Современные проблемы компьютерного мониторинга в энергетике Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

чения робастных свойств быстродействии САУ и, соответственно о целесообразности измерения той или иной выходной переменной объекта управления при построении САУ и выполнении заданных технических требований.

ЛИТЕРАТУРА

1. Волгин Л. Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.-240 с.

2. Воронов А. А. Синтез минимальных регуляторов, действующих от измеримых входа и выхода линейного объекта// Автоматика и телемеханика. -1993. -N2. с -34-51.

3. Крутъко П. Д. Полиномиальные уравнения и обратные задачи динамики управляемых систем //Техническая кибернетика. -1986. -N1. -С. 125-133.

4. 'Гарарыкин С. В., Тютиков В. В. Элементы структурной оптимизации следящих электромеханических систем с модальным управлением // Изв. вузов. Электромеханика. -1994. N1-2. -С. 25-31.

5. Тарарыкин С. В., Тютиков В. В. Определение размерности вектора состояния при синтезе управляемых динамических систем // Изв. вузов. Электромеханика. -1995. N1-2. -С. 69-74.

УДК 681.07

В.В.Васильев

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОНИТОРИНГА В

ЭНЕРГЕТИКЕ

Введение

Интенсивное развитие информационных технологий и их применение к задачам управления сложными человеко-машинными системами привели к увеличению роли моделирования поведения систем и сопровождающего мониторинга. На заре создания таких систем и по мере их усложнения существовали и существуют сейчас задачи контроля состояния системы, оценивания его соответствия установленным требованиям целенаправленного управления [19]. Простейшими примерами таких задач являются: контроль и регулирование температуры производственных и жилых помещений, измерение температуры, влажности, химического состава атмосферы в зернохранилищах и поддержание их в определенных примерах, контроль напряжения и частоты электрического тока в системах энергоснабжения и т.д. Весьма часто человек непосредственно или с помощью автоматических регуляторов управляет процессами и объектами по внутренней своей природе неустойчивыми, склонными к самопроизвольному выходу из стационарного режима (удержание на курсе парусного судна, стабилизация толщины металлического листа или диаметра проволоки в прокатных станах, поддержание устойчивого горения дуги при сварке и др.). Нели количество параметров и переменных состояния динамической системы увеличивается, быстро достигается предел физиологических возможностей человека по восприятию и оперативному оцениванию поступающей информации и принятия правильных управленческих

решений. Наличие автоматических стабилизаторов, регуляторов и других систем автоматического управления лишь изменяет количественные оценки предельных возможностей человека, однако не снимает остроты проблемы в целом. Характерными особенностями этой проблемы являются следующие:

- количественный рост числа учитываемых факторов и динамики их изменения входят в противоречие с ограниченным н возможностями органов чувств человека;

- ряд существенных параметров процессов не могут непосредственно наблюдаться и измеряться приборами;

- допустимые пределы изменения некоторых параметров процесса могут изменяться со временем и (или) зависеть от текущих значений других параметров и сигналов.

Эти и другие факторы вызывают необходимость построения моделей процессов и систем и их использования в качестве своеобразных эталонов оптимального поведения. Непрерывное или периодическое оценивание переменных состояния управляемых процессов и систем, их сравнение с эталонными значениями и учет существующих ограничений на поведение объекта позволяет реализовать на практике систему мониторинга. В общем случае речь не идет о простой регистрации и имитации поведения объекта (простого или сложного - не имеет значения). Если объект (процесс) функционирует в нормальных условиях, а ограничения, определенные для данного класса систем, не нарушаются, поток информации к человеку как к звену управления может быть существенно уменьшен. Это позволяет разгрузить органы чувств человека, создать более комфортные условия его производственной деятельности [13,1].

Мониторинг и его разновидности

Информационное обеспечение, связанное с оцениванием текущего состояния объекта и его управлением, для большинства существующих объектов и процессов осуществляется по структурной схеме, приведенной на рис. 1.

Съем информации об объекте обеспечивается устройствами связи с объектом, в состав которого входят системы датчиков, нормализаторов и преобразователей информации (аналого-цифровые преобразователи). Система датчиков обеспечивает измерение информативных параметров и переменных анализируемого объекта (процесса) и преобразует их в электрическую форму. Блок нормализаторов осуществляет предварительную обработку информации датчиков, выполняет в случае необходимости фильтрацию сигналов, линеаризацию характеристик датчиков и масштабирование сигналов для приведения их к стандартизованным шкалам, аналого-цифровые преобразователи формируют потоки цифровой информации об объекте. Приведенные этапы получения и предварительной обработки информации могут обеспечиваться также интегрированными системами датчиков -преобразователей. Последующее использование полученной информации осуществляется по трем каналам:

і

' * ;

' * ' ' 3 . э*' §■ 5 5 •

Объект =► € . у •. • § V 5-. . «► I =► § в ■ 8-й ко4 >■ с :

■: ' . $2 О . £

1

Система автомат т ескогд управления

а

*

... 5 ,

• ч . § *§• £

у Г

•Гг

Система

интерактивного

управления

Рис. I

- через систему визуального отображения к оператору для обеспечения принятия решения и интерактивного управления,

- системой автоматического управления, в которой поступающая информация подвергается цифровой обработке с целью выработки управляющих воздействий (в приведенной схеме исполнительные элементы с соответствующими преобразователями формы управляющей информации не показаны),

- системой регистрации информации, в которой возможна дополнительная обработка информации (фильтрация, сжатие, и т.п.); чаще всего система регистрации информации обеспечивает многоканальную запись информативных параметров без существенной обработки.

