Совершенные двоичные коды бесконечной длины Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Власова А. В. Исследование эволюционных параметров в динамических системах двоичных векторов // Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ №2009614409, выданное Роспатентом. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 20 августа 2009 г.

2. Жаркова А. В. О ветвлении и непосредственных предшественниках состояний в конечной динамической системе всех возможных ориентаций графа // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2013. №6. С. 76-78.

3. Жаркова А. В. Недостижимые состояния в динамических системах, ассоциированных с цепями и циклами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып. 4. С. 116-123.

4. Салий В. Н. Об одном классе конечных динамических систем // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2005. №14. С. 23-26.

5. Barbosa V. C. An Atlas of Edge-reversal Dynamics. Boca Raton: Chapman &Hall/CRC, 2001. 385 p.

6. Власова А. В. Динамические системы, определяемые пальмами // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Междунар. науч. конф. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. С. 57-60.

УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/8/45

СОВЕРШЕННЫЕ ДВОИЧНЫЕ КОДЫ БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ1

С. А. Малюгин

Подмножество C в бесконечномерном двоичном кубе {0,1}N называется совершенным двоичным кодом c расстоянием 3, если все шары единичного радиуса (в метрике Хемминга) с центрами из C попарно не пересекаются и их объединение покрывает куб {0,1}N. Аналогичным образом определяется совершенный двоичный код в нулевом слое {0,1}N, состоящем из всех векторов куба {0,1}N, имеющих конечные носители. В работе доказывается, что мощность множества всех классов эквивалентности совершенных двоичных кодов в нулевом слое {0,1}N равна континууму, а мощность множества классов эквивалентности совершенных двоичных кодов во всём кубе — гиперконтинууму.

Ключевые слова: совершенные двоичные коды, код Хемминга, расстояние Хемминга, коды Васильева, классы эквивалентности, континуум, гиперконтинуум.

1. Основные определения

Пусть N — множество натуральных чисел. Бесконечномерный куб {0,1}N состоит из всевозможных бесконечных последовательностей u = (u,... ,un,... ), где un G {0,1}; n G N. Сумма двух элементов u,v G {0,1}N определяется формулой u + v = (п Ф v\, ... ,Un Ф Vn,... ), где u = (ui,...,un,... ), v = (vi,..., Vn,... ) и un Ф Vn — сумма элементов un,vn в двухэлементном поле Галуа GF(2) = {0,1}. Относительно такой операции сложения куб {0,1}N является бесконечномерным векторным пространством над полем GF(2). Элементы куба {0,1}N далее будем называть векторами. Нулевой вектор обозначаем через 0, а базисные векторы с единичной i-й координатой — через

ei = (0,... , 0,1,0,... ). Носитель вектора u G {0,1}N (множество индексов i, для кото-

i

рых ui = 1 ) обозначается через [u]. Число ненулевых координат вектора u называется его весом и обозначается через |u|. В отличие от конечномерного случая вес может

1 Работа поддержана грантами РФФИ №13-01-00463; 14-01-00507.

принимать также значение то. Расстояние Хемминга между векторами м,^ Е {0, определяется как |м + Расстояние Хемминга задаёт в пространстве {0,1}к «обобщённую» метрику Хемминга со значениями в N и {то}.

Определение 1. Подмножество С в бесконечномерном двоичном кубе {0,1}к называется совершенным двоичным кодом с расстоянием 3, если все шары единичного радиуса (в метрике Хемминга) с центрами из С попарно не пересекаются и их объединение покрывает куб {0,1}к.

Следует отметить, что изучение кодов бесконечной длины (МДР-кодов, задаваемых квазигруппами с бесконечным числом аргументов) впервые было предпринято В.Н. Потаповым в [1]. Рассмотрим в {0,1}к следующее отношение эквивалентности: м ~ V ^^ |м + V = то (м,^ € {0,1}м). Куб {0,1}м относительно этого отношения разбивается на попарно не пересекающиеся классы эквивалентности, которые далее будем называть слоями куба {0,1}к. Слой, содержащий нулевой вектор, будем обозначать символом {0,и называть его нулевым слоем. Он состоит из всех векторов конечного веса (такие векторы будем называть финитными). Очевидно, что нулевой слой является подпространством в {0,1}к, а любой другой слой С является смежным классом по этому подпространству. Пусть С — произвольный слой в кубе {0,1}к.

