Современные математические методы прогноза и планирования эксплуатации водоносного горизонта Текст научной статьи по специальности «Физика»

_ общее числозадач нерешенной командор

Рис. 10. Зависимость среднего числа решенных/не решенных командой задач

Описав методику проведения и результаты двух экс -перимеитов с командами разработчиков с целью прояс -нения зависимости общей производительности команды от соотношения численности старых и новых сотрудников, несмотря на то, что для формулировки весомых выводов требуется дальнейшее проведение экспериментов, более детальное исследование полученных результатов и формализация процесса разработки, можно сделать некоторые предварительные выводы.

1. При условии, что число задач фиксировано, задачи и последовательность их выполнения не зависят друг от друга, добавление новых сотрудников к проекту не только не ухудшает общее состояние проекта, а до определенного соотношения новых и старых сотрудников улучшает. Таким образом, при необходимости улучшить производительность команды в целом допустимо ее увеличение за счет привлечения нового персонала.

2. При добавлении любого количества новых сотрудников к проекту производительность экспертов уменьшается, а число нерешенных в установленные сроки задач растет.

3. При этом количество новичков незначительно влияет на производительность самих новичков, по крайней мере, в условиях проведенных экспериментов.

4. Метод обучения новичков «специалист в области слышимости» малоприменим в условиях, когда производительность экспертов важна для проекта.

ЛИТЕРАТУРА

1. Brooks F. The mythical man-month (Essays on Software Engineering). Addison-Wesley Publishing Company Reading, 1975.

2. Madachy R.J. Process Dynamics. IEEE Press. 2008.

140

120

100

B0

60

40

20

4exp-1 nov

И.В.МАРИНОВА, канд. физ.-мат. наук доцент кафедры МиИ ТИУиЭ

СОВРЕМЕННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗА И ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЛУАТАЦИИ ВОДОНОСНОГО

ГОРИЗОНТА

В работе рассматривается трехмерная математическая модель движения грунтовых вод, позволяющая исследовать изменения уровня грунтовых вод в зависимости от различных метеорологических и кли-

матических факторов, моделировать последствия прорывов городского водопровода, учитывать эксплуатацию водоносного горизонта посредством скважин.

Фильтрация, грунтовые воды, водоносный горизонт, массоперенос, свободная поверхность, водоупор, жидкость

Для успешного развития отраслей народного хозяйства, связанных с мелиорацией земель, строительством гидротехнических сооружений, оценкой запасов подземных вод, охраной окружающей среды, защитой территорий от подтоплений и т.д., необходимо правильно определять существующие гидрогеологические условия и с требуемой точностью их прогнозировать. Надежная количественная оценка процессов тепло- и массопереноса в ненасыщенных и насыщенных грунтах может быть получена методами математического моделирования и вычислительного эксперимента. Натурные исследования и измерения позволяют в определенном смысле следить за поведением изучаемой системы. Однако основная задача заключается в оценке последствий влияния тех или иных внешних факторов на изменение положения свободной поверхности (уровня грунтовых вод). Математическая модель даёт возможность учесть многочисленные связи и факторы, влияющие на протекающие в объекте процессы, исследовать объект в реальных и экстремальных условиях и тем самым решить многие проблемы, связанные с экологической безопасностью эксплуатации водоносных горизонтов.

Одним из основных факторов, определяющих массоперенос в грунтах, является миграция жидкости. Далее

будем рассматривать грунт как пористую среду, состоящую из минеральных и коллоидных частиц (твердый скелет), а также подземной воды, полностью или частично заполняющей поры. В подземной гидромеханике при изучении процессов движения воды в грунтах основываются на представлении о грунте как о сплошной среде с осредненными макроскопическими параметрами. Степень осреднения зависит от специфики исследуемого процесса. Осреднение проводится по некоторым образцам грунтов, размеры которых должны быть, с одной стороны, достаточно большими, чтобы иметь возможность получить статистически значимые осредненные характеристики, а с другой - настолько малыми, чтобы достаточно подробно проследить неоднородность грунта во всей изучаемой области. При решении различных задач размеры осредненной области могут сильно различаться - в пылевидных грунтах они ограничены несколькими миллиметрами, а в зоне гидротехнических сооружений (водохранилищ, магистральных каналов), где область фильтрации охватывает десятки километров, они могут составлять несколько километров. При осреднении все неоднородности в грунте игнорируются, а грунт в пределах области осреднения рассматривается как однородная среда. Одной из осредненных макроскопических 74

характеристик грунта является пористость. Отношение объема пор Уп в выделенном участке грунта к объему этого участка V называется пористостью грунта: ш=Уп/У.

