CC BY
44
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
УДК 519.21
СОВМЕСТНЫЕ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧЛЕНОВ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, МОДЕЛИРУЕМЫХ АЛГОРИТМОМ АВТОРЕГРЕССИИ И НЕКОТОРЫМИ ЕГО МОДИФИКАЦИЯМИ
C.B.rapßapt
JOINT PROBABILITY DENSITY FUNCTION OF SEQUENCES MODELED WITH AUTOREGRESSION ALGORITHM OR SOME OF ITS MODIFICATIONS
S.V.Garbar
Институт электронных и информационных систем НовГУ, Sergey.Garbar@novsu.ru
Найдены совместные плотности распределения членов стационарных в узком смысле случайных последовательностей, полученных при использовании алгоритмов авторегрессии и некоторых их модификаций: алгоритмов авторегрессии со случайными ортогональными коэффициентами и алгоритма моделирования случайной последовательности с равномерным одномерным распределением, манипулирующего участками функции плотности. Показано, что наличие разрыва первого рода у функции плотности членов последовательности ведёт к наличию в записи совместной плотности распределения дельта-функции Дирака. Совместная плотность распределения при использовании алгоритмов авторегрессии со случайными коэффициентами всегда содержит дельта-функцию.
Ключевые слова: совместная плотность распределения, случайные последовательности, алгоритмы авторегрессии
Joint probability density function of neighbor members of random sequences simulated by using autoregressive algorithms and their modifications are found. The methods considered are autoregressive algorithms with constant and random coefficients, manipulating segments of probability density function of simulating uniformly distributed random sequence. It is shown that if one-dimensional density function has a jump discontinuity, joint distribution function will have Dirac's delta-function in its representation. If autoregressive algorithm with random coefficients is used, joint distribution will also need Dirac's delta-function in its notation. Joint probability density function always contains delta-function when autoregressive algorithm with random coefficients is used. Keywords: joint probability density function, random sequences, autoregressive algorithms
При решении задач имитационного моделирования в радиотехнике, физике, экономике и т.д. возникает необходимость в формировании процессов с заданным видом корреляционной функции. Чаще всего при этом не обращают внимания на закон распределения процесса, однако получение стационарных в узком смысле случайных последовательностей может улучшить качество моделирования [1].
В общем случае для моделирования случайного процесса необходимо знать его многомерную функцию распределения, причем размерность определяется числом шагов на периоде моделирования. Эта функция дает исчерпывающие сведения о характеристиках случайного процесса, включая и корреляционные характеристики соответствующей размерности (не превышающей числа шагов на периоде моделирования). Фактически при этом моделируется случайный вектор размерности, соответствующей числу шагов [2]. Однако при большом числе шагов решение этой задачи, как правило, трудноосуществимо, поэтому данный способ неудобен для практического применения.
Функция совместного распределения или совместная плотность, как правило, известны лишь для частных случаев, поэтому при моделировании случайных процессов обычно используются двумерные корреляционные характеристики: ковариации либо коэффициенты корреляции.
Обычно задача моделирования случайных последовательностей решается на основе алгоритмов авторегрессии, задаваемых разностным уравнением:
Y (0 = а Т С-1) + а2 Т С - 2) + ... + ап Т ^ - п) + Ь ■ X в котором X ^) — независимые случайные величины, а, и Ь — детерминированные или случайные коэффициенты. То есть значение случайного процесса формируется как линейная комбинация значений этого процесса в п предыдущих моментах времени -1), - 2),., -п) и некоторой случайной составляющей X^); число п называют порядком авторегрессии.
Значения автокорреляционной функции ^(1),R(2),...,R(n) и коэффициенты а],а2,...,ап связа-
ны соотношением, задаваемым системой уравнении Юла—Уолкера.
Если при этом независимые случайные величины X (г) имеют нормальное распределение, то члены моделируемой последовательности также является случайными величинами с нормальным распределением.
Однако если требуется получить коррелированную случайную последовательность с одномерным распределением, отличным от нормального, то становится сложной задача нахождения вида прибавляемой независимой случайной величины. Кроме того, многомерные плотности распределения полученной последовательности будут отличаться при использовании различных методов моделирования.
