CC BY-NC
35
DOI: 10.24937/2542-2324-2020-1-S-I-73-81 УДК 629.5.035.5
В.А. Коршунов, Д.А. Пономарев, А.А. Родионов
Санкт-Петербургский государственный морской технический университет, Санкт-Петербург, Россия
СОВРЕМЕННАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ОПТИМИЗАЦИИ СИЛОВЫХ СХЕМ КОНСТРУКЦИЙ
Объект и цель научной работы. Рассмотрены возможности применения методов оптимизации и, как частный случай, топологическая оптимизация численных моделей для получения концептуальных силовых схем конструкций. Целью работы является получение облегченной конструкции винта подруливающего устройства, адаптированной для производства с помощью лазерных аддитивных технологий.
Материалы и методы. Оптимизация винта подруливающего устройства выполняется методом конечных элементов (МКЭ) с применением процедуры топологической оптимизации.
Основные результаты. Продемонстрированы возможности топологической оптимизации для поиска облегченных вариантов сложных и громоздких изделий, таких как гребные винты, создаваемых с помощью аддитивных технологий производства. Отдельно рассмотрена оптимизация лопасти и ступицы винта. Получены концептуальные силовые схемы конструкций. Выполнена адаптация силовых схем для получения конструкции винта, удовлетворяющей ограничениям по параметрам надежности и требованиям производства. В результате выполнения процедуры оптимизации снижение массы лопасти составило 16 % относительно ее исходной массы, а для ступицы - 30 %, что привело к снижению общей массы винта на 26 %.
Заключение. Полученные результаты показывают широкие возможности совместного использования процедуры топологической оптимизации и МКЭ для формирования концептуальных решений по силовым схемам конструкций, обеспечивающих гарантированное снижение массы и существенно отличающиеся от предлагаемых конструкторами на основании своего опыта.
Ключевые слова: топологическая оптимизация, метод конечных элементов, винт, лопасть, ступица, силовые схемы, аддитивное производство.
Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.
DOI: 10.24937/2542-2324-2020-1-S-I-73-81 УДК 629.5.035.5
V. Korshunov, D. Ponomaryev, A. Rodionov
St. Petersburg State Marine Technical University, Russia
UP-TO-DATE METHODOLOGY FOR OPTIMIZATION OF STRUCTURAL FORCE DIAGRAMS
Object and purpose of research. The paper studies possibilities of applying optimization methodologies for obtaining conceptual force diagrams of structures. The work purpose consists in obtaining a light-weight structure design of a thruster propeller adapted for production using laser additive technologies.
Materials and methods. Thruster propeller optimization is performed by the finite element analysis (FEA) with applying a topological optimization procedure.
Main results. Possibilities of topological optimization for searching for light-weight options of complicated and heavy products (such as propellers) created using production additive technologies are shown. Separately optimization of propeller blades and hubs is considered. Conceptual force diagrams of structures are obtained. The force diagrams are adapted for obtaining
Для цитирования: Коршунов В.А., Пономарев Д.А., Родионов А.А. Современная методология оптимизации силовых схем конструкций. Труды Крыловского государственного научнго центра. 2020; Специальный выпуск 1: 73-81. For citations: Korshunov V., Ponomaryev D., Rodionov A. Up-to-date methodology for optimization of structural force diagrams. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2020; Special Edition 1: 73-81 (in Russian).
a propeller structure satisfying restrictions by reliability parameters and production requirements. In the result of optimization the mass was decreased by 16 % relatively its initial mass for the blade, by 30% for the hub that caused the total propeller mass decrease equal to 26 %.
Conclusion. The obtained results show wide possibilities of joint use of the topological optimization procedure and FEA for forming conceptual solutions on structural force diagrams that provide guaranteed mass decrease and differ essentially from those proposed by designers based on their experience.
Keywords: topological optimization, finite element analysis, propeller, blade, hub, force diagrams, additive production. Authors declare lack of the possible conflicts of interests.