Величина ш характеризует пористость грунта в окрестности некоторой средней точки участка, значительно большего, чем отдельные зерна грунта. Пористость изменяется в результате того, что часть скелета грунта при движении воды может растворяться, если в скелете грунта присутствуют растворимые в воде компоненты.

Другой макроскопической характеристикой грунта является проницаемость, т.е. свойство грунта пропускать через себя жидкость. Величина проницаемости определяется экспериментально. Она зависит от величины зерен грунта и их взаимного расположения. В работе [1] для определения величины проницаемости предлагается выражение

=4 -

т

) (1 -т2)'

где р - коэффициент (для воды он равен 0,0055); а -коэффициент формы частиц грунта диаметра ±

Под воздействием силы тяжести и гидродинамического давления подземная вода, полностью или частично заполняющая поры, перемещается из одних участков грунта в другие. Движение воды в грунте, именуемое фильтрацией, может охватывать огромные территории и развиваться в течение десятков лет. Однако не вся вода, содержащаяся в грунте, способна принять участие в фильтрационном переносе - часть ее прочно удерживается силами молекулярной природы вблизи частиц грунта. Эти силы настолько велики, что даже при воздействии массовой силы, на несколько порядков превышающей силу тяжести, продолжают удерживать определенное количество воды (связанная влага). В количественном отношении связанная вода может занимать от 12 (пески) до 100% (плотные глины) пористого пространства. Некоторые глины, несмотря на имеющуюся в них пористость, могут рассматриваться как непроницаемый для фильтрационного потока водоупор.

Вода, участвующая в фильтрационном движении, называется свободной, или грунтовой.

По степени наполнения пор водой можно выделить два основных состояния грунтов: насыщенное и ненасыщенное. При насыщенном состоянии поры грунта полностью заполнены водой. Масса воды шв,содержащаяся в единице объема грунта, связана с пористостью соотношением те =рт, где р=р(х) - плотность подземной воды.

При прохождении дождя или поливах происходят сложные явления в верхних слоях грунта. Вода впитывается почвой, имеющей определенную сложную структуру, и поглощается корневой системой растений. Затем, поступая в листья растений, вода испаряется - говорят, что происходит транспирация влаги растениями. Часть воды испаряется с поверхности орошаемого участка. В засушливое время года это испарение может быть больше, а в период дождей меньше. После полива или выпадения дождя на поверхности грунтового потока образуется бугор, который в дальнейшем медленно рассасывается, создавая местное повышение уровня. Часто бывает, что это повышение, достигающее иногда одного метра в год и больше, через несколько лет приводит к засолению или заболачиванию орошаемого участка.

Кроме поливов и выпадения атмосферных осадков, потери на фильтрацию из поверхностных вод могут создаваться за счет несовершенства поливных устройств, а в условиях города - из-за прорывов водопровода.

В летнее время большую роль в режиме грунтовых вод играет испарение воды, причем оно может происходить или непосредственно с поверхности грунтовых вод, или через посредство растений, которые впитывают из почвы влагу, испаряющуюся затем с поверхности листьев (транспирация). На основании ряда наблюдений орошаемых участков М.М. Крылов исследовал зависимость интенсивности испарения и транспирации от глубины залегания свободной поверхности грунтовых вод.

Основные предположения о гравитационном режиме течения грунтовых вод заключаются в следующем.

Пористая среда представляет собой пласт водопроницаемого материала (песок, глина), ограниченного снизу грунтом, не пропускающим воду (гранит), а сверху - поверхностью земли. Если из-за интенсивной работы артезианских скважин или в результате обильных осадков уровень воды в каком-либо месте слоя изменяется, то под действием силы тяжести начинается движение жидкости, выравнивающее ее свободную поверхность.

Для описания этого процесса введем ряд предположений:

1) вода рассматривается как несжимаемая жидкость с постоянной плотностью р;

2) толщина пласта много меньше его ширины и длины;

3) подстилающая поверхность не имеет разрывов и изломов, задающая ее известная функция Н(х,у^) - достаточно гладкая функция для своих аргументов;

4) свободная поверхность Ь=Ь(х,уД) плавно меняется с изменением аргументов х,у;

5) грунтовые воды нигде не выходят на поверхность земли, причем на свободной поверхности жидкости давление постоянно;

6) грунт однороден, т.е. его физико-механические свойства не зависят от аргументов х,у,х

Первое предположение вполне естественно, поскольку в рассматриваемом процессе не может быть давления, способного заметно изменять плотность воды.

В теории фильтрации рассматриваются два режима движения грунтовых вод: напорная и безнапорная фильтрация. При напорной фильтрации давление во всех точках живого сечения потока больше атмосферного. Такая фильтрация характерна для напорных водоносных горизонтов, ограниченных с кровли непроницаемой породой, а снизу водоупором. Пример ее - фильтрация под гидротехническими сооружениями. Безнапорный режим фильтрации характеризуется наличием свободной поверхности, где давление равно атмосферному. Свободная поверхность может со временем изменять свое положение, которое наряду с другими характеристиками фильтрационного потока (напором, скоростью) подлежит определению.

