь2, поскольку физически не является необходимым несжимаемость примеси. Причем в линеаризованном случае уравнение сплошности для второй фазы, очевидно, отщепляется и не определяет спектр. Однако в работе будет рассмотрен и случай несжимаемой дисперсной фазы - практически это возможно, когда размеры включений и концентрация примеси достаточно малы. Обозначим через и е S2 решение для несущей жидкости и и е Ь2 - для примеси. Таким обра-
зом, в дальнейшем примем Х1 = Л2, Х2 =Ь2, которые можно отождествлять с соответствующими сопряженными пространствами. Снабдим пространство Х2 =Ь2 скалярным произведением
(4,о Х2 =р(#,с:>і2.
Все операторы в (3) понимаются в смысле расширений Т таких, что РТ замкнут на Л2 с плотной
в S2 областью определения }(Т) = S2 п Б(Т), т.е. РТ=(РТ)" для каждого Т (см. [8]). Без ограничения общности можно считать, что операторы Т определены и действуют в Ь2, а РТ в S2 для
и є Б(8\Т).
Спектр. В первую очередь установим множество точек ає2 комплексной плоскости, для которых разрешима задача ау—Ау=/ для уєХ, /єХ. Определим числовой образ оператора А через (Ау, у)Х=( Аи, и) х1 + (Аи,и) х2
(Ау, у)х=-у( Аи, и) ^ +(Ки, и) ^ +т(и, и) s2 —
т1(Pu, и) л2 —т1(u, и) ь2 +Р( Ku, и) ь +т1 (и и) ь , (4)
uєS2, иєЬ2
Оператор А= РА , заданный на S2, детально исследован в работах [6-8]. Известно, что для элементов иєИ^О) оператору А= РА на S2 соответствует коэрцитивная квадратичная форма —у(Аи, и)^ = = ^[и,и]>С||и||s , где [и,и] - интеграл Дирихле. Для слагаемых вида (Ри, и)Л , учитывая свойство идемпотентности оператора Р , можно непосредственно установить (Ри, и) Л = (Ри, Р'и) ^ = (и,( Р')2 и) ^ =
= (и,Ри)ь = (и,и)Л, uєS2, иєЬ2.
Аналогичные рассуждения приводят к следующей цепочке:
(и,и)ь = (Ри,и)ь = (Р2и,о)ь = (Ри, Р'о)ь = (u, и)Л ,
ueS2
ueL2.
Откуда получим следующее выражение для суммы слагаемых:
(Ри,и)^ + (и, и)^ =(и, и)^ + (и, и)^ =2Яе((и, и)^ } .
Собирая все слагаемые в (4) с множителем т1, получим величину ||и-и||2 ^0 .
II \\ьг
Оператор К определен для элементов иеН10(О), для того чтобы оценить величины (Ки,и)х и (Ки,и)^ , получим предварительные неравенства, полагая, что компоненты вектора и являются функциями класса С2,
X ”=1 \(иАи*, и*) 4 |и| X ”=11( °<и*, ик) 4 2
<тах|и|X"Ли^\4 1^2 <
< (1/2)max|U|+Z”=J|D,-uk|IL2),
Z n=i(u<D<uk , uk) l2 |<(i/2) m‘ax lUl ( 1( +(n-1) I к IL).
Просуммировав по k, получим
Z n=J(U/D/u,u) l2 |<(l/2)max И (( + (n-1)| ИIL^ ).
Для k-й компоненты вектора (uV)U аналогичные рассуждения приводят к следующему отношению
Z П=1 \(uDUk , uk )L2 |<|DjUk I ZП=1 |(ui, uk )L2 |<
< maxi DUklZ n=Ji u-i L2 iiuki L2 < <(1/2)1]гшх| Duk| z n=i Oiui 1L2 + uk| IL2),
Z n=J(u,D,Uk, uk )l2 |<
<(1/2) max (Z n,k=1(DUk)2 )12 (||MIL2 +Hluk|lL2)
Откуда окончательно выводим
Zn=J(u,D,Uk,uk)L2 \<n max(Zn,k=1(DUk)2) INIL2.
Таким образом, величину (Ku,u)/ можно оценить следующим образом:
|(Ku,u)l2 \<а\+eUHH1 , a =na +(n-1)в,
L2 \ 1/2 (5)
a=max()2) , ^<(1/2)max|U|.
Оценку величины (Ku,u)S несколько упрощают свойства функций ueS2. В этом случае для элементов ueH1 nS2 можно записать
(Ku, u)S = -([U х rotu + u x rotU], u)S . Отсюда легко получить следующую оценку:
|(Ku, u)s2 |=euiH +УЫS2, Y = max|rotU|.
Таким образом, можно записать оценки действительной и мнимой части (4) следующим образом:
Re{(Ay, y)X }<ф, u]+711 |u-Ц/ + (Ku, u) s2\+p(Ku,u)/i I, Re {(Ay, y)X }<v[u, u]+rx ||
u-°Ul +
+e(llull S2 n(1 +PIMIH1 )+r\\u\\S2 +P*| MIL Re{( Ay, y)x Hu, u]+T11 lu41/ +в(\\S2 nH1 +pNH)+
+max(Y,a) (||u|| ^ +p|U|/).
Используем медианное тождество и тот факт, что всегда р<1, добавляя нужные слагаемые, получим оценку в виде
Re{(AУ,y)x}< (Т2 + max(Ya))ЩX +
+(v+e) (11 S2 n(1 +44H)
Действуя аналогичным образом, для мнимой части получим оценку в виде
|1т {(ау, у)х }М11иЬ ^ +НМ1Н)+
+тах(г,С2) ( ( +рц 4).
Итак, установлено, что числовой образ оператора А целиком содержится в замыкании некоторой полуполосы 2(А) комплексной плоскости. Напомним, что спектр £(А) содержится или совпадает с числовым образом оператора. Таким образом, дополнение Z(A) входит в резольвентное множество Р(А) оператора А, в точках которого уравнение ау-Ау=/ однозначно разрешимо. Очевидно, что множество Е(А) не пусто.
Спектральная задача представляет интерес при исследовании устойчивости решения первым методом Ляпунова [5, 9]. Например, в случае п = 2 исследование устойчивости двумерных параллельных внутренних течений и монодисперсной смеси можно производить с помощью метода нормальных мод и принять 0=Iх(0,2п/а), где I=(-1, +1), а - волновое число возмущения. Тогда периодические граничные условия по однородной координате позволяют применить к уравнениям (2) преобразование Фурье. Для этого случая можно получить следующую оценку:
|М {(Д^ у)х }<( 2ар+(1/2)тах\и '|)(( +рЦ^2).
Схема численного решения спектральной задачи. Здесь примем за неподвижную точку стационарное движение жидкости между двумя пластинами с параболическим профилем сдвига
и (у)=и (уК =(оо У2 + а У+аг )вх.
В данной работе для задачи (1) применялся метод Галеркина. Элементы пробного и поверочного базисов для несущей жидкости должны удовлетворять условию соленоидальности, т.е. и ={^', -1ацтл} . Обозначим через и ,и элементы пространства, сопряженного к пространству пробных решений. Тогда в вариационной форме правая часть системы (1) перепишется в виде
<А Щ,ф>
<А ф,ф>
(Ки, й)+^(Ди, и)-(//г)(и, и) (//г)(и, и)
(1/г)(и,и) (Ки,и)-(1/т)(и,и)
Компоненты пробного и поверочного базисов должны быть функциями класса ^2(А)(I) п^2(0)(1), где И>2 [7]. Решения для дисперсной фазы являются элементами класса (I). Обозначим через
=5рап{Г0,..., Тм } линейную оболочку ортогональных с весом ю(у) многочленов с рациональными коэффициентами, а через ¥к = {и е , и(±1) = 0}.
Рассмотрим пространства Соболева следующего вида:
ПО (I)={и( *> еЬ^ ( I), к = 0,., о},
И0,„( I) ={оеИК I ),о(±1)=0}, оснащенные соответствующей нормой
Н.,и=(хк=0Кк>Г а<Лу) . Далее следуя раб°-
те [10], определим ортогональные проекторы следующего вида:
Ры:Ь2ш (I)^, П„:И1 (I)^ ,
П2: ИОI) п И2(I) ^ V».
