CC BY
1
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2024. Т. 32, № 4 Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Applied Nonlinear Dynamics. 2024;32(4)
Редакторская заметка DOI: 10.18500/0869-6632-003119
EDN: KUIFZS
Сорок лет модели кольцевого генератора Дмитриева-Кислова
А. С. Дмитриеб
Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН, Москва, Россия
E-mail: chaos@cplire.ru Поступила в редакцию 1.07.2024, опубликована 31.07.2024
Для цитирования: Дмитриев А. С. Сорок лет модели кольцевого генератора Дмитриева-Кислова// Известия вузов. ПНД. 2024. T. 32, № 4. С. 423-427. DOI: 10.18500/0869-6632-003119. EDN: KUIFZS
Статья опубликована на условиях Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).
Создание этой модели генератора с полутора степенями свободы, содержащей единственный нелинейный элемент с симметричной характеристикой, было непосредственно связано с предшествующими работами в ИРЭ АН СССР по генераторам шумов на основе ламп бегущей волны — «шумотронам». На первом этапе исследований природа шумовых колебаний была загадочна, и в авторском свидетельстве на «шумотрон» [1] рассмотрение физики появления шумов в вакуумных устройствах ограничилось некоторыми правдоподобными рассуждениями.
Однако вскоре в работах [2,3] теоретически и экспериментально было установлено и доказано, что возникновение шумовых колебаний в автоколебательных системах с запаздывающей обратной связью (типа шумотрона) определяется не флюктуациями и раскачкой тепловых шумов, а их нелинейными динамическими свойствами. Таким образом, эти колебания оказались не шумовыми, а шумоподобными, порождаемыми собственной динамикой автоколебательных систем. Ключевым моментом в выяснении физики возникновения шумоподобных колебаний послужило построение и исследование в работах [2,3] простой математической модели шумотрона, динамика которой демонстрирует сложное непериодическое поведение. Сначала такое поведение называли стохастическими колебаниями, а позднее стали называть хаотическими колебаниями, или динамическим хаосом.
Математическая модель шумотрона строится на основе его структурной схемы, состоящей из нелинейного усилителя с характеристикой ¥(X), линии задержки с временем запаздывания Т и фильтра Ф (рис. 1, а). Если фильтр представляет собой колебательный контур с добротностью Q, состоящий из емкости, индуктивности и сопротивления (однозвенный ЯЬС-фильтр), модель описывается дифференциально-разностным уравнением
2 + Q + 2 = ¥ (2(Ь - Т)). (1)
НУ (NA)
Ф(Р)
НУ (NA)
H3(IL)
Ъ
Ф(Р)
Рис. 1. Блок-схемы генератора с запаздывающей обратной связью (а) и генератора с инерционным запаздыва-
нием (b). НУ — нелинейный усилитель; T — задержка; Ф — фильтр; ИЗ — инерционное звено
Fig. 1. Block diagrams of a generator with delayed feedback (a) and a generator with inertial delay (b). NA
nonlinear amplifier; T — delay; F — filter; IL — inertial link
Чаще всего в качестве нелинейной функции используется Т^,М) = MZехр(—Z2), где параметр М — коэффициент усиления в линейном режиме.
Модель, описываемая уравнением (1), с математической точки зрения представляет динамическую систему с бесконечным числом степеней свободы, хотя физическое число степеней свободы ограничено и составляет N ~ А/Т, где А/ — полоса пропускания фильтра.
Разработка нового поколения генераторов хаоса на твердотельной элементной базе в начале 1980-х годов потребовала создания модельных электронных генераторов хаоса с сосредоточенными параметрами и минимальным числом степеней
свободы.
Такая модель в виде кольцевого автогенератора с полутора степенями свободы была предложена А. С. Дмитриевым и В.Я. Кисловым [4,5]. За основу была взята модель шумотрона (1). Переход от распределенной модели, описываемой дифференциально-разностным уравнением, к конечномерной модели осуществлялся путем замены запаздывания на инерционный элемент первого порядка (рис. 1, Ь). В результате была получена математическая модель автоколебательной системы с полутора степенями свободы — простейший конечномерный аналог модели шумотрона:
TX + X = F (Z), Z + — + Z = X
или
(2)
TX + X = F(Z), Y = X - Z, Z = Y - Z.
—
Владимир Яковлевич Кислов Vladimir Yakovlevich Kislov
В (2) X характеризует сигнал на выходе инерционного элемента, а Z — на входе усилителя. Параметры Т и Q определяют соответственно время релаксации инерционного элемента и добротность ЯЬС-фильтра, а параметр М задает коэффициент усиления.
Вследствие того, что характеристика усилителя выбрана симметричной, система остается инвариантной относительно замены (X, У, Z) ^ ^ (-X, —У, —Z). Поэтому аттрактор может либо удовлетворять условию симметрии и переходить в себя при указанной замене, либо, будучи несимметричным, иметь симметрично расположенную копию.
При переходе параметра М через бифуркационное значение Мо = 1 в системе происходит бифуркация — потеря устойчивости положения равновесия в начале координат. В результате рождается пара симметрично расположенных устойчивых состояний равновесия Z = У = ±л/ 1п М,
а
которые с ростом М удаляются от начала координат. При следующем критическом значении М = М\ оба эти положения равновесия теряют устойчивость и становятся неустойчивыми фокусами. В окрестности каждого равновесия рождается предельный цикл. Эти два цикла симметричны друг другу. При дальнейшем увеличении параметра М происходит каскад бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу, причем аттрактор похож на аттрактор Рёсслера. Затем, при достаточно больших М, происходит объединение двух симметричных друг другу аттракторов и образование единого симметричного аттрактора. О характерных режимах в системе можно судить по эволюции фазового портрета аттрактора, представленной на рис. 2.
Вскоре кольцевой автогенератор был реализован в виде аналоговой электронной схемы, и на его основе был создан первый макет схемы передачи звуковой и музыкальной информации с использованием динамического хаоса (рис. 3) [6-8].
В дальнейшем модель кольцевого автогенератора с полутора степенями свободы была обобщена на многомерные модели, которые использовались и продолжают использоваться для изучения хаотических колебаний различной размерности [5,9, 10]. В частности, с помощью разработанной на основе моделей повышенной размерности аналитическо-вычислительной теории генерации хаоса была установлена возможность формирования спектра мощности генерируемых хаотических колебаний заданной формы и в заданном частотном диапазоне [9,10].
Александр Сергеевич Дмитриев Alexander Sergeevich Dmitriev
с d
Рис. 2. Эволюция аттрактора с увеличением коэффициента усиления: M = 3.5 (a), 5 (b), 12 (с), 16 (d); T = 2, Q = 10 Fig. 2. Evolution of the attractor with increasing gain: M = 3.5 (a), 5 (b), 12 (с), 16 (d); T = 2, Q = 10
а
Рис. 3. Эксперименты по передаче звуковой информации в системе с нелинейным подмешиванием (1994 год): a — схема передачи; b — передатчик системы на основе кольцевого генератора хаоса с 1.5 степенями свободы; c — фазовый портрет сигнала в канале при передаче звукового сигнала
Fig. 3. Experiments on the transmission of sound information in a system with nonlinear mixing (1994): a — transmission scheme; b — transmitter of a system based on a ring chaos oscillator with 1.5 degrees of freedom; c — phase portrait of the signal in the channel when transmitting an audio signal
b
c
В наши дни исследования по генерации хаоса в конечномерных кольцевых автоколебательных системах продолжают развиваться и использоваться для создания твердотельных генераторов хаоса на сосредоточенных элементах с заданными спектральными характеристиками в радио-, СВЧ-и КВЧ-диапазонах частот [11]. Упомянутые генераторы являются ключевыми компонентами для сверхширокополосных прямохаотических приемопередатчиков [12-14], эффективных малогабаритных источников радиосвета [15-18] и других применений высокочастотного электромагнитного динамического хаоса.