Введение
Introduction
В последнее время методы оптимизации конструкций стали активно внедряться в процесс проектирования изделий. В литературе часто встречаются различные названия методов оптимизации. Говорят о структурной, топологической, топографической, параметрической оптимизации, оптимизации формы, пластин переменной толщины, стержневых конструкций и т.п. Больше всего публикаций в последнее время связано именно с топологической оптимизацией. Попробуем разобраться в этом феномене.
Вообще под оптимизацией понимается решение математических задач на экстремум применительно к приложениям из области естествознания. Если речь идет о проектировании силовых конструкций, формализация задачи на экстремум предполагает: выбор переменных, используемых для определения характеристик конструкции и идентификации ее вариантов; установление допустимых границ изменений характеристик на основании предъявляемых к конструкции требований; определение количественного критерия, по которому выполняется сравнение вариантов конструкции для выбора наилучшего варианта.
Конструкция описывается набором независимых величин. Некоторые из них фиксированы и определяются внешними факторами, другие в процессе оптимизации изменяются. Величины, изменяемые в процессе оптимизации, являются переменными проектирования.
В задачах оптимизации конструкций чаще используется конечный набор переменных проектирования, которые образуют да-мерный вектор X = (x,,...^ }г. (1)
Переменные проектирования вместе с заданными параметрами однозначно определяют вариант конструкции.
Контроль напряженно-деформированного состояния некоторого варианта конструкции при за-
данных внешних воздействиях осуществляется с помощью переменных состояния: у = {у1,...уя}г. (2)
Получение допустимого варианта конструкции обеспечивается с помощью ограничений, накладываемых на переменные проектирования и переменные состояния.
Ограничения на переменные проектирования имеют явную форму и реализуют требования функциональности, технологичности, габаритных размеров. Они определяют верхнюю или нижнюю границы переменных проектирования.
Ограничения на переменные состояния отражают требования надежности. Переменные состояния зависят от переменных проектирования. Эти зависимости в задаче проектирования имеют неявный характер и формулируются в виде расчетных процедур в форме соотношений - уравнений состояния: Цх, у) = 0,
которые позволяют при заданном х определить у:
У = Р(х)
и проверить удовлетворение ограничений
У] < Р(х)1 <у- ] = 1,.--,и-
- С математической точки зрения ограничения как переменных проектирования, так и переменных состояния выражаются в виде системы неравенств Ах), < 0; i = 1,.,/, (3)
где / - количество ограничений неравенств. В задачах проектирования конструкций встречаются также ограничения равенства в общей форме Ах), = 0; , = / + 1,...Л , (4)
где k - полное количество ограничений.
Каждую переменную проектирования можно рассматривать как одну размерность в пространстве проектирования, а набор значений всех переменных проектирования - как точку в этом пространстве. Вариант конструкции, удовлетворяющий всем ограничениям (3) и (4), является допустимым.
В допустимой области существует бесконечное множество допустимых вариантов конструкции.
Задача проектирования состоит в отыскании лучшего, оптимального варианта. Для этого вводится однозначная функция переменных проектирования fx) - целевая функция, которая должна принимать экстремальные значения. В качестве функции цели принимается наиболее важное для рассматриваемой задачи требование к конструкции. Остальные требования принимают за ограничения. Чаще всего отыскивается минимальное значение целевой функции f(x) => min. (5)
Общая задача оптимизации состоит в отыскании такого вектора переменных проектирования (1), который минимизирует функцию цели (5) при ограничениях, заданных в виде неравенств (3) и равенств (4). Под решением задачи оптимизации может пониматься как локальный, так и глобальный минимум. Наибольший интерес в задачах оптимизации представляет глобальный минимум, как точка, в которой значение целевой функции не хуже, чем в любой допустимой, а не только в близлежащих точках. Однако при оптимизации конструкций
обычно ограничиваются отысканием локальных минимумов, поскольку глобальный минимум все равно выбирается из всех найденных локальных.