Тогда справедливы оценки ||и - Р„и|| < СЖ_°||и|| для УиеИ* (I), О>0,
II Ж II О II Но, О 0 4/7 7
||и - ПЖи|V о < СЖГ-0 ||и||о о
для VиеИ: (I) пИ0о (I), о>1, 0<^<1,
||и - П2 и|| < СЖГ- ^иЦ^
для VuеИia (I) пИ0о (I), о >2, 0<^< 2.
Будем рассматривать аппроксимацию пространства S2 х Ь2, используя следующие наборы функций:
Ук(у)=(1-у2)2 Тк(у) для S2,
П (у)=(1-у2)Т* (у) для Ь2, к = 0, 1, ..., N.
Тогда пробное решение будет представлено парой { иЖ, и }, где иЖе£2 и е/,2, в виде ряда
им =Ё а?(у'ке* -іа¥кеу);
к =0
N
и =Е + Лкеу ).
(6)
Здесь Тк(г) - полином Чебышева порядка к. Таким образом, получим следующую обобщен-
ную алгебраическую задачу на собственные значения:
Ь2 =1В2 . (7)
Коэффициенты матрицы Ь записываются следующим образом:
Ь4VI? +.-т] ЬС2) , Ь(13) =атI(4),
/"(21) т т- (5) Ь (22) т (6> т (7) ЬС23) т (8)
Ь] т2 г] , Ьг] т2 г] , Ьг] ,
Ьз1)=-0,72 ], Ь^2)=0, ьc;з>=/f-Т2 ^ .
Здесь, учитывая формулу (6), Ijk> обозначают
^ =-(У, ^.")+а12 [2(У, У' )-а12 (V, У)],
. =-«1 [(и' У , у)+(и V., у )+(и у , У)-а2 (и у, у)],
42) = (У; , У,')-а12 (V , У ) , If = -(Щ , V ) ,
,У), ^Ч?, If>=-al(Uvj,%),
I Г=щ,%), I г=-(и щ ,щ), I <9)=I .;>,
где а1=1а , т1=//т , т2=1/т ,
У'к=-2уРк +(1-у2Ж , Ук=-2(Рк-4уЩ+(1-у2Ж.
Результат тестирования для профиля течения Пуазейля и(у) = 1-у2 в точке Томаса а = 1, Я = 104
приведен в таблице 1. Для сравнения в таблице даны классические и новые результаты [11, 12]. Результаты при а = 1, Я = 104 для случаев присутствия примеси (£ = 10-5,/= 0,1) и профиля течения Куэт-та-Пуазейля и(у)=(1-А)(1-у2) + Ау (А = 0,02) отражены соответственно в таблице 2. Видно, что разложение (3) дает приемлемую точность при относительно малом числе полиномов даже в случае плотно заполненной матрицы, соответствующей левой части уравнения (4). Для сравнения использовались результаты, полученные методом дифференциальной прогонки.
Таблица 1
Наиболее опасная мода
к=0
X = 0,23752649 +0,00373967/ Orszag [11]
X = 0,23752708 +0,00373980/ Бо^агга [11]
X = 0,2375264888204 +0,0037396706229/ Рор N = 96) [12]
X = 0,2375264888206 +0,0037396706230/ N = 64
Таблица 2
Наиболее опасная мода
X = 0,233887554181 +0,002661357275/ - дифференциальная прогонка
X = 0,233887554177 +0,002661357296/ - N = 64
X = 0,2314841658415 +0,0011000890122/ -дифференциальная прогонка
X = 0,2314841658415 +0,0011000890123/ - N = 64
Заметим, что величина чисел обусловленности результирующих матриц в левой части уравнения (4) накладывает определенные ограничения на количество значащих цифр собственного числа. Матрицы оказываются чувствительными к возмущениям по величине, сравнимой даже с порядком ошиб-
ки представления числа с плавающей точкой. Иллюстрацией служит результат работы [12] (см. третью строку табл. 1), в которой методом Петрова-Галеркина получены точные значения коэффициентов матриц в уравнении (4) для задачи Орра-Зоммерфельда. Однако количество «стабильных»
знаков, найденных при разрешении N = 96, не увеличилось с ростом числа полиномов до N = 1024.
