Соотношение между пористостью сжимаемого осадка и его удельным сопротивлением в процессе фильтрования Текст научной статьи по специальности «Математика»

МП • 1 - ехр(-к2Т) - ^^£[ехр(~^Г) - ехр(-*,7')]; (33)

V-^1 “ 4В;

Скон (т) = 1 • ^ [ехр("*27’) -ех^-А^Г)]. (34)

л/^г -4б2

Выражение (33) дает изменение со временем концентрации компонента в сорбенте, а (34) - изменение его концентрации в обработанном продукте.

Таким образом, предложена математическая модель фазоселективной сорбции из гетерогенного продукта в модуле реактор смешения-массообменник дм систем с изотермой Генри. Дано аналитическое решение уравнений модели и установлены основные влияющие на динамику процессов параметры: степень извлечения Е, порозность суспензии сорбента 8, время пребывания суспензии в реакторе Тр и коэффициент Генри кг. Проведены расчеты по модели.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алиев Р.З., Алиев М.Р. Малооперационная технология селективной обработки фаз гетер огенных пищевыхпродуктов / Прогрессивные пищевые технологии -третьему тысячелетию. -Краснодар, 2000. - С. 86-88.

2. Алиев Р.З., Алиев М.Р., Алиев А.Р. Модуль реак-тор-масеообменник - перспективное оборудование для пищевых технологи / Там же,- Краснодар, 2000. - С. 201-202.

3. Пат. 1 182722 РФ. Установка для массообмена в системе твердое тело-жидкость / Р.З. Алиев. - Опубл. в Б.И. - 1996. - № 10.

4. Пат. 1220344 РФ. Установка для ферментативной обработки материалов / Р.З. Алиев. - Там же.

5. Пат. 1220189 РФ. Установка для массообмена / Р.З. Алиев. - Там же.

6. Алиев М.Р., Алиев Р.З., Константинов Е.Н., Алиев А.Р. Математическая модель гидравлики и массообмена потоков суспензии и жидкости в мембранно-пульсационном массообменни-ке для сорбционных процессов // Изв. вузов. Пищевая технология. -1999. -№ 4. - С. 54-57.

7. Алиев М.Р., Алиев Р.З., Алиев А.Р. Модуль реак-тор-массообменник для сорбции в системе тонкодисперсный сор-бент-жвдкость//Виноград и вино России. - 1999. -№ 5. - С. 25-29.

8. Большаков О.В., Алиев Р.З., Алиев М.Р., Алиев А.Р. Математическая модель клапанно-пульсационного массообменника для обработки пищевых гетерогенных продуктов /Хранение и переработка сельхозсырья. -2000. -№ 4,- С. 7-13.

9. Пат. 1091018 РФ. Способ теплообмена между средами / Р.З. Алиев. - Опубл. в Б.И, - 1996. - № 10.

10. Алиев Р.З., Алиев М.Р., Алиев А.Р. Расчет конвективного теплообмена между потоками гетерогенных пищевых продуктов в клапанно-пульсационномтеплообменнике // Хранение и пере-раб. сельхозсырья. - 2002. - № 3. - С. 19-24.

Кафедра вычислительной физики и информатики

Поступила 22.05.02г.

66.067.1.66-9.001.2

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ПОРИСТОСТЬЮ СЖИМАЕМОГО ОСАДКА НЕГО УДЕЛЬНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ . ' В ПРОЦЕССЕ ФИЛЬТРОВАНИЯ

Д.В. МАЛЫШЕВ, Т.Г. КОРОТКОВА, Е.И. КОНСТАНТИНОВ

Кубанский государственный технологический университет

В практике фильтрования с образованием сильно сжимаемых осадков одной из задач является прогнозирование свойств осадков по толщине слоя и с течением времени. Важнейшие характеристики сжимаемых осадков, непрерывно изменяющиеся в процессе фильтрования, - высота осадка /?ос, его пористость с и удельное сопротивление Го

Для вычисления удельного сопротивления сжимаемого осадка существует много зависимостей, полученных теоретически при определенных допущениях и эмпирически путем обработки экспериментальных данны.х [1-7].

В работе [1] для расчета удельного объемного сопротивления сжимаемого осадка г0 приводятся два вида уравнений

'о =’'о(*РУ\

где Го', Го", •*', я", а - постоянные, определяемые опытным путем.

