Совместное распределение примитивных целых точек в замкнутой области Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16 Выпуск 1 (2015)

УДК 511.9, 511.336

СОВМЕСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИМИТИВНЫХ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ 1

О. А. Горкуша (г. Хабаровск)

Аннотация

Пусть Q С R2 — произвольная выпуклая область. Точка (0, 0) лежит внутри области или на границе. Граница dQ области задана в полярных координатах функцией rn(0) из C3. Для произвольного R ^ 1 определим область QR = {(Rx, Ry)\(x,y) € Q} и множество

F(Q, R) = {A € Qr П Z2\A = (x, y), НОД(х, y) = 1}

— множество примитивных точек решетки Z2, лежащих в Qr. В работе мы изучаем совместное распределение длин отрезков, соединяющих начало координат и точки из F(Q, R). Мы получили асимптотическую формулу

#FQR)) = 2 jfjf[а + в' ^ iWdp + O(R-3 log3 R),

где [A] = 1, если A — истинно, и [A] = 0, если A — ложно и для а, в € [0,1] величина #$(R) равна числу фундаментальных параллелограммов решетки Z2, у которых длины d\,d2 сторон не превосходят а ■ R ■ rn(0i),

в ■ R ■ ГП (02).

Ключевые слова: примитивные точки решетки, совместное распределение.

Библиография: 4 названия.

SIMULTANEOUS DISTRIBUTION

OF PRIMITIVE LATTICE POINTS IN CONVEX PLANAR DOMAIN

O. A. Gorkusha (Khabarovsk)

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, (грант 14-01-90002 Бел-а).

Abstract

Let Q denote a compact convex subset of R2 which contains the origin as an inner point. Suppose that Q is bounded by the curve dQ, parametrized by x = tq(9) cos 9, y = tq(9) sin 9, where tq is continuous and piecewise C3 on [0,^/4]. For each real R ^ 1 we consider the domain QR = {(Rx, Ry)|(x,y) € Q} and we consider F(Q,R) = {A € Qr n Z2|A = (x,y), HO^(x,y) = 1} — integer lattice points from Qr, which are visible from the origin. In this paper we study the simultaneous distribution for the lengths of the segments connecting the origin and a primitive lattice points from F(Q,R). Actually, we give an asymptotic formula

= 2 /jf[a + P' ^ 1]^' + O(R-3 log3 R),

where [A] = 1, if A is true, [A] =0, if A is false and for a, p € [0,1] the value #$(R) is equal to the number of fundamental parallelograms of the lattice Z2 for which the lengths d\, d2 of the segments do not exceed a ■ R ■ tq(9i),

p ■ R ■ TQ(92).

Keywords: primitive lattice points, simultaneous distribution. Bibliography: 4 titles.

1. Введение

Пусть на плоскости задана область П в полярных координатах

П = {(г, ф)\ 0 ^ г ^ г(ф), 0 ^ ф ^ ф0 ^ п/4} (1)

с непрерывной границей. Для любого вещественного числа Я ^ 1 рассмотрим

Пд = {(Ях,Яу)\(х,у) Е П}

— гомотетию области П в Я раз. Обозначим через Т(П, Я) — множество примитивных целых точек из Пд и упорядочим элементы из этого множества таким образом, чтобы последовательность {9^} углов 9^ = аvctg(yj/х^), где (х^,у^) — элемент из Т(П, Я), была возрастающей. Таким образом

Т(П,Я) = \ Лз Е Пд П Z

¡A aQ n Z A = (xj ,Vj), НОДХ ,Уз) = 1'\

] Е ПД

где N — число элементов множества Т(П, Я). Точки Л^, Лj+l называются соседними, и лучи с началом в точке (0, 0), проходящие через точки Лj, Лj+l также называют соседними.

В работе [1], опубликованной в 2000 году, решена задача о распределении элементов

N (92 - 91),..., 2П (9м - 9м-I). (3)

Авторы доказали, что существует предельное распределение указанных элементов и получили явное представление этой величины. В 2009 году в статье [2, с. 176] автор заметил, что вопрос о распределении элементов (3) легко решается, если известно совместное распределение длин отрезков ¿э (1 ^ ] < N),

где ¿э = Х] + У] ■ Основной результат работы [2] — исследование совместного

распределения (1 ^ ] < N) в случае треугольной области:

Теорема 1. Пусть П — треугольник, задаваемый равенством (1) с г(ф) = сов(у) ■ Тогда при любых вещественных числах а, в Е [0,1], ф0 Е [0,п/4], Я ^ 2 справедлива асимптотическая формула

#ф|= X (а,в) + 0(Я-2 Ю83 Я).

Здесь

Ф(Я)= Ф(Я; Фо,а,в) =

(Л3, Aj+i) eF2(n,R)

Aj = (xj ,yj), 0 <j< #F (Q,R) dj ^ aRr(ej), dj+l ^ [iRr(ej+l), Oj+i ^ Фо

N-l

(R) = Y[Oj+1 ^ Фо], (5)

j=0

Г в Г a

I(а, в) = 2/ / [a1 + в' > V]da'd¡3'. (6)

оо

Здесь и далее для некоторого утверждения Л : [Л] = 1, если Л истинно, и [A] = 0 в противном случае.

Цель нашей работы — на основе подхода, предложенного в статье [2], доказать асимптотическую формулу о совместном распределении длин отрезков dj ,dj+i (1 ^ j < N) для области П, обладающей более слабыми ограничениями.

Пусть область П задается соотношением (1), функция г(ф) — трижды дифференцируема на [0,фо] и на этом интервале соответствующие ей функции

х(ф) = г(ф) cos Ф, у(ф) = г(ф) sin Ф

монотонны с условиями х'(ф) ^ 0,у'(ф) ^ 0, \х'(ф)\,у'(ф) < ж, и функция Ф(ф), определяемая как

Ф(ф) = х''(ф) - 2х'(ф) tan Ф, (7)

такова, что Ф(ф), Ф'(ф) одновременно не обращаются в нуль на [0,ф0]. Тогда справедлив следующий аналог теоремы 1.

Теорема 2. При указанных выше ограничениях на область П справедлива

асимптотическая формула

#ф| =1 > + 0(Я-1 ^3 Я),

где а, в Е [0,1], ф0 Е [0,п/4],Я ^ 2 — произвольные вещественные числа и величины Ф(Я),Д^0(Я), 1(а,/3) определены соотношениями (4) — (6).

Замечание 1. В частном случае, когда функция Ф(ф) не обращается в нуль на интервале [0,ф0], теорема 2 дает лучшую оценку остаточного члена — 0(Я-1+£).

Не упоминая каждый раз, будем считать дальше, что граница области П удовлетворяет условиям теоремы 2.

2. Нахождение #Ф(Я)

Прежде рассмотрим другое описание множества Ф(Д).

Утверждение 2. Для любых соседних точек Aj = (xj,yj) и Aj+1 = (xj+i,yj+i) из F(Q,R) точка (xj + xj+1,yj + yj+1) не лежит в области QR.

Доказательство. Доказательство непосредственно следует из определения соседних точек из множества F(Q, R). □

Утверждение 3. Если а + в < 1, то #Ф^) = 0.

Доказательство. Пусть а + в < 1 и #Ф^) > 0. Тогда для некоторых вещественных чисел а' Е (0,а) и в' Е (0,в) найдется пара точек Aj = (xj,yj), Aj+i = (xj+1 ,yj+i) из F(Q, R) с условиями

Xj = a'Rr(9j) cos 9j , xj+1 = в'Rr(9j+1) cos 9j+1, yj = a'Rr(9j) sin 9j , yj+1 = в'Rr(9j+1)sin 9j+1.

Положим 9 = arctg y.+Х+11 ■ Из утверждения 1 следует неравенство

r(9) ^ ar(9j)+ вг(9+),

при этом r(9) > max{r(9j),r(9j+1)}. Эти ограничения выполняются только в случае а + в ^ 1, что противоречит условию утверждения. □

Определим множества Т+(Я), Т-(Я), Т(Я), состоящие из четверок неотрицательных чисел, следующим образом:

T+(R) = j(P,P',Q,Q') T-(R)=\(P,P',Q,Q')

P'Q - PQ' = 1, Q ^ Q', P' ^ Q' tan^ (Q,P) e Qr (Q',P') e Qr (Q + Q',P + P')e Qr P'Q - PQ' = -1, Q ^ Q', P ^ Q tan (Q,P) e Qr (Q',P') e Qr, (9) (Q + Q',P + P')e Qr

T(R) = T-(R)[J T+(R). (10)

ЛЕММА 1. #Ф(Я) = #Т(Я).

