CC BY
12
21. Амбарцумян С.А. Теория симметрично нагруженных, слабомоментных оболочек вращения, изготовленных из разномодульных материалов // Инж. журн. МТТ. 1967. №6. С. 33-46.
22. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. 320 с.
23. Маркин А.А. К обоснованию теории оболочек // Работы по механике деформируемых сред. Тула: ТПИ. 1974. С. 121-129.
Трещев Александр Анатольевич, д-р техн. наук, профессор, чл.-корр. РААСН, заведующий кафедрой, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
ABOUT MECHANICAL TESTS OF THIN-WALLED CYLINDRICAL SHELLS MADE OF COMPOSITE MATERIALS
А.А. Тгeshchev
The analysis of traditional measurements during experiments on the complex stress state of circular cylindrical shells with a thin wall is carried out. The determination of the phase characteristics of deformations and stresses, other characteristics of the state of structural materials is considered, the applicability of the generalized Hooke's law to isotropic composites is evaluated. It is established that the accepted methods of measuring deformations in experiments based on assumptions about the coincidence of the phases of deformations and stresses, as well as postulating the independence of the laws of volumetric deformation and shape change, are not suitable for composites. It is shown that the processing of experiments on testing composite samples should be carried out taking into account the specifics of their mechanical properties.
Key words: cylindrical shell, modulus of elasticity, coefficient of transverse deformation, phase characteristic, di-
latancy.
Тгeshchev Alexander Anatolyevich, doctor of technical sciences, professor, corresponding member of the RAACS, head of chair, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
УДК 539.3 +519.6
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-7-97-98
СОВРЕМЕННОЕ РАЗВИТИЕ ПОДХОДА ПРОФЕССОРА Л.А. ТОЛОКОННИКОВА ПО ВНЕДРЕНИЮ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ МЕХАНИКИ ПРОЧНОСТИ В ПРОМЫШЛЕННОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НА ПРИМЕРЕ ПАКЕТА ФИДЕСИС И ТЕОРИИ МНОГОКРАТНОГО НАЛОЖЕНИЯ
БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ
В.А. Левин
Современное развитие подхода профессора Л.А. Толоконникова по внедрению фундаментальных результатов механики прочности в промышленное использование на примере пакета Фидесис и теории многократного наложения больших деформаций. ВАн. Левин.Статья носит методически и частично обзорный характер. Обсуждаются изменения, связанные с развитием промышленного программного обеспечения для инженерного анализа. Отмечается, что в рамках Индустрии 4.0 (и начинающегося перехода к Индустрии 5.0), автоматизируются интеллектуальные операции при проектировании новых материалов, новых изделий, сооружений, технологических операций (включая аддитивное производство), существо изменилась роль специалистов в области механики деформируемого твердого тела. Приводится подход профессора Л.А. Толоконникова по внедрению фундаментальных результатов механики прочности в промышленное использование значительно опережающий свое время. Обсуждается современная реализация этого подхода на примере пакета Фидесис и теории многократного наложения больших деформаций.
Ключевые слова: промышленное программное обеспечение для инженерного анализа, Индустрия 4.0, теория многократного наложения больших деформаций.
Прежде чем перейти к основной части статьи, по рекомендации редакционной коллегии приведу мои воспоминания и мое восприятие большой научно-педагогической и организационной деятельности Л.А. Толоконникова и его наследия. Эта часть статьи ориентирована на молодого читателя, поэтому используется краткость при максимуме информации. Почему считаю возможным для себя написать о и про Леонида Александровича:
С конца 1-го по 6 курс занимался у Леонида Александровича по индивидуальному плану.
По определению Леонида Александровича, данному им в 1990 г. на банкете после защиты моей докторской диссертации, являюсь его «первым научным внуком — доктором физико-математических наук». Первым учеником -доктором физико-математических наук у Л.А. Толоконникова был Г.С. Тарасьев, мой многолетний научный консультант. Уже есть и первые «научные правнуки» - доктора физико-математических наук: проф. К.М. Зингерман, ныне зав. кафедрой Тверского госуниверситета, и А.В. Вершинин, профессор кафедры «Вычислительная механика» мехмата МГУ им. М.В. Ломоносова. Появились первые «научные праправнуки», кандидаты физико-математических наук. Отмечу, что с аспирантских времен мое научное направление патронировал академик Л.И. Седов, представлявший статьи в Доклады АН СССР, Доклады РАН и написавший предисловие к моей первой монографии.
Сегодня:
Являюсь заслуженным профессором МГУ, Заслуженным деятелем науки РФ, Почетным работником высшего профессионального образования РФ, профессором кафедры «Вычислительная механика» мехмата МГУ им. М.В. Ломоносова.
Под моим руководством создан коллектив, в состав которого входят около 100 человек, разработан промышленный полнофункциональный кросплатформенный пакет для прочностного инженерного анализа Фидесис (филиал в Туле около 20 человек - выпускники мехмата ТулГУ).
Пакет Фидесис установлен (внедрен в качестве лицензированного программного обеспечения в процесс проектирования более чем на 150 отечественных предприятиях), и на около 600 предприятиях проходит тестирование для приобретения и включения в процесс моделирования при проектировании. Пакет локализован на китайский и английский языки.
Для мирового рынка создан облачный сервис, ориентированный на конструктора https://prove.design .
Написан и издан пятитомный цикл монографий (2010 страниц) «Нелинейная вычислительная механика прочности». Издание осуществлено по рекомендации Бюро Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления Российской академии наук.
Готовится 16-ти томный цикл монографий «Нелинейная вычислительная механика прочности. Промышленная реализация и использование».
Именно поэтому пробую высказать свое мнение.
На мой взгляд, Леонид Александрович на все этапах своей многогранной деятельности опирался, привлекая, обучая, опекая и пестуя, на молодежь.
Общее число учеников Леонида Александровича - около 130 кандидатов и 15 докторов наук - это очень большая научная школа. Сложно назвать подобную региональную школу по точным наукам в нашей стране. Если бы не изменения в науке «механика», связанное с развитием промышленного программного обеспечения, число членов его научной школы превышало бы, на мой взгляд, сегодня 700-800 ученых. Но по этой причине и ряду организационных причин локального характера, к сожалению, она практически значительно не увеличилась, а средний возраст докторов наук значительно вырос.