Последнее из уравнений называют формулой Рута для удельного сопротивления осадка, .V - показателем сжимаемости.

Третий аналогичный вид уравнения [2] для удельного сопротивления сжимаемого осадка

г0 =/"0 + ехр(/" АР).

Приведенные уравнения характеризуют зависимость удельного сопротивления осадка как функцию движущей силы процесса п> =/(Др).

При решении задачи выбора оптимального давления процесса фильтрования [3] показано, что формула Рута используется для вычисления удельного сопротивления осадка в основном уравнении фильтрования, математически правильно описывает данный процесс лишь для некоторых видов суспензий и режимов фильтрования. В общем же случае приходится корректировать это уравнение - обычно аппроксимацией коэффициента сжимаемости функцией давления либо аппроксимацией удельного сопротивления функцией объема фильтрата (толщины слоя осадка).

При рассмотрении влияния сжимаемости осадка на закономерности процесса фильтрования суспензий [4] получено приближенное решение общей нелинейной

задачи фильтрования при степенной зависимости уде льного сопротивления и модо/ ля сжимаемости осадка от давления. При получении степенных зависимостей приняты следующие допущения: осадок является полностью насыщенной системой, состоящей из твердой и жидкой фаз; сжимаемость твердых частиц скелета осадка, пренебрежимо мала по сравнению с деформацией скелета в целом: концентрация твердой фазы в суспензии и фильтрате неизменна в процессе фильтрования; перераспределение давления между осадком и фильтрующей перегородкой несущественно. Для учета сопротивления фильтрующей перегородки вводится величина эквивалентной толщины осадка. В основу модели положено основное уравнение Рута-Кармана

ЬР ‘

ц(г' иУ + Кл

где д - скорость фильтрования, м3/(м2-с); и = (1 - ес)/(ес - ^с) - отношение объема осадка к объему фильтрата; 8С_ 80,: - пористость в суспензии и средняя пористость осадка; V-удельный объем фильтрата. м7м~; /?п— сопротивление фильтровальной перегородки, 1/м.

Для вычисления среднего удельного сопротивления осадка г' в соответствии с принятой моделью получено следующее выражение:

г =г

28Г

где Бґ

АР» о 0,(1-л)

- число Стефана для процесса фильтрования, ха-

растеризующее соотношение перепада давлении, сжимаемости и

скорости накопления осадка; и0 = ——— - коэффициент наружного

- йо

отложения осадка; ео - пористость на поверхности осадка:,? - показатель сжимаемости осадка; Сі, к = (т — л)/( 1 -,у), т - постоянные; Г -среднее удельное сопротивление осадка.

2Ьр1

\хы

1+

Г = Ґг

(1-е)"

)

где г'о -удельное сопротивление осадка при давлениир'г>: т, п -постоянные коэф фициенты, изменявшиеся для исследованных осадков в диапазонах: 3,42 < т < 4,21; 3?02 <п < 3,40.

Согласно [6] для сжимаемых осадков пористость следует рассматривать как функцию безразмерного сжимающего напряжения в твердой фазе а, которое определяется разностью давления рг на входе в слой осадка и порового давленияр: а = (р\-р)!ра, гдера - атмосферное давление.

В работе [7] при исследовании фильтрования промежуточного вида предлагается заменить сопротивление осадка Кос в основном уравнении фильтрования функциональной зависимостью, аналогичной зависимости удельного сопротивления осадка г0 от Ар при фильтровании с образованием осадка:

• Я^ос+Лфп =Д'„(Др)' +Яфп, ••

где К'о- коэффициент.

В работе [2] проводится анализ известного уравнения Козени-Кармана, имеющего вид

<7 =

к^ (1-л)2

Ар

(1)

где д - скорость фильтрования, м /(м -с); е - пористость осадка, м3/м3; з - показатель сжимаемости; - удельная поверхность твердых частиц осадка, м2/м3; Лр - разность давлений до и после фильтрующего слоя, Па; ц. - динамическая вязкость фильтрата, Па-с: -

высота осадка, м; к\- постоянный коэффициент; т - продолжительность фильтрования, с.

В этом уравнении удельное сопротивление осадка г0 зависит от пористости осадка є и удельной поверхности твердых частиц осадка 50.

(2)

Ь = \1гисс/Ар - тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс.