Доказательство. Сразу заметим, что из определений (8), (9) следует, что множества Т-(Я), Т+(Я) не пересекаются.

Пусть Аз = (хз,Уз), Лу+1 = (Х]+1,У]+1) — соседние точки из множества Т (О, Я) с (Аз, А]+1) € Ф(Я). Положим

(р р' п п') Г (Уз ,Уз + 1 ,хз ,xз + l), если хз < хз + 1, \ (Уз+1,Уз ,хз+1,хз )> если хз >хз+1-

Из (1), (2), (4) и утверждения 1 следует, что (Р, Р',П,П') € Т(Я), следовательно, #Ф(Я) ^ #Т(Я). С другой стороны, положив

х х { (Р,Р'ПП'), если (Р,Р'ПП') €Т+(Я), (Уз,Уз+1,хз,хз+1) = | (Р',Р,п',п), если (Р,Р'П,П) € Т-(Я),

получаем, что Аз = (хз,Уз), Аз+\ = (хз+\,Уз+\) — соседние точки из Т(О,, Я) и пара (Аз,Аз+х) принадлежит Ф(Я). Поэтому #Ф(Я) ^ #Т(Я). Лемма 1 доказана. □

Вычислим #Т+(Я). Предварительно сделаем замену переменных д = П', и = Р', V = П и следуя определению (8) множества Т+(Я), получаем

#T+(R) = J2 Е ¿я(uv - 1), (11)

q<R u,v=l

где

8ди - 1) =| — характеристическая функция делимости на q и

1, если uv = 1( mod q),

q (uv - 1) = \

1 0, в противном случае.

u ^ q tan(^o), (q, u) e Q^r, (vq,uv - 1) e QaqR, (q(q + v),u(q + v) - 1) g QqR■

Так как область {(u,v)\(vq,uv — 1) е QaqR, (q(q + v),u(q + v) — 1) е QqR} ограничена линиями

{(u,fi(u))} = {(u,v)\v = aRx(t), u = qtan(t) + , 1 G ^o]},

{(u, f2(u))} = {(u, v)\v = Rx(t) — q, u = qtan(t) + -R^t), t е [0,^o]},

то (11) перепишется следующим образом:

#T+(R) = £ £ £ Sq (uv — 1).

q<R (q,u)£n@R f2(u)<v^mm{q,fi(u)}

А если вместо функций fl(u),f2(u) использовать функции gl(u,a),g2(u), определяемые как

{(u, gl(u, а))} = {(u,v)\v = aRx(t), u = qtan(t), t е [0,ф0]}, (12) {(u,g2(u))} = {(u,v)\v = Rx(t) — q, u = qtan(t), t е [0,ф0]}, (13)

то ошибка, получившаяся от этой замены, не превзойдет единицы. Поэтому

#T+(R) = S (R,a,e) + 0(1), (14)

S (R, а, в) = £ £ J] Sq (uv — 1),

q<R u£l(q,/3) fl2(«)<v^min{q,gi(u,a)}

I(q, в) = {u е (0, q] \ (q,u) е Qr}.

Для нахождения этой суммы нам потребуется оценка числа решений сравнения uv = 1( mod q) в области {(u,v)\u е (Xl,X2],v е (0, f (u)]}.

Лемма 2. Пусть Xl,X2,Y — вещественные неотрицательные числа, не превосходящие q. Тогда

£ £ Sq (uv ± 1) = q £ 1 + 0(Rl[q]),

u&(XiX2] v&(0,Y] q u&(XiX2]

НОД^,п) = 1

где

Rl[q] < a(q) log2(q + 1) Vq,

a(q) = d\q 1 — сумма делителей числа q.

Лемма 3. Пусть на отрезке [Xl,X2] (0 ^ Xl,X2 ^ q) вещественная неотрицательная функция f (x) имеет две производные и для некоторых A > 0, w ^ 1

A «\f '(x)\< w.