Говоря сегодняшним языком у Леонида Александровича была очень высокая цитируемость, а его книга «Механика деформируемого твердого тела» (изданная в1979г.) [1] до сегодняшних дней является для читателя мостиком между фундаментальной и прикладной наукой в области механики деформируемого твердого тела (МДТТ).
Уровень по сегодняшним меркам практически «молодого ученого» был столь высок, что в 1973г. в Тульском политехническом институте прошла выездная сессия отделения механики и процессов управления Академии наук СССР (приуроченная к 50-летию Леонида Александровича), на которой выступили академики Л.И. Седов[2] , А.Ю. Ишлинский[3] , Ю.Н. Работнов [4], член-корреспондент А.А. Ильюшин[5]. Для молодого читателя напомню, что более непримиримых научных противников чем Л.И. Седов, А.Ю. Ишлинский, А.А. Ильюшин, в те годы не было. И их совместное присутствие на сессии и выступление до сих пор многое говорит о научном весе и человеческих качествах Леонида Александровича. На меня, третьекурсника, произвела огромное впечатление возможность увидеть великих вживую и услышать доклады ведущих ученых страны.
Все годы Леонид Александрович и его ученики выполняли большие объемы заказных работ для разных отраслей промышленности. Причем это было внедрение фундаментальных результатов школы Леонида Александровича в промышленность. Участвуя в таких работах, студенты (я работал на таких договорах с 3-го по 6 курс) и аспиранты начинали понимать, что нужно промышленности и как фундаментальные научные результаты используются промышленностью.
На мой взгляд, по прошествии уже большого промежутка времени научное наследие Леонида Александровича востребовано наукой и промышленностью, т.к. он считал необходимым сочетать получение фундаментальных научных результатов с их внедрением в промышленность (включая получение результатов в рамках прикладных исследований на базе фундаментальных). На такой подход он старался ориентировать своих учеников. Леонид Александрович прикладывал значительные усилия, чтобы такое сочетание дисциплин присутствовало и в учебном процессе, иногда на уровне «факультатива».
У школы Леонида Александровича был «свой» журнал (сборник), в котором публиковались не только его ученики (моя первая публикация с благословения Леонида Александровича вышла на 5 курсе [6]), но практически все ученые, планирующие защитить докторскую диссертацию по МДТТ.
И был свой легендарный семинар, на котором считали крайне важным выступить практически все, кто планировал защитить докторскую диссертацию по МДТТ; и многие кто планировал защитить кандидатскую диссертацию по МДТТ (кому давал на такое выступление согласие Леонид Александрович). На этих семинарах молодые ученики Леонида Александровича видели и в меру своих знаний и способностей пробовали понять практически все проблемы современной механики (для меня была крайне сложна пластичность при конечных деформациях).
Леонид Александрович практически четверть века был членом профильного экспертного совета ВАК. Такая долголетняя сложная общественная работа возможна при энциклопедических знаниях, понимании проблем и задач фундаментальной и прикладной науки, их связи и путях развития.
Леонид Александрович уже в начале 70-х годов прошлого века понимал значимость внедрения в процесс научных исследований и в выполнение работ для промышленности вычислительной техники (на его кафедре уже в 1973 г. была ЭВМ «Наири», а в вычислительном центре института были ЭВМ «Мир» и ЭВМ «Минск», на которых проводили нетривиальные расчёты ученики Леонида Александровича с использованием своих программ для ЭВМ, (также и я с конца первого курса работал на ЭВМ «Мир», иногда и на ЭВМ «Минск», благодаря организационной поддержке В.В. Глаголева, решая сложную и очень объемную по вычислениям задачу о нелинейно-упругой сфере в поле массовой силы при конечных деформациях, поставленную Г.С. Тарасьевым и частично вошедшую в его докторскую, а с 3-го курса на ЭВМ «Наири»).
Резюмируя, отмечаем, что Леонид Александрович задолго до эпохальных изменений в науке, связанных со взрывным развитием вычислительной техники, созданием новых технологий, промышленного программного обеспечения и значительным изменением роли науки «механика» интуитивно это предвидел и стремился ориентировать своих учеников на внедрение фундаментальных результатов в промышленное использование в виде методик, а где было возможно - и программ для ЭВМ.
Какие изменения в науке «механика» произошли?
Эти изменения связаны, как ранее отмечалось в [7], с тем, что в условиях Индустрии 4.0 (и начинающегося перехода к Индустрии 5.0), автоматизируются не только физические, но и интеллектуальные промышленные операции. Поэтому при проектировании новых материалов (особенно метаматериалов, умных материалов, композитов), новых изделий, сооружений, технологических операций (включая аддитивное производство) существенно изменилась роль специалистов в области механики деформируемого твердого тела (МДТТ). Следует отметить, что МДТТ исторически была основой для проведения поверочных прочностных расчетов при проектировании новых изделий и принятия решения о ресурсе изделия на основе данных мониторинга в процессе эксплуатации.
Появилась возможность полностью автоматизировать процесс решения дифференциальных уравнений, описывающих постановку задачи, включая связанные. Это выполняют [7-11] с использованием пакета для инженерного анализа, который является цифровым средством производства (САЕ - Computer-aided engineering). Расчетчик, конструктор, исследователь задает конструкцию (ее CAD- модель) и внешние усилия (в терминах МДТТ граничные условия), описание материалов (в терминах МДТТ определяющие соотношения) и автоматически проводится расчет, если выбрана теории прочности, то определяются и «потенциальные зоны разрушения» при закритическом сценарии нагружения. То есть одна из основных функций расчетчика, исследователя полностью автоматизирована. А это значит, что должны измениться и изменяются компетенции в области МДТТ как ученого, так и проектировщика, и это следует учитывать при подготовке профильных кадров, включая специалистов высшей квалификации [7,12].
У Леонида Александровича еще в 70г прошлого века было глубокое и четкое понимание того, что подобное может произойти (вспомним ЭВМ «Наири» на кафедре, ЭВМ «Мир» и ЭВМ «Минск» в вычислительном центре). К этому пониманию следует добавить требование к своим ученикам внедрять результаты фундаментальных исследований в промышленность и (или) создавать подобную возможность, когда возникнет потребность в будущем.
