CC BY
118
УДК 621.391
ЛАТУХИНА Екатерина Александровна, ассистент кафедры информационных технологий Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова, аспирант Санкт-Петербургского института информатики и автоматизации Российской академии наук. Автор 5 научных публикаций
ПОПОВ Александр Игоревич, ассистент кафедры информационных технологий Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Автор 6 научных публикаций
СВИНЬИН Сергей Федорович, доктор технических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории автоматизации научных исследований Санкт-Петербургского института информатики и автоматизации Российской академии наук. Автор 140 научных публикаций
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ТЕОРИИ СИГНАЛОВ, БАЗИСНЫЕ СПЛАЙНЫ И ВЕЙВЛЕТ-ФУНКЦИИ
Материал статьи посвящен теоретическому поиску сигнала импульсной формы, для которого произведение длительности импульса на эффективную ширину полосы частот (база сигнала) было бы наименьшим. Наряду с импульсами типовых форм рассматриваются полиномиальные базисные сплайны и вейвлет-функции. Установлено, что импульсом, имеющим наименьшую базу, является квадратический базисный сплайн.
Принцип неопределенности, энергия, преобразование Фурье, базисный сплайн, вейвлет-функция
Полученный впервые в квантовой механике принцип неопределенности Гейзенберга дает нижний ненулевой предел для произведения дисперсий величин, характеризующих состояние физической системы. Иными словами, он гласит, что точность определения динамических свойств микрочастиц (их координат, кинетической энергии и т.п.) ограничена. При этом невозможно определить одновременно переменные из разных областей с любой желаемой степенью точности (например, координаты и количество движения, время и энергию). Одна из возможных математических формулировок принципа неопределенности записывается в виде [1]:
Л'Д£ - £■ (1)
где А?, АЕ - неопределенности (погрешности) измерения интервала времени и энергии соответственно,
А - постоянная Планка.
В общем случае соотношение неопределенности проявляется между переменными состояниями в различных областях науки и техники. В частности, в теории сигналов имеет место выражение, которое принято называть соотношением частотно-временной неопределенности [2].
Известно, что сигнал х(7), являющийся функцией времени, и его спектр g(a>) связаны между собой преобразованиями Фурье:
-
g (а) = | хЦ)е"
-со
1 +ж (2)
хЦ) = — 18
где © = 2лР - круговая частота.
Согласно равенству Парсеваля энергия сигнала Е может вычисляться как во временной, так и в частотной области:
Е =
-от +от +от
|х 2^)Ж = — | g (ю)|2 = — | g (ю)|2 ёа
(3)
Функция частоты 0(а>) =| g(а) |2 называется энергетическим спектром сигнала х({).
Одна из основных проблем поиска достоверной математической модели сигнала заключается в том, что в реальных условиях должны одновременно учитываться ограничения как по длительности сигнала во времени, так и по ширине спектра, причем граничную частоту трудно определить с высокой точностью.
В реальности сигналы физически не могут иметь бесконечно большую длительность, тем более не могут существовать одновременно в бесконечных пределах и длительность, и полоса спектра частот. Один из основных законов теории информации - закон Найквиста-Хартли-Шеннона [2] гласит, что количество информации, которое может быть передано по каналу связи, определяется произведением времени действия сигнала на полосу:
В = ТАю, (4)
где Т - длительность сигнала,
Аю - ширина полосы частот.
В качестве Аю в случае модели сигнала с финитным спектром в формулу подставляется ширина полосы от 0 до частоты среза юс, а
модели финитного сигнала соответствует эффективная ширина полосы, определяемая от О до некоторой частоты юе. Произведение длительности сигнала на ширину спектра называется базой сигнала [3].
Исследовать в условиях одновременных ограничений на протяженность сигнала и на ширину его спектра становится возможным в рамках теории функций с конечной энергией. Очевидно, что точность определения частотно-временных характеристик сигнала не может улучшаться до бесконечности.
Вопрос о соотношении между шириной полосы Аю и длительностью сигнала Т имеет большое практическое значение, поскольку существуют многие прикладные задачи, когда в малом интервале времени либо в определенной полосе частот сосредоточена основная часть энергии сигнала. В зависимости от требуемой точности решения конкретной задачи под эффективной шириной энергетического спектра юе = 2лРе понимается область частот, в пределах которой сосредоточено от 90 до 99% энергии [3-5].
Если рассматривать ограниченный по длительности сигнал как импульс, основная часть энергии которого сосредоточена в определенной полосе, то частоту, определяющую основную часть, можно принять за границу эффективной ширины спектра (см.рисунок).
Участок фазовой плоскости [7], занимаемый сигналом: Т - длительность сигнала, А® - ширина полосы частот, г - время, ® - круговая частота
Требования одновременной малости Т и Ат противоречивы. Поэтому можно поставить задачу поиска формы сигнала, для которого произведение Т ■ Am имело бы наименьшее значение. В реальности это произведение может уменьшаться только до некоторого предела. Существование предела, ниже которого нельзя сжать площадь сигнала, занимаемого им на плоскости «частота-время», составляет сущность принципа частотно-временной неопределенности сигналов:
Т • Am > const > 0 • (5)
В процессе поиска формы сигнала, для которого произведение Т -Ат было бы минимальным, обратимся к некоторым новым классам базисных функций, являющихся, по существу, финитными сигналами.
Одним из классов финитных базисных функций, широко используемых при обработке сигналов, представляют полиномиальные базисные сплайны (5-сплайны). Они имеют простые аналитические формулы для описания спектров [6]:
\gm Н = Ah
sin (сoh /2)
ah /2
(6)
где от - степень 5-сплайна,
А - его амплитуда, к - шаг интерполяции.