Соответственно, при ответе на вопрос о том, какой из имеющихся методов моделирования выбрать, следует кроме сложности реализации и эффективности работы алгоритма учитывать, какой вид имеет совместная плотность распределения g(уь у2) случайных величин У(г -1) и У(г), полученная при использовании того или иного алгоритма.
Совместная плотность распределения для последовательностей, моделируемых алгоритмами авторегрессии
Рассмотрим совместные плотности распределения соседних членов, моделируемых алгоритмами авторегрессии с детерминированными коэффициентами последовательностей.
В работах [3] автором рассмотрен способ нахождения вида плотности распределения прибавляемой случайной величины в алгоритме авторегрессии с детерминированными коэффициентами в случае автокорреляционной функции экспоненциального вида, т. е. если рассматривается уравнение авторегрессии первого порядка.
Теорема 1. Если рассматривается уравнение авторегрессии первого порядка с постоянными коэффициентами вида
У (0 = а •У (г -1)+Ь • X (г), а е (0;1), Ь = 1 - а, и при этом функция плотности g(y) случайной величины У (г) является кусочно-заданной ^о(у), если у > 0, [0, если у<0,
и g(0)^ 0 , то функция плотности /(х) прибавляемой случайной величины X(г) будет иметь в записи слагаемое а5(х).
Доказательство. Функции плотности g(y) и /(х) случайных величин Ук-1 и Хк связаны зависимостью [3]
g(yЛ) =
+ш
g( у)= | g[■
( у - Ьх
1
/ (х)—йх.
^ а / а
Так как g(у) = 0 при у < 0, то для выполнения этого соотношения требуется, чтобы / (х) = 0 при х < 0. Соответственно,
ж°)=Т ^ ] / (х) >=+[ gо(-ax У (х) >.
-ш 0
Так как функция g0(y) определена только для неотрицательных значений аргумента, то при положительных а и Ь интеграл в правой части оборачивается в нуль при любом значении / (х), кроме Ш(х) при некотором к. Равенство выполняется при /(х) = а5(х). Выполнение равенства в остальных точках требует другого значения /(х), т. е. /(х) = а5(х)+/0(х). Что и требовалось доказать.
Кроме того, можно показать, что наличие g( у) неустранимой точки разрыва первого рода у0 влечет за собой наличие в качестве слагаемого к5( х - у0) при некотором к.
Теорема 2. В условиях теоремы 1 совместная двумерная плотность g(у1, у2) распределения соседних членов У(г -1) и У(г) смоделированной случайной последовательности будет иметь в своей записи слагаемое аЬ5(-ау1 + у2)• g(yl).
Доказательство. Так как в алгоритме авторегрессии следующий член последовательности находится как линейная комбинация предыдущего и независимой случайной величины, то совместная плотность соседних членов последовательности У(г -1) и
аУ(г-1) + ЬХ(г) может быть найдена как
g( у2 ) = ВД ^^ •( £ (1 0^
где А = 1 I, к(у, х) = g(y)/(х) — совместная плот-
^ а Ь)
ность распределения независимых случайных величин У (г -1) и X (t), т. е.
g(Уl,у2) = g(Уl)•/(-Ьау1 + ^у2|.
При этом / (х) = а5( х) + /0( х), соответственно,
g(Уl, у2 )=g(Уl)• аЬ§(- ау1 + у2)+g(Уl)• /0^- ььу1 + ;ъу2 ).
Что и требовалось показать.
Таким образом, часть совместной плотности оказывается сосредоточенной на луче или отрезке прямой, конкретный вид которых зависит от коэффициента корреляции между соседними членами последовательности.
Например, при моделировании случайной последовательности со стандартным непрерывным равномерным одномерным распределением при условии,
что ^(1) = а =
1
п +1
п — натуральное число или нуль,
плотность вероятности прибавляемой случайной величины имеет вид
/(х) = / х - п > ' £ < х - п).
к=0
к=0
Соответствующая совместная плотность распределения равна
Г1 п
=1ь2§(-ау + У2+а если У16[01] и У26с0;1] ,
/=0
Я(У1,У2) = \Ъ
[0, если у г [0;1] или у2 г [0;1] . Видно, что в этом случае совместная плотность сосредоточена на группе отрезков
у2 = ау1 -/а,/ = 0,1,.,п, т. е. полученная последовательность может оказаться неудачной с точки зрения соответствия моделируемым процессам.
