CC BY
20
Научни трудове на Съюза на учените в България-Пловдив, серия Б. Естествени и хуманитарни науки, т.ХУЬ Научна сесия „Техника и технологии, естествени и хуманитарни науки", 30-31 Х 2013 Scientific researches of the Union of Scientists in Bulgaria-Plovdiv, series B. Natural Sciences and the Humanities, Vol. XVI.,IS SN 1311-9192, Technics, Technologies, Natural Sciences and Humanities Session, 30-31 October 2013
Някои бележки върху квантовата природа на фотосинтезата
Андрей Ангелов(1), Тодорка Л. Димитрова(2) (1): Институт по физика на твърдото тяло, БАН, бул. Цариградско шосе 72, 1784 София, e-mail: [email protected] (2): Пловдивски университет „Паисии Хилендарски", ул. Цар Асен 24, 4000 Пловдив, e-mail: [email protected]
Some notes on the quantum nature of photosynthesis Andrey Angelow(1), Todorka. L. Dimitrova(2)
Abstract
Life on our planet is closely related to photosynthesis. Although the photosynthesis is one of the most studied phenomenons in biology, it requires further research considering the quantum nature of this process. This approach will enhance not only the better understanding of that exclusively important biophysical phenomenon, but will also be of use when designing artificial solar-energy cells. In this paper we report a new study in which the uncertainly principle in Quantum mechanics (generalized by Schrödinger) is applied to the primary process in photosynthesis.
1. Въведение
Фотосинтезата може да бъде изследвана от различни гледни точки. В биологичен аспект тя е процес на преобразуване на въглеродния диоксид в органични съединения под действието на слънчевата светлина в хлорофилсъдържащите организми (растения и бактерии). Този процес може да бъде описан от следната биохимична реакция [1]:
светлина
С02 + И20 ^ (сн20) + 02 (1)
Тук (СИ20) не е отделна молекула, а допълнителна въглеродна връзка в молекулата на
захариди. Благодарение на енергията, на погълнатия фотон, сумарната свободна енергия на крайните продукти на реакция (1) е по-голяма от тази на изходните продукти. Важни междинни форми на консервиране на енергията и електричния заряд при фотогенерация са биохимичните реакции AДФ^АТФ (аденозиндифосфат/аденозинтрифосфат) и НАДФ+^ НАДФН (Никотинамид-аденин-динуклеотид-фосфат).
Друг опростен начин за представяне на фотосинтезата е хидролизата на водата:
2H2O светлина > 2^ + 2^ + 02 (2)
Това представяне е схематично и трябва да бъде отбелязано, че водородът не е директен продукт на фотосинтезата, а е химически свързан в други съединения. Уравнение
(2) обаче, показва, че кислородният атом O2 се получава от разграждането на водата H2O, а не от въглеродния диоксид CO2. Този факт е доказан експериментално още през 1941 г.
след получаването на изотопа 18O [1].
Фотосинтезата може да бъде разгледана и от гледна точка на превръщането на енергията на фотона в няколко различни форми до консервирането й в химическа енергия [1,2]. При взаимодействие на фотон с хлорофилна молекула той се поглъща и предава енергията си на синглетно възбуден електрон. Тази енергия се предава резонансно на съседните молекули (светосъбиращ комплекс), докато достигне до белтъчен комплекс, съдържащ двойка хлорофилни молекули (реакционен център), откъдето се избива електрон. Избитият електрон се включва във веригата на електронния транспорт и енергията му способства за разделяне на електричните заряди във водната молекула. Поглъщането на фотона, преносът на енергията му и разделянето на електричните заряди са основни елементи на светлинната фаза на фотосинтезата. От друга страна, енергията на водородните
йони H+ се превръща в химична енергия на АТФ. Докато превръщането на енергията на
фотона в енергия на възбуденото състояние на електрона (hv = E2 — E1) може лесно да
бъде пресметната, то изчисляването на енергията на разделяне на зарядите и свободната енергия на молекулата е сложно.
По думите на Грег Шолс, професор по химия от Университета на Торонто „Най-последните ни експерименти показват, че нормално функциониращите биологични системи имат капацитета да използват квантова механика (КМ), за да оптимизират жизненоважния процес на фотосинтеза." [3]. Според него „...водораслите са знаели за квантовата механика близо 2 милиарда години преди хората." Логично е да се запитаме, а дали нашите студенти знаят това?