При изучении фильтрования пищевых суспензий [5] установлена справедливость для осадков сатураци-онных соков эмпирической зависимости Терцаги-Пе-ка

е = е: — с 1п

р

р,

где е, е0 - коэффициенты пористости при давлении р. р' о, с—коэффициент компрессии.

Коэффициент пористости е связан с пористостью е (отношение объема пор к объему осадка) соотношением е = е /1 - е.

Для функции зависимости удельного сопротивления осадка от коэффициента пористости г(е) используется обобщенная зависимость

Установлено [2], что удельные сопротивления осйдков, полученные из одной и той же суспензии, при различных давлениях относятся между собой как соответствующие этим давлениям функции пористостей.

Для сжимаемых осадков, состоящих из мелких частиц неправильной формы, собранных в агрегаты, удельная поверхность 50 изменяется при изменении давления. В этом случае предлагается вместо 5о подставлять фиктивную удельную поверхность агрегатов 5ф = 5о(1 ~ в)- Удельные сопротивления осадков относятся между собой как соответствующие этим давлениям функции пористостей е3 / (1 - е)4.

Таким образом, известные зависимости между удельным сопротивлением осадка и его пористостью разнообразны и противоречивы.

В настоящей работе выводится уравнение, связывающее удельное сопротивление и пористость осадка в процессе его сжатия, и анализируется согласован-

ность полученного результата с уравнением Козе-ни-Кармана.

В отличие от метода, использованного при выводе уравнения Козени-Кармана, который основан на рассмотрении слоя твердых частиц, нами применен метод на основе уравнения Дарси-Вейсбаха. В основе лежит представление о том, что осадок является капилляр-но-пористым телом, а движение жидкости в капиллярах носит ламинарный характер. Это объясняется тем. что диаметр пор очень мал и число Рейнольдса меньше критического его значения. В рамках этого закон течения жидкости в капиллярах подчиняется уравнению Пуазейля

Воспользовавшись выражением (7), вычислим величину скорости фильтрации слУ/рах.

пер ,2 ей'7 сір 4

Л/т сік 32ц,Р'

(9)

С другой стороны, скорость фильтрации через слой осадка высотой с1Ь определяется основным уравнением фильтрации

(IV

Рсіт

сИ-1г0 ц

(10)

д РсГ-

32ц/

(3)

ношением

А/ =

(4)

где у - коэффициент пропорциональности.

Тогда, учитывая, что отношение объема пор к общему объему осадка есть пористость е можно “пи'сать

ксГ'тиАЬ . л

й =----------!— = Ас!'.

4 РАИ

(5)

где А ~ пт\)/4Р.

Теперь рассмотрим фильтрацию через участок осадка Д/г. Перепад давления Ар определим по уравнению ПЙзейля

Ар = 32цД/г -

Н

где скорость жидкости га

Е> = -

Л с/1 \

(6)

(7)

- пск

где (IV- количество фильтрата, м\ за время ск. Подставим соотношение (7) в уравнение (6):

сі И ітсГ

(8)

т/тс/

где г0 - удельное сопротивление осадка до сжатия.

Приравняв левые части уравнений (9) и (10), найдем величину удельного сопротивления осадка

где со - скорость движения жидкости в капилляре, м/с; Р - давление, Па; сі- диаметр капилляра, м; I - длина капилляра, м; и - динамическая вязкость жидкости, Па-с;

При сжатии осадка площадь фильтрации Р практически не изменяется, а высота осадка уменьшается. Это происходит в основном не за счет изменения объема самих частиц, а за счет уменьшения объема пустот, т. е. пористости осадка є. Пусть до сжатия осадок имел п каналов со средним диаметром сі, при этом пористость была с. Повсеместно принимают, что длина капилляра пропорциональна высоте слоя осадка. Выделим в осадке бесконечно малый по высоте участок ДИ. Длина капилляра на этом участке Д/ определится соот-

32 Р

пск

(П)

псі2

Подставим в соотношение (У) выражение (5): 1 З2.г;' '0> - : " :

(12)

71 ■■■Й

— П-------

4 А2

При сжатии осадка пористость е уменьшится до е, и удельное сопротивление осадка увеличится - станет равным гт.

32ЇЇ

- (г

— П

4 А

(13)

Разделив выражения (12) и (13) друг на друга, окончательно получим

ч

г

■ л

(14)

Подчеркнем что это соотношение справедливо при

сжатии осадка.