В качестве другого примера можно рассмотреть моделирование случайной последовательности с одномерным показательным распределением с параметром X, задаваемой одномерной функцией плотности распределения
, Г^^, если у > 0,
g(yЛ)=1
[0, если у < 0. В этом случае прибавляемая случайная величина в алгоритме авторегрессии имеет плотность вида
/ (х) = а5( х) + Ьg(x,XЬ). Соответствующая совместная плотность g( У1, У2) распределения соседних членов последовательности У (/ -1) и У (t) имеет вид gCУl, У2) =
= (а5(- ау1 + у2)+^(ау1-у2)) если у, > 0 и у2 > ауь
[0, если у < 0 или у2 < ау.
Совместная плотность распределения для последовательностей с одномерным равномерным распределением, моделируемых при помощи метода, манипулирующего участками функции плотности
Алгоритм моделирования случайных последовательностей с непрерывным равномерным распределением предложен автором в [4]. Алгоритм предназначен для моделирования случайной последовательности с непрерывным равномерным одномерным распределением членов и коэффициентом корреляции между соседними членами, лежащим в интервале [-0,625; 0,625], и состоит из следующих шагов:
1. Ь ^
1
1
3
2. у* ^ у- + ЬХ .
3. Если у* 6
*
4. Если у( 6
'4
* л * , то у у1 .
1
Ь +тт ;Ь+1 2
, то у* ^ 2Ь - у* +1.
* 1
5. Если R(1)>0, то у( ^
Уt ■
2
Ь
иначе
У1 ■
у ь
6. Повторить шаги 1-5.
Таким образом, следующий член последовательности либо равен линейной комбинации
1У^ -1) + X(^ двух независимых равномерно распределенных на единичном отрезке случайных величин, либо равен линейной функции от данной линейной комбинации.
Совместная плотность распределения g(у1, у2) соседних членов У(/ -1) и У(t) последовательности
находится исходя из алгоритма, т. е. сначала определяется совместная плотность для линейной комбинации 1 У(t -1) + X(^ , а затем преобразуется с тем, что
значения у2 лежат в отрезке [0;1]. В итоге искомая функция плотности равна
1, если(у1, у2 )б Аь g(Уl,у2) = 12, если (уьу2)б
0, если(у1,у2)гА1 иА2,
где А =
(Уl,у2)у 6 [0;1]Лу2 <
1
Ь
, 1
у Ь-2 + у1 Л у2 <—г-Л у2 >
у1 - 2 ь + 2 - у1
>ъ Лу2
А =
(у1, У2) у1б[0-;1]л у2 6[0Д]Л
у2
у1
-V у2 >
Ь+2 - у1
Совместная плотность распределения для последовательностей, моделируемых с использованием алгоритмов авторегрессии со случайными коэффициентами
В работе [5] рассмотрены уравнения авторегрессии со случайными двоичными ортогональными коэффициентами.
У(^ = А1 ■У^-1) + А2 ■У^-2)+...+Ап ■У^-п)+ВX(t).
События А, =1 и В = 1 образуют полную группу событий, т. е. ровно один из коэффициентов равен единице, а остальные - нулю, при этом соответствующие вероятности равны
Р(А, =1) = а,, Р(В = 1) = Ь .
Доказано, что при использовании данного алгоритма распределение случайных величин У(^ асимптотически стремится к распределению X(^ .
Совместная плотность распределения g(у1, у2)
соседних членов У(/ -1) и У(t) последовательности,
полученной с использованием алгоритма авторегрессии п-го порядка со случайными ортогональными коэффициентами, равна
g(Уl, У2 ) = К/(У1ЖУ1- У2 )+(1-кп ЖУ1ЖУ2), где к1 = а1,
кп = кп-1 + ап ^ П ак , 11+12+...+1к=п—1 к
т. е. для авторегрессии порядков до четвёртого
1
Ь
к2 = а1 + а2а1, к3 = а + а2а1 + а3(а2 + а1а1),
к4 = а + а2а1 + а3(а2 + а1а1) + а4(а3 + а2а1 + а1а2).