Из анализа формулы (6) следует, что эффективная ширина полосы частот должна становиться более узкой при повышении степени 5-сплайна.
Другой современный класс финитных базисных функций - вейвлет-функции [7]. Их отличительная особенность состоит в том, что практически они характеризуются финитными спектрами.
В данной работе с целью получения высокой точности оценок спектральных характеристик возьмем за основу энергию, составляющую 99% от полной энергии. В таблицах приведены величины произведений Т ■ Аа, соответствующие уровню 0,99 от полной энергии, для трех групп импульсов. Первую группу составляют известные стандартные импульсы [4] {табл. 1).
Таблица 1
БАЗЫ СТАНДАРТНЫХ СИГНАЛОВ
Сигнал во временной области Спектральная характеристика База сигнала
x(t) = |SW| = 22 + <в‘ Т= 1,1513 с Аю = 6,74 с'1 ТАю =7,7598
x(t )= cos^) 1 , ч| 2со$то/2 кИ = , 02 с«] 1 - СО Т= 1,282 с Лю = 2,3606 с1 ТАю =3,0263
Функция Рунге: x(t) = _ 1 + 5Г i 2а \ -а |g(ю)| = — Ф(^) + е 5 Ф(~ю) е 5 , ^ V J Ф(^) - функция Хевисайда Т= 0,6809 с Аю= 11,588 с'1 ТАю =7,8903
Импульс Гаусса: -12 x{t) = е 2 -а? g («) =42л е 2 Т= 1,8214 с Аю= 1,8208 с'1 ГА« =3,3164
Вторую и третью группу импульсов составляют соответственно базисные сплайны степеней от 0 до 3 и некоторые вейвлет-функции. Эти импульсы объединены в табл. 2.
В [2] выдвигается гипотеза о том, что нижний предел произведения Т ■ Аа достигается
на сигнале, являющимся гармоническим колебанием, которое модулируется гауссовым импульсом:
7
- аГ
X(/) = е 2 • ^
Таблица 2
БАЗЫ В-СПЛАЙНОВ И ВЕЙВЛЕТ-ФУНКЦИЙ
Сигнал во временной области Спектральная характеристика База сигнала
В-сплайн степени 0: В0 (?) к (®)|= . ю вт — 2 а /2 Т= 0,495 с Аю = 64,46 с"1 7Аю = 31,9077
В-сплайн степени1: В1 (?) к (®)|= . ю вт — 2 ю 12 2 Т =0,7846 с Ат = 4,0789 с'1 7Аю = 3,2001
4 ( ч В-сплайн степени 2: — В2 ) к И = з . ю вт — 2 со/2 3 Т =0,9401 с Аю = 3,3581 с'1 7Аю = 3,1569
В-сплайн степени 3: — В3 (?) кН - | . ю вт— 2 <»/ 2 4 Г = 1,0695 с А® = 2,9657 с'1 ГАю= 3,1718
WAVE-вeйвлeт: -г2 х{1) = 2 -о? | g(ю) |= 2л/2яе 2 |ю| Т— 2,38175 с Аю = 2,3817 с"1 ТАю = 5,6726
Вейвлет МНАТ: -г2 ) = (?2 - \)е 2 -ш2 (ю)| = 2у[іпе 2 |2ю2 - з| Т= 2,689 с Аю = 2,7483 с'1 7Аю = 7,3902
Вейвлет Морле: -12 е 2 /л _ ( -(®-®о)2 -(®+^>)2 ^ к(®)| - 2 е 2 +е 2 V Т= 1,8545 с Аю = 2-1,8208 с'1 ТАю= 6,7533
причем не указываются ни параметры аи0о, ни значения модулей или полос вещественной или мнимой частей спектра. Результаты расчетов, приведенные в табл. 1 и табл. 2 показывают, что вещественная часть комплексного
вейвлета Морле, т.е. импульс вида е 2 С08Ю f
дает произведение Т -Аю, равное 6,7533. Из таблицы следует, что наименьшее значение произведения Т ■ Аа соответствует 5-сплайну второй степени и оно равно 3,1569.
Список литературы
1. Принцип неопределенности Гейзенберга. URL: http://www.chemistry.ssu.samara.ru/cheml/22_geiz.htm (дата обращения 14.05.2008).
2. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.Л. Основы системного анализа. Томск, 1997. С. 1-361.
3. Варакин Л.Е. Теория сложных сигналов. М., 1970. С. 1-376.
4. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М., 1957. С. 1-236.
5. Назаров М.В., КувшиновБ.И., ПоповБ.И. Теория передачи сигналов. М., 1970. С. 1-368.
6. Свинъин С. Ф. Базисные сплайны в теории отсчетов сигналов. СПб., 2003. С. 1-118.
7. Штарк Г.Г. Применение вейвлетов для цифровой обработки сигналов. М., 2007. С. 1-192.
8. Мэзон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы. М., 1963. С. 1-620.
Latukhina Ekaterina, Popov Alexandr, Svinyin Sergey
PARITY OF UNCERTAINTY IN THE THEORY OF SIGNALS, BASIC SPLINES AND WAVELET-FUNCTIONS
This paper is devoted to the theoretical search of an impulse for which the product of impulse duration on an effective bandwidth (base of a signal) would be the least. Along with some standard impulses polynomial basic splines and wavelets are considered. It is shown that quadratic basic spline has got the least base.
Контактная информация: Латухина Екатерина Александровна e-mail: lea2003@atnet.ru Попов Александр Игоревич e-mail: aippv@mail.ru Свиньин Сергей Федорович e-mail', svinyins@mail.ru
Рецензент - Попов В.Н., доктор физико-математических наук, доцент кафедры общей физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова
