CC BY
27
УДК 004.42
Е. А. Альтман, Д. А. Елизаров, А. В. Александров
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕДУР АНАЛИЗА СИГНАЛОВ ТЯГОВОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ
Аннотация. Анализ качества электрической энергии с точностью, определяемой современными стандартами, требует применения цифровой обработки сигналов. При измерении одной из основных операций является нахождение корреляции сигналов. Выполнение операций над цифровыми представлениями сигналов, содержащих большое число отчетов, требует значительных вычислительных ресурсов, что приводит к важности проблемы быстрого вычисления корреляции.
Известные способы вычисления корреляции предполагают использование ряда алгоритмов: преобразование корреляции в циклическую свертку, вычисление циклической свертки через БПФ и др. По отдельности эти алгоритмы хорошо изучены, однако при совместном их использовании возможна дополнительная оптимизация алгоритмов.
В статье предлагается способ оптимизации вычислительной процедуры для нахождения корреляции сигналов, связанной с сокращением операций при выполнении подряд двух преобразований Фурье. Сокращение операций по перестановке данных производится за счет другого способа размещения результатов вычислений. В зависимости от вычислительной архитектуры предложенный способ позволяет ускорить вычисления до 20 - 25 %.
Ключевые слова: качество электроэнергии, корреляция, быстрое преобразование Фурье, вычислительная схема, алгоритм Pease FFT.
Evgenii A. Altman, Dmitrii A. Elizarov, Aleksandr V. Aleksandrov
Omsk State Transport University (OSTU), Omsk, the Russian Federation
IMPROVEMENT OF COMPUTING PROCEDURES OF THE SIGNALS ANALYSIS IN THE TRACTION ELECTRICAL NETWORK
Abstract. The analysis of electric energy quality with a required by modern standards accuracy demands applying of digital signals processing. At measurement, one of the main operations is finding signals correlation. Operations performance over digital representations of the signals containing a large points number requires many of computing resources that results in importance of a fast correlation calculation problem.
The well-known methods of correlation calculation is applying a range of algorithms: transformation correlation to cyclic convolution, calculation cyclic convolution through FFT and others. These algorithms are well-studied, however their combination make possible additional optimization of algorithms.
In paper we offer the method of computing procedure optimization for signals correlation calculation based on operations reduction when performing a sequence two Fourier transformations. Using another way of placing the calculations results we can reduce a data rearranging operations number. Depending on computing architecture, the offered method allows to accelerate calculations to 20 - 25%.
Keywords: quality of the electric power, correlation, fast transformation of Fourier, computing scheme, algorithm Pease FFT.
Задача повышения качества электрической энергии не может быть решена без эффективных средств для анализа сигналов и процессов, происходящих в электрических сетях. Точность измерений, регламентируемая современными стандартами, может быть достигнута только с использованием средств цифровой обработки сигналов [1].
Одним из основных инструментов цифровой обработки сигналов, применяемых для анализа процессов в электрических сетях, является функция корреляции, которая позволяет производить сравнение измеренных сигналов с эталонными. В связи с этим совершенствование программ для вычисления корреляции является важной частью создания приборов для измерения параметров качества электрической энергии. В частности, с помощью корреляции с вы-
сокои точностью находятся параметры гармоник сигналов и определяются возможные негативные влияния на качество электрической энергии подключенных к неИ мощных приборов.
Требования к точности современных измерительных приборов определяют необходимость в анализе оцифрованных сигналов электрической сети, содержащих большое число отчетов. Для анализа таких сигналов требуется использование быстрых алгоритмов.
Быстрыми алгоритмами цифровой обработки сигналов называют алгоритмы, которые позволяют найти результат вычислений по математической формуле за меньше число вычислительных операций, чем требуется для нахождения этого результата непосредственно по формуле. Они позволяют сократить требуемое число операций во много раз и, тем самым, сделать возможным выполнение требуемых операций над сигналами за допустимый период времени или в режиме реального времени.
Применительно к описанным условиям основным способом для быстрого нахождения корреляции сигналов является сведение корреляции к вычислению циклической свертки, которая в свою очередь вычисляется через быстрое преобразование Фурье (БПФ).
Все этапы вычислений этого способа являются хорошо изученными алгоритмами. Однако комбинации этих алгоритмов открывают новые возможности для дополнительной оптимизации. В статье рассматривается способ подобной оптимизации, связанный с сокращением числа операций на перестановку данных в алгоритмах БПФ. Хотя эти операции не являются вычислительными и не учитываются при расчете основных метрик алгоритмов, тем не менее, они оказывают заметное влияние на быстродействие их практических реализаций [2].
Расчет корреляции через БПФ состоит из двух этапов. На первом этапе с помощью простой перестановки порядка действий процесс вычисления корреляции сначала преобразуется в линейную свертку, которая затем преобразуется в циклическую. На втором этапе сигналы, с которыми требуется выполнить циклическую свертку, с помощью БПФ переводятся в частотную область, в которой быстро выполняется циклическая свертка.
Для реализации первого этапа существует несколько алгоритмов: перекрытие с добавлением (overlap-add method), перекрытие с сохранением (overlap-save method) и др. [3]. Основная идея этих методов заключается в разделении большего из входных сигналов на части, примерно равные меньшему из входных сигналов, и в дополнении полученных частей большего сигнала и меньшего сигнала нулями так, чтобы формула для вычисления соответствующих отсчетов линейной свертки совпала с формулой для части отсчетов соответствующей циклической свертки. Более детальное описание этих методов в статье приводить не будем, поскольку представляемые в ней результаты относятся ко второму этапу вычисления корреляции.
Рассмотрим подробнее алгоритм быстрого вычисления циклической свертки. Для его краткого и удобного математического описания будем рассматривать входные и выходные сигналы как числовые последовательности. Условимся обозначать последовательности заглавными латинскими буквами, а элементы этих последовательностей - соответствующими строчными. Количество элементов в последовательности будем обозначать заглавными латинскими буквами, а индексы - строчными. Например, последовательность X содержит N элементов от x0 до xn-1.
Циклической сверткой Z последовательностей X и Y будем называть последовательность, рассчитываемую по следующей формуле (операции с индексами выполняются по модулю N):
iN-1
ХП Уm-n' (1)
I
*п=0
Обозначим дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательности X как
DFT (х):
N-1
ВГТ (х) = Х х^Т, (2)
.„. пт
где пN - поворачивающие множители.
n
n=0
Рассмотрим ДПФ от последовательности 2:
N-1 (N-1 Л
DFT(х) = £ I Х * У-п К, (3)
I=0 V П=0 )
Поменяем местами порядок суммирования:
N-1 N-1
DFT(х) = 1 хи у,-. (4)
Представим поворачивающий множитель в следующем виде: Ж1™ = Ж^-п)т * Ж^т. Значение Жр. можно вынести за знак внутренней суммы, а вместе с ЖN-п)т внутренняя сумма соответствует определению ДПФ последовательности Y (которое можно вынести за знак внешней суммы):
N-1
DFT(х) = DFT(у) * I Хп * ЖПт. (5)
п
п=0
Оставшаяся сумма представляет собой ДПФ от последовательности X:
DFT (2) = DFT (У) * DFT (X). (6)
Таким образом, ДПФ от циклической свертки двух сигналов будет равно произведению ДПФ этих сигналов. Используя это свойство, циклическую свертку можно найти по следующей схеме:
1) вычисляем БПФ входных последовательностей;
2) перемножив результаты БПФ, получаем ДПФ выходной последовательности (результат циклической свертки);
3) с помощью обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ) находим циклическую свертку.