Неотдавна учени от Българската Академия на науките [4] представиха един нов квантовомеханичен подход за изследване на фотосинтезата. Той е използван в настоящата работа за моделиране посредством тунелен ефект на електрона през потенциална бариера на някои аспекти, свързани с фотоелектричното генериране на електрони и преноса на електричен заряд в хлорофилните молекули. За светлинната фаза на фотосинтезата е въведена величината отрицателна диференциална проводимост въз основа на фундаменталното неравенство на Шварц-Коши-Буняковски в математиката и комутационното съотношение (основен постулат в КМ). Тази величина може да играе важна роля, особенно при изкуствената фотосинтеза, където соларните клетки имат значителна дебелина в сравнение с листата на зелените растения, което би позволило да бъде създадена методика за нейното измерване.
2. Дииамичии инварианти в квантовата механика и съотношение на неопределеност
Аналогично на понятието пръв интеграл [5] в класическата физика, в КМ съществуват оператори, за които се е утвърдил терминът "динамични инварианти". Например, при движение на заредена квантова частица в хомогенно магнитно поле динамични инварианти са два оператора (двумерно движение), чиято средна стойност дава координатите на центъра на окръжността, а по самата окръжност се движат средните стойности на координатните оператори на частицата [6]. В работите на Malkin, Manko, Trifonov [7] са намирени фамилия от (не-ермитови) инварианти А за произволен нестационерен Хамилтониан:
H(t) = a(t) p2 + b(t)[ p, q]+ + c(t)q2 + d (t) p + e(t)q + f (t), (3)
конструирани във формата:
A(t) = •
e p +1 [e b— £ —— e \q a I 2a
(4)
където s(t) е решение на уравнение от втори ред (уравнение на класически нестационарен осцилатор):
s'(t) + Q (t)2 £ (t) = 0 . (5)
A^(t) и A(t) са обобщения на бозонните оператори на раждане и унищожение a^(t) и a(t) за стационарния осцилатор (с Q = const). Коефициентите a(t), b(t) и c(t) в (5) са
произволни функции на времето и дават връзка между Хамилтониана H и честотата Q(t) за класически нестационарен хармоничен осцилатор:
Q (t) = 4a (t )c(t) + 2b (t) ^ + О?- - 3 - 4^2 (t) — 2b (t) (6)
a(t) 2a(t) 4 a (t)
Линейната част на Хамилтониана в (5) не е съществена за класическия нестационарен хармоничен осцилатор, така че предполагаме, че: й (г) = е (г) = / (г) = 0.
По този начин решението на квантовата задача с Хамилтониан (3) (т.е. уравнението на
Шрьодингер:Ну = 1п — у) се свежда до решаване на класическо уравнение за
дг
нестационарен осцилатор (5), за което общото решение е намерено в аналитичен вид [7]. Методът на линейните инварианти [7,8,9] дава пълната еволюция във времето на всичките
три независими квантови флуктуации (Ад(г)) , (Ар(г)) , Соу(д, р; г), които минимизират точното съотношение на неопределеност (Шрьодингер, 1930, [10,11]): Ь2
(Ад)) (Ар)) > — + Соу2(д, р) (7)
т.е. знакът за неравенство става равенство. Тук е използвана дефиницията за ковариация [15], която има вида:
Соу(д, р) = ^ + Рд - (д)(р) = Соу(р, д) . (8)
Вижда се, че четвъртата квантова флуктуация между (р, д) е равна на третата, и понятието ковариация е по-общо от понятието вариация. Например:
Соу(д,д) = + -{д)(д) = (д2) -(д)2 = А2(д). (9)
В този аспект, освен че е по-точно, съотношението на неопределеност на Шрьодингер, то е и по-общо от това на Хайзенберг.
3. Траспорт на електрони в процеса на фотосинтезата
В тази секция ще дискутираме квантовите аспекти на фотосинтезата, свързани с фотоелектричното генериране на електрони и техния пренос в хлорофилните молекули по време на светлинната фаза. Тези процеси включват квантово тунелиране на електрона през потенциална бариера [12], дължащо се на вълновата природа на електрона. В крайна сметка,
това води до трансмембранна сепарация на зарядите в тилакоида. От физична гледна точка, тунелирането на електрони е изцяло квантов ефект (Фиг. 1а). За целта ще направим аналогия с тунелния ефект при тунелните диоди, чиято волт-амперна характеристика е показана на Фиг. 2.