Приведенная выше математическая формулировка конечномерной однокритериальной задачи оптимизации является общей для всех, казалось бы, столь различных оптимизационных процедур: в оптимизации формы отыскивается форма контура детали и, как частный случай, вырезов, обеспечивающая допустимые значения концентрационных напряжений; в топологической оптимизации ищется конфигурация детали путем эффективного распределения минимально необходимого материала; в топографической оптимизации определяется необходимая жесткость пластинчатых и оболочеч-ных деталей за счет изменения рельефа срединной поверхности. В таблице приведены возможные варианты назначения переменных проектирования, переменных состояния, ограничений и функции цели для различных вариантов оптимизационных формулировок.
Варианты оптимизационных формулировок Options of optimized formulations
Характеристики задачи Параметрическая оптимизация Оптимизация формы Топографическая оптимизация Топологическая оптимизация Оптимизация стержневых систем
Переменные про ектирования Геометрические характеристики конструктивных связей Геометрические параметры, определяющие аналитическое описание формы Геометрические параметры, определяющие аналитическое описание формы срединной поверхности оболочки Фиктивная плотность связи (элемента) Геометрические характеристики поперечных сечений
Переменные состояния Параметры напряженно-деформированного состояния Параметры напряженно-деформированного состояния Параметры напряженно-деформированного состояния - Параметры напряженно-деформированного состояния
Ограничения Значения переменных проектирования и переменных состояния Значения переменных проектирования и переменных состояния Значения переменных проектирования и переменных состояния Занимаемый объем Значения переменных про ектирования и переменных состояния
Функция цели Возможны варианты, чаще масса конструкции Возможны варианты, чаще масса конструкции Возможны варианты, чаще податливость конструкции Податливость конструкции Возможны варианты, чаще масса конструкции
Математический аппарат методов оптимизации
Mathematical apparatus of optimization methods
Решение задач оптимизации выполняется итерационно, путем пересчета переменных проектирования. Для этих целей принято использовать необходимые условия оптимальности первого порядка, построенные на линейной аппроксимации функции цели и функций ограничений [1]:
lj + ¿цIj = 0; j = 1,...,m; hf (x) = 0, i = 1,...,l, (6)
где lt =
3f(x)
dx,
- коэффициент чувствительности -
компонент вектора градиента Vf (x); ljj =
fA
dx,
коэффициент чувствительности - компонент вектора градиента Yf(x).. Введем о(юзначение
„ = _у* ЦЛ X j ^ -=1 i '
(7)
Тогда с учетом (7) необходимые условия оптимальности (6)) примут вид
X = 1, j = 1,
(8)
х, ==, j = m
(10)
и получению так называемого полнонапряженного варианта конструкции с меньшим значением массы по сравнению с исходным вариантом.
В условии (9) вместо напряжений можно принять любой другой параметр состояния, например энергию деформации в связях, что приведет к выравниванию по связям относительной энергии деформации. При этом значения переменных проектирования увеличиваются в тех элементах, где энергия деформации больше, и уменьшаются в противном случае. Тем самым происходит увеличение жесткости конструкции (уменьшение податливости). Эта физическая идея лежит в основе методов топологической оптимизации.
Расчет напряженно-деформированного состояния тела при заданных силовых и кинематических условиях выполняется с помощью МКЭ, поэтому задача топологической оптимизации ниже формулируется в терминах МКЭ [1]. Уравнения равновесия системы представляются в матричной форме:
K(x)q = p,
(11)
где К - матрица жесткости всей системы конечных элементов; q - вектор узловых перемещений всей системы; р - вектор внешних нагрузок всей системы.
Задача оптимизации для расчетной модели МКЭ формулируется следующим образом (как минимизация податливости):
Таким образом, условия оптимальности означают, что в точке оптимума у. одинаковы для всех связей конструкции.
Из условий оптимальности путем умножения обеих частей уравнения (8) на (х.)а и извлечения корня степени а получают рекуррентные соотношения для вычисления переменных проектирования:
Х>+1) = (хМ)ч х<у), (9)
где V - номер итерации. Параметр п = 1/а в уравнении (9) контролирует размер шага; его величина варьируется от 0,25 до 1.