Таким образом, при сжатии осадка удельное сопротивление возрастает обратно пропорционально квадрату его пористости.

На первый взгляд, полученный результат (14) находится в противоречии с уравнением Козени-Кармана (£). При е < < 1 создается впечатление, что сопротивление осадка обратно пропорционально пористости в кубе, а не в квадрате. Следует, однако, учесть, что величина удельной поверхности 5(1 не остается постоянной при с>катии оДцка. С уменьшением пористости е уменыпаютсЖиаметры капилляров (пор) и, следовательно, их поверхность, отнесенная к единице объема твердых частиц.

Получим уравнение связи удельного сопротивления осадка и его пористости исходя из уравнения Коза-

ни-Кармана. Для этого найдем связь удельной поверхности с пористостью осадка.

В уравнении Козени-Кармана поверхность пор равна поверхности твердых частиц в случае их сферической формы. В случае частиц неправильной формы, а также при сжатии поверхность твердых частиц равна той их поверхности, которая соприкасается с фильтратом, т. е. поверхности поровых каналов.

Пусть поверхность одной поры (капилляра) псИ, где с1 - диаметр поры, / ^ 1|//;ос - длина поры, ш - коэффициент извилистости пор.

Если число пор п, то поверхность всех пор Епор составит

16/1 А',

(22)

Объем твердых частиц

^тв.ч “ Ко ^ пор?

где У„с - объем осадка.

Учитывая, что пористостье есть^ЛЬ получим

Г-' V ~V

^ J. П-Л __________________ ОС ncf _ 1 ,

^" 7“ I' v

Поскольку Е'ос равен произведению высоты осадка /г0сна поверхность фильтрования /•’. то

Vn„ =(1-8>'ос

Sl(l~ey=l6Az.

Уравнения (2) и-(21) дают

(21)

Если коэффициент извилистости пор Т и число пор /? являются такими же, как и для другого осадка, то

16 Лк,

(23)

(15)

(16)

(17)

(18)

Тогда удельная поверхность твердых частиц составит

’ = ^ "''■■■ —Т'' /,9ч

к,, (1^кс.^ о-е)У

С учетом форму .ты (5) ■ ,}

- 5’^(1-е)2 =16.42<г/2. (20)

Подставляя в уравнение (20) величин}' Аа из соотношения (5), получим

Последнее приводит к ранее полученному результату (14).

Таким образом, соотношение (14) справедливо не только при рассмотрении осадка до и после его сжатия, но и для двух осадков, имеющих одинаковые значения коэффициентов извилистости пор и число пор.

ВЫВОД

Показано, что удельное сопротивление осадка обратно пропорционально квадрату его пористости. Полученное уравнение не находится в противоречии с известным уравнением Козени-Кармана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жужиков В.А. Фильтрование,- М.: Химия, 1968-

412 с.

2. Разделение суспензий в химической промышленности / Т.А. Малиновская, И.А. Кобринский, О.С. Кирсанов и др.- М.: Химия, 1983.- 264 с.

3. Агранонпк Р.Я. Выбор оптимального давления процесса фильтрования // Теоретические основы химической технологии. Т. XVI,- 1982,- №4,- С. 519-523.

4. Воробьев Е.И., Тарасенко А.П. Влияние сжимаемости осадка на закономерности процесса фильтрования суспензий // Теоретические основы химической технологии. Т. XXI.- 1987,- № 4,-С. 507-514.

5. Воробьев Е.И., Федопели И.М. О фильтровании пищевых суспензий со сжимаемыми осадками // Ред. журн. «Изв. вузов. Пищевая технология». - Краснодар, 1982.-12 с. Библиогр. 8 назв. -Деп. в ЦНИИТИпищепром 27апр. 1983 г., № 703пщ-Д83.

6. Шарафутдинов B.C., Марченко Г.Н., Ильясов К.И. Расчет процесса разделения суспензии с учетом сжимаемости осадка // Теоретические основы химической технологии. Т. XXIV. — 1990,- №3.-С. 419-423.

7. Елыннн АИ. Сжимаемость осадка при промежуточном виде фильтрования // Изв. вузов. Пищевая технология. - 1986. -№4,- С. 111-113.

Кафедра процессов и аппаратов пищевых производств

Поступила 22.01.03 г.