Список литературы
1. Кислое В. Я., Мясин Е. А., Богданов Е. В. Способ генерирования электромагнитных шумовых колебаний: АС. 1125735 СССР; заявл. 29.12.1982; приор. 31.07.1967, СССР; опубл. 23.11.1984, Бюл. Изобретений № 43, 1984.
2. Кислое В. Я., Залогин H. Н., Мясин Е. А. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием // РЭ. 1979. Т. 24, № 6. С. 1118-1130.
3. Кислое В. Я. Теоретический анализ шумовых колебаний в электронно-волновых системах // РЭ. 1980. Т. 25, № 8. С. 1683-1690.
4. Дмитриев А. С., Кислое В. Я. Стохастические колебания в автогенераторе с инерционным запаздыванием первого порядка // РЭ. 1984. Т. 20, № 12. С. 2389-2398.
5. Дмитриев А. С., Кислое В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. 278 с.
6. Дмитриее А. С., Панас А. И., Старкое С. О. Эксперименты по передаче музыкальных и речевых сигналов с использованием динамического хаоса: препринт Рос. АН, Ин-т радиотехники и электрон. № 12(600). M.: ИРЭ РАН, 1994. 42 с.
7. Dmitriev A. S., Panas A. I., and Starkov S. O. Experiments on speech and music signals trasmission using chaos // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1995. Vol. 5, No. 4. P. 1249-1254.
8. Дмитриев А. С., Панас А. И. Динамический хаос: Новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002. 251 с.
9. Бельский Ю. Л. Дмитриев А. С., Панас А. И., Старков С. О. Синтез полосовых хаотических сигналов в автоколебательных системах // РЭ. 1992. Т. 37, № 4. С. 660-670.
10. Dmitriev A. S., Panas A. I., Starkov S. O. Ring oscillating systems and their application to the synthesis of chaos generators // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1996. Vol. 6, No. 5. P. 851-865.
11. Дмитриев А. С., Ефремова Е. В., Максимов Н. А., Панас А. И. Генерация хаоса М.: ТЕХНОСФЕРА, 2012. 423 с.
12. Дмитриев А. С., Панас А. И., Старков С. О., Андреев Ю. В., Кузьмин Л. В., Кяргинский Б. Е., Максимов Н.А. Способ передачи информации с помощью хаотических сигналов: патент РФ № 2185032; приор. 27.07.2000; заявл. 06.10.2000; опубл. 10.07.2002.
13. Дмитриев А. С., Кяргинский Б.Е., Панас А. И., Старков С. О. Прямохаотические схемы передачи информации в сверхвысокочастотном диапазоне // РЭ. 2001. Т. 46, № 2. С. 224-233.
14. Dmitriev A. S., Kyarginsky B. Ye., Panas A. I., Starkov S. O. Experiments on ultra wideband direct chaotic information transmission in microwave band // Int. J. Bifurcation & Chaos. 2003. Vol. 13, No. 6. P. 1495-1507.
15. Дмитриев А. С., Ефремова Е.В. Источники радиоосвещения на основе сверхширокополосных микрогенераторов хаотических колебаний // Письма в ЖТФ. 2016. Т. 42, № 24. С. 49-57.
16. Дмитриев А. С., Ефремова Е.В., Герасимов М.Ю., Ицков В. В. Радиоосвещение на основе сверхширокополосных генераторов динамического хаоса // РЭ. 2016. Т. 61, № 11. С. 1073-1083.
17. Андреев Ю. В., Гуляев Ю. В., Дмитриев А. С., Ефремова Е. В. и др. Процессы передачи и обработки информации в системах со сложной динамикой. М.: ТЕХНОСФЕРА, 2019. 319 с.
18. Dmitriev A. S., Efremova E. V., Ryzhov A. I., Petrosyan M. M., Itskov V. V. Artificial radio lighting with sources of microwave dynamic chaos // Chaos. 2021. Vol. 31. P. 063135.
