CC BY
9
УДК 514.185.2
Лапшина С. А. студент
кафедра «Система обработки информации и управления»
Рожков А. С. студент
кафедра «Радиоэлектронные системы и устройства»
Родин. А.С. специалист
кафедра «Специальное машиностроение» научный руководитель: Соколова Л.С.
доцент
МГТУим. Н.Э. Баумана Россия, г. Москва СОЗДАНИЕ НА 3D ПРИНТЕРЕ РАЗВЕРТОК ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ
Ключевые слова:
развертка поверхности , 4-х мерный октаэдр,4-х мерный куб, 4-х мерный симплекс метод изучения фигуры, 3D принтер. Аннотация:
В данной статье рассматривается построение 3D — моделей разверткок четырехмерных правильных многогранников октаэдра, симплекса и куба и их прототипирование на 3D принтере. Развертка -точное представление поверхности фигуры, по которой мы можем составить представление о самой фигуре. Построение данных 3D — моделей разверток приближает нас к пониманию 4-х мерного пространства. Так же в работе задействован 3D принтер и объяснены методы его использования.
Lapshina S.A., student Russia, 105005, Moscow, MSTU them. N.E. Bauman Department of Information Processing and Management System
Rozhkov A.S., student Russia, 105005, Moscow, MSTU them. N.E. Bauman Department of Radioelectronic Systems and Devices
Rodin. AS, specialist Russia, 105005, Moscow, MSTU them. N.E. Bauman Department of "Special Engineering " Scientific adviser: Sokolova LS, associate professor Russia, 105005, Moscow, MSTU them. N.E. Bauman CREATE A SWEEP ON THE 3D PRINTER FOUR-DIMENSIONAL REGULAR POLYHEDRA. Keywords:
surface scan, 4-dimensional octahedron, 4-dimensional cube, 4-dimensional
simplex method of studying the figure, 3D printer.
Annotation:
In this paper, we consider the construction of 3D models for the development of four-dimensional regular polyhedra of an octahedron, a simplex and a cube, and their prototyping on a 3D printer. A sweep is an exact representation of the surface of the figure, along which we can form an idea of the figure itself. The construction of data from the 3D sweep models brings us closer to an understanding of the 4-dimensional space. Also, a 3D printer is used and the methods of using it are explained.
Многомерная геометрия является геометрическим методом математического описания реальных вещей и явлений.
Пространство, в котором введены декартовы координаты (x1,x2,...,xn) называется n-мерным декартовым пространством и обозначается Rn. Число n называется размерностью пространства или числом измерений.
Развертка - это представление n-мерной фигуры в (n-1) - мерном пространстве.
Для ее построения необходимо знать состав многомерного образа.
Геометрическое тело, как часть пространства отделена от остальной части пространства поверхностью - границей этого тела. Могогранник с присоединенной к нему границей ( поверхностью) называется замкнутым (Т), если граница к нему не_присоединена, то он называется открытым (Т)
Тогда можно записать Т = Т+грТ.
Представленный способ получения n-мерного геометрического образа путем умножения предыдущего замкнутого образа на полуоткрытый отрезок и прибавления точки Т0, позволяет написать формулу состава образа с целью выяснения этого состава.
Таким образом, не имея наглядного геометрического образа в четырехмерном пространстве, мы знаем его полный состав.
_ Для трехмерного симплекса :
Т3 = Т2( Т1+Т0) +Т0 = Т3 + ( 4Т2+6Т1+4Т0) Для четырехмерного симплекса [1]:
_ Т4 = Т3( Т1+Т0) +Т0 = Т4 + ( 5Т3+10Т2+10Т1+5Т0)
Для трехмерного куба
- К3=К3+(6К2+12К1+8К0)
Для четырехмерного куба [2]:
_ К4=К4+(8К3+ 24К2+32К1+16К0)
Для окраэдра :
- Д3= Д3+(8Д2+12Д1+6Д0)
Для четырехмерного октаэдра [3]:
- Д4-= Д4+( 16Д3+32Д2+24Д1+8Д0)
Согласно приведенным формулам состава образа правильных многогранников были построены 2D модели развертоток трехмерных фигур на проскости (рис 1,2,3) и 3D модели разверток четырехмерных фигур в
трехмерном пространстве (рис 5,7,11).
Рис 2. Трезмерный куб и его развертка
Рис 3 Трехмерный октаэдр и его развертка
Известные из школьной стереометрии развертки трехмерных куба, тетраэдра и октаэдра построены с целью разбора методики построения разверток правильных четырехмерных фигур.
При построении 3D моделей разверток четырехмерных фигур сначала создавались основные фигуры : куб, тетраэдр и октаэдр. Затем их копировали в соответствии с формулой состава нужное количество раз и присоединяли к каждой из сторон основной фигуры. Или можно просто отразить каждую из фигур от каждой из ее сторон.
Аналогично симплексу идет построение 3D моделей разверток октаэдра и куба.