атомнз кворйилатл
атомна координата
а) б)
Фиг. 1 а) Тунелиране през правоъгълна потенциална бариера; б) Потенциална бариера между две хлорофилни молекули.
Фиг.2 Волт-амперна
характеристика на тунелен диод.
4. Отрицателно диференциално съпротивление при тунелен ефект на фотосинтезата
В публикации на Чой и негови колеги [9,10] е предложена схема за квантуване на светлина със затихване (damped light) в проводима среда. За улеснение ще разгледаме едномерния случай (по х).
Една линейна и хомогена среда има постоянно положително съпротивление R. Има, обаче, специални случаи, при които съпротивлението (съответно проводимостта) се менят при прилагане на напрежение, като например при тунелни диоди, които представляват силно легирани (over-dopped) полупроводници с много тесен p-n - преход, където се оформя квантово-механична потенциална бариера [13]. Такива диоди имат волт-амперна характеристика, подобна на тази от Фиг. 2, за която съществува и аналитичен израз [14].
Нека да приложим метода на линейните инварианти [7-9] за участъка около инфлексната точка на волт-амперната характеристика на Фиг. 2. Кривата линия ще апроксимираме с права с отрицателен наклон, съответстваща на отрицателно диференциално съпротивление/проводимост). По-нататък ще използваме проводимостта:
а = const. > 0
но а diff < 0 за U1 < U < U 2.
(12)
За среда с такава проводимост след прилагане на вторично квантуване [4] е изведен Хамилтониана, който е частен случай на (3):
H(t) =
1
-Г
a(t )+ё (t)
-а
e(t)
2s0
Р2 +
\t) Г
____ О 0
a(t )+s (t)
-d
e(t)
2
От (13) следва, че зависещите от времето коефициенти имат вида:
2
e
() 1 -0
a(t) =-e 0
2s0
a(t )+é(t ) <t )
dt
b(t ) = 0 c(t) =-
!(t) J
a(t )+é (t ) d <t ) d
За честотата на нестационарния осцилатор получаваме:
Q 2(t ) = rn2(t )--—
1 d (a(t) + ¿(t) ^ 1 fo-(t) + s(t)^
2 dt
(t)
4
(t)
(14)
(15)
5. Функция на сътоянието и еволюция на флуктуациите (Aq(t))2, (Ap(t))2 и Cov(q, p; t) за квантовата задача с отрицателно диференциално съпротивление
Нека да разгледаме линейна среда с положителна проводимост, отговаряща на условието (12). В този случай линейния инвариант A(t) , както и квадратичния A+ (t)A(t) , имат следните собствени функции за съответната мода [7] (tya(q,t) = {q|a;t^, Wn (q, t) = (q|n; t) ) със съответните собствени стойности а и n респективно:
t ) = ^o(q>t )exp
2 a s 2 11 2i
I--q--a--a
' ah s 2s 21 1
1 /2
, . , As /2s )n" q
wn(q,t) = Vo(q,0-—r=— Hn(x), x=■ *
(16)
(17)
In! '' |s yja
Тук Hn (x) са полиноми на Ермит, а у/0 (q, t) е вълновата функция на основното състояние ( A(t )^0 = 0), където:
i//0(q, t ) = (s у/nah )
exp
s a I 2 + — lq
2ah 1 s 2a
(18)
Зависещите от времето вълнови функции са нормирани решения на уравнението на Шрьодингер с Хамилтониан Hf, уравнение (13). Тъй като A(t) и A+ (t)A(t) са динамични инварианта, собствените стойности а и n са константни величини по времето. Всичките три независими статистически момента за двата канонични оператора са определени в състояния SMUS | а; t >, еволюращи с времето. Използвайки частния случай на дефиницията за втори статистически момент, намираме вариациите (9):
(• a(t )+é (t ) t
-' | UHp (!)