Тогда

£ £ Sq(uv ± 1) = - £ f (u) + O(R2[q,A,X2 - X!]),

ue(Xi,X2]0<v^f(u) q ueXiX]

НОД(д,п) = 1

где

R2[q, A, X] <w a3 (q)XA-3 + Xе (VA + ^q). Доказательство. Доказательство леммы 2 и леммы 3 см. в [3]. □ Теперь обратимся к (14). Запишем S(R,a,@) в виде

S (R, а, в) = S[(R, а, в) + S'( (R,a,0) - S2(R,aJ), (15)

где

Si(R,a,e) = £ £ £ Sq(uv - 1),

q^Ru€l'(q,a,P) ve(0,q]

S'l(R,a,e) = £ £ £ Sq(uv - 1),

q^Ruel"(q,a,e) ve(0,gí(u,a)]

S2(R,a,e) = £ £ £ Sq (uv - 1).

q^R ueI'(q,a,l3)Ul"(q,a,l3) ve(0,g2(u)]

Здесь отрезки I'(q,a,e), I''(q,a, в) определяются так:

I'(q, а, в) = {u е I(q, в)\g2(u) <q ^ gi(u,a)}, I''(q, а, в) = {u е I(q, в)\g2(u) <gi(u,a) ^ q}.

Используя лемму 2 и оценку У]q<R a(q) ^ R log R, вычислим

s'^r^^) = y1 - y, q + o(r2 log3 r). (16)

q<R q ueI'(q,a,e) НОД^,и) = 1

Относительно исследования двух других сумм S'{(R, а, в) и S2(R, а, в) мы должны принять во внимание то, что для фиксированного натурального числа q вторые производные функций gi(u^) и g2(u) могут обращаться в нуль в интервалах суммирования I''(q, а, в) и I'(q, а, в) U I''(q, а, в).

Лемма 4. Для сумм S'{(R,а,в) и S^R^Ji) справедливы асимптотические формулы

S!(R, а, в) = Y1" £ gi(u, а~) + O(R2-3 log2 R),

q<R q ueI''(q,a,e) НОД^,и) = 1

Ss2(R, а, в) = Y1" Y1 g2(u^) + O{R2-1 log3 R).

q<R q ueI'(q,a,e)Ul"(q,a,e) НОД^,п)=1

Доказательство. Мы докажем утверждение для S'((R,a,@), поскольку для S2(R, а, в) доказательство проводится так же. Из (12) следует, что

g1 (и,а) = а^ cos4(¿)Ф(£), t = arctg (—), q2 q

где функция Ф^) определена соотношением (7). Ф^) может обращаться в нуль только в конечном числе точек. Для простоты будем считать, что равенство Ф^) = 0 выполняется только в одной точке — обозначим эту точку через t0, а соответствующее значение переменной и через —0.

Если to ф (0, фо], то к внутренним двум суммам по переменным и и v вели-

2

чины S'l(R,a,e) можно применить лемму 3 с A = R. Следовательно,

S'{(R, а, в) = £" £ gi(—, а) + O(R2+£), (17)

q<R q u€l"(q,a,e) НОД(д,«)=1

так как

q2

q,R,q

я<я

Для этого случая лемма доказана. Пусть теперь ¿0 £ (0, ф0]. Положим

< R 2

2

Umax = max {u}, k = [log2 Umax], u&I''(q,a,e)

s(q,J)= E E sq(uv -1),

u£j v^(0,g1(u,a)\

u&I"(q,a,e)

где J — интервал изменения переменной u. Разделим интервал (0,umax] на интервал

J(0) = (uo - Aq, uo + Aq] Q I"(q, а, в),

который может быть пустым и на интервалы Ji (1 ^ i ^ k + 1) вида

{

(2i-1, 2i] П I"(q,a,P), если J(0) =

. ^ (2»-1, 2*]р| )\(.(0) П(2-, 2*]), в противном случае,

часть из которых также могут быть пустыми. При этом 0 < А < 1 — пока любое вещественное число, не зависящее от q. С учетом этого представим сумму а, в) в виде

Б1К*,а,в) = £ £ 5 + £ 5 ^,.1(0)).

