CC BY
93
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Большаков В. И. Современное металлостроительство в научных исследованиях и учебном процессе академии / В. И. Большаков, Е. А. Егоров // Вюник Придшпровсько! державно! академп буд1внищва та архггектури. - 2008. - № 10. - С. 4-7.
2. Кулябко В. В. Динамика металлических конструкций и проблемы строительства, науки и образования (к десяти юбилеям "Резонанса") / В. В. Кулябко // Вюник Придшпровсько! державно! академп буд1вництва та архггектури. - 2008. - № 10. - С. 12-20.
УДК 624.042
СОЗДАНИЕ УПРОЩЕННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СТАЛЬНОЙ
МНОГОЭТАЖНОЙ РАМЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ И ВЫБОРА ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНОГО ГАСИТЕЛЯ
Д. С. Ярошенко, студ.
Ключевые слова: упрощенная динамическая модель, временная область, нелинейный гаситель.
Известны работы по нелинейной сейсмозащите, по расчетам (в соответствии с требованиями ДБН В.1.1-12:2006) сооружений на реальные акселерограммы, заданные во временной области, а также — по моделированию, см. [1—5]. Выполнять точные решения таких современных задач нелинейной динамики сооружений очень сложно и, в подавляющем большинстве случаев, — нецелесообразно. Поэтому актуально создание такой математической модели процесса, которая «с инженерной точностью» отображала бы поведение систем при динамических нагрузках, позволяла бы конструктору создавать новые гасители колебаний.
Исходные данные. Рассмотрим как пример колебания плоской рамы, являющейся частью каркаса промышленной этажерки и подверженной влиянию динамической нагрузки. На ригели плоской 4-этажной рамы (размеры даны на рисунке) действует распределенная нагрузка величиной 6,5 кН/м. В уровне 4-го ригеля на раму действует гармоническая нагрузка величиной 1 кН с частотой, равной первой частоте свободных колебаний рамы.
Создание динамической модели рамы. На динамические характеристики рамы влияет погонная изгибная жесткость ригелей и стоек. Попытаемся подобрать такое их соотношение, которое позволяло бы не учитывать, например, изгибные деформации ригелей. Минимальные (начальные) сечения элементов рамы, обеспечивающие ее статическую прочность и устойчивость, составляют: стойки - двутавр № 10, ригели -двутавр № 12. При помощи ПК «ЛИРА» 9.2 вычислим по 4 низшие собственные частоты рамы, увеличивая жесткость ригелей в 5—120 раз. (Массы рамы не менялись и сосредотачивались в крайних узлах всех ригелей - по 1 т, всего 8 т. Стержни считались невесомыми и несжимаемыми). Судя по таблице 1, относительно близкими будут характеристики уже при замене ригеля с 12-го на 20-й двутавр.
Таблица 1
\цг 31
6.5кН/м / 1
\х!Е
6.5кН/м / 1
\пг
6.5кН/и / ^ 1
\khW\kkkkkkkkkkk
1_1Ш2 К 1
. 3000
ы
1Ы
Рис. 1. Расчетная схема
Поэтому для дальнейшего исследования по данной схеме рамы в статье будем изучать другую (по сравнению с рис.1) раму, с сечением ригеля из двутавра № 20. Ибо в этом случае можно считать изгибную жесткость ригеля условно бесконечной, т. к. последующее увеличение сечения ригеля уже мало влияет на изменение частоты свободных колебаний рамы. Колебания рамы будут происходить по сдвигово-этажной схеме с пренебрежимо малыми изгибными колебаниями ригелей и существенными изгибными деформациями стоек.
Составление матрицы жесткости системы методом перемещений. Известно, что при расчете рам методом перемещений (см. рис. 2), общее число неизвестных определяется степенью кинематической неопределимости (числом узловых и линейных неизвестных перемещений, знание которых дает возможность определить характер деформации системы, а, следовательно, и усилия в ее элементах): СКН = пу+ пл = 8+4 =12.
Принимая во внимание высказанное выше предположение о том, что изгибная жесткость ригелей рамы условно принимается бесконечной, можно пренебречь неизвестными угловыми перемещениями жестких узлов (см. основную систему метода перемещений на рис.3) и составлять матрицу жесткости, исходя только из линейных перемещений и пользуясь правилами метода перемещений для определения реактивных усилий ггк — реактивное усилие, возникающее в дополнительной связи г при перемещении на единицу связи к.
-н-
"Н-
Рис. 2. Основная система метода перемещений
Рис. 3. Упрощенная система метода перемещений
1Н-
-Н-
»Г'14
Г11 =
Г12 =
4х12хЫ
13
2х12х EJ
Т3
= 72 512
Н
м
= -362 560
Н
м
г = г
'13 '14-
Г'12
Рис. 4. К определению неизвестных коэффициентов от единичного перемещения 21 =1
Для определения собственных частот колебаний рассматриваются свободные незатухающие колебания, при которых уравнение движения имеет вид:
М х х+ к х х, где М - матрица масс, к - матрица жесткости.
Предполагается, что колебание всех точек происходит по синусоидальному закону х = ^т ( ю1 + ф ), тогда решение уравнения движения сводится к решению нестандартной задачи на собственные числа (к - ю 2М)А = 0, где ю - собственная частота (собственное число), А - форма колебания (собственный вектор).
Для решения такой задачи МаШса*! содержит две встроенные функции:
- §епуак - вычисление собственных чисел;
- §епуес8 - вычисление собственных векторов.
Матрица жесткости:
к :=
( 725120 - 362560 0 0
- 362560 725120
- 362560
0
0
- 362560 725120
- 362560
0 0
- 362560 362560
Л
Матрица масс:
(
m :=
2.12-103 0 0 0
0
2.12-103 0 0
0 0
2.12-103 0
0 0 0
2.092-103
Размерность коэффициентов матицы масс - килограмм.
Таблица 2
Сравнение частот, полученных на ПК «Лира» 9.2 и из векового уравнения по упрощенной схеме
Форма "Лира" 9.2, Гц Вековое уравнение Погрешность, %
I 0.66 0.725 9.386
II 1.93 2.086 7.77
III 3.07 3.193 3.93
IV 3.87 3.913 5.6
Заметим, что для некоторых инженерных задач динамики сооружений полученная точность тестового моделирования (см. табл. 2) является вполне удовлетворительной, т. к. само составление моделей и расчетных схем имеет иногда гораздо большие погрешности и неопределенности.
Исследование свободных колебаний рамы. Система дифференциальных уравнений, описывающих свободные затухающие колебания модели и записанных в прямой форме, будет иметь вид:
"Jlf L4 Гц^ х'l + si) +Гц(кж'2 + я&2) 4гщ1(кж'3 + ж?) 4 ги(«т4 + т4)
d М 2x24ibifcc ¿1 + + ГщОх ¿2 + *2) 4 r^fx *3 + *3) 4 гя (ос £4 4*4) JU3x34 га1(сс xl 4 4 г ш (х xZ 4 Jt2) 4 Га^ххЗ 4 жЗ) 4 гм(ссж4 4 £4) JW 4»44 г41(к xl 4 ж1) 4 r4i(« ¿2 4 at2) 4 r43(«j3 4 ж?) 4 rM(«r4 4 s?4)
где М1, М2, М3, М4 - сосредоточенные массы, приложенные в уровнях 1, 2, 3, 4-го ригелей
соответственно;
Гц, ri2,.. .,r44 - коэффициенты матрицы жесткости, вычисленные выше;
х\, Xl, хЗ, х4 - вторая производная по времени перемещений системы в уровнях 1-го, 2-го, 3-го,4-го ригелей соответственно;
Xl, х2,хЗ, х4 - первая производная по времени перемещений системы в уровнях 1-го,
2-го, 3-го,4-го ригелей соответственно; xl, x2, x3, x4 - перемещения системы в уровнях 1, 2, 3, 4-го ригелей соответственно. Коэффициент а, стоящий возле составляющей скорости, - безразмерная величина, характеризующая вязкое затухание колебаний системы. Он подбирается так, чтобы логарифмический декремент колебаний отвечал материалу конструкции (в нашем случае для колебаний стальных конструкций, например, по 1-й форме часто рекомендуется 5 = 0,15).
а
i i/ . . „ 11 / / / / х /
\ \ / / г /
I________/____/ /__/ f----(
1111 / / \ \ / /
\ \ / /
1 . / ( V \ \ \
\ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ )—^
/ / / / / i
Рис. 5. Формы свободных колебаний, полученные при помощи ПК «Лира» 9.2 (МКЭ)
Заметим, что формы собственных колебаний рамы можно получить и при помощи системы дифференциальных уравнений, решая её в среде МаШса^ Для этого можно последовательно задавать гармонические нагрузки на резонансных частотах и, вычисляя амплитуды установившегося процесса колебаний, брать их соотношения (см. табл. 3).
Таблица 3
Сравнение форм колебаний, полученнъгх на ПК «Лира» 9.2 и при помощи Mathcad по упрощенной
схеме для первой формы колебаний
А1/А4 А2/А4 А3/А4
Лира 9.2 0,316 0,63 0,867
Mathcad 0,319 0,634 0,871
Исследование вынужденных колебаний. Задав все необходимые данные в ПК «Лира» 9.2 мы получим максимальное отклонение для крайней точки 4-го ригеля: Лтах = 76,48 мм.
Решение СДУ в среде Mathcad можно представить во временной области в виде графика изменения амплитуды вынужденных колебаний во времени (см. рис. 5).
Рис. 6. Виброграмма горизонтальных колебаний 4-го ригеля при работе оборудования на первой
резонансной частоте рамы Обработка рисунка 5 показывает, что по такой методике максимальное отклонение 4-го ригеля при установившемся процессе колебаний Лтшх = 84,55 мм близка к данным расчета по МКЭ (при этом нужно заметить, что величина коэффициента а была принята соответствующей коэффициенту неупругого сопротивления при расчете в «Лире» 9.2: К=0,025). Таким образом,
разность в результатах ПК «Лира» 9.2 и решения Mathcad опять близка к «инженерной точности».
Применение ДГК для гашения колебаний. Гашение стационарных гармонических колебаний рамы, например, с помощью ДГК [6], заключается в том, что возмущающая сила как бы передаётся на ДГК и заставляет его перемещаться в противофазе возмущению с увеличенной амплитудой, при этом ДГК должен быть настроен так, чтобы частота его собственных колебаний и круговая частота
вынуждающей силы совпадали (должно выполняться условие настройки у к/т). Примем такую схему ДГК: на 4-й ригель рамы устанавливается присоединенная упругой связью к раме подвижная масса, способная перемещаться по поверхности ригеля с некоторым трением. Применение ДГК легко выразить в СДУ:
+ 311 (м^ + + Ч.жСа + + + + *4) = В
+ т^!(«+ дй.) + ■+ х2) + дй + жЗ) + ^«(к+ *4) = 0
МЗяЗ ++ + + х2) + ?Ъа(к ^ + + (к = 0
. (2)
-рДг&дХ^ - лЧ) - - = Р&ЫыШ)
При массе ДГК т = 100 кг, к = 2075 Н/м, 0к1,= 2хд/т хк = 2х д/100х 2 075 = 91.
Как мы можем видеть, амплитуды колебаний ригеля 4-го этажа уменьшились приблизительно в 5,35 раза (были Атж = 84,55 мм, стали Атж = 15,8 мм), при этом амплитуда самого ДГК (А = 392 мм) в 24,8 раза больше амплитуды 4-го ригеля. Нужно учитывать то, что масса ДГК составляет всего 1,2 % от массы всего здания.