Под скоростью фильтрации V понимают объём жидкости, протекающей в единицу времени через единичную площадку среды перпендикулярно направлению потока. Вектор скорости фильтрации направлен по нормали к той площадке, через которую происходит наибольший расход. Со скоростью фильтрации V связывают безразмерный параметр Яе - число Рейнольде а: Яе^^у, где V - кинематическая вязкость фильтрирующейся жидкости; d - геометрический размер, например диаметр частиц грунта. При небольших числах Рейнольдса (Яе<1) со-75

2

гласно закону Дарси имеем линейную зависимость скорости фильтрации от градиента напора: V = —кфgra.dk ,

где коэффициент пропорциональности кф называется коэффициентом фильтрации. Являясь макроскопической характеристикой проводимости пористой среды, коэффициент фильтрации зависит от свойств грунта, величины и размера его зерен, а также от вязкости жидкости, протекающей в грунте. Изменение вязкости от температуры предопределяет температурную зависимость коэффициента фильтрации, которая определяется следующим выражением (формула Пуазейля):

кф = к0(1+ 0,0337Т + 0,000221Т2), где к0 - коэффициент фильтрации при температуре 0°С; Т - температура, °С. Для записи в явном виде зависимости коэффициента фильтрации от вязкости, если последняя в силу каких-либо условий (например, в термически неоднородной среде) изменяется в широких пределах, проводимость пористых сред характеризуется проницаемостью. Закон Дарси выражает скорость фильтрации через проницаемость и градиент давления:

V =-кщ, gradP . Изменение коэффициента фильтрации во времени может обусловливаться физическими, химическими, а также биологическими процессами в грунте. Так, при орошении структура почв разрушается, а коэффициент фильтрации уменьшается. Закон Дарси, где кф - скалярная величина, зависящая от пространственных координат и времени, является феноменологическим законом фильтрации для изотропных, пористых сред. При этом направление вектора скорости фильтрации в какой-либо точке среды нормальное к линии уровня напора И=сош1, проходящей через эту точку. Это обстоятельство отражает свойство изотропности проводящих свойств среды, которые сохраняются постоянными в любом направлении, хотя и могут изменяться как функции точки. Иначе обстоит дело в анизотропных грунтах, проводимость которых в различных направлениях различна. Это имеет место, если строение пористой среды таково, что она имеет более высокую проводимость в одном направлении, чем в других направлениях. Осаждение и давление приводят к образованию плоских частиц, ориентированных вдоль своих более длинных частей. Это приводит к образованию каналов, и именно вдоль них происходит преимущественное течение жидкости в пористой среде, которая и является анизотропной.

Обобщение закона Дарси для трехмерного течения имеет следующий вид:

у=К ^-К grad и,

где V = (и, V, w) - скорость фильтрации; J=-grad и^-Уи -

гидравлический градиент с компонентами Jx= -ди;

дх

Jy= -ди; Jz= _ ди ; к - коэффициент фильтрации (гидрав-

ду дг

лическая проводимость).

Закон Дарси для однородной изотропной среды можно обобщить на случай однородной не изотропной среды. В этом случае

и = кххОх + КхуОу + Кх2О2;

V = Кух^ + К^у + ;

w = К^х + К^у + К^ .

Кхх К К

ху х

К К

ух УУ ¡и

Кгу Кг

Эти соотношения определяют обобщенный закон Дарси в анизотропной недеформируемой, пористой среде, который в векторной форме может быть записан в виде V = —Kgradu, где К - тензор коэффициентов фильтрации (линейный, ортогональный, симметричный тензор второго ранга), называемый обобщенным коэффициентом фильтрации:

К =

Таким образом, в анизотропной среде каждой точке области фильтрации соответствует девять коэффициентов фильтрации. Транверсальная, или осесимметричная, анизотропия относится к таким грунтам, у которых два компонента тензора коэффициентов фильтрации равны между собой. В таком случае КХХ=К22, КХ2=0.

Пусть движение жидкости происходит в ограниченной области во с образованием внутри этой области свободной поверхности (уровня грунтовых вод). Задача заключается в том, чтобы определить характер движения свободной поверхности (изменения уровня грунтовых вод) в зависимости от внешних факторов.