Подобное понимание было и у академика Л.И. Седова, который образно говорил о необходимости иметь «альбом форм», т.е. большой набор результатов расчетов (особенно для закритических сценариев нагружения с разрушением) для различных случаев нагружения, что значительно ускоряло моделирование в случае необходимости.
Второе высказывание Л.И. Седова: «наука - дама капризная и непредсказуемая, поэтому для нее надо иметь полный шкаф нарядов разного фасона и размера». Имелась в виду необходимость создавать и развивать различные теории и проводить расчеты на их основе, которые впоследствии будут валидированы промышленностью по мере ее развития и после этого войдут в промышленный процесс проектирования изделий на стадии моделирования.
Отмечу что так и случилось с теорией многократного наложения больших деформаций.
Изменения при практическом решении задачи МДТТ и теории прочности после внедрения САЕ _в расчетную практику [7,13-18]_
№ До 1995 г. — до внедрения САЕ в расчетную практику После 1995 — после внедрения САЕ в расчетную практику
1 Механическая постановка задачи. Механическая постановка задачи (САБ-модель, материал, внешние воздействия)
2 Математическая постановка задачи(в общем случае -система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с граничными и начальными условиями) Считается, что общая математическая постановка задачи есть внутри пакета и автоматически адаптируется под конкретную задачу.
3 Решение системы дифференциальных уравнений (обычно одним из методов для получения приближенного решения с тем или иным обоснованием единственности и сходимости) Расчет в пакете (обычно МКЭ), оценка инженерной сходимости средствами пакета [3-8]
4 Оценка НДС, на ее основе выделение «опасных областей» в соответствии с выбранным критерием Получение (в любом виде; обычно графическое, включая 3D) полей параметров НДС и практически автоматический вывод об «опасных областях» в соответствии с выбранными критериями
Таким образом, произошли значительные изменения в востребованности результатов ученых-механиков как в фундаментальной, так и в прикладной науке (особенно с учетом того, что практически общепринятыми стали сквозное проектирование изделия и унификация методик проектирования, создание «цифровых двойников», оцифровка имеющихся технических архивов и вовлечение их в моделирование [7]).
Отметим, хотя это не относится к формату статьи и направлению журнала, что такая ситуация приводит к изменению (и уменьшению) финансирования работ в области «привычного понимания МДТТ», отнесения «Механики» к техническим наукам (разделу «Техника») и т.д.
Напомним, что статья имеет методический и частично обзорный характер, поэтому в ней содержатся ранее опубликованные материалы [7, 19, 20,21].
Отметим, особенного для начинающего исследователя, что все приведенные далее результаты решения наукоемких практически важных задач получены с использованием пакета Фидесис (часть задач решены сотрудниками предприятий, использующих пакет Фидесис в рамках их производственной деятельности), без записи математической постановки задачи. Это стало возможным после увеличения функционала пакета Фидесис за счет теории многократного наложения больших деформаций [22-28], методики оценки эффективных характеристик метаматери-алов [29,30], решения задач при больших пластических деформациях и их перераспределении [7]. Поэтому в статье практически не приводятся уравнения, так как они и методы их решение уже содержатся в пакете. Еще раз отметим, что такая реализация позволяет расчетчикам и исследователям самостоятельно решать необходимые задачи без глубокого понимания и детальной проработки математической постановки задачи и механической в части записи уравнений равновесия (движения) граничных и начальных условий.
Последнее иллюстрирует результаты внедрения фундаментальных результатов (в том числе и автора) в промышленность, на что всегда ориентировал своих студентов и аспирантов Леонид Александрович.
По мнению автора, реализация в САЕ фундаментальных результатов МДТТ является новым и востребованным направлением деятельности ученных - механиков, позволяющим переформатировать, сохранить и развивать научные коллективы.
1. Моделирование процесса образования детали с помощью аддитивных технологий на примере лазерного спекания (ЛС) [7]
Приведем для наглядности результат расчета для случая послойного изготовления изделия (крепления автомобильного руля). Заданная форма изделия (CAD-модель) показана на рис. 1. Материал изделия - углеродистая сталь. Температура основания 100 °C, температура присоединяемого слоя 1100 °C. Температура, до которой остывает слой, прежде чем к нему присоединяется следующий слой - 1000 °С. Количество слоев - 121.
Рис. 1. Заданная форма изделия аддитивного производства
Рис. 2. Распределение истинных остаточных напряжений по Мизесу в изделии аддитивного производства
после его изготовления
Верификация функционала пакета для его использования для моделирования использования для аддитивных технологий проводилось (дополнительно к стандартным решениям) на основе точных решений задач теории многократного больших деформаций, полученных автором совместно с коллегами. Использовалось решение следующих задач [31-37]:
об изгибе составного бруса с предварительно деформированными слоями из ортотропного сжимаемого
материала;
об изгибе составного бруса с предварительно деформированными слоями с учетом распределенных дислокаций;
задачи о двухосном растяжении-сжатии составной плиты из нелинейно-упругого сжимаемого микрополярного материала, образованной распрямлением дугообразных слоев;
задачи Ламе для полой сферы из нелинейно-упругих материалов при больших деформациях; о поэтапной деформации растяжения-сжатия и кручения многослойного цилиндра из несжимаемого гипоупругого материала;
о двухосном растяжении-сжатии составной плиты из несжимаемого нелинейно-упругого материала, образованной распрямлением дугообразных слоев;
задачи Ламе для полой сферы из упругопластического материала при больших упругих и пластических деформациях
обобщенной задачи Ламе-Гадолина для полой трубы из ортотропного сжимаемого нелинейно-упругого
материала.