д<Я д<Я

Из множества интервалов выделим интервалы, которые граничат с

таковые обозначим через К Б.(0)) применим лемму 2, заме-

нив функцию д1(и,а) на отрезке суммирования по переменной и константой, равной д1(и° — Аq,а), и учтем ошибку, полученную при такой замене, не превосходящую ДА2. К остальным суммам применим лемму 3, полагая

_ —для J(1)),J(2),

R \ q • 2-i — для Ji, не совпадающего с j (i),j (2).

^=R{Д-1

В результате мы получим

1

S'!(R,a,e ) = Е - Е 9i(u, а) + O(R')

q

q<R u&I"(q,a,P) HOA(q,u) = 1

где

тУ/ _ ту// I о//

R = R1 + R2 ,

R1 « E Ri[q] + E RA2

q<R q<R

R2 R2

q<R i<log q

q,

R- 2i

+ £ R2

q<R

RA

A

(18)

(19)

(20)

Первое слагаемое в правой части (19) равно O(R2 log3 R), а второе — O(R2A2). Оценим R2. Используя лемму 3, представим правую часть (20) как сумму трех слагаемых S1, S2, S3 :

Si =

£2 =

S3 =

EE -2 (q)2< Rf)3+E -2 (q)4 R^

q<R i<log q q<R

ee*TS+e W RA ■

q<R i<log q q<R

E E 2£iv~q+E A£vq,

q<R i<log q q<R

и последовательно вычислим каждое из них.

Сумму Е1 можно упростить на основании того, что второе слагаемое в ней меньше первого, поэтому

Si < r-3 (q)q-1 Е 23i < R1Е -2 (q)q3 ^

q<R

< R 3i > -

q<R

E -(q>) \ E«)

q<R q<R

i<log q q<R

i 3

И < R1+3 log 3 R.

3

2

q

q

2

q

По этой же причине в сумме достаточно рассмотреть только первое слагаемое, при этом суммировать по тем индексам д и г, для которых ^ 1. Поскольку на всех полуинтервалах Ji с 1 ^ г ^ к +1 имеет место ограничение д''(и) » , то » . Отсюда

0£г. _Я_ ^

;q<RA^i<\og q 2 \/ RA ^

< R-1Д"§ Eq<R ql+£ < R§+£Д"1 ■

q<R

Так как S3 ^ R§+£, то мы заключаем, что R'2 ^ R1+§ log3 R + R§+£Д~§, и возвращаясь к (18), получаем оценку остаточного члена для S'((R, а, в) :

R'' < R § log3 R + R2Д2 + R1+§ log § R + R §+£Д" § .

Выберем теперь Д так, чтобы R2Д2 х R § +£Д §, то есть Д = R б . Тогда §§

R'' Rl+§ log § R, из чего следует утверждение леммы. □

Обозначим F(u,q,a) = min{q, gl(u, а)} - g2(u). Согласно (15), (16) и лемме 4, сумма S(R,a,e) имеет вид

S (R,a,e ) = J2~ Y1 F (u, q, а) + O{R2~ § log § R).

q<R q u£l(q,fi) нод(я,и) = 1

Из (12), (13) следует равенство

1 q

Е F(u,q,a) = E F(u,q,а),

u&I(q,l3) НОД(я,и)=1

q

S\q

u&I (Я,в) S\u

где ¡1(8) — функция Мёбиуса. А так как

1

} Р(и,д,а) = - [и € I(д, в)]Р(и,д,а)йи + О(д), 8 ^

6\п

и согласно определений (12), (13)

(21)

[u e I(q, e)]F(u, q, a)du

ll

'0 J0

t ^ mm{tq, ф0}, v el —x(t) - 1, a—x(t)

(

R

R

dvd tan(t),

где величина задается соотношением д = [5Ях(1я), то главный член в (21), который мы обозначим через Б*(Я, а, [3) можно написать в виде

S *(R, а, в) = Е MS'(f),

S<R ^ '

q

0

2

q

где

s'(R) = E q Г Г

q<R 0 0

RR

t ^ tq,t ^ ф0, —x(t) — 1 < v ^ a—x(t) qq

dvd tan(t).