В качестве функции у. при аппроксимации ограничений нулевого порядка можно потребовать, чтобы максимальные напряжения в каждой связи были равны допускаемым:
q Р -
(12)
где с - максимальные напряжения в . -связи; с -допускаемые напряжения в .-связи. Функция цели здесь уже в явном виде не участвует, и это условие при п =1 приводит к выравниванию напряжений
при ограничениях:
■ условий равновесия
К(х)д -р = 0; (13)
■ условий снижения объема, занимаемого телом О
— <8, 0 <8<1, (14)
О
"о
где - исходный объем, занимаемый телом; 5 - заданный коэффициент объемной доли; ^ - результирующий объем.
В процессе решения задачи топологической оптимизации для каждой точки тела должно быть определено, есть ли в ней материал. При наличии материала модуль упругости в точке равен исходному Е = Е0, при отсутствии материала Е = 0. Конечно-элементная постановка позволяет свести задачу с бесконечным количеством точек и переменных проектирования к их конечному числу. Далее для применения методов математического программирования требуется преобразование дискретного варьирования свойств материала в каждом конечном элементе к непрерыв-
ст
ному варьированию. Наибольшую популярность получил метод Solid Isotropic Material with Penalization (SIMP) [4], предполагающий наличие в каждой точке тела изотропного материала, упругие свойства которого описываются соотношением E = р£0, (15)
где р - фиктивная плотность (0 < р < 1); p - штрафной показатель степени.
Таким образом, если р = 0, то упругие свойства также обнуляются, что говорит об отсутствии материала. Если же р = 1, то упругие свойства в точке совпадают с исходными свойствами. Данный метод работает с изотропным материалом, и он принят в качестве основного метода для параметризации свойств материала. Переменными проектирования задачи являются фиктивные плотности каждого конечного элемента.
Задача оптимизации силовой схемы гребного винта
Problem of propeller force diagram optimization
В работе проводится оптимизация силовых элементов гребного винта подруливающего устройства судна. Он устанавливается в сквозном канале, проходящем от одного борта судна к другому, перпендикулярно к диаметральной плоскости. Геометрия винта определена по гидродинамическим критериям (рис. 1).
Опыт использования гребных винтов показывает, что наиболее уязвимым местом является лопасть, поскольку поломки винтов связаны с необратимыми пластическими деформациями кромок лопастей или с их полным отрывом от ступицы.
Используемые в настоящее время методы позволяют оценивать напряженно-деформированное состояние приближенно, с помощью условных расчетных статических нагрузок. Недостаток применяемых методов компенсируется введением соответствующих запасов прочности [3].
В процессе работы гребного винта в потоке с неравномерным распределением скоростей внешние силы, действующие на лопасть, не остаются постоянными в течение одного оборота, а напряжения определяются положением лопасти в данный момент времени. Усилие приобретает пульсирующий характер, при котором амплитудные значения существенно превосходят средние. В работе расчеты напряженно-деформированного состояния выполнялись на поле давлений, соответствующее экстремальным условиям эксплуатации.
Возможное снижение массы винта при сохранении на необходимом уровне параметров надежности позволит повысить эффективность работы винта и всего подруливающего устройства.
С целью снижения массы винта при сохранении его геометрической модели определялась конфигурация силовых элементов во внутренних полостях оптимизации. Такие полости специально выделялись в каждой лопасти и в ступице винта. В этих полостях традиционно сплошной материал замещался минимально необходимыми силовыми подкреплениями, форма которых определялась в результате решения задачи топологической оптимизации [2]. Границы внутренних полостей формировались с учетом конструктивных и технологических ограничений для стенок полостей (рис. 2).
Рис. 1. Геометрическая модель винта подруливающего устройства
Fig. 1. Geometric model of thruster propeller
1 - обшивка (толщина 5,9 мм)
2 - полости (области оптимизации)
Рис. 2. Сечение винта с обозначением полостей оптимизации для лопастей и ступицы
Fig. 2. Propeller cross section with indication of optimization cavities for blades and hubs
Расчетная модель для винта
Design model for the propeller
Для проведения топологической оптимизации винта была разработана его конечно-элементная модель. Поскольку геометрия рассматриваемой конструкции является достаточно сложной, то в качестве основного типа конечного элемента был выбран высокоточный десятиузловой тетраэдрический элемент [5], предназначенный для решения различных задач механики деформируемого твердого тела при рассмотрении твердотельных систем. Он построен на квадратичной аппроксимации перемещений и имеет по три степени свободы в каждом узле (перемещения в направлении осей X, Y, Z узловой системы координат).