Приведем также описание натурного эксперимента [38], с которым проводилось сравнение при численном моделировании послойного изготовления изделия аддитивного производства. Изделие в форме бруса размером
(45 мм х 6 мм х 5 мм) с вырезами печатается на цилиндрической платформе радиусом 50мм и высотой 20 мм. Форма вертикального сечения бруса и платформы представлена на рис. 3. Температура порошка для печати TI-6AL-4V считается равной 26 С0. На основании платформы в процессе печати поддерживается постоянная температура 150 С0. Мощность лазера составила 200 Вт, время воздействия лазера 40 мкс, толщина слоя печати 60 мкм. После печати изделия медленно выполняется горизонтальный разрез в его верхней части. В результате накопленных остаточных напряжений в изделии происходит вертикальный изгиб верхней надрезанной части изделия. Измеренные перемещения верхней грани изделия в процессе эксперимента [34] представлены на рис. 4.
Численное моделирование проводилось в плоско-деформированном состоянии на сетке и геометрии, представленных на рис. 3. Для расчета использовались 10 слоев изготовления изделия. При моделировании несколько слоев печати объединялись в один слой изготовления, к которому передавалось количества тепла, равное передаваемому лазером при печати всех слоев внутри слоя изготовления. Расчет распределения температуры в слое проводился путем решения нелинейного уравнения теплопроводности с параметрами модели (коэффициент теплопроводности, коэффициент теплового расширения и другие), зависящими от температуры. После расчета распределения температуры в слое полученные температурные деформации использовались как начальные деформации при добавлении данного слоя к телу с накопленными деформациями на предыдущих шагах печати.
На рис. 5 показаны вычисленные вертикальные перемещения в сечении изделия аддитивного производства после выполнения надреза.
На рис. 6 приведены вычисленные вертикальные перемещения верхней грани изделия при малых деформациях (пунктирная линия) и при конечных деформациях (сплошная линия).
Полученные при численном моделировании результаты хорошо согласуются с результатами натурного эксперимента, что подтверждает корректность подхода к анализу напряженно-деформированного состояния и расчету остаточных напряжений в изделии аддитивного производства, изготовленного методом селективного лазерного спекания, на основе теории многократного наложения конечных деформаций.
Рис. 3. Вертикальное сечение изделия и платформы с конечноэлементной сеткой
Measured Deflections for Ti64 Double Cantilevers
S 0.20
-0.10 20.0
№
¥у
—•—Specimen 5 -•-Specimen 6 —-Specimen 7 —-Specimen в -^t—Mean Curve
-15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0
Distance from centre of double cantilever (mm)
Рис. 4. Вертикальные перемещения верхней грани изделия по результатам натурного эксперимента [34]
и расчета в CAE Fidesys (сплошная линия)
101
•1.«М2---1.Ж>е-<)2
Рис. 5. Вычисленные вертикальные перемещения в сечении изделия аддитивного производства после
выполнения надреза
Рис. 6. Вычисленные вертикальные перемещения верхней грани изделия (мм) при малых деформациях (пунктирная линия) и при конечных деформациях (сплошная линия) в зависимости от расстояния до центра
балки (м)
2. Моделирование развития больших пластических деформаций во вращающемся диске [7, 19]. Полученный механический эффект - локализованная утяжка диска, характеризующаяся развитием нелинейной упругопла-стической неустойчивости
Определение разрушающих частот вращения и остаточных удлинений дисков газотурбинных двигателей (ГТД) является обязательным требованием при их проектировании и сертификации. С этой целью проводятся натурные разгонные испытания дисков или роторов. Ниже приведены результаты моделирования с использованием пакета Фидесис процесса раскрутки модельного диска под действием постепенно увеличивающейся центробежной нагрузки с учетом физической и геометрической нелинейностей [7, 19, 39].
Моделирование выполнялось как квазистатический пошаговый расчет диска при увеличении внешней нагрузки на расчетную модель. Учитывалось, что для большинства конструкционных сплавов, используемых при изготовлении дисков ГТД, данный процесс сопровождается развитием больших пластических деформаций вплоть до разрушения. Не приводя математическую постановку задачи (она есть в пакете Фидесис, см. п.2 табл. 1), отметим, что для связи напряжений с деформациями используются определяющие соотношения гиперупругопластичности. Используется классический критерий пластичности Губера - Мизеса, записанный в терминах напряжений Кирхгоф-фа с мультилинейной функцией изотропного упрочнения. Замыкающими уравнениями являются условия Куна-Таккера, из которых определяется множитель совместности.
Сравнение с экспериментом (валидация). Объектами экспериментального исследования являлись две заготовки диска, отрезанные от прутка диаметром 330 мм из стали ЭИ961-ш. Из первой заготовки был изготовлен модельный диск для разгонных испытаний (рис. 7, а), а из второй - десять цилиндрических образцов для испытаний на разрыв для построения функции упрочнения.
Разгонные испытания диска проводились при нормальной температуре в один этап до разрушения на фрагменты. В процессе проведения испытания выполнялись записи частоты вращения и удлинения наружного диаметра диска. Объект разрушился при частоте вращения 24282 об/мин, при этом удлинение наружного диаметра диска в момент разрушения составило 4,4 мм. На рис. 5, б показан разрушившийся модельный диск. Первичное разрушение произошло по цилиндрическому сечению на радиусе R=55 мм.
Оценка несущей способности диска по теории предельного равновесия показала, что разрушение диска наступает в цилиндрическом сечении на радиусе R=5б мм при частоте вращения 23100 об/мин, что удовлетворительно совпадает с результатами испытаний.
Рис. 7. Эскиз модельного диска (а) и характер его разрушения (б)
Результаты моделирования. Расчетная модель диска представляет собой сектор с углом в основании 90° (рис. 8). По меридиональным сечениям сектора задано граничное условие в виде равенства нулю окружных перемещений. К каждому узлу расчетной! модели прикладывалась центробежная сила, пропорциональная квадрату частоты вращения и текущему радиусу,^ = рт2Г . Для построения функции упрочнения было выполнено перестроение условной кривой деформирования в истинную в соответствии с допущением о постоянстве объема рабочей части образца до и после пластического деформирования.
Рис. 8. Конечно-элементная сетка модельного диска
Одним из характерных наблюдаемых в натурных экспериментах явлений, возникающих непосредственно перед разрушением диска, является локализованная «утяжка» диска, являющаяся аналогом «шейки» в образце и характеризующаяся развитием нелинейной упругопластической неустойчивости.