Подобная структурная схема характерна для большинства энергетических объектов, непрерывных производств, транспортных систем и объектов. Ретроспективная обработка результатов регистрации поведения объекта характеризует-

ся повышенной сложностью и требует значительных затрат времени. Для этой схемы характерна также информационная перегрузка оператора.

Структурная схема компьютерного мониторинга (рис.2) отличается от традиционной введением модели объекта (мониторинга) и модуля многоканальной обработки сигналов. Эти дополнительные модули обеспечивают оценивание вектора состояния объекта на предмет удовлетворения технологических ограничений, формирование критериев оптимальности и обеспечивают сжатие информации. Таким образом, в системы отображения и регистрации поступает более концентрированная информация, полученная в результате предварительной обработки. Тем самым существенно уменьшается информационная перегрузка человека-оиератора, включенного в контур оптимизации системы и автоматизированного управления. Упрощается также ретроспективная обработка и контроль качества процесса.

Система

автоматиче-

ского

управления

Система

интерактив-

ного

управления

Рис.2

Различают два основных варианта мониторинга: On-line - и Off-line -мониторинг. Они различаются соотношением постоянных времени процесса, модели мониторинга и (или) оператора. Оценивание состояния объекта, формирова-

ния целевых функций и решение других задач мониторинга требует затрат времени, что приводит к транспортному запаздыванию в оценивании состояния объекта. Если необходимое время решения задач мониторинга больше минимальной постоянной времени объекта, режим «реального» масштаба времени и On-line мониторинг реализовать не представляется возможным, В случае Off-line мониторинга, информация о поведении объекта сначала регистрируется и, лишь затем обрабатывается. В этом случае запаздывание на получение результатов мониторинга не имеет особого значения, так как не предусматривается управление процессом (объектом) на основе полученных данных.

Применительно к энегетическим объектам On-line - мониторинг с учетом возможностей современных средств обработки информации реализуем для оценивания электромеханических и тепловых процессов (собственные частоты порядка .01 - 10J гц). Высокочастотные электромагнитные процессы и процессы нейтронной кинетики являются в настоящее время, к сожалению, объектом Offline мониторинга.

Необходимо отметить, что так называемая проблема “реального масштаба” времени является остро дискуссионной и далека от своего разрешения. В связи с этим граница между двумя упомянутыми видами мониторинга является условной и зависит от вида используемых моделей объекта, соотношения временных характеристик процесса и времени реакции на них оператора и т.п.

Математические модели систем и мониторинга

Изучение поведения динамических систем, математические модели которых описываются интегродифференциальными уравнениями в обыкновенных и частных производных, является сложной междисциплинарной проблемой науки, техники и технологии, которой посвящено большое число исследований и разработок [7, 12, 16,]. Вид математической модели объекта (процесса) существенно зависит от конечных целей, достижение которых преследуется таким моделированием. Так, математические модели, описывающие напряженное состояние объекта или физико-химические превращения, сопровождающие его функционирование, или обобщенные уравнения движения будут существенно различными как по виду уравнений, их порядку, так и по физической природе переменных состояния. Исследование свойств динамической системы, конструирование новых объектов с применением методов и средств моделирования, как правило, не требуют применения «реального» масштаба времени и может производиться в режиме Off-Line. С другой стороны, автоматическое управление и оптимизация работы функционирующего объекта (процесса) с использованием математических моделей в контуре управления (оптимизации) неизбежно приводят к режиму On-Line, реализация которого редко осуществима без использования быстродействующих и распределенных средств обработки информации.

Рассмотрим, в общем виде, постановку задачи построения математической модели динамической системы с позиций мониторинга. С целью упрощения изложения ограничимся системой с сосредоточенными параметрами.

Пусть вектора переменных состояния системы, внешних воздействий, параметров системы и управляющих воздействий „Х(0, „Д!:), ГР(0, зи(1) (левыми подарочными индексами указаны порядки векторов) удовлетворяют системе ин-тегродифференциальных уравнений с начальными или краевыми условиями:

0(1,Р(1)>Х(0,и(1),Р(1)) = 0, (1)

где Б - интегродифференциальный оператор, включающий краевые и начальные условия, порядки векторов не указаны. Эти уравнения могут быть также записаны в форме с явно выраженными краевыми условиями и дифференциальным оператором:

^Г + А(1,Х(1),и|()) = 0,

61 (2)

са,хак),хк) = о,

где А - нелинейный алгебраический оператор; О - оператор краевых условий; к -индекс, определяющий краевые условия (при к=0 - задача Коши).

В векторе переменных состояния Х(0 ряд элементов могут соответствовать сигналам объекта, которые не могут наблюдаться непосредственно и должны оцениваться в соответствии с дополнительными выражениями.

Математическая модель мониторинга отличается от модели системы (Г) или (2) как по виду уравнений, так и по составу переменных состояния. Формированию такой модели должен предшествовать этап структурирования системы и выявления тех переменных состояния, которые являются существенными для оценивания текущего состояния системы. Применительно к нашему случаю вектор переменных состояния модели мониторинга составляется из таких существенных переменных СОСТОЯНИЯ „]Х(1) (п1<п).

Модель мониторинга может быть записана в виде системы дифференциальных неравенств, определяющих область допустимых значений существенных переменных состояния:

См(г)-^^)+ма,хм(1)<ФМ(1)+в(хМга)д). (з)

си

В правую часть (3) входит вектор Хм,.(0, составленный из переменных состояния системы, недоступных прямому наблюдению, который подчиняется дополнительному дифференциальному уравнению:

Вг. Щ +К(1,ХМг(0) = Уг(1) (4)

си

Дифференциальное неравенство (3) может быть преобразовано в уравнение введением вектора дополнительных (фиктивных) переменных состояния с требованием неотрицательности компонентов этого вектора:

См(1)-^м + махм(1) + 2м(1)<фм(0 + в(хмг(0>0,

гм(0>о.

Выход динамической системы за допустимую область будет характеризоваться нарушением условия неотрицательности вектора ZM(t), что позволит сформировать векторную знаковую функцию

E(t) = Sign(ZM(t)), (6)

а также скалярную функцию мониторинга

H(t) = Sc(E(t)). (7)

Математическую модель мониторинга динамической системы составляют выражения (5)-(7) вместе с дополнительными соотношениями. Матричновекторные операторы должны быть согласованы по структуре и размерам.

Приведенную математическую модель можно называть «идеальной» математической моделью динамической системы, так как она является своеобразным эталоном для сравнения, функционирующим одновременно с самой системой. Структурная схема мониторинга должна формироваться с использованием системы датчиков, измеряющих доступные для наблюдения переменные состояния. Примеры построения схем мониторинга будут приведены ниже.

Работа «идеальной» модели в режиме On-Line с контролируемым объектом

(процессом) требует применения систем обработки информации высокой

информационной производительности. Такая производительность не может быть обеспечена только высоким быстродействием процессоров и распределенной обработкой сигналов. Необходимо применять эффективные методы обработки сигналов и использовать операционные методы анализа, алгебраизирующие интегродифференциальные модели. В качестве таких методов могут быть использованы численно-аналитические операционные исчисления, основанные на представлении сигналов обобщенными полиномами с различными системами базисных функций. Серьезной проблемой в обеспечении точности моделирования является так называемая проблема “жесткости” решений интегродифференциальных уравнений. Эта проблема возникает, когда в структуре объекта есть динамические элементы с большим разбросом постоянных времени, что вызывает появление в решении составляющих, значительно отличающихся по частоте. Прогресс, достигнутый в теории цифровой обработки сигналов, в частности, разработка методов мультиразрешающего времячастотного (масштабного) анализа позволяют эффективно решать указанную проблему в рамках полиномиальных операционных методов. Одним из таких методов является wavelet-анализ [10,17].

Методы обработки сигначов

В прикладной математике, анализе систем и цифровой обработке сигналов получили широкое распространение различные методы приближения функций, аппроксимации сигналов и их обработки. Наибольшую известность получили методы приближения и аппроксимации функций и сигналов степенными, тригонометрическими и экспоненциальными рядами и полиномами. Особую популярность получили методы аппроксимации с помощью ортогональных полиномов. Как правило, для каждого класса ряда и полинома были предложены интегральные обобщения и разработаны соответствующие операционные исчисления

[11,14,15] . Так, экспоненциальным полиномам и рядам Дирихле соответствуют интегральное преобразование и операционное исчисление Лапласа. Тригонометрические ряды и полиномы обобщаются до интеграла и преобразования Фурье. Степенным рядам и полиномам соответствую! интеграл и преобразования Рима-на-Лиувилля и дифференциальные преобразования. Ортогональные полиномы коррелируют с множеством интегральных преобразований. Привлекательность любых интегральных преобразований и соответствующих операционных исчислений заключена в алгебраизации интегродифференциальных уравнений, существенно упрощающей решение прямых и обратных задач анализа систем.

Приведем в кратком изложении метод аппроксимации сигналов, позволяющий с единых позиций выявить общие закономерности упомянутых методов анализа и обработки сигналов [2-4].

Аппроксимация сигналов обобщенными полиномами с базисной системой

щ

Рассмотрение проведем на примере одномерного непрерывного сигнала х(г). Обобщение на случай многомерных и квантованных сигналов не представляет особых затруднений. Пусть задан сигнал:

х(ОеЬ2(К),1:=0,...,Т.

Предположим также, что на этом же интервале аргумента I и в том же пространстве Ь2(Я) задана линейно независимая система базисных функций:

8(0 = [51(1),...,5т(1)]', где 8(0 - т -мерный вектор системы базисных функций;

5; (I) - одна из базисных функций (]и=1. -,т);

1 - символ матрично-векторного транспонирования.