Численный спектр. Несложно установить тот факт, что точечный спектр (1) состоит из дискретных собственных чисел и в основном обусловлен сужением оператора (1) на S2. В этом случае спектр определяется голоморфным пучком операторов, которые можно рассматривать в качестве возмущенной спектральной задачи для уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости. Поэтому примене-
ние метода нормальных мод на S2 оправдано, а ля-пуновские экспоненты описывают асимптотическую устойчивость. Однако доказательство этого факта выходит за рамки данной работы. В аналитической теории возмущений линейных операторов известно [13], что любая конечная система собственных значений непрерывно зависит от возмущения (в нашем случае спектр невозмущенного оператора есть спектр задачи Орра-Зоммерфельда; см. кружки на рисунках 1-3).
Рис. 1. Спектр течения Куэтта-Пуазейля смеси при А = 0,1, а = 1, Я = 104, S = 10"5 и f= 0,1
Рис. 2. Спектр течения Пуазейля смеси при а = 1, Я = 104, S = 10 иf = 0,1
Рис. 3. То же. Континуум частиц несжимаемый
Расчеты показывают, что наряду с ожидаемыми трансляциями в спектре (например, см. рис. 1) наличие примеси также обусловливает эффекты, проиллюстрированные рисунком 2. В первую очередь, здесь обращает на себя внимание часть спектра, заключенная внутри области, выделенной овалом. Сразу отметим, что внутри выделенной области на рисунке представлены не все точки численного спектра, количество которых для такой области нерегулярным образом зависит от разрешения дискретизации. Эффект «раздвоения хвостика», который можно наблюдать в верхней и нижней частях овала является характерной особенностью конечномерного приближения спектра бесконечномерной динамической системы. Данный эффект обусловлен расходимостью решения алгебраической задачи на собственные значения при конечной аппроксимации бесконечного спектра. Увеличением значения N можно добиться лишь того, что точка «раздвоения хвостика» приближается к прямой Яе(Я)=-1/г.
Таким образом, последовательность точек спектра, ответвляющихся от части спектра, характерной для случая чистой жидкости (кружки на рис. 2), имеет в качестве предельной не менее одной конечной точки комплексной плоскости, расположенной в малой окрестности подобласти
М = (А: Яе(2)=-1/г , 0 < 1ш(2) < а}.
Части спектра, расположенные в полуплоскостях Яе(Я) больше -0,4 и Яе(Я) меньше -1,6,
вполне согласуются с результатами теорем об изменении спектра при относительно ограниченном возмущении оператора.
Распределение энергии пульсаций в сечении канала. Рассмотрим соотношение, выражающее собою один из законов сохранения для задачи (1), (а/4п) Е=т, + Б+т2 +Бб =-Яе{у'ху1у }П' -
-(1 /Я)[а2 |у1 |2 +|у[х\+|у[у |2]-рРе{угуугу }П’-
-(р/ БЯ)[| V, |2 + \у2 |2]+2(р/ БЯ) Яе{у,>2 х+у,;у2у}.
Здесь тк характеризуют обмен энергией между основным профилем и возмущениями; Б - диссипация; Бб = Б, + Б2 - работа силы Стокса; ^ = т, + Б -локальный избыток генерации энергии над диссипацией для первой компоненты смеси. Видно, что к диссипативному механизму демпфирования энергии пульсаций присоединилась работа силы меж-фазного трения.
Запишем в общем случае соотношения для давления и концентрации примеси
Ар=(Vт)divpo-uj и -(1/т)и1р ^+divЖ,
др/ дг =-divри .
Здесь принято обозначение дф/ дх1 =ф1 , Ж -
объемные силы. В линейном случае для возмущения концентрации получим неоднородное уравнение
Хр=-/div и( ®} -П1 р1.
Учитывая уравнение для давления, можно записать 1р=-тАр-/rdiv Ки+П/р1 или Лр+/К0р=-тАр -
-2/'гч1гуК,и. Очевидно, что задача разрешима для всех Л,гЕ(-/К0). В противном случае Ар =-2Мп^К,и = = -2и'и2, что возможно только в случае нейтрально
устойчивых возмущений, т.е. Кеа1(Л,}=0 . Беря точку (—/К0), получим следующее соотношение:
(1/т) р = тАр + И т сИу К1 и , описывающее связь между пульсациями массовой концентрации примеси и давления в несущей жидкости. Видно, что как в линейном, так и нелинейном случаях изменение концентрации примеси обусловлено пространственным распределением давления и поля скоростей в несущей жидкости.