Результаты расчета (расчет проводился в пакете Фидесис с использованием метода спектральных элементов (МСЭ [18]); МСЭ промышленного реализован только в пакете Фидесис) удлинений наружного диаметра модельного диска и их сопоставление с экспериментальными данными представлены на рис. 9. Видно, что кривые согласуются между собой. Начиная с частоты вращения 20000 об/мин происходит существенное изменение скорости роста удлинений модельного диска, а при приближении к разрушающей частоте вращения зависимость близка к вертикальной линии. При частоте вращения ю = 24375 об/мин, близкой к разрушению, максимальные пластические деформации локализуются на радиусе диска R = 50 - 60 мм с образованием «утяжки» (рис. 10 и 11), что согласуется с зоной разрушения модельного диска.
3. Оценка механических характеристик метаматериала на примере качестве метаматериалов с отрицательным коэффициентом теплового расширения (на примере NTE-метаматериалов) [7]
Наукоемкие разработки [7, 10, 23, 24, 30], реализованные в модуле «Композит» пакета Фидесис, позволили провести моделирование для оценки механических характеристик метаматериалов (композиционных материалов-конструкций), осуществить подбор геометрических параметров ячейки, чтобы добиться как отрицательного эффективного коэффициента теплового расширения, достаточно большого по модулю, так и близкого к нулю эффективного коэффициента [7].
При моделировании учитывалось, что свойства таких материалов определяются в первую очередь их геометрической (ячеистой) микроструктурой, а не свойствами входящих в их состав компонент [7, 40]. Ниже в качестве примера приведены результаты для метаматериалов с отрицательным коэффициентом теплового расширения [40 -44]. По международной терминологии такие метаматериалы называются NTE-метаматериалы (negative thermal expansion). NTE-метаматериалы при нагревании сжимаются. На взгляд автора, наибольший практический интерес
представляют метаматериалы, которые при нагревании и охлаждении не меняют своих размеров. В настоящее время такие материалы, как правило, изготавливаются с помощью 3D-печати [44] из двух и более компонент с различными механическими и тепловыми свойствами: более жёсткие с меньшим коэффициентом теплового расширения и более мягкие с большим коэффициентом. Следует отметить, что у компонент коэффициенты теплового расширения положительны.
Модуль «Композит» пакета Фидесис позволяет проводить оценку эффективных тепловых характеристик ЭТЕ-метаматериала на основе численного решения краевой задачи термоупругости на ячейке периодичности с заданием периодических граничных условий с осреднением по объёму. Пользователь пакета в качестве результата получает эффективные коэффициенты теплового расширения.
Для построенных ячеек проведён ряд численных экспериментов [7, 10, 23, 24], в которых показано влияние геометрических параметров модели на коэффициент теплового расширения метаматериала. Свойства компонент при этом задавались модулем Юнга, коэффициентом Пуассона и коэффициентом теплового расширения.
пргижчшя , оГ>/мии .10*
Рис. 9. Расчетная и экспериментальная кривые удлинения наружного диаметра модельного диска
в зависимости от частоты вращения
леи о к Он» а [и а.1 а ч
Рис. 10. Распределение пластических деформаций в диске при частоте вращения ы = 24375 об/мин
(размерность на шкале - отн.ед.)
Рис. 11. Распределение осевых перемещений в модельном диске при частоте вращения ы = 24375 об/мин
(размерность на шкале - м)
В ходе исследования рассматривается модель ячейки из двух материалов: меди (жёсткой, но с меньшим коэффициентом теплового расширения) и полимера (мягкого, но с большим коэффициентом теплового расширения) с большим количеством пустот. На рис. 12 приведена структура ячейки такого метаматериала. Черным цветом изоб-
104
ражена медь (более твёрдая компонента с меньшим коэффициентом теплового расширения), серым - полимер (более мягкая компонента с большим коэффициентом теплового расширения).
Для этой модели метаматериала построены графики зависимости эффективного коэффициента теплового расширения от геометрических параметров - угла наклона полимерных стержней к медному контуру. Эти расчеты произведены для разных комбинаций параметров исходной модели: толщины контура ячейки, толщины полимерного стержня и толщины диагональных медных стержней. Также произведен расчет на устойчивость данной ячейки к тепловым деформациям. По результатам которого был определен температурный диапазон, в пределах которого эта структура применима. Для модели, состоящей из двух материалов: меди и полимера, были построены графики зависимости коэффициента теплового расширения от угла а при определенной толщине рамки. Анализ зависимостей этих коэффициентов от параметров модели показал следующие результаты. Во-первых, существует возможность подбора параметров ячейки, при которых метаматериал имеет нулевой эффективный коэффициент теплового расширения - то есть при изменении температуры сохраняет свои размеры. Во-вторых, при определённых комбинациях параметров эффективный коэффициент - отрицательный, а модуль его достаточно большой (равен коэффициенту теплового расширения полимера). На рис. 13 представлена зависимость коэффициента теплового расширения (единица измерения К-1) от угла наклона между медным контуром и полимерным стержнем. На графике введены следующие обозначения: толщина медного контура ячейки - Т, толщина полимерного стержня - Р, толщина медной диагонали - С. Размеры приведены в отношении к общему размеру ячейки. Проводились численные исследования, в которых толщина контура варьировалась в пределах от 0,03 до 0,09, толщина полимера - от 0,025 до 0,075, толщина диагонали - от 0,05 до 0,09. В расчётах задавались следующие свойства меди: модуль Юнга 1.Ы05 МПа, коэффициент Пуассона 0.35, коэффициент теплового расширения 1.6710-5 К-1. Свойства полимера: модуль Юнга 104 МПа, коэффициент Пуассона 0.45, коэффициент теплового расширения 1.5^10-4 К-1.
';UU+ Dj
-i.00f.04
The angle between the contour and the polymer rod, degrees
Рис. 13. Зависимость коэффициента температурного расширения (K'1) от угла наклона между медным
контуром и полимерным стержнем
Результаты расчётов показывают, что подбор геометрических параметров ячейки указанной формы позволяет добиться как отрицательного эффективного коэффициента теплового расширения, достаточно большого по модулю, так и близкого к нулю эффективного коэффициента.