При т->со полином превращается в соответствующий обобщенный ряд.

В качестве функций базисной системы могут быть использованы различные функции (степенные, тригонометрические, экспоненциальные, ортогональные полиномы, Уолша-подобные функции, комбинированные функции, принадлежащие различным классам). К таким функциям, кроме требования линейной независимости предъявляются требования интегрируемости с квадратом.

Сигнал представляется обобщенным полиномом вида:

т

ха(0 = Х,-ЭД = 8’(1)-Х = Хх1 <*)

1=1

где X = [Х1....Хт]’ - вектор коэффициентов полинома, называемый также век-

тором аппроксимирующего полиномиального спектра, ха(г) - аппроксимация сигнала х(1:).

Элементы вектора X выбираются из условия минимизации одной из интегральных норм функции ошибки. Среднеквадратичная норма имеет вид

'Г

1

ц(Х) = |[х(0 - ха(0]2ск—-Х- > тт. (9)

О

Это приводит к следующей задаче линейной алгебры:

\у-х = (ь

(10)

номиального спектра (АПС), О = |х(1)8(0ск - операционный вектор АПС. Ко-

Если базисная система функций является ортонормированной, вектор АПС (X) совпадает с операционным вектором спектра (О), необходимость решения системы линейных уравнений отпадает. Этим объясняется привлекательность использования ортогональных базисных систем.

Аппроксимация сигналов в соответствии с (8) - (11) справедлива для всех возможных базисных систем, в частности, для преобразования Фурье с тригонометрическими базисными функциями, для дифференциальных преобразований со степенными базисными функциями, для ортогональных полиномов Чебышева, Лежандра, Эрмита и т.п.

Совокупность операций по нахождению АПС (11) и построению аппроксимации сигнала (8) может быть интерпретирована как операционное исчисление

Первое выражение из (12) является прямым операционным преобразованием и сопоставляет непрерывному сигналу х(() в пространстве временного аргумента I его изображение в виде вектора X в операционном пространстве невременного дискретного аргумента 1 (номер компоненты вектора X). Второе выражение из (12) является обратным операционным преобразованием и переводит изображение сигнала X из операционного пространства во временное пространство сигналов хаО).

Основным операциям над сигналами во временном пространстве соответствуют эквивалентные операции над изображениями сигналов в операционном или спектральном пространстве, составляющие спектральную алгебру. Одной из основных операций является операция интегрирования сигнала с переменным верхним пределом. Этой операции соответствует в спектральном пространстве операция умножения на так называемую операционную матрицу интегрирования:

о

нечный результат выражается формулой

Х = \¥~‘ -(2 = [Хь...,Хт]\

(П)

Т

т

Х = (/ад-8'(1)<И)-,-(/х(1)-8(0<11),

о

о

(12)

т

ха(0 = Х,-8(0 = Ххі-8і(0.

І = 1

I

У(0 = |х(т)с1т;

О

х(1)оХ; (13)

У(1)о¥;

У = Р X.

Элементы операционной матрицы интегрирования Р зависят только от функций базисной системы 8(1) и не зависят от сигнала х(0 [2].

Таким образом, каждой базисной системе соответствует свое операционное исчисление, которое можно называть 8-операционным исчислением.

Проиллюстрируем применение в-операционного исчисления для решения простейшего линейного дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием (задача Коши):

^)- + ах(1) = Г(1);

СП

х(0) = х0;

I I

х(0 - Ха + а Гх(х)с1т = ГГ(х)<1т;

О 0 (14)

Х-х0-7+а-Р-Х = Р-Р;

X = (Е + а ■ Р)-1 • (Р • Р + х0 • Т);

ха(Ч) = Х'-8(Т).

Исходное дифференциальное уравнение с начальным условием (первые два выражения) предварительно преобразуется к эквивалентному интегральному уравнению (3-е выражение). Затем осуществляется переход в спектральное пространство с базисной системой 8(0 (4-я строка). В (14) введено изображение кон-

станты 1 в виде 1 . Решением уравнения в спектральной области является 5-я строка (вектор АПС искомого решения х(1)). Переход в пространство оригиналов выполняется в соответствии с последним уравнением.

Необходимо отметить аналитико-численный характер такого операционного подхода. Конкретный вид базисной системы сохранен в общем (символическом) виде вплоть до конечного выражения аппроксимации решения. На любом этапе анализа системы (уравнения) можно изменить тип базисной системы или получить численное решение. В частности, переход от одной базисной системы к другой легко осуществить в области изображений (в спектральном пространстве), поскольку спектры сигналов в различных базисных системах связаны между собой алгебраически, матрицы перехода от одной базисной системы к другой не зависят от анализируемых сигналов, а определяются этими двумя системами функций.

Выбор подходящей базисной системы для представления различных сигналов является непростой задачей. К сожалению, нет универсальных базисных систем, с одинаковой эффективностью представляющих любые сигналы. С другой стороны, учет априорной информации о сигнале и системе при выборе базисной системы функций позволяет существенно снизить погрешность аппроксимации или сократить порядок аппроксимирующего полинома.