С учетом принятой системы допущений разрабатывались специальные расчетные модели винта, заключающиеся в приведении геометрической модели к виду, соответствующему корректному описанию конструктивных особенностей, необходимых для целей топологической оптимизации в рамках МКЭ [6]. Оптимизационные расчеты выполнялись отдельно для лопасти винта и для его ступицы. Ввиду циклической симметрии самой геометрии винта и внешней нагрузки оптимизация проводилась только одной лопасти в предположении ее жесткого закрепления на ступице.
Оптимизация ступицы винта выполнялась на полной модели винта, состоящей из лопастей и ступицы. В данном расчетном варианте лопасти отвечают за передачу гидродинамической нагрузки на ступицу винта. Таким образом, при дискретизации лопастей высокая плотность конечно-элементной сетки не требуется. Это же относится и к областям, не участвующим в оптимизации.
С целью повышения точности результатов оптимизации были приняты ограничения на максимальный линейных размер конечного элемента оптимизируемых областей: ступицы - 4 мм, лопасти - 2 мм. Общее количество конечных элементов в модели лопасти составило 332 727 шт., а в модели ступицы - 1 133 166 шт.
Результаты оптимизации
Optimization results
Результаты решения задачи топологической оптимизации лопасти при коэффициентах объемной доли 5 для лопасти 0,15 и 0,6 для ступицы представлены на рис. 3. Изображения напоминают природные объекты, являющиеся своего рода реализацией эволюционной структурной оптимизации в природе.
а) ^
Й85Й1Й
Рис. 3. Результат топологической оптимизации винта в полостях: а) лопастей; б) ступицы
Fig. 3. Result of propeller topological optimization in cavities: a) blade; b) hub
Полученные результаты оптимизации, как было показано выше, не учитывают ограничений на параметры надежности и технологичности, а отражают только минимизацию податливости при фиксированном коэффициенте снижения объема 5. Поэтому при всей эффективности распределения материала и формирования силовой схемы для достижения максимальной жесткости при заданных внешних воздействиях полученные объекты не могут быть непосредственно реализованы. Они должны быть проверены на допустимость по ограничениям параметров состояния (надежности) и адаптированы к требованиям производства.
Изготовления конструкций и изделий таких сложных конфигураций, формирующих методы топологической оптимизации, возможно только с помощью лазерных аддитивных технологий, но и в этом случае требуется существенная доработка результатов оптимизации с целью доведения модели до прототипа.
В настоящее время в лазерных аддитивных технологиях выделилось два направления [7, 8]:
■ селективное лазерное сплавление (SLM -Selective Laser Melting), когда на некой поверхности сначала формируют порошковый слой, а затем в этом слое выборочно с помощью лазера отверждают (фиксируют) материал;
■ прямое лазерное осаждение или выращивание (LMD - Laser Metal Deposition), когда порошок или проволока непосредственно подаются в место построения, где и происходит их взаимодействие с лазерным лучом.
В настоящей работе принята технология прямого лазерного осаждения, поскольку она обеспечивает необходимое качество и не связана с ограничениями на максимальный размер изделия, что важно для судовых конструкций и деталей.
Под выбранную технологию результаты топологической оптимизации были доработаны с сохранением концепции организации силовых связей во внутренних полостях (рис. 3). В лопасти принята дендритная структура ребер жесткости. Для ступицы предложены основные силовые элементы, являющиеся продолжением примыкающей лопасти, связанные между собою раскосами. В месте примыкания ступицы к валу винта выделены вертикальные стойки (рис. 4).
Снижение массы лопасти составило 16 % относительно ее исходной массы, а для ступицы этот показатель оказался 30 %, что позволило снизить общую массу винта на 26 %.
В силу условности расчетных методов оценки прочностных характеристик винтов, использующих статическое распределение расчетного давления, оценка параметров напряженно-деформированного состояния оптимизированного варианта винта проводилась с помощью сопоставления его напряженного состояния с исходным, традиционным вариантом.