Коэффициент кп определяется вероятностью того, что значения соседних членов последовательности будут одинаковыми. Это выполняется в том случае, когда либо А = 1, либо на текущем шаге А2 = 1, но на предыдущем А1 = 1 и так далее.
Таким образом, видно, что отдельные члены полученной последовательности могут повторяться с ненулевой вероятностью, что иногда может не полно отражать суть моделируемых явлений.
Например, использование данного алгоритма для моделирования последовательности случайных величин с равномерным одномерным распределением и экспоненциальной автокорреляционной функции даст следующее совместное распределение соседних членов: У у )=|а15(У1-У2), если У1 е[0;1] и У2 е[0;11 [0, если у1 г [0;1] или у2 г [0;1].
Заключение
В статье рассмотрены совместные плотности распределения соседних членов случайных последовательностей, получаемых при использовании алгоритмов авторегрессии и некоторых их модификаций, предназначенных для моделирования последовательностей, стационарных в узком смысле: алгоритмов авторегрессии со случайными коэффициентами, алгоритма моделирования последовательностей с непрерывным равномерным распределением, манипулирующим участками функции плотности.
Приведенные функции плотности распределения позволяют качественно сравнивать алгоритмы при выборе метода моделирования.
Работа выполнена при финансовой поддержке проектной части государственного задания в сфере научной активности Министерства образования и науки Российской Федерации, проект №1.949.2014/К.
1. Кирьянов Б.Ф. Имитация случайностей в задачах математического моделирования // Вестник НовГУ. 1995. №1. С. 115-118.
2. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976. С.66-69.
3. Гарбарь С.В. Моделирование стационарных марковских случайных процессов с заданной плотностью распределения методом авторегрессии // Вестник НовГУ. Сер: Технические науки. 2012. №67 С.13-15.
4. Гарбарь С.В. Манипулирование участками функции плотности при моделировании случайных последовательностей с равномерным распределением // Вестник НовГУ. Сер: Технические науки. 2010. №60. С.27-28.
5. Кирьянов Б.Ф., Кознов А.В. Процессы авторегрессии со случайными коэффициентами и их применение при моделировании радиотехнических систем // Прикладная математика: Межвуз. сб. / Под ред. Б.Ф.Кирьянова. Новгород: НовГУ. 1994. Вып. 1. С.3-8.
References
1. Kir'ianov B.F. Imitatsiia sluchainostei v zadachakh matematicheskogo modelirovaniia [Simulating randomness in mathematical modeling problems]. Vestnik NovGU. Ser. Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Vestnik NovSU. Issue: Natural and Engineering Sciences, 1995, no. 1, pp. 115-118.
2. Ermakov S.M., Mikhailov G.A. Kurs statisticheskogo modelirovaniia [Statistical modeling course]. Moscow, "Nauka" Publ., 1976. 320 p.
3. Garbar' S.V. Modelirovanie statsionarnykh markovskikh sluchainykh protsessov s zadannoi plotnost'iu raspredeleniia metodom avtoregressii [The modeling of stationary Markov processes with given density function by autoregressive method]. Vestnik NovGU. Ser. Tekhnicheskie nauki -Vestnik NovSU. Issue: Engineering Sciences, 2012, no. 67, pp. 13-15.
4. Garbar' S.V. Manipulirovanie uchastkami funktsii plotnosti pri modelirovanii sluchainykh posledovatel'nostei s ravnomernym raspredeleniem [Manipulating with density functions cells at modeling of uniformly distributed random sequences]. Vestnik NovGU. Ser. Tekhnicheskie nauki -Vestnik NovSU. Issue: Engineering Sciences, 2010, no. 60, pp. 27-28.
5. Kir'ianov B.F., Koznov A.V. Protsessy avtoregressii so sluchainymi koeffitsientami i ikh primenenie pri modelirovanii radiotekhnicheskikh sistem [Autoregressive processes with random coefficients and their applications in radiotechnical systems modeling]. Prikladnaia matematika: Mezhvuz. cb. NovGU. Novgorod, 1994, no. 1, pp. 3-8.