4. Оценка метанообильности угольного пласта на основе анализа НДС в этом пласте вблизи штрека
Оценка деформаций угольного пласта в зависимости от давления метана (с учетом изменения проницаемости) внутри него позволяет расширить возможности геомеханического моделирования [10, 20] и уточнить рекомендации к параметрам горнопроходческих работ.
Моделирование и расчет параметров НДС в рамках модели осуществляется в 2 этапа.
На первом этапе находятся эффективные механические характеристики [10, 21]. Далее на основе найденных эффективных механических параметров в подобластях решается геомеханическая задача о нахождении НДС во
всей области. После этого на основе рассчитанных глобальных напряжений решаются серии задач о нагружении матрицы и трещин в каждой из подобластей для определения деформаций внутри матрицы материала блоков и раскрытий трещин между ними, соответствующих текущему локальному НДС в окрестности конкретной грани блока. Рассчитанные деформации матрицы и раскрытия трещин используются при вычислении проницаемостей угольного пласта на основе подходов [7, 10, 45, 46]. Рассчитанные проницаемости (матрицы и межблочных трещин) передаются в газодинамический симулятор на основе модели двойной проницаемости [47, 48], который определяет поле давлений метана во всей модели. Затем на основе рассчитанных давлений в матрице и трещинах определяется среднее давление в эффективном континууме и повторяется расчет НДС и параметров геомеханической модели.
Пример расчета проницаемости для очистного забоя в угольном пласте. Данные о геометрии и свойствах модели очистного забоя приведены на рис. 14.
Т
№hctbw заЬон шнрнча варьируется от 4м>Яч
Рис. 14. Геометрия и свойства модели очистного забоя
Параметры модели. Размер куба 500 на 500 метров. Геометрия штрекового канала - периметр прямоугольника размерами 100 на 150 метров. Внутреннее сечение штрека: 4 на 4 метра. Количество ячеек 27 Х 104 Х 1. Свойства газодинамической модели: Проницаемость куба - 10 мД. Давление в толщи угольного пласта - 200 атм. Давление в штреке - 1 атм. Реализованы открытые граничные условия с постоянным давлением 200 атм и индексом продуктивности 340.56 мЗ/сутки/атм (поверхностные условия). Свойства геомеханической модели: коэффициент Пуассона - 0,4; модуль Юнга - 20 Мпа. Продолжительность расчета 480 минут с шагом 1 минута. При расчетах на основе газодинамической модели использовался модуль ECLIPSE Compositional ESMB3. На рис.15 приведено распределение давления на первом шаге расчетов.
Рис.15. Распределение давления на первом шаге расчетов
106
Результаты расчетов параметров газового потока приведены на рис. 16.
70 60 50 | 10 9 30 20 10 0
Выделение метена в угольном пласте при различных сопряженийя
— 1_51ер 40_51ер5 120_51ер5
—
240_51ер5
15 1.3 1.1 0.9
х
х
1,0.7
СП 1
о.ь
0.3 0.1
-од о
Въ^деление метана а угольном пласте при различных сопряжениях
—
240_Яер*
н -----.----
гоа,й„уты зоо
200 300
минуты
Рис. 16. Графики выделения метана в угольном пласте при различных сопряжениях. 1_step - без сопряжения. 40_steps - 60 шагов сопряжения газодинамического и геомеханического симуляторов, каждый 12 расчетный шаг газодинамического симулятора 120_steps -120 шагов сопряжения, 240_steps - 240 шагов сопряжения
Графики свидетельствуют о том, что временной интервал истечения газа из зоны разгрузки в очистной забой равен примерно одному часу.
Также была решена задача о зависимости метанообильности от расстояния от штрека до угольного пласта [20,49]. Использовалась механическая модель, приведенная на рис. 17.
АРГИЛЛИТ
Угольный пласт Толщина - 4 м Е—20 Мпа. р=10 Мпа
у=0,1
Проходческий штрек 4*4 м
в центре модели
Рис. 17. Механическая модель угольного месторождения, использованная при расчете метанообильности
При расчетах использовались следующие значения параметров проницаемости пород (коэффициенты фильтрации Кф и проницаемости Кп и абсолютная проницаемость К):
1. Уголь. Кф = 1.2 х 10 -5 м/с, Кп = 1.2 х10-12 м2 или К = 10 мД (миллидарси)
2. Вмещающие породы: Кф = 1.2х10-3 м/с, Кп = 1.2х10-10 м2 или К = 300 мД.
Рис. 18. Изменение интенсивности выделения метана по мере удаления от угольного пласта. Результаты
численного моделирования
Модели были просчитаны при давлении на верхнюю грань порядка 200 МПа (это соответствует глубине около 1000 м). В пласте угля начальное давление газа было принято равным 1.5 Мпа (15 атм). Во вмещающей породе - 0.1 Мпа (1 атм).
Для расчета была построена сопряженная трехслойная газодинамическая и геомеханическая модель угольного пласта с изменяющейся проницаемостью угля в зависимости от геомеханических напряжений и пластового давления газа.
Были произведены расчеты для четырех положений штрека относительно угольного пласта: 180 м, 80 м, 60 м и 20 м. На основе результатов расчетов был построен график зависимости метановыделения от расстояния до пласта (рис. 18). Отметим его близость к экспериментальному графику из работы [50] (рис. 19).
В заключение автор отмечает, что все приведенные примеры показывают возможность ученого-механика, инженера- расчетчика проводить сложные расчеты для нелинейных задач без необходимости самостоятельно выписывать систему уравнений, описывающую постановку задачи, и решать ее. Это подтверждает значительное (возможно, кардинальное) изменение характера работы специалистов и требований к их навыкам. Такие изменения происходят практически во всех отраслях научно-технической деятельности в рамках Индустрии 4.0
X, н
Рис. 19. Изменение интенсивности выделения метана по мере удаления от угольного пласта.
Экспериментальные данные [50]
Дополнительно воспоминания автора о Леониде Александровиче приведены в [51] Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. к 90-летию Леонида Александровича Толоконникова и в [52].
Список литературы
1. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела: учеб. пособие для вузов. М. Высшая школа,1979. 318 с.
2. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Госфизматлит, 1962. 284 с.