Локально-импульсные базисные системы

Уменьшение погрешности аппроксимации и (или) сокращение порядка аппроксимирующего полинома может быть достигнуто также путем уменьшения интервала изменения аргумента. Такой прием широко применяется в Фурье -анализе (использование временных окон)[6,8], а также при введении локальных аргументов (локально-импульсных базисных систем)[2,3]. Суть подхода к использованию локально-импульсных базисных систем заключается в следующем:

- весь интервал изменения аргумента разбивается на ш одинаковых или различных участков,

- на каждом участке вводится локальная базисная система, например, степенных функций невысокого порядка, в частности, ортогональных полиномов,

- определяется локальный аппроксимирующий полиномиальный спектр анализируемого сигнала; спектр сигнала на всем диапазоне изменения аргумента определяется как объединение сдвинутых локальных спектров.

Рассмотрим одну из возможных локально-импульсных базисных систем, основанных на использовании смещенных полиномов Лежандра [4].

8(1) = [у(0,\у(1),и(0]',

16[0,Т), где

у(1) = [у1(1),...>у;(1),...,уП1(0]’;

У|(1) = Щ(1-!)-<!<!-,1,0]; (16)

ш га

1 = 1,...,т;

™(0 = [ш1(0,...,\у1(0,...,\ут(0]1;

. 2т (17)

'У((0=(1-21 + — 0у;(1);

и(0 = [и1(0,...,и1(0,...,ит(1)]';

и;(1) = (1 -61 + 612 +(1-21)^ I + 6(-^)212)у;(1). <18)

Приведенная система базисных функций (15)-( 18) состоит из трех подсистем полностью ортогональных функций. Первая подсистема является совокупностью прямоугольных импульсов единичной амплитуды с длительностью Т/т, сдвинутых относительно друг друга на Т/ш. Вторая и третья подсистемы представляют собой соответственно линейный и параболический всплески той же

(15)

длительности. Функция У[(0 играет роль своеобразного временного окна. Так как система является ортогональной, составляющие спектров сигнала находятся по формулам [2,3]:

Аппроксимация сигнала на основе полученного спектра X производится в соответствии с выражениями:

Составляющие вектора спектра сигнала X в данной базисной системе имеют физический смысл: Xv - среднее значение сигнала на каждом из участков изменения аргумента, Xw и Х„ - средние значения первой и второй производной сигнала соответственно на тех же участках изменения аргумента. Если сигнал представляет собой обобщенное движение, то упомянутые составляющие вектора являются средними значениями обобщенных перемещения, скорости и ускорения. Приведенная базисная система допускает упрощение: можно рассматривать в качестве базисной систему, включающую только две и даже одну подсистему -Si(t)=[v(t),w(t)]\ S2(t)=v(t). Так как все рассматриваемые системы являются взаимно ортогональными, составляющие векторов спектров Xv, определенные в базисной системе S2(t), не меняют своих значений при расширении базисной системы до S|(t) и S(t). То же самое можно сказать о составляющих вектора Xw при расширении базисной системы от S](t) до S(t). Это позволяет в процессе моделирования изменять базисные системы, адаптируя их к свойствам сигнала и требованиям точности моделирования.

Wovelet-анапиз и wavelet-преобразования

В последние 20 лет большое распространение в цифровой обработке сигналов получили wavelet -анализ и wavelet -преобразования. Существо этого метода обработки сигналов основано на использовании в качестве базисной системы

Xv(i) = ^ fx(t)w;(t)dt = ^ “j x(t)(l - 2i + ~ t)dt;

0 1 izlT

(19)

m

m

n

xa(t) = X’-S(t) = ]T(Xv(i)-Vj(t) + Xw(i)- Wj(t) + Xu(i)-Uj(t)). ■ (20)

i=l

функций, являющихся сдвигами и расширениями одной функции, называемой материнским wavelet’oM. В качестве такой порождающей систему функции могут быть использованы различные функции. Одним из существенных ограничений на выбор таких функций является требование локализации по энергии на ограниченном диапазоне изменения аргумента. Желательным условием является равенство нулю среднего значения на интервале локализации. Характерным очертанием таких функций является волновой всплеск. Первоначально идея использования wavelet - подобных базисных систем восходит к исследованиям Хаара. Большой вклад в развитие wavelet-преобразований внесли И.Добеши, Маллат [17] . На Украине известны аналогичные по идее исследования акад. В.Л.Рвачева, акад. Ю.В.Гуляева, В.А.Рвачева и В.Ф.Кравченко по применению в цифровой обработке сигналов так называемых атомарных функций [9,10]. Этим же авторам принадлежит обстоятельный обзор по теории и применению wavelet - систем [10].

Основы wavelet - анализа заключаются вкратце в следующем. Возьмем в качестве порождающей (материнской) функции некоторую функцию <p(t), энергия которой локализована на конечном диапазоне изменения арг7мента. Базисная wavelet - система, соответствующая материнской функции cp(t), определяется выражением

v)/(t,s,T) = ~(p(^—-), (21)

л/s s

где т - сдвиг по аргументу; s - масштаб.

В качестве примера приведем пример построения wavelet-системы на базе порождающей функции, получившей название «мексиканская шляпа»[17]:

Общий вид материнского wavelet’a и некоторые соответствующие ему wavelet-функции при различных масштабах и сдвигах показаны на рис.З. На рис.4 приведен вид системы при непрерывном изменении масштаба и нулевом сдвиге в декартовой системе координат и в режиме Density - Plot [21].

В зависимости от того, изменяются ли дополнительные аргументы бит дискретно или непрерывно, вводятся непрерывное (CWT) или дискретное (DWT) wavelet- преобразования.

Бесконечные пределы интегрирования в выражениях для CWT и DWT с большой точностью могут быть заменены конечными с учетом того, что в качестве базисных функций системы используются функции, основная энергия которых локализована в ограниченном диапазоне изменения аргумента.

cp(t) = (l-t2)-e-rr.

С”)

Wavelet - система является функцией трех аргументов (t, s, т):

s

-2 -1

Рис. 4 Рис.5

Непрерывное ^уауе1е1:-преобразование сигнала х(1:) имеет вид:

Xw(s, т) = jx(t) ■ wl(t, s, x)dt,

— 00

00 00 (24)

x(t) = J |Xw(s,T)-wl(t,s,x)dsdi:.

— 00 —00

На рис.6 приведен пример непрерывного wavelet-преобразования сигнала энергопотребления на интервале 3 суток в диапазоне масштабов от 1 до 1024 [18]. Wavelet-cneKTp отображен в режиме Density Plot.

/ Continuous Wavelet 1-0

file ' Op'ЛГ1".

ColoifMp jpric V[ Nb.Colou 1 _| " ~ ► 11 i,v<

fTPSJTIS S?c T . 13/21 ; At. Ln ~6эГ ■J&Slaitj ДУ hfoto^iyucd • R^y:.[ i^HATLAB ConiTT>ai>d\v'L,j Main. .|[Дс^1пЦо^Уауе['Г

3:24 PM

Рис.6

Дискретное wavelet-преобразование сигнала хфимеет следующий вид:

Xw(Si,Tj) = Jx(t)-wI(t,Sj,Tj)dt, —00

х(0 = Z Z х W (Si )' wl(t, Sj, X j ).

(25)

i J

Использование дискретного \уауе1е1-преобразования позволяет осуществить детальный анализ сигнала. На рис. 7 приведена декомпозиция того же графика энергопотребления на составляющие с использованием 5 шкал диадического масштаба, многоуровневая аппрокимация сигнала.

Зцро!

Ул"1е|

1.вте1 (5

Апфп

Stoics | Comprffi* J

HiUvflWrr- Dmx**s

Debited» -

; | tul Deboftppvbor, Z1

ril** j5 _.j

-*чгг—нп— т г мт'г "а 1—err

IgfiStartj gyMiafsoftW. j <^MATtASCo.| ДУауеН to | j^Cpminwm . Wavelet

Рис.

ч! Й©2ВЙ S54PM

Как и в других интегральных преобразованиях, прямое wavelet-преобразование сопоставляет сигналу x(t), определенному в пространстве аргумента г, его wavelet-изображение (спектр) в двумерном пространстве аргументов s и т (непрерывном или дискретном) (формулы (24) и (25). Обратное wavelet-преобразование осуществляет переход из пространства изображений в пространство сигналов (формулы (24) и (25). Нетрудно видеть, что общая конструкция wavelet — преобразований сохраняет структуру интегральных преобразований. Так, непрерывное wavelet-преобразование аналогично непрерывному преобразо-

ванию Фурье (интегралу Фурье) [6], тогда как дискретное wavelet-преобразование аналогично дискретному преобразованию Фурье с учетом замены тригонометрического базиса на волновые всплески. Наибольшее распространение получило дискретное wavelet-преобразование благодаря высокой эффективности разработанных численных алгоритмов. Как правило, в этом виде преобразования используется диадическая шкала масштабов и линейная шкала сдвигов. Для нахождения wavelet-спектров разработаны рекурсивные быстросходящиеся алгоритмы и специальные программные пакеты для популярных математических систем типа Mathematica® и MATLAB® [18,21].

Привлекательность wavelet-анализа объясняется возможностью обеспечения одновременно высокого разрешения по времени и по частоте (масштабу), которое недостижимо для классического Фурье-анализа. Wavelet-анализ позволяет разложить сложный нестационарный сигнал на составляющие, соответствующие различным постоянным времени процесса, обеспечивает выделение слабого информативного сигнала, на фоне помех или неинформативного сигнала, во много раз превосходящего по амплитуде или энергии слабый сигнал. Такие информационные возможности незаменимы для построения систем мониторинга сложных энергетических объектов.

Необходимо отметить, что рассмотренные выше локально-импульсные базисные системы могут рассматриваться как частный случай wavelet-систем с дискретной системой сдвигов и единственным значением масштаба, причем в качестве материнского wavelet’a использованы функции типа единичного прямоугольного, линейного и квадратичного импульсов.