Наибольшую сложность в этом методе имеют первый и третий этапы - О (N N), где
N - количество элементов в последовательностях (на первом этапе вычисления корреляции создаются входные последовательности одинаковой длины). На обоих этих этапах используется алгоритм БПФ. При вычислении корреляции идет вычисление пары БПФ - результаты прямого БПФ подаются на входы ОБПФ. Рассмотрим операции этой пары БПФ как единую вычислительную схему.
При выполнении одного из классических алгоритмов БПФ (например, Кули - Тьюки) данные на выходе будут расположены не по порядку. Для большинства алгоритмов данные будут располагаться в так называемом битреверсном порядке. Для получения корректного порядка данных требуется выполнение дополнительных операций по перестановке данных. Существуют также алгоритмы, в которых перестановки выполняются до начала вычислительных операций. Предложены алгоритмы, в которых перестановки выполняются в ходе вычислений, но в общем случае, если требуется прямой порядок элементов, на выходе перестановок не избежать.
Битреверсная перестановка отнимает много процессорного времени, для некоторых процессорных архитектур до четверти от времени вычислительных операций [7]. Существуют алгоритмы ее выполнения, позволяющие сократить число требуемых операций за счет использования дополнительной памяти [5 - 7], однако они не убирают полностью связанные с перестановкой потери.
Одним из подходов в борьбе с потерями на битреверсных перестановках является построение вычислительных схем, в которых перестановки выполняются по ходу выполнения вычислительных операций [8, 9]. Такие вычислительные схемы не являются универсальным решением проблемы перестановок, поскольку перестановки требуется выполнять совместно
с вычислительными операциями и не для всех процессорных архитектур их можно скрыть, выполняя параллельно вычислительным операциям.
Для частного случая применения БПФ для вычисления корреляции можно решить проблему битреверсных перестановок, используя следующий способ. При вычислении корреляции, когда результаты БПФ подаются на входы ОБПФ, можно избежать стадий перестановки. Для этого нужно подобрать для прямого БПФ алгоритм, который требует битреверсную перестановку после вычислений, а для ОБПФ - алгоритм, который требует битреверсную перестановку перед вычислениями. Эта перестановка, будучи выполненной два раза подряд, возвращает данные на исходные позиции, поэтому в рассматриваемом случае результат выполнения пары БПФ не изменится, если убрать две битреверсные перестановки [10].
Другой подход повышения быстродействия БПФ, связанный с оптимизацией операций пересылки данных, называется алгоритмом Pease FFT и предложен Пизом (Marshall Pease) в работе [11]. Он предлагался как альтернатива алгоритму Кули - Тьюки для параллельных (векторных) вычислений. В оригинальной работе алгоритм был описан в терминах матричной алгебры, его представление в виде графа рассмотрено в работе [12].
Вычислительная схема алгоритма Pease FFT для восьми точек с прореживанием по частоте приведена на рисунке 1.
Рисунок 1 - Алгоритм Pease FFT для FFT-8 c прореживанием по частоте
Перекрещенными стрелочками на рисунке 1 обозначена так называемая операция «бабочка». У этой операции есть два входа (л0, л^) и два выхода (y0, yx), связанные между собой следующими соотношениями:
y0 = Х0 + (7) У1 = Ло - х\.
Выходы одних «бабочек» передаются на входы других, в некоторых случаях результаты бабочек требуется умножить на поворачивающие множители.
Как видно из рисунка 1, на всех стадиях вычисляются одинаковые «бабочки». Индексы элементов «бабочек» не требуют вычислений: входные данные считываются по порядку, результаты «бабочек» записываются в две половины массива - верхний выход «бабочки» в верхнюю половину, нижний - в нижнюю. Поворачивающие множители расположены равномерно. Все это делает алгоритм Pease FFT особенно удобным для организации параллельных вычислений, но и в случае одноядерных процессоров позволяет получить более быструю реализацию.
Алгоритм Pease FFT может быть реализован и с помощью прореживания по времени (рисунок 2).