3. Баренблатт Г. И., Ишлинский А. Ю., Черноусько Ф. Л. Об ударе вязко-пластического стержня о жёсткую преграду // Прикл. математика и механика. 1962. Т. 26, вып. 3. С. 497—502.
4. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 753 с. 5.Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
6. Левин В.А. Вариант нелинейной связи интенсивности напряжений и деформаций для вязкоупругого материала / Работы по механике сплошной среды. Тула: ТулПИ, 1975
7. Левин В.А. Цифровое средство производства - пакет для прочностного инженерного анализа как инструмент трансфера фундаментальных научных результатов в промышленность на примере пакета Фидесис и теории многократного наложения больших деформаций // Изв. РАН. МТТ. 2023. № 2. С. 90-114.
8. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. - Ansys в руках инженера. М.: Едиториал УРСС, 2004. 272
с.
9. Морозов Е.М., Левин В.А., Вершинин А.В. Прочностной анализ. Фидесис в руках инженера. М.: URRS, 2015. 400 с.
10. Официальный сайт Cae-fidesys. [Электроонный ресурс] URL: https://cae-fidesys.com (дата обращения: 10.05.2023).
11. Официальный сайт prove.design [Электроонный ресурс] URL: https://prove.design (дата обращения: 10.05.2023).
12. Федеральный закон от 28 июня 2022 г. N 195-ФЗ «О внесении изменений в Федеральный закон "О науке и государственной научно-технической политике». [Электроонный ресурс] URL: https://rg.ru/documents/2022/06/30/document-nauka.html (дата обращения: 10.05.2023).
13. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. V. 1. The basis. L.: Butterworth-Heinemann, 2000. 707 p.
14. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. V. 2. Solid mechanics. L.: ButterworthHeinemann, 2000. 479 p.
15. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Sherwin S.J., Peiro' J. On discontinuous Galerkin methods // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2003. V. 58, № 8. P. 1119-1148.
16. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. 6th ed. Amsterdam: Elsevier, 2005.
17. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J. Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. 6th ed. Amsterdam: Elsevier, 2005.
18. Нелинейная вычислительная механика прочности 5-ти томный цикл монографий (под. редакцией В.А. Левина) (Предисловие к 5-ти томному циклу монографий академика Г.И. Марчука) Том 2. Левин В.А., Вершинин А.В. Численные методы. Реализация на высокопроизводительных вычислительных системах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. 543с.
19. Абрамов С.М., Амелькин С.А., Клюев Л.В., Крапивин К.Ю., Ножницкий Ю.А., Серветник А.Н., Чич-ковский А.А. Использование программы Фидесис для моделирования развития больших пластических деформаций во вращающемся диске. Чебышевский сборник. 2017. 18 Вып.3: Номер журнала посвящен юбилею профессора Московского университета В.А. Левина с. 15-27. DOI: 10.22405/2226-8383-2017-18-3-15-27.
20. Лапин С.Э., Писецкий В. Б. К разработке геоинформационной панели безопасности подземных горных работ на основе связанных решений по прогнозу развития напряженного состояния массива горных пород и газовых потоков. Чебышевский сборник. Т. 18. Вып. 3. Номер журнала посвящен юбилею профессора Московского университета В.А. Левина. С. 350-362.
21. Myasnikov A., Vershinin A., Sboychakov A. A Generalization of Geomechanical Model for Naturally Fractured Reservoirs. 2016. Conference: SPE Russian Petroleum Technology Conference and ExhibitionAt: Moscow, RussiaVolume: SPE-182033-MS.
22. Левин В.А., Тарасьев Г.С. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний // ДАН СССР. 1980. Т. 215. № 1.
23. Нелинейная вычислительная механика прочности. 5-ти томный цикл монографий (под. редакцией В.А. Левина). Том 1. Левин В.А. Модели и методы. Образование и развитие дефектов (предисловие академика Г.И. Марчука). М.: Физматлит, 2015. 454 с.
24. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах (предисловие академика Л.И. Седова). М.: Наука, Физматлит, 1999. 223 с.
25. Левин В.А. Концентрация напряжений около кругового в момент образования отверстия в теле из вяз-коупругого материала. Доклады Академии Наук СССР, 1988, том 299, № 5. С. 1079-1082.
26. Левин В.А., Морозов Е.М. Нелокальные критерии для определения зоны предразрушения при описании роста дефекта при конечных деформациях // Доклады РАН. 2007. Т. 415. № 1.
27. Левин В.А., Лохин В.В., Зингерман К.М. Рост узкой щели, образованной в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле. Анализ с помощью теории многократного наложения больших деформаций // Доклады РАН. 1995. Т. 343. № 6. С. 764-766.
28. Левин В.А., Морозов Е.М. Нелокальный критерий прочности. Конечные деформации // Доклады РАН. 2002. Т. 346. № 1. С. 62-67.
29. Левин В.А., Зингерман К.М. О построении эффективных определяющих соотношений для пористых упругих материалов при конечных деформациях и их наложении // Доклады РАН. 2002. Т. 382. № 4. С. 482-487.
30.Yakovlev M.Y., Tanasevich P., Vershinin A.V., Levin V.A., Zingerman K.M. Application of the Finite Element Method to Modeling the Effective Mechanical and Thermomechanical Properties of Metamaterials of the 3D Lattice Structure // Proceedings of NAFEMS World Congress 2021. P. 403.
31. Levin V.A., Zubov L. M., Zingerman K. M. The torsion of a composite, nonlinear-elastic cylinder with an inclusion having initial large strains // Int. J. Solids a. Struct. 2014. V. 51. № 6. P. 1403-1409.
32. Levin V.A., Zubov L. M., Zingerman K. M. An exact solution for the problem of flexure of a composite beam with preliminarily strained layers under large strains // Int. J. Solids a. Struct. 2015. V. 67--68. P. 244--249.
33. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. An exact solution for the problem of flexure of a composite beam with preliminarily strained layers under large strains. Part 2. Solution for different types of incompressible materials // Int. J. Solids a. Struct. 2016. V. 100, P. 558-565. DOI 10.1016/j.ijsolstr.2016.09.029.
34. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. Multiple joined prestressed orthotopic layers under large strains // International Journal of Engineering Science. 2018. V. 133. P. 47--59.
35. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. An exact solution to the problem of biaxial loading of a micropolar elastic plate made by joining two prestrained arc-shaped layers under large strains // European Journal of Mechanics. A/Solids. 2021. V. 88. Article Number 104237. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2021.104237.
36. Levin V.A., Podladchikov Y.Y., Zingerman K.M. An exact solution to the Lame problem for a hollow sphere for new types of nonlinear elastic materials in the case of large deformations // European Journal of Mechanics. A/Solids. 2021. V. 90. Article Number 104345. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2021.104345.
37. Zingerman K.M., Zubov L.M., Belkin A.E., Biryukov D.R. Torsion of a multilayer elastic cylinder with sequential attachment of layers with multiple superposition of large deformations // Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2022. DOI: 10.1007/s00161-022-01110-x.
38. Tripathy S., Chin C., London T., Ankalkhope U., Oancea V. Process Modeling and Validation of Powder Bed Metal Additive Manufacturing. Conference NAFEMS World Congress. 2017. [Электронный ресурс] URL: https://www.researchgate.net/publication/319173249 Process Modeling and Validation of Powder Bed Metal Additive Manufacturing (дата обращения: 10.05.2023).
39. Levitas V.I. Large Deformation of Materials with Complex Rheological Properties at Normal and High Pressure. New York: Nova Science Publ. 1996. 374 p.
40. E. Barchiesi, F. Dell'Isola, F. Hild. On the Validation of Homogenized Modeling for Bi-Pantographic Metamaterials via Digital Image Correlation. International Journal of Solids and Structures, Elsevier, 2021, 208-209. P. 49-62. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2020.09.036.
41. F. dell'Isola, A. Della Corte, I. Giorgio and D. Scerrato "Pantographic 2D sheets: Discussion of some numerical investigations and potential applications", International Journal of Non-Linear Mechanics, vol. 80, 2016. P. 200-208.
42. Shubin S.N., Freidin A.B., Akulichev A.G. Elastomer composites based on filler with negative thermal expansion coefficient in sealing application. Arch ApplMech 86, 2016. P. 351-360 (2016). DOI: 10.1007/s00419-016-1120-1.
43. X.-L. Peng, S. Bargmann. Tunable auxeticity and isotropic negative thermal expansion in three-dimensional lattice structures of cubic symmetry. Extreme Mechanics Letters, 2021. 43, 101201. DOI: 10.1016/j.eml.2021.101201.
44. Q. Wang, J.A. Jackson, Q. Ge, J.B. Hopkins, C.M. Spadaccini, N.X. Fang. Lightweight Mechanical Metamaterials with Tunable Negative Thermal Expansion. Phys. Rev. Lett. 117, 175901 (2016). DOI: 10.1103/PhysRevLett.117.175901.
45. A. Gupta; G. Penuela; R. Avila. An Integrated Approach to the Determination of Permeability Tensors for Naturally Fractured Reservoirs. J Can Pet Technol 40 (12). Paper Number: PETS0C-01-12-02. DOI: 10.2118/01-12-02.
46. Costa A. Permeability-porosity relationship: A reexamination of the Kozeny-Carman equation based on a fractal pore-space geometry assumption. Geophysical Research Letters. V. 33, No. 2. Paper Number L02318. DOI: 10.1029/2005GL025134.
47. Bagheri M., Settari A. Modeling of Geomechanics in Naturally Fractured Reservoirs - SPE-93083-MS, SPE Reservoir Simulation Symposium, Houston, USA, 2005.
48. Bagheri M., Settari A. Effects of fractures on reservoir deformation and flow modeling // Can. Geotech. J. 43: 574-586 (2006) DOI: 10.1139/T06-024.
49. Писецкий В.Б. Прогноз устойчивости горного массива на основе метода сейсмической локации в процессах строительства подземных сооружений/ В. Б. Писецкий, В. В. Власов, В. П. Черепанов и др.// Инженерные изыска-ния. - М.: Изд-во Геомаркетинг, 2014. № 9-10. С. 46-51.
50. Ю.В. Шувалов, Г.И Коршунов, А.В. Монтиков, Р.С. Истомин, А.М. Суфияров, Е.П. Ютяев. Геомеханические и газодинамические процессы в угленосном массиве при высоких скоростях подвигания очистных забо-ев.Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). 2011. № 6. С. 80-88.
51. Левин В.А. Теория многократного наложения больших деформаций и ее промышленная реализация в полнофункциональной САЕ для прочностного инженерного анализа Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 156-178. Выпуск посвящен 90-летию со дня рождения Леонида Александровича Толоконникова.
52. РС: 50 лет движения к цели. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004.
Левин Владимир Анатольевич, д-р физ-мат. наук, профессор, v.a. levin@mail. ru, Россия, Москва, Московский государственный университет
THE MODERN DEVELOPMENT OF PROFESSOR L.A. TOLOKONNIKOV ON THE IMPLEMENTATION OF THE FUNDAMENTAL RESULTS OF STRENGTH MECHANICS IN THE INDUSTRIAL USE OF EXPANSION ON THE FIDESIS PACKAGE AND THE THEORY OF MULTIPLE IMPOSITION OF LARGE DEFORMATIONS
У.А. Levin
Modern development of the approach of Professor L.A. Tolokonnikov on the introduction of fundamental results of strength mechanics into industrial use on the example of the Fidesis package and the theory of multiple imposition of large deformations. VAn. Levin. The article is methodological and partly review in nature. The changes associated with the development of industrial software for engineering analysis are discussed. It is noted that within the framework of Industry 4.0 (and the beginning transition to Industry 5.0), intellectual operations are automated in the design of new materials, new products, structures, technological operations (including additive manufacturing), the role of specialists in the field of mechanics of deformable solids has changed. body. The approach of Professor L.A. Tolokonnikov on the introduction of the fundamental results of strength mechanics into industrial use, far ahead of his time. The modern implementation of this approach is discussed on the example of the Fidesis package and the theory of multiple imposition of large deformations.
Key words. Industrial software for engineering analysis, Industry 4.0, theory of multiple superposition of large deformations.
Levin Vladimir Anatolevich doctor of physical and mathematical sciences, professor, [email protected], Russia, Moscow, Moscow State University