На рисунке 4 представлены кривые нормированных распределений энергии в пуазейлевом потоке
при Я = 5788,125 (Я, = 84554,40), f = 0,15 (а) и Я = 25000 (Я, = 33340,58), f= 0,1 (Ь) для £ = 10-4. Видно, что производство энергии пульсаций осуществляется лишь в достаточно малой окрестности критического слоя, а передача энергии пульсаций основному потоку происходит как в узкой пристенной области (за счет вязкой диссипации), так и в основной толще канала (см. кривую 0 на рис. 4а). При у ^ус значение локальной разности фаз колебаний стремится к нулю.
(а) (Ь)
Рис. 4. Распределение энергии пульсаций по сечению канала при f= 0,15 и Я = 5788,125 (а), f= 0,1 и Я = 25000 (Ь), £ = 10"4 для профиля Пуазейля. 0 - суммарная энергия; 1 - ц (у); 2 - F(y); 3 - т2(у); 4 - Ц(у); 5 - Ц^у) + т2(у)
Кривая 5 является суммой кривых 3, 4 и определяет результирующий вклад, обусловленный второй компонентой смеси, в баланс энергии. Поведение кривых 0, 2, 5 в интервале (0, 0.7) указывает на взаимную компенсацию производства и диссипации пульсационной энергии для компонентов смеси. Поведение функции т2(у) непосредственно может быть охарактеризовано функцией тг(у) и распреде-
I |2
лением величины БЯи'2к (у). Причем послед-
няя функция имеет локальный максимум вблизи критического слоя и отвечает лишь за генерацию пульсационной энергии. Поведение же функции т-[(у) не так тривиально (например, именно вид кривой 1 обусловливает связку экстремумов у кривой 3
на рисунке 4а. Однако это справедливо лишь при малых отклонениях функции Л2(у) от единицы, т.е. при малых значениях £Я. Эффект модуляции, описанный выше, скрадывает локальные изменения, определяемые функцией т-[(у), а вклад величины
2 I |2
БЯи У1у (у) в значения т2(у) становится более
существенным и значительно определяет поведение функции т2(у).
Заключение. Устойчивость движения определяется показателями ляпуновских экспонент, представленных дискретной частью численного спектра [5, 9]. Источник дополнительной диссипации, которая и обеспечивает повышение порога устойчивости, представлен силою межфазного трения.
Библиографический список
1. Соу С.Л. Гидродинамика многофазных систем. - 3. Temam R. Infinite dimensional dynamical systems. -
М., 1971. New York, 1993.
2. Ladyzhenskaya O.A. Attractors for Semigroups and 4. Kozhukhovskaya T.A., Sagalakov A.M., Popov D.I.
Evolution Equations. - Cambridge, 1991. The Stability of Couette-Poiseuille Flow of Two-Phase Liquid
// Transport Phenomena in two-phase Flow: 8th workshop. -Varna, 2003.
5. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М., 1970.
6. Ladyzhenskaya O.A. The mathematical theory of viscous incompressible flow. - New York, 1963.
7. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. - М., 1971.
8. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. - М., 1981.
9. Drazin P.G. & Reid W.R. Hydrodynamic stability. -Cambridge, 1981.
10. Shen J. and Temam R. Nonlinear Galerkin method using Chebyshev and Legendre Polynomials I. The One-Dimensional Case // SIAM J. Numer. Anal. - 1995. - Vol. 32, №1.
11. Dongarra J.J. Dongarra & B. Straughan & D.W. Walker, Chebyshev tau-QZ algorithm methods for calculating spectra of hydrodynamic stability problems // Appl. Numer. Math. - 1996. - V.22.
12. Pop I.S. & Gheorghiu C.I. A Chebyshev-Galerkin method for fourth order problems, in Approximation and Optimization, Proceedings of the International Conference on Approximation and Optimization, D.D. Stancu et al. (eds.). -Cluj-Napoca, 1997. - Vol. II.
13. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. - М., 1972.