В отличие от классических алгоритмов типа Кули - Тьюки для алгоритма Pease FFT отличие схем с прореживанием по времени и по частоте сводится к различной расстановке поворачивающих множителей. Независимо от схемы прореживания этот алгоритм требует выполнения битреверсной перестановки перед вычислительными операциями.
-ч ж-----ч ж-----ч *--У о
-\ *--У1
Хб - \Хг " - ^8-Л/С--2/3
ХЬ - /\ " /\ " /\ --У5
Х7 -/ ^^ - -W-1-/ ~ ^--У7
Рисунок 2 - Алгоритм Pease FFT для FFT-8 c прореживанием по времени
Рассмотренные два способа повышения быстродействия БПФ (устранение перестановки при вычислении корреляции и алгоритм Pease FFT) не могут работать совместно, поскольку ни в одном из вариантов Pease FFT нет схемы вычислений, при которой битреверсная перестановка выполнялась бы после вычислительных операций.
Для построения быстродействующего алгоритма вычисления корреляции, в котором отсутствовала бы битреверсная перестановка и вместе с тем использовалась бы оптимальная схема расположения данных, аналогичная алгоритму Pease FFT, предлагается использовать вычислительную схему с повторением стадий, предложенную в работе [13] для оптимизации алгоритма БПФ.
В этой работе было показано, что вычислительная схема с повторением стадий обладает свойствами, аналогичными свойствам Pease FFT. При практической реализации она обеспечивала выигрыш в производительности до 20 % по сравнению с классическими схемами алгоритма Кули - Тьюки. Отличительной особенностью этой схемы, позволяющей использовать ее для решения задачи вычисления корреляции, является расположение данных. На входе этой схемы данные располагаются в прямом порядке, на выходе - в битреверсном. Пример схемы для FFT-8 c прореживанием по времени приведен на рисунке 3.
—\ 4------ 4-----4— Уо
—лУ" ~ " ^s~/{\r— Vl -/ - - /\ --УЪ
Хб -/ V-- Vj1-/ V-- ^8 V--УЗ
Х7 -^--У7
Рисунок 3 - Вычислительная схема с повторением стадий для FFT-8 с прореживанием по времени
Как и в случае алгоритма Pease FFT реализации этой вычислительной схемы возможны с прореживанием как по времени, так и по частоте. В обоих случаях будет использоваться одинаковый набор «бабочек», а отличие будет заключаться в расстановке поворачивающих множителей. На рисунке 4 приведена вычислительная схема c повторением стадий для FFT-8 c прореживанием по частоте.
-\ i------\ А------ А--У О
xi —\ - - — У4
Х3 -\Х/ " " - --Уб
- /\~ ~ ijit8" /\~ ~ /\ --УЪ
-" ^ - ^Щг ^--У7
Рисунок 4 - Вычислительная схема c повторением стадий для FFT-8 c прореживанием по частоте
Таким образом, мы получаем следующую схему вычисления корреляции сигналов:
1) вычисляем БПФ входных последовательностей по вычислительной схеме с повторением стадий;
2) перемножаем расположенные в битреверсном порядке результаты БПФ и получаем ДПФ циклической свертки в таком же порядке;
3) выполняем ОБПФ по схеме Pease FFT.
Предлагаемая схема вычислений позволяет получить более быстрые программы для вычисления корреляции при большом числе отсчетов во входных сигналах. Выигрыш в быстродействии значительно зависит от архитектуры вычислительного устройства. Он может достигать 20 - 25 % как по сравнению с алгоритмами, реализующими вычисление корреляции без битреверсной перестановки обычным образом, так и по сравнению с алгоритмами, реализующими вычисление корреляции с помощью оптимизированных с использованием алгоритма Pease FFT БПФ.
За счет применения описанной методики повышается скорость, а следовательно, и точность измерения параметров тока и напряжения в контактной сети, значений мощности, построения спектральных характеристик. Отпадает необходимость использования технических приборов и устройств, имеющих в своем составе специализированные процессоры для обработки цифровых сигналов.