На рис. 5 представлены поля эквивалентных напряжений по Мизесу в двух вариантах винта: исходном и доработанном после оптимизации. Видно, что и характер, и общий уровень напряженно-деформированного состояния практически не изменился. В предлагаемом варианте максимальные значения напряжений, локализующиеся в очень малой области, увеличились с 29,3 до 40,7 МПа, т.е. возросли на 39 %. Отсюда можно сделать вывод, что предлагаемый вариант обладает близкими к исходному варианту характеристиками надежности.
Рис. 4. Результаты доработки оптимизированной модели винта. Подкрепления в полости: а) лопасти; б) ступицы
Fig. 4. Results of propeller optimized model improvement. Reinforcements in cavity: a) blade; b) hub
Max 29,266 26,015 22,764 19,514 16,263 13,012 9,7615 6,5107 3,2599 0,00917 Min
Max 40,667
30
26,252 22,504 18,757 15,009 11,261 7,5133 3,7655 0,017748 Min
Рис. 5. Поля эквивалентных напряжений по Мизесу: а) исходный вариант винта; б) оптимизированный вариант винта, доведенный до прототипа
Fig. 5. Fields of equivalent Von Mises stresses:
a) initial propeller option;
b) optimized propeller option reduced to prototype
Заключение
Conclusion
Создание конструкций принципиально нового типа не может опираться на опыт эксплуатации и эволюционное совершенствование изделий. Здесь необходимо использовать современные математические методы оптимизации, с помощью которых можно реализовать выбор концептуального решения, провести оптимизацию формы и размеров связей изделия. Эффективность создаваемого изделия во многом определяется принятым концептуальным решением, которое выбирается на ранних этапах.
Среди многообразия методов создания рациональных изделий и конструкций, таких как методы структурной, топологической, топографической, параметрической оптимизации, оптимизации формы, пластин переменной толщины, стержневых конструкций и др. основным инструментом для выбора концепции в настоящее время является топологическая оптимизация. Она достаточно наглядно и быстро позволяет получить на моделях МКЭ конфигурацию силовых связей из условия максимальной жесткости изделия.
В работе реализована попытка исследования возможностей топологической оптимизации при проектировании винта подруливающего устройства для его последующего изготовления с помощью перспективных технологий аддитивного производства.
С целью снижения массы винта в его лопастях и ступице выделялись внутренние полости. Концепция подкрепляющих силовых связей внутри полостей определялась на основе анализа результатов решения задачи топологической оптимизации. Границы внутренних полостей формировались с учетом конструктивных ограничений для стенок полостей, а также возможностей методов аддитивного производства.
Топологическая оптимизация выполнялась с помощью специальных расчетных моделей винта на поле давлений, соответствующее экстремальным условиям эксплуатации.
Концепция подкреплений была адаптирована для непосредственного изготовления винта с помощью технологии прямого лазерного выращивания. В результате получено снижение массы винта на 26 %. Проверочный расчет прочности показал, что винт с оптимизированной структурой обладает характеристиками надежности, близкими к традиционной версии винта.
Результаты топологической оптимизации позволяют сформировать концептуальные решения силовых связей, существенно отличающиеся от тех, что могут предложить конструкторы на основании своего опыта при гарантированном снижении массы.
Библиографический список
1. Родионов А.А. Математические методы проектирования оптимальных конструкций судового корпуса. Ленинград: Судостроение, 1990. 248 с.
2. Bendsoe M.P., Sigmund О. Topology Optimization. Theory, Methods and Applications. 2nd ed. Berlin: Springer, 2003. XIV. 370 p.
3. Chapter January 2018 with 74 Reads. DOI: 10.1002/ 9781118476406.emoe062 In book: Encyclopedia of Maritime and Offshore Engineering. First published: 29 September 2017.
4. Bendsoe M.P., Sigmund О. Material interpolation schemes in topology optimization // Archives of Applied Mechanics. 1999. Vol. 69. P. 635-654.