При построении развертки 4-х мерного куба основой является трех мерный куб. ( см. рис. 2) Сборка развертки 4-х мерного куба представленна на рис.4, сама ЗО модель развертки 4-х мерного куба на рис.5
Рис 4. Сборка развертки 4-х мерного куба
Рис 5. 3D развертка 4-х мерного куба. Построение развертки четырехмерного симплекса: Основная фигура - тетраэдр. Копируем его и присоединяем к каждой из сторон. ( рис.6). Полученную 3D модель развертки 4-х мерного симплекса можно рассматривать с разных ракурсов ( рис 7 а,б)
Рис 6. Сборка развертки 4-х мерного симплекса
(а (б
Рис 7. 3D развертка 4-х мерного симплекса с разных ракурсов При построении 3D развертки 4-х мерного октаэдра основной фигурой выступает 3-х мерный октаэдр. Однако, если мы обратим внимание на развертку 3-х мерного октаэдра ( см. рис. 3), то заметим, что сложная фигура двумерного октаэдра разбивается на более простые фигуры - двумерные треугольники. Для построения 3D развертки 4-х мерного октаэдра мы
применим тотже прием : разобъем 3-х мерный октаэдр на 2 правильные пирамиды. Следовательно основной фигурой для построения будет октаэдр, однако составлять мы его будем из пирамид. Сначала присоединим к 4 сторонам пирамиды еще 4 такие же пирамиды. ( рис. 8)
Рис. 8 первый этап построения развертки 4-х мерного октаэдра Затем добавим к одной из пирамид, к верхней ее грани, еще одну пирамиду, так как основной фигурой все таки должет быть октаэдр(рис.9).
Рис.9 Присоединение недостающей пирамиды Затем присоединим к нижней части получившейся фигуры ( последняя не закрытая грань нашей основной пирамиды) такую же только перевернутую фигуру. (рис. 10)
Рис10. Заключительный этап сборки развертки 4-х мерного октаэдра У нас получилась развертка 4-х мерного октаэдра в 3-х мерном пространстве. (рис.11)
Рис. 11 3D модель развертки 4-х мерного октаэдра в разных ракурсов
(а,б)
Созданные 3D модели разверток правильных многогранников также были распечатаны на 3D принтере при поддержке PICASO 3D.
PICASO 3D - первый российский производитель 3D принтеров. ( рис.
12)
3D печать также известна как компьютерное моделирование или альтернативное конструирование. Это процесс воссоздания реального объекта по образцу 3D модели. Цифровая 3D модель сохраняется в формате файла STL и передается на печать 3D принтеру. Затем 3D принтер, накладывая слой за слоем, формирует реальный объект.
Рис 12. 3D принтер фирмы PICASO( Россия)
Немногие технологии способны выполнить 3D печать. Основная разница заключается в том, каким образом слои накладываются один на другой.
В данном проекте использовалась технология FDM (fused deposition modeling): выдавливание расплавленного материала через сопло печатающей головки путем наложения последующего слоя. ( рис. 13,14)
Рис 14. Реализация технологии FDM
Для 3D печати используют разнообразные материалы, такие как: ABS и PLA пластмассы, полиамид (нейлон), стекловолокно полиамида, стереолитографические материалы (эпоксидные смолы), серебро, титан, сталь, воск, фотополимеры и поликарбонаты.
В данной работе использовались ABS пластмассы.
Процесс начинается с создания модели в AUTOCAD 2014. На первых этапах создается трехмерная модель в формате DWG
DWG (от англ. drawing — чертеж) — бинарный формат файла, используемый для хранения двумерных (2D) и трёхмерных (3D) проектных данных и метаданных. Является основным форматом для некоторых САПР-программ (прямая поддержка — например, AutoCAD, nanoCAD, IntelliCAD и его вариаций, Caddie).
При калибровке модели задаются параметры целотельного объекта и допустимые значения точности. Точность необходима для дальнейшей печати без «скосов» на прямых и острых углах, так как программная среда подвержена различного рода искажениям. Данные искажения не видны на мониторе, так как работает встроенная система оптимизации.
Далее происходит форматирование модели и перегонка ее в формат STL. Модели фигур, рассматриваемых в данной работе представленны на рисунках 15,16 и 17.
STL (от англ. stereolithography) — формат файла, широкоиспользуемый для хранения трёхмерных моделей объектов для использования в технологиях быстрого прототипирования методом стереолитографии. Информация об объекте хранится как список треугольных граней, которые описывают его поверхность, и их нормалей.
Рис 15. Электронная модель развертки 4-х мерного симплекса для
печати
Полученный файл в формате STL открывается в программном пакете Polygon - специальный софт, созданный компанией Picaso3D для более продуктивной работы с собственными принтерами и различными девайсами 3D печати.
В данной программе присутствует множество незаменимых для моделистов алгоритмов рационализации. Наиболее значимый из них -автоматизированное заполнение внутреннего пространства модели. Данная технология позволяет экономить пластик, а так же создавать более прочные и легкие модели путем печати внутренней полости в виде шестигранных сот.
Рис 16. Электронная модель развертки 4-х мерного куба для печати
Рис 17. Электронная модель развертки 4-х мерного октаэдра для
печати
Согласно рассмотренным технологиям были созданы четыре
правильных многогранника. На рисунке 18 приведена фотография разверток 4-х мерных симплекса, куба и октаэдра.
Рис 18. Развертки привильныхмногогранников многомерных многоугольников, созданных на 3D принтере.
Использованные источники:
1. Молодежный научно-технический вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электронный журнал, 2015. N11. С.А. Лапшина, А.С. Рожков. Построение 3D модели развертки четырезмерного симплекса.
2. Соколова Л.С. Многомерное пространство и наглядная геометрия в учебной программе по геометрической подготовке бакалавров// Геометрия и графика, 2015. ТЗ, N1. C 40-46
3. Гордиевский Д.З., Лейбин А.С.Популярное введение в многомерную геометрию. Харьков, 1964. С 54-64