Проведя несколько аналогичных вычислений, можно получить график зависимости эффективности ДГК от массы ДГК, выраженной в процентах от массы всего здания (рис. 9); (Кэфф -коэффициент эффективности ДГК, который определяется как соотношение между амплитудами вынужденных колебаний системы без ДГК и системы с ДГК). Как видим, зависимость практически линейная, однако в данных вычислениях не учитывалось изменение частоты собственных колебаний рамы вследствие увеличения общей массы конструкции. Результаты, полученные при учете влияния массы ДГК на изменение частоты собственных колебаний рамы, приведены в таблице 4 и на рисунках 9 и 10.
График колебаний 4-го ригеля с ДГК
¡1 й
■о
и
ш шш ШШ
V V V V V V » V V V V V V V
ВРЕМЯ.С
Рис. 7. Виброграмма четвертого ригеля на который установлен ДГК
14
к
Рис. 8. Виброграмма ДГК
Рис. 9. Схема рамы с ДГК
Таблица 4
Зависимость изменения «низшей» частоты собственных колебаний рамы и коэффициента
эффективности от массы ДГК
Масса ДГК, кг (% от суммарной массы) «Низшая» частота собственных колебаний системы, Гц Кэфф.
100 (1,2 %) 0,718 5,28
425 (5 %) 0,692 17,87
850 (10 %) 0,668 32,54
1275 (15 %) 0,644 44,85
1700 (20 %) 0,622 54,6
Зависимостьвеличины Кэфф. от массы ДГК (с учетом изменения частоты собственных колебаний)
О 5 10 15 20 2 5
Масса ДГК. выраженная в про центах от массы всей системы
Рис. 10. Изменение коэффициента Рис.11. Изменение коэффициента
колебаний) (без учета изменения частоты эффективности ДГК от массы ДГК (с учетом свободных эффективности ДГК изменения частоты свободных
от массы ДГК колебаний системы)
Анализируя два последних графика, можно сделать вывод, что нужно учитывать изменение частот системы при изменении ее массы, т. к. в случае с ДГК видно, что чем больше масса ДГК, тем может быть больше погрешность в настройках ДГК (т. к. изменяются динамические характеристики всей системы). Это может привести не только к неэффективной работе ДГК, но и к увеличению амплитуд вынужденных колебаний системы.
Принцип расчета по упрощенным моделям различных, в том числе и нелинейных, демпфирующих устройств, применяемых для снижения колебаний рамы. Рассмотрим применение демпфера, часто употребляемого в машиностроении и сейсмозащите, - с применением сил сухого трения. Добавим его к верхнему ригелю модели рамы, рассмотренной на рисунке 8. С обобщенной координатой x по поверхности 4-го ригеля движется дополнительная масса m, присоединенная к ригелю, во-первых, упругим элементом с жесткостью к и, во-вторых, - связанная с ригелем также силами сухого трения величиной H, знак которой sign меняется в зависимости от направления относительных скоростей пары трения.
Исследовать нелинейные колебания такой сложной системы можно в той же, что и выше, среде Mathcad, а в последнюю систему дифференциальных уравнений достаточно внести следующие изменения:
лй + леЗ) 4- Цд (ж -Ь = С №2fa + rai(<x xl +xl) + ги(к + jfl) + га(к хЗ+хЗ) -+■ (к +лА) = 0 даЗяЗ + Xl +xi) + х2+х2)+ t^aC® + жЗ) + + rf) = с
+ яг1 + id.) + Л + + + жЗ) + + -
-»JKftjXxS — д.4-) - А{*5 Bstgal^ = Рал1п(м0Э)
пех5 +
0£<2р(х$ - А) + ft(x5 — + Hstffttfadi — ¿t) = С
Выводы. Применение в динамических расчетах упрощенных моделей и систем нелинейных дифференциальных уравнений движения позволяет:
(3)
1) моделировать взаимодействие с конструкциями различных нелинейных демпфирующих устройств, включая динамические гасители колебаний;
2) моделировать применение в одной конструкции или одном сооружении материалов с разными диссипативными характеристиками;
3) производить расчеты и исследования при любых детерминированных и случайных возмущениях во временной области, что более наглядно и позволяет учитывать реально измеренные или синтезированные виброграммы воздействий (в частности, от землетрясений).