Примеры построения моделей мониторинга

Off-line модели мониторинга могут разрабатываться и отлаживаться в среде интегрированных математических систем Mathematica фирмы Wolfram Research Inc.[21] и MATLAB фирмы MathWorks Inc. Первая система предоставляет разработчику мощный аппарат моделирования в символьном (аналитическом) режиме. Система MATLAB содержит ряд специализированных приложений для моделирования динамических систем (SIMUL1NK), обработки сигналов (Signal Processing Tool Box), wavelet-анализа (Wavelet Tool Box) и др. [18]. Обе системы являются чрезвачайно гибкими и допускают включение новых приложений, разрабатываемых пользователем. Реализация On-line мониторинга возможна с использованием оборудования и программного обеспечения LabVJEW фирмы National Instruments [5,20].

MATLAB/SIMULINK - система представляет собой виртуальную аналогоподобную моделирующую среду, позволяющую формировать структурную схему модели исследуемого объекта на экране модели путем несложных манипуляций «мыши». В арсенале системы большой набор стандартных элементов (источники сигналов, линейные и нелинейные элементы, виртуальные многолучевые осциллографы, двухкоординатные регистрирующие приборы, цифровые индикаторы, элементы, импортирующие фрагменты нестандартных подсистем из рабочего пространства системы MATLAB). Информация об исследуемом объекте (процессе) вводится путем задания свойств и параметров элементов структурной схемы,

внешних сигналов, задания масштабов времени и чувствительности виртуальных регистраторов. Затем осуществляется процесс моделирования, в процессе которого можно контролировать сигналы в любых точках структурной схемы, осуществлять отладку системы, ее оптимизацию, то есть реализовать возможности виртуальной моделирующей системы в полном объеме.

Пример 1. Термодинамическая модель дома [20]

Структурная схема термодинамической модели дома приведена на рис. 8. Она включает в себя инерционную модель контролируемого пространства, нелинейную модель термостата, нагревателя, модели датчиков температуры окружающей среды, задатчики температурного режима, согласующие устройства и виртуальные осциллографичсские регистраторы. Экран одного из таких индикаторов показывает колебания температуры внутри помещения и колебания внешней температуры. Синусоидальная кривая на первом индикаторе показывает колебания температуры окружающей среды. Вторая кривая показывает периодическое включение и отключение нагревателя в те отрезки времени, когда температура внутри помещения становится ниже установленного уровня. Колебательный характер обусловлен зоной нечувствительности датчиков температуры. Второй индикатор показывает стоимость израсходованной тепловой энергии. Горизонтальные участки кривой стоимости соответствуют отрезкам времени, когда нагреватель был выключен и энергия нагревателя не затрачивается.

£йе £ггч*э(юп ‘^иггф 1501*

• |.0 а? О а Я 5& «5 -6 . ► • •

ГИЗО

Пример 2. Система стабилизации давления в горизонтальном автоклаве [12]

Автоклав представляет собой замкнутый сосуд, в который под давлением снизу подается раствор реагента, а в верхнюю часть также под давлением подается воздух. Высокое давление, температура и интенсивное перемешивание раствора способствуют высокоэффективному протеканию химических реакций с участием кислорода воздуха. Регулирование давления осуществляется путем открывания и закрывания воздушного клапана. Давление измеряется с помощью специального манометра. Значение давления, которое необходимо отслеживать, задается специальным датчиком. Одной из целей мониторинга является регистрация выхода давления в переходном режиме за допустимое значение.

Структурная схема - модель мониторинга приведена на рис. 9. Автоклав представлен линейным динамическим звеном (autoclave) с передаточной функцией Wa(p):

Wa(p) =

О.бр4 +5.6р3 +25р2 +62р + Г

Регулятор имеет передаточную функцию:

_]

1.72р

Wper(p) = 42(l + T^-).

Характеристики нелинейных элементов определены следующим образом. Манометр имеет нелинейную характеристику :

1-л/5,если:х <-4;

У! =Г](х) = < 1-л/1-х,если:-4<х<1;

1,если: х > 1

Исполнительно-усилительный орган имеет нелинейную характеристику:

у - 0.05,если: у > 0.05,

У 2 = *2 (У) =' 0,если: |у| < 0.05,

у + 0.05,если: у < -0.05.

iJijSUulj у Micro [ ttftAggi’ I «^MATL j unwwj . j. j PSc-»c'i| BScjo»2||g|Sto.. :ч£ 9Й@Ей 5.47AM

Рис. 9

Нелинейная характеристика клапана U = Г-5 (v) задается таблично:

v -30 -10 0 10 20 35 70

и -20 -10 0 10 33 69 80

Предельный допустимый уровень давления р,мт =2.

В нижней части рисунка приведены экраны виртуальных осциллографов, на которых виден характер переходных процессов в системе:

Scope 1: изменение давления в автоклаве и целевая функция мониторинга

(прямоугольный импульс с нулевым значением в течение времени, когда давле-

ние в автоклаве превышает в переходном процессе значение 2 уел. ед.);

Scope 2 : выходной сигнал клапана (видны два срабатывания клапана, обеспечивающие регулирование);

Scope 3: выходной сигнал манометра (видны два значения давления, которые стабилизируются системой при изменении уставок от 0.85 усл.ед. до 0.5 усл.ед.). Скачок уровня стабилизации давления вызван измением уставки в момент времени t=85.