Здесь мы учли, что остаток q<R ^Yl¿|q q ^ R log R меньше остаточного члена

1

q

в (21).

При вычислении Б'(Д) изменим порядок суммирования и интегрирования, затем полученную внутреннюю сумму заменим интегралом. От такой замены возникает ошибка самое большее Д. В итоге находим

1 Г Ф0 г1

R2x2(t)dtan(t) I

00

s (R) =

1а — - 1<v<

(m4 а ,в 2} — dv+

в 1 — а _

+O(R).

Интегрируя с учетом утверждения 2, получаем S'(R) = R2SQ • I(а, в) + O(R), где

( (а + в — 1)2, если а ^ 1/2, I(а, в) = [а + в > 1] • [в ^ 1/2] • < 2(в — 1/2)2 — (а — в)2, если 1/2 <а ^ в,

( 2(в — 1/2)2, если а>в,

и Sq — площадь области П. Отсюда и из (14), (21), (22) следует асимптотическая формула для #T+(R) :

R2 1 2

#T+(R) = ^Sq • I(а, в) + O(R2-3 log3 R,

где Z(s) — дзета-функция Римана.

Для нахождения асимптотической формулы для #T-(R), применим соотношение, подобное (11). В результате получим

#T-(R) = EE Sq (uv +1),

q<Ru,v = 1

при этом

u ^ qtan(^o) — 1/v, (q,u) E QaR, (vq,uv — 1) E Q^r, (q(q + v),u(q + v) — 1) E QqR. Согласно (12)—(14) T-(R) = S(R,в,а) + O(R), из чего следует, что

R2 1 2

#T-(R) = —Sq • I(в, а) + O(R2- 3 log3 R.

И последнее, замечая равенство I(а, в) + I(в, а) = I(а, в) и учитывая лемму 1, получаем соотношение для :

R2 1 2

#$(R) = SQ •!(а, в) + O(R2-3 log3 R. (23)

3. Доказательство теоремы 2

Теорема следует из (23) и из асимптотической формулы для (Q,R) :

(Q,R) = Е 1= Е Е ^(¿) =

(x,y)eF(Q,R) (x,y)eF(Q,R) й\НОД(х,у)

НОД(х,у) = 1

= Е ^) Е 1 =

S<R (x,y)&F(n,R/S)

= R2 • Sn Е Ф + O(Rlog(R)) = Rn • Sn + O(Rlog(R)).

¿<R Z ( )

4. Заключение

В основе результата работы лежат асимптотические свойства решений уравнения PQ'-P'Q = 1. Наличие оценок на суммы Клостермана (см. обзор [4]) позволяет находить асимптотические формулы для сумм вида (11). Важным продолжением этой работы может послужить нахождение асимптотических формул для среднего числа подходящих дробей различных классов непрерывных дробей, связанных с областью Q.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Boca F. P., Cobeli C., Zaharescu A. Distribution of lattice points visible from the origin // Comm. Math. Phys. 2000. Vol. 20. P. 433-470.

2. А. В. Устинов О распределении точек целочисленной решетки // Дальневосточный математический журнал. 2009. Т. 9, № 1-2. С. 176-181.

3. А. В. Устинов О числе решений сравнения xy = l(modq) под графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, № 5. С. 186-216.

4. D Heath-Brown. Arithmetic applications of Klosterman sums. Neiuw Arch. Wiskd., 5/1,2000, 380-384

REFERENCES

1. Boca, F. P., Cobeli, C. & Zaharescu, A. 2000, "Distribution of lattice points visible from the origin." , Comm. Math. Phys., Vol. 20, p. 433-470.

2. Ustinov, А., 2009, "On the distribution of integer points." , Far Eastern Mathematical Journal. Vol. 9, № 1-2, Khabarovsk, p. 176-181.

3. Ustinov, А., 2009, "On the number of solutions of the congruence xy = l(modq)." , St. Petersburg Mathematical Journal. Vol. 20, no. 5, St. Petersburg, p. 813-836.

4. D Heath-Brown. Arithmetic applications of Klosterman sums. Neiuw Arch. Wiskd, 5/1,2000, 380-384

Хабаровское отделение ИПМ ДВО РАН Поступило 25.02.2015