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Тимошенко С. П., Янг Д. Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле / Пер. с англ. Л. Г. Корнейчука. - М. : Машиностроение, 1985. - 472 с.
2. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний: Учебное пособие. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. - 272 с.
3. Макаров Е. Г. Инженерные расчеты в Mathcad. Учебный курс. - СПб. : Питер, 2005. -448 с.
4. Кулябко В. В. О спецкурсах по динамике сооружений и явлении "Резонанс" //Вюник науки и образования // Вюник ПДАБА. - Дшпропетровськ: ПДАБА, 1997. - № 4. - С. 17-23.
5. Кулябко В. В. Динамика конструкций, зданий и сооружений. Часть 1. Статико-динамические модели для анализа свободных колебаний и взаимодействия сооружений с основаниями и подвижными нагрузками. Уч. пособие для студентов специальностей ПГС и ГСХ. МОНУ / Кулябко В. В. - Запорожская гос. инже. академия, 2005. - 232 с.
6. B. G. Korenev, L. M. Reznikov. Dynamic Vibration Absorbers: Theory and Applications. -John Wiley & Sons Ltd., UK. - 1993. - 312 pp.
УДК 624.014.2
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ КОНСТРУКТИВНОГО РЕШЕНИЯ РАЗДЕЛЬНЫХ БАЗ
РЕШЕТЧАТЫХ КОЛОНН
Р. А. Присяжный, студ.
Ключевые слова: металлические колонны, базы колонн, конструктивные решения баз колонн.
Постановка проблемы. В производственных зданиях базы колонн заглубляют на отметку ниже уровня чистого пола до 1 200 мм. Основной причиной заглубления баз являются их большие габариты, которые мешают выполнению технологического процесса. Через 10 - 30 лет эксплуатации здания, в связи с электрохимической коррозией, возникающей при работе электрооборудования, происходит интенсивное коррозионное разрушение баз и тела колонны, достигающее 10 - 40 %. На участках колонн в зоне контакта «земля - воздух» коррозия тела колонны иногда составляет 50 %. Ремонт таких баз, повреждённых коррозией, требует устройства, как правило, дополнительных баз с обетонировкой тела колонны, является очень дорогостоящим и трудоемким процессом.
Изложение основного материала. Основным назначением баз колон является передача усилия от ветви колоны на фундамент и прикрепление ветви к фундаменту. В расчётной модели обычно узел присоединения ветви колонны к фундаменту принимают шарнирным.
В работе рассмотрено четыре решения конструкции базы при следующих исходных данных: расчетная сжимающая нагрузка на ветвь колоны N = 4 827 кН, сечение ветви - сварной двутавр с полками 400 х 18 мм и стенкой 710 х 18 мм, фундамент монолитный - бетон класса В20 (табл. 1).
В анализ эффективности конструктивных решений баз включены типовое решение и другие разработки, применяемые на практике. Были выполнены сравнительные расчеты массы элементов и длины сварных швов для четырех типов баз (табл.).
Типовое решение конструкции базы раздельной колонны (табл., тип 1) изложено в учебной литературе (рис. 14.18 [1]). В этом решении база состоит из опорной плиты 1, траверс 2, и анкерных плиток 3 (табл., тип 1). Главным элементом является плита 1, которая распределяет усилие сжатия N на фундамент. Траверсы 2 и анкерные плитки 3 необходимы для прикрепления ветви колоны к фундаменту. Траверса 2 также уменьшает расчётный пролёт плиты. Через анкерные плитки 3 осуществляется присоединение базы колонны анкерными болтами к фундаменту. Анкерные плитки работают на изгиб, увеличивая податливость узла присоединения базы к фундаменту. Базы по типовому решению имеют довольно большие габариты и, как показали сравнительные расчеты, являются наиболее тяжелыми из рассмотренных ниже вариантов.