p(t ) = | £ (t )| (19а)
r<
(Aq(t ))a = 2t eo
2s0
-dt z'J di/p2(j)
s(t) p2(t) , s(t) = p(t)e 0 ,
(p(t )) = hs,e 0
a(t )+s(t ) ^ s(t ) "
1
f
2p (t)
- +
P (t ) -
1 c(t ) + s(t )
2 s(t )
Y
P(t )
J
(19б)
Основавайки се на общата дефиниция за понятието ковариацията (8), ние намираме нейната еволюцията във времето:
2
Cov(q, p; t )=-h- p ip (t) -12ßi±£iü p)'
2
v
2 s(t)
(20)
6. Заключение
Тази работа представя един нов квантовомеханичен подход за обяснение на част от процеса фотосинтеза. Приложен е методът на линейните инварианти за минимизиране на точното съотношение на неопределеност (Шрьодингер, 1930 г.) при квантовото тунелиране на електрона през потенциална бариера в светлинната фаза на фотосинтезата. По този начин, основавайки се на неравенството на Шварц-Коши-Буняковски и на един от постулатите на квантовата механика са въведени нови характеристики С и С , които
евентуално могат да дадат нови сведения за процеса на фотосинтезата.
Получените резултати могат да намерят приложение при: 1) Разработване на слънчево-енергийни източници на принципа на изкуствената фотосинтеза; 2) Изучаване процесите на усвояване на С02 при ускорена фотосинтеза с цел намаляване на вредните емисии на ТЕЦ и едновременното им превръщане в биогориво; 3) Изучаване на квантовата механика и нейните приложения при моделирането на биологични процеси.
7. Благодарности
Тази работа е спонсорирана по проект: "Energy potential of Western Stara planina - a factor for sustainable development of cross border region" финасиран по BULGARIA-SERBIA IPA CROSS-BORDER PROGRAMME, Project reference № 2007CB161PO006-2011-2-242.
Литература
[1] Thomas M. Nordlund, Quantitative understanding of biosystems. An introduction to biophysics, CRC Press Taylor@Francis Groop, 2011
[2] J. Claycomb, Jonathan Quoc P. Tran, Introductory Biophysics, Sudbury Massachsetts, 2011
[3] http://www.chudesa.net/p15450/
[4] A. Angelow, D. Trifonov, Proceedings of XIV International Conference "Geometry, Integrability and Quantization", June 8-13, 2012, Avangard Prima, Sofia 2012, pp.37-47
[5] Х. Христов, Математични методи на Физиката, Наука и Изк., София, 1967, p.264
[6] L. D. Landau, E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, Pergamon, New York, 1965, p.522
[7] I.A. Malkin, V.I. Man'ko and D.A. Trifonov, Coherent States and Transition Probabilities in a Time-Dependent Electromagnetic Field, Phys. Rev. D, vol.2, pp. 1371-85 (1970), I.A.Malkin, V.I.Manko, D.A.Trifonov, Linear adiabatic invariants and coherent states, J. Math. Phys. 14 (1973) 576
[8] D.A.Trifonov, Coherent States of Quantum Systems, Bulgarian J. Phys, .2, (1975) 303311; D.A.Trifonov, Coherent States and Evolution of Uncertainty Products, Preprint ICTP IC/75/2 (1975)
[9] A. Angelow, Physica A 256, pp.486-498, (1998) (here the time-evolution of covariance was obtained in explicit form in case of arbitrary time-dependent quadratic Hamiltonians)
[10] E. Schrödinger, „Zum Heisenbergschen Unschfeprinzip", Sitzungberichten der Preussischen Akademie der Wissenschaften (Phys.-Math. Klasse), 19, ss.296-323 (1932).
[11] A. Agnelow, M. Batoni, "Translation with annotation of the original paper of Erwin Schrödinger (1930) in English", Bulg. J. Physics, 26, no. 5/6, 193-203 (1999)
(free copy: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9903100)
[12] M. V Volkenshtein, Biophysics, Mir (1983)
[13] L. Esaki, New phenomenon in Narrow Germanium p-n Juntion, Phys.Rev. 109, 2, 603 (1958).
[14] Leo Esaki1: http://www.google.bg/, see: Tunnel Diodes (Esaki Diode).
[15] G. Korn, Mathematical Handbook, McGraw-HillBookComp.Inc.,NY (1961), eq. (18.4-10)).