Список литературы
1. Альтман, Е. А. Повышение точности оценки параметров сигналов в электрической сети в системе тягового электроснабжения [Текст] / Е. А. Альтман, Д. А. Елизаров // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2012. - №. 3 (11). - С. 95 - 100.
2. Альтман, Е. А. Моделирование алгоритмов обработки сигналов с целью оптимизации их аппаратной реализации [Текст] / Е. А. Альтман, Т. В. Васеева, Д. И. Кузнецов // Современные научные исследования и разработки / Научный центр «Олимп». - М. - 2017. - №. 4. -С. 27 - 29.
3. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов [Текст] / А. Б. Сергиенко. - СПб: БХВ-Петербург, 2011. - 768 с.
4. Johnson S. G. Frigo M. Implementing FFTs in Practice. Houston: Rice University Publ., 2008, 23 p.
5. Elster A. C. Fast bit-reversal algorithms, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1989. pp. 1099 -1102.
6. Evans D. M. A second improved digit-reversal permutation algorithm for fast transforms, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1989, no.37 (8), pp. 1288 - 1291.
7. Rius J. M., De Porrata-Doria R. New FFT bit-reversal algorithm, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1995, no. 43 (4), pp. 991 - 994.
8. Cochran W. T., Favin D. L., Helms H. D., Kaenel R. A. What is the fast Fourier transform?, Proceedings of the IEEE,1967, no. 55 (10), pp. 1664 - 1674.
9. Johnson H., Burrus C. An in-order, in-place radix-2 FFT, IEEE Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1984, no 9, pp. 473 - 476.
10. Альтман, Е. А. Повышение эффективности метода перекрытия с накоплением для вычисления дискретной свертки [Текст] / Е. А. Альтман, С. С. Грицутенко // Вопросы радиоэлектроники / ЦНИИ Электроника. - М. - 2010. - Т. 1. - №. 3. - С. 88 - 96.
11. Pease M. C. An adaptation of the fast Fourier transform for parallel processing, Journal of the ACM (JACM), 1968, no. 15 (2), pp. 252 - 264.
12. Swarztrauber P. N. FFT algorithms for vector computers, Parallel Computing, 1984, no 1, pp. 45 - 63.
13. Альтман, Е. А. Оптимизация вычислительной схемы быстрого преобразования Фурье [Текст] / Е. А. Альтман // Омский научный вестник / Омский гос. техн. ун-т. - Омск. - 2008. -№ 1 (64). - С. 149 - 151.
References
1. Al'tman E. A., Elizarov D. A. Increase in accuracy of assessment signal parameters in an electrical network in the traction power supply system [Povy' shenie tochnosti ocenki parametrov signalov v e'lektricheskoj seti v sisteme tyagovogo e'lektrosnabzheniya]. Izvestiia Transsiba - The journal of Transsib Railway Studies, 2012, no. 3 (11), pp. 95 - 100.
2. Al'tman E. A., Vaseeva T. V., Kuzneczov D. I. Modeling signal processing algorithms for the purpose of their hardware realization optimization [Modelirovanie algoritmov obrabotki signalov s cel'yu optimizacii ix apparatnoj realizacii]. Sovremenny^e nauchny^e issledovaniya i razrabot-ki, 2017, no. 4, pp. 27 - 29.
3. Sergienko A. Cifrovaya obrabotka signalov (Digital signal processing). Sankt-Peterburg: BXV-Peterburg, 2011, 768 p.
4. Johnson S. G. Frigo M. Implementing FFTs in Practice. Houston: Rice University Publ., 2008, 23 p.
5. Elster A. C. Fast bit-reversal algorithms, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1989. pp. 1099 -1102.
6. Evans D. M. A second improved digit-reversal permutation algorithm for fast transforms, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1989, no.37 (8), pp. 1288 - 1291.