Определение 1'. Подмножество С С С называем совершенным двоичным кодом слоя С, если все шары единичного радиуса с центрами из С попарно не пересекаются и их объединение покрывает слой С.

Легко видеть, что изучение совершенных кодов в кубе {0,1}к фактически сводится к изучению совершенных кодов в нулевом слое {0,1}|^.

Совершенный код в {0,называется кодом Хемминга, если он является линейным подпространством в {0,1}[^. Код Хемминга Ни можно определить следующим образом. Для конечных п код Хемминга Нп длины п = 2к — 1 (к > 1) определяется стандартным образом. Добавляя справа к векторам и Е Нп бесконечное число нулевых координат, можно вложить код Нп в нулевой слой {0,1}|^. Это вложение будем обозначать символом Нп. Тогда, так как

Нп С Н2п+1 (п = 2к — 1), можно положить

Ни = и н2к-1.

к=2

2. Эквивалентность линейных совершенных кодов в нулевом слое

и их группа автоморфизмов

Как и в конечномерном случае, для любой изометрии А : {0,^ {0,существует вектор а Е {0,и перестановка п : N ^ N такие, что А(м) = Н(м) + а, где Н((мЬ . . . ,Мп, . . . )) = (Мп-1(1), . . . ,Мп-1(п), ...).

Определение 2. Два совершенных двоичных кода С1,С2 С {0,называются эквивалентными, если существует изометрия А нулевого слоя {0,1}[^, такая, что А(С1) = С2. Два

совершенных двоичных кода С1 , С2 С {0,1}и называются изоморфными, если существует перестановка п : N ^ N такая, что Н(С1) = С2.

Лемма 1. Все коды Хемминга в слое {0,эквивалентны между собой.

3. Континуальность множества классов эквивалентности совершенных двоичных кодов бесконечной длины

В коде Хемминга Ни рассмотрим подпространство Я^, порождённое всеми векторами веса 3 с ¿-й координатой равной единице. Всевозможные смежные классы вида

ЯЦ = Яг + и (и € Н°) называются г-компонентами кода Нг € N. Рассмотрим некоторое семейство В = {ЯЦ1, Я"2,... }, состоящее из конечного или бесконечного числа попарно не пересекающихся гр-компонент, где ир € Н1 ^ р < т + 1 (т € N и {то}). Одна из основных конструкций нелинейных совершенных двоичных кодов состоит в том, что в коде Нп сдвигаются по координатам гр все компоненты из семейства В. Доказательство этого факта в точности такое же, как и в случае кодов конечной длины [2-5]. Далее будем говорить, что код Н°(В) построен из кода Хемминга Н0 сдвигами (или свитчингами) компонент из семейства В. Если при фиксированном индексе г имеем гр = г для всех р, то код Н°(В) называем кодом Васильева бесконечной длины. Такие коды конечной длины впервые были построены в [6]. Для нахождения мощности множества всех классов эквивалентности кодов бесконечной длины достаточно ограничиться рассмотрением кодов Васильева.

Положим г =1. Компонента Я1 порождается всеми векторами ур веса 3 с носителями [г>р] = {1, 2р, 2р +1}, р € N. Рассмотрим векторы и = 0, ир = е8 + е9 + ■ ■ ■ + в2Р+2-2, р € N, р ^ 2. Из определения проверочной матрицы следует, что ир € Нр € N. Для бесконечного семейства компонент В1 = {Я?и любого е € {0,1}м (е = (е^ е2,...)) рассмотрим следующий код Васильева:

Н°(Вье) = (V \ 0 ЯГ^ и ( О (Я? + ерб1^ .

То есть код Н°(В1, е) получается из кода Хемминга Н0 сдвигами только тех компонент ЯЦр из семейства В1, для которых ер =1.

Лемма 2. Пусть Ь — любое линейное пространство над полем СЕ(2) и Н С Ь — его подпространство. Пусть А : Ь ^ Ь — аффинный изоморфизм пространства Ь и Г : Ь ^ {0,1}3 — линейное отображение, такое, что Г(Н) = {0,1}3 и ГоА(Н) = {0,1}3. Рассмотрим два подмножества С1, С2 С Ь, удовлетворяющих условиям

С1 \ КегГ = С2 \ КегГ = Н \ КегГ, С \ Н С КегГ, С2 \ Н С КегГ.