5. ANSYS: [software and documentation]: Vers. 16.2 [Electronic resource] // ANSYS Inc.: [site]. Canonsburg: ANSYS, 2015. URL: https://www.ansys.com/products/all-products (accessed: 29.01.2020).
6. Allaire G., Jouve F. Minimum stress optimal design with the level set method // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2008. Vol. 32. № 11. P. 909-918.
7. A comparative study of laser direct metal deposition characteristics using gas and plasma-atomized Ti-6A1-4V powders / Ahsan M.N. [et. al.] // Materials Science and Engineering. 2011. Vol. 528. № 25-26. P. 7648-7657.
8. Gibson I., Rosen D., Stucker B. Additive Manufacturing Technologies: 3D Printing, Rapid Prototyping, and Direct Digital Manufacturing. Second ed. New York: Springer, 2015. XXI. 498 p.
References
1. Rodionov A. Mathematical Methods for Designing Optimal Structures of Vessel Hulls. Leningrad: Sudostroyeniye. 1990. 248 p. (in Russian).
2. BendsoeM.P., SigmundО. Topology Optimization. Theory, Methods and Applications. 2nd ed. Berlin: Springer, 2003. XIV. 370 p.
3. Chapter January 2018 with 74 Reads. DOI: 10.1002/9781118476406.emoe062 In book: Encyclopedia of Maritime and Offshore Engineering. First published: 29 September 2017.
4. Bendsoe M.P., Sigmund О. Material Interpolation Schemes in Topology Optimization // Archives of Applied Mechanics. 1999. Vol. 69. P. 635-654.
5. ANSYS: [software and documentation]: Vers. 16.2 [Electronic resource] // ANSYS Inc.: [site]. Canonsburg: ANSYS, 2015. URL: https://www.ansys.com/products/all-products (accessed: 29.01.2020).
6. Allaire G., Jouve F. Minimum Stress Optimal Design with the Level Set Method // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2008. Vol. 32. № 11. P. 909-918.
7. A Comparative Study of Laser Direct Metal Deposition Characteristics Using Gas and Plasma-atomized Ti-6A1-4V Powders / Ahsan M.N. [et. al.] // Materials Science and Engineering. 2011. Vol. 528. № 25-26. P. 7648-7657.
8. Gibson I., Rosen D., Stucker B. Additive Manufacturing Technologies: 3D Printing, Rapid Prototyping, and Direct Digital Manufacturing. Second ed. New York: Springer, 2015. XXI. 498 p.
Сведения об авторах
Коршунов Владимир Александрович, к.т.н., доцент кафедры строительной механики корабля СПбГМТУ Адрес: 190121, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3. Телефон: +7 (921) 396-46-09. E-mail: [email protected]. Пономарев Дмитрий Александрович, к.т.н., старший преподаватель кафедры строительной механики корабля СПбГМТУ. Адрес: 190121, Россия, г Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3. Телефон: +7 (905) 280-57-59. E-mail: [email protected].
Родионов Александр Александрович, д.т.н., профессор, зав. кафедрой строительной механики корабля СПбГМТУ. Адрес: 190121, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3. Телефон: +7 (921) 781-05-97. E-mail: [email protected].
About the authors
Korshunov Vladimir A., Cand. Sci., (Eng), Docent, St. Petersburg State Marine Technical University. Address: 3, Lotsmanskaya st., St. Petersburg, Russia, post code 190121. Tel.: +7 (921) 396-46-09. E-mail: [email protected].
Ponomariev Dmitry A., Cand. Sci., (Eng), Senior Teacher, St.Petersburg State Marine Technical University. Address: 3, Lotsmanskaya st., St. Petersburg, Russia, post code 190121. Tel.: +7 (905) 280-57-59. E-mail: dmitriymailto:korshunov@ [email protected].
Rodionov Alexander A., Dr. Sci., (Eng), Prof., Head of Chair, St.Petersburg State Marine Technical University. Address: 3, Lotsmanskaya st., St. Petersburg, Russia, post code 190121. Tel.: +7 (921) 781-05-97. E-mail: [email protected].
Поступила / Received: 23.01.20 Принята в печать / Accepted: 07.02.20 © Коллектив авторов, 2020