7. Rius J. M., De Porrata-Doria R. New FFT bit-reversal algorithm, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1995, no. 43 (4), pp. 991 - 994.
8. Cochran W. T., Favin D. L., Helms H. D., Kaenel R. A. What is the fast Fourier transform?, Proceedings of the IEEE,1967, no. 55 (10), pp. 1664 - 1674.
9. Johnson H., Burrus C. An in-order, in-place radix-2 FFT, IEEE Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1984, no 9, pp. 473 - 476.
10. Al'tman E. A., Griczutenko S. S. Increase in efficiency of a overlapping method with accumulation for calculation of discrete convolution [Povy'shenie e'ffektivnosti metoda perekry'tiya s nakopleniem dlya vy'chisleniya diskretnoj svertki]. VoprosyЛ radioelektroniki, 2010, no. 3, pp. 88 - 96.
11. Pease M. C. An adaptation of the fast Fourier transform for parallel processing. Journal of the ACM (JACM), 1968, vol. 15, no. 2, pp. 252 - 264.
12. Swarztrauber P. N. FFT algorithms for vector computers. Parallel Computing, 1984, vol. 1, no. 1, pp. 45 - 63.
13. Al'tman E. A. [Optimizaciya vy'chislitel'noj sxemy' by'strogo preobrazovaniya Fure]. Omskij nauchnyj vestnik, 2008, no. 1 (64), pp. 149 - 151.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Альтман Евгений Анатольевич
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).
Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.
Кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматика и системы управления», ОмГУПС.
Тел.: +7 (3812) 31-05-89.
E-mail: altmanea@gmail.com
Елизаров Дмитрий Александрович
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).
Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.
Кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматика и системы управления», ОмГУПС.
Тел.: +7 (3812) 31-05-89.
E-mail: elizarovda@gmail.com
Александров Александр Владимирович
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).
Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.
Аспирант кафедры «Автоматика и системы управления», ОмГУПС.
Тел.: +7 (3812) 31-05-89.
E-mail: alexandrov_a_v@mail.ru
БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ
Альтман, Е. А. Совершенствование вычислительных процедур анализа сигналов тяговой электрической сети [Текст] / Е. А. Альтман, Д. А. Елизаров, А. В. Александров // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2018. - № 4 (36). -С. 113 - 120.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Altman Evgenii Anatolyevich
Omsk State Transport University (OSTU). 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russian Federation. Ph. D. in Engineering, Associate Professor of the department « Automation and control systems», OSTU. Phone: +7 (3812) 31-05-89. E-mail: altmanea@gmail.com
Elizarov Dmitrii Aleksandrovich
Omsk State Transport University (OSTU). 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russian Federation. Ph. D. in Engineering, Associate Professor of the department « Automation and control systems», OSTU. Phone: +7 (3812) 31-05-89. E-mail: elizarovda @gmail.com
Aleksandrov Aleksandr Vadimirovich
Omsk State Transport University (OSTU). 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russian Federation. Postgraduate student of the department « Automation and control systems», OSTU. Phone: +7 (3812) 31-05-89. E-mail: alexandrov_a_v@mail.ru
BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION
Altman E. A., Elizarov D. A., Aleksandrov A. V. Improvement of computing procedures of the signals analysis in the traction electrical network. Journal of Transsib Railway Studies, 2018, vol. 4, no 36, pp. 113 - 120 (In Russian).
УДК 621.317:004.7
А. А. Лаврухин, А. Г. Малютин, Т. В. Васеева
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация
ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО КОМПЛЕКСА АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ МОНИТОРИНГА И
УЧЕТА ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
Аннотация. Рассматриваются пути повышения эффективности информационно-измерительного комплекса автоматизированной системы мониторинга и учета электроэнергии. Исследуется возможность уменьшения объема телеметрического трафика в каналах передачи информации и повышения энергетической эффективности информационно-измерительной аппаратуры.