Тогда если А(С1) = С2, то А(Н) С Н и а € Н.

Эта лемма позволяет доказать следующий ключевой факт.

Теорема 1. Если е,е' € {0,1}м, е = е' е1 = е1 = 1, то коды Васильева Н°(В1,е), Н0 (В1, е') не эквивалентны.

Мы построили континуум попарно не эквивалентных кодов Васильева бесконечной длины. Так как в счётном множестве {0,может быть не более континуума различных кодов, то из теоремы 1 сразу получается

Следствие 1. Мощность множества всех классов эквивалентности совершенных двоичных кодов бесконечной длины равна континууму.

4. Совершенные двоичные коды в кубе {0,1}м

Существование совершенных двоичных кодов в кубе {0,1}к сразу следует из существования таких кодов в слое {0,1}[^. Для этого пронумеруем все слои числами из отрезка [0,1], т.е. каждому числу а € [0,1] сопоставляем слой Са С {0,1}к, при этом

{0,1}к = и Выберем в каждом слое по одному элементу иа и для любого совер-«е[о,1]

шенного кода С0 С £0 = {0,полагаем С = и (С0 + иа). Очевидно, множество С

«е[о,1]

является совершенным двоичным кодом в {0,1}N. Отметим, что при построении кода C была применена аксиома выбора.

Лемма 3. В кубе {0,1}N существуют линейные совершенные двоичные коды.

Посмотрим, как устроены изометрии куба {0,1}N. Так как разные слои этого куба находятся на бесконечном расстоянии Хемминга друг от друга, то изометрия допускает, во-первых, произвольную перестановку (континуального) множества всех слоев. Далее, в каждом слое La допускается (независимо от других слоёв) перестановка координат па и перенос на вектор aa Е {0,1}^. Изометрия может не быть аффинным преобразованием всего куба. На этом основании вводим два различных определения.

Определение 3. Два совершенных кода Ci,C2 С {0,1}N называются изомет-ричными (соответственно, эквивалентными), если существует изометрия A пространства {0,1}N (соответственно, изометрия, являющаяся аффинным преобразованием пространства {0,1}N), такая, что A(C1) = C2.

Лемма 4. Все линейные совершенные коды в {0,1}N эквивалентны между собой.

Мощность континуума принято обозначать символом с. Мощность всех подмножеств континуального множества будем обозначать символом 2с. Эту мощность называют также гиперконтинуумом.

Пример 1. В пространстве {0,1}N строится гиперконтинуальное семейство линейных совершенных двоичных кодов H = {HY}7ег, такое, что для любых HYl, HY2 Е H (y1 = Y2) не существует ни одной перестановки п : N ^ N, такой, что HY2 = 7r(H7l).

Теорема 2. Мощность множества всех классов эквивалентности совершенных двоичных кодов в пространстве {0,1}N равна гиперконтинууму 2с.

ЛИТЕРАТУРА

1. Потапов В. Н. Бесконечномерные квазигруппы конечных порядков // Матем. заметки. 2013. Т. 93. Вып. 3. С. 457-460.

2. Августинович С. В., Соловьева Ф. И. Построение совершенных двоичных кодов последовательными сдвигами а-компонент // Проблемы передачи информации. 1997. Т. 33. Вып. 3. С. 15-21.

3. Романов А. М. О построении совершенных нелинейных двоичных кодов инверсией символов // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 1997. Т. 4. №1. C. 46-52.

4. Phelps K. T. and LeVanM.J. Kernels of nonlinear Hamming codes // Designs, Codes and Cryptogr. 1995. V. 6. No. 3. P. 247-257.

5. Solov'eva F. I. Switchings and perfect codes // Numbers, Information and Complexity. Dordrecht: Kluver Acad. Publ., 2000. P. 311-324.

6. Васильев Ю. Л. О негрупповых плотно упакованных кодах // Проблемы кибернетики. М.: Физматгиз, 1962. Вып. 8. С. 75-78.

УДК 512.6 DOI 10.17223/2226308X/8/46

ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕЕ ПРОТИВОГОНОЧНОЕ КОДИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЙ АСИНХРОННОГО АВТОМАТА

Ю. В. Поттосин

Рассматривается задача противогоночного кодирования состояний асинхронного автомата, где наряду с минимизацией длины кода состояния минимизируется