Заключение

Разработка структурной модели мониторинга представляет собой важный этап создания такой системы и должна тщательно отрабатываться на математической модели в режиме Off-line.

Этап разработки модели эффективно производить в среде интегрированных математических систем Mathematica и MATLAB/SIMULINK.

Системы мониторинга динамических систем, включающие в себя специальную математическую модель объекта (процесса), работающую в режиме On-Line, могут быть использованы в качестве инструмента управления в сложных человеко-машинных системах.

Такие системы могут рассматриваться также в качестве устройств предварительной обработки и сжатия информации, поскольку в нормальных режимах работы системы сигналы мониторинга могут отсутствовать и нет необходимости вмешиваться в ход процесса. Это позволяет уменьшить информационную нагрузку на оператора.

Регистрация сигналов системы мониторинга может быть использована в последующем для анализа истории работы объекта при всевозможных экспертизах, расследовании происшествий, оценке остаточного ресурса оборудования и т.п.

Локализация моментов времени и пространственных координат объекта, при которых наблюдались нарушения системы ограничений на переменные состояния и параметры объекта, может быть использована для сокращения объема операций по контролю качества изделий и продукции технологических процессов, так как вероятность брака высока именно там, где нарушалась технология процесса.

Математические модели процесса и мониторинга являются превосходной средой для обучения управленческого персонала и контроля состояния операторов, управляющих процессом, что особенно важно в управлении энергетическими, энергоемкими и техногенно опасными объектами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Васильев В.В. Математическое моделирование в задачах функциональной надежности сложных человеко-машинных систем // Общие вопросы математического моделирования и мониторинга динамических систем: Препринт НАН Украины. - Отделение гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике. - Киев, 1998, № 01/98. -

С. 6- 19.

2. Васильев В.В. Симак Л.А., Воронова О.С. Аппроксимация в спектральных методах моделирования динамических систем. Сравнительный анализ // Препринт НАН Украины.

- Отделение гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике. - Киев,

1998, №04/98.-70 с.

3. Васильев В.В. СгшакЛ.А. Полиномиальные методы аппроксимации как операционные исчисления в программной среде системы “Mathematica” // Электрон. Моделирование.

- 1986,- 18, №4.-С. 34-42.

4. Гончаров BJI. Теория интерполирования и приближения функций. - М.-Л.: ГТТИ, 1934.-316 с.

5. Жарков Ф.П., Каратаев ВВ., Никифоров В.Ф, Панов B.C. Использование виртуальных инструментов LabView. - М.:Радио и связь, 1999. - 268 с.

6. Залманзон JI.A. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. - М.: Наука, 1989. - 496 с.

I. Николис Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционное представление. - М.: Мир, 1989.-488 с.

8. Трахтман А.М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. - М.: Сов. Радио, 1972,- 352 с.

9. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. О представлении многочленов финитными функциями: -Мат. Физика. - 1972, вып. 11. - С. 126 - 129.

10. Кравченко В.Ф., Рвачев В.A. Wavelet - системы и их применение в обработке сигналов // Зарубежная радиоэлектроника. - 1996, № 4. - С. 3 - 20.

II. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложение к задачам механики. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.-432 с.

12. Нетушил А.В. и др. Теория автоматического управленияю - М.: Высшая школа. 1983. -432 с.

13. Орищенко В.И., Санников ВТ., Свириденко В.А. Сжатие данных в системах сбора и передачи информации. - М.: Радио и связь, 1985. - 185 с.

14. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования функций и уравнений. - К.: Наукова Думка, 1984. - 420 с.

15. Пухов Г.Е. Дифференциальные спектры и модели. - К.: Наукова Думка, 1990. - 182 с.

16. Теория систем. Математические методы и моделирование // Новое в зарубежной науке.

- 1989, т. 44.-382 с.

17. Burrus С.S., Gopinath R.A., Guo Н. Introduction to Wavelet and Wavelet Transforms. -Prentice Hall. — 1998. - 268 p.

18. BiranA , Breiner V. MATLAB for Engineers. - Addison - Wesley. - 1997ч - 668 p.

19. Hess R.A. A qualitative model of human interaction with complex dynamic systems // IEEE Trans. Jn Systems, Man and Cybernetics. - 1987. - SMC-17, # 1. -P. 33-51.

20. Wells L.K.,'Travis J. LabVIEW for everyone. - Prentice Hall PTR. - 1997. - 586 p.

21. Wolfram Stephen The Mathematica book. - Wolfram Media / Cambridge University Press. -

1999.-1470 p.

УДК 512.643.2

М.В. Леонов

РОБАСТНАЯ АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Известен широкий класс объектов, параметры которых, в реальных условиях в силу наличия различных возмущений принадлежат некоторым заданным множествам. В литературе по теории управления соответствующая проблема получила название задачи робастной устойчивости [1]. Решению проблемы робастной устойчивости для дискретных систем управления посвящено большое количество работ. Большинство результатов получено для линейных дискретных сис-