Общее дифференциальное уравнение в частных производных для однофазной трехмерной фильтрации в декартовых координатах можно записать в виде

= А( К Н)+А.( К2 Щ-)+А.( Кз Н, (1)

дх1 ^ дх1 ) дх2 ^ дх2) дх3 ^ дх3 ) где К1, К2, К3 - коэффициенты фильтрации в направлении осей координат, Н - функция напора, ц - константа, определяемая физическими свойствами воды и пористости породы. Гидрогеологический анализ различных водоносных горизонтов показывает, что изменения коэффициентов К],К2,Кз в пределах рассматриваемой области в зависимости от изменения координат неравноценны. Не будем пренебрегать, как общепринято, изменениями напора на координате х3, а сделаем более слабое допущение о независимости коэффициента К3 от координаты х3. Уравнение (1) принимает более простой вид:

дН д Г дН) 5 Г дН) д2И = |+ —I К2— 1 + Кз ■

5/ 5х1 ^ 5х1) дх2 ^ дх2)

(2)

дх.

Инфильтрационное питание, поступающее в поток воды (например, естественные осадки, родники, испарение и другие источники питания и расхода), в практических задачах считается функцией координат х1 и х2 и характеризуется величиной интенсивности инфильтрации которая есть расход инфильтрационного питания, поступающего в единицу объема потока. Уравнение материального баланса с учетом источников можно записать так:

д2Н

дН д дН 1 д дН

К

дх32

-К

(3)

дх1 ^ дх1) дх2'

хе О), х=(х1 ,Х2,Хз), !>0.

Для выделения единственного решения необходимо задать дополнительные условия на границах исследуемой области, которая представляет собой часть пространства х,у,7, ограниченную некоторой поверхностью 5", состоящей из конечного числа гладких кусков. Во многих важных случаях нельзя представить в деталях эти условия, но в любом случае граничные условия как информация относительно внешней области, воздействую-

щая через границу на рассматриваемую область, должна быть известна или может быть получена на основе физических законов.

В момент времени 1=0 в качестве начальных условий задаются начальная форма области фильтрации и начальное значение напора в каждой точке области фильтрации. Начальные и граничные условия определяются из данных инженерно-геологических изысканий, проводимых в различных точках области фильтрации, а также математической трактовкой гипотез, основанных на экс -периментальных данных.

Н(хД)=Н)(х); хе О0 , при 1=0. (4)

На границе с заданным напором: Н(х,у,7,1}=^(х,у,7,1).

Непроницаемая граница(водоупор - глина)

сИ .

~Г = 0, (5)

оп

где п - нормаль к водоупору.

Область высачивания (цилиндрическая поверхность по контуру рассматриваемой области)

дИ

Н(х,у,7,1)=^(х,у,7,1) И--= Ц . (6)

дп

На свободной поверхности выполняется условие

И(хр Х2, х3, г) - Хз = 0. (7)

Потери на фильтрацию поверхностных вод могут создаваться за счет несовершенства поливных устройств, а в условиях города из-за прорывов водопровода. Здесь необходимо учитывать как глубину залегания источника, так и его тип. В условиях города немаловажную роль играют водозаборные сооружения нецентрализованного водоснабжения. С помощью различных сооружений (скважины, колодцы и т.п.) население использует воды подземных источников для питьевых и хозяйственных нужд, что не может не влиять на водоносный горизонт. Водозаборные сооружения не должны устраиваться на

участках, затапливаемых паводковыми водами, в заболоченных местах, а также местах, подвергаемых оползневым и другим видам деформации. Математическое моделирование процессов геофильтрации показывает наиболее неблагоприятные зоны фильтрации и помогает выявить наиболее часто затапливаемые участки в районе города.

Привязка модели к конкретным областям фильтрации осуществляется на уровне входной информации. Это значит, что для практического использования модели требуется создание специальной информационной базы, содержащей сведения о геологических и гидрогеологических характеристиках исследуемой зоны. Оценка опас-ных метеорологических условий, когда выпадает количество осадков, значительно превышающее допустимые нормы, требует также учета характера залегания водоносного горизонта и информации о строении зоны фильтрации. Под опасными метеоусловиями понимается сочетание таких факторов, при которых может наблюдаться повышение уровня грунтовых вод до уровня фундаментов городских строений, что может привести к аварийным ситуациям.

Построенная модель движения подземных вод позволяет прогнозировать изменения свободной поверхности (уровня грунтовых вод) в зависимости от количества осадков, дождевания, поливов, расположения водозаборных сооружений, прорыва городского водовода и других факторов. Математическое моделирование различных аварийных ситуаций, связанных с эксплуатацией водоносного горизонта, позволяет обеспечить экологическую безопасность использования естественных водных источников.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ляшко И.И., Демченко Л.И., Мистецкш Г.Е. Численное решение задач тепло- и массопереносав порис-тых средах. Киев: Наукова Думка, 1991.

2. Полубариноеа-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод М.: Наука, 1977.