CC BY
0УДК 51
Bekbosyn A.D.
Karagandy State University named after E.A. Buketov (Karaganda, Kazakhstan)
SOLVING THE CAUCHY PROBLEM BY THE RUNGE-KUTTA METHOD
Аннотация: the relevance of the topic is determined by the importance of practical applications of the theory of boundary value problems for differential equations in solving various problems of science and technology, on the one hand, and the need to create new effective methods for solving boundary value problems for differential equations, on the other.
Ключевые слова: cauchy problem, methodRunge-Kutta, Taylor series, parameter The task is given
y ' = f( X, y), (1)
y( xo) = y o. (2) (1), (2) report [x0, a] accuracy of approximate resolution
x+h
y(x + h) - y(x) = \ f [t, y]dt. (3)
consider the Runge-Kutta method of approximate calculation of this integral, since it is directly related to the accuracy of calculating the integral to the right of its
equality. To do this, first t = x + ah enter the variable let's convert:
i
Ay = h J f [ x + ah, y (x + ah)]da, (4)
0
here Ay = y( x + h) - y( x). Now
1
h J f [ x + ah, y( x + ah)]da. (5)
0
to calculate the integral
1895
ах,а2,...,ач; (а)
во,
в20 > в21> (в)
Pq1, Pq ,q-1 5
Ao, Ai,..., Aq;(A) select parameters, (a), (в) using the parameters (Po = hf(x yX
q>1 = hf (X + alh, y + вloPo),
Pi = hf( X + a2h, У + pioPo + PiiPiX (q)
Vq = hf(x + aqK y + ftq qVq + Pqx<Pi +... + Pqq-xVq-1);
step-by-step calculation of the circuit,
q
Ay «X . (6)
/=q
the approximation is as follows (a), (ft), (4) let's look at how to find parameters.
Let's say,
rq (h) = Ay-X . (7)
i=Q
let it be. r (h) assuming it is a sufficiently horizontal function, let's classify it
as:
k hj hk+1 rq (h) = Z Vq(j)(o) ^-^-rq(k+1)(^h), o < в < 1.
j
j!- (k +1)!
Now (a), (ft), (4) parameters
r(J)(Q) = Q, J = 0,1,...,k (8)
if we find it in such a way that it happens, then the mistake we make:
1896
hk+1
ra (h) = —-r(k+1)(0h). (9)
q (k +1)! a W
a
It is classified by the degree of h ^ A^ by comparison with the expression,
i=0
the unknowns of (a), (P), (A) we obtain a system of nonlinear equations consisting of parameters. By solving this system of equations (a), (P), (A) we find the parameters.
For any q (a), (P), (A) since finding the parameters is a difficult task, we will consider only independent cases of this method.
When solving the problem (2), (3) by the Runge-Kutta method, four numbers are determined as follows:
ki = h •f (x, y), k2 = h • f(x + 2 y + y
\ ^ ^ у
h k
\
k3 = h • f x +—, y + — , k4 = h • f (x + h, y + k3).
V 2 2 J
y (x + h ) = y (x) +Ay if we say, then Ay ~ (ki + 2k2 + 2k3 + k4) can be shown.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Джумабаев Д. С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения / / Журнал вычислительной математики и математической физики - 1989. - Т.29,№1.с. 50-66 с.;
2. Иманчиев А.Е. О величина шага разбиения в методе параметризации на корректную разрешимость многоточечной краевой задачи Тезисы республиканской научной конференции «Дифференциальные уравнения и теория колебаний» Институт математики МОН РК. Алматы, 2002, С. 62;
1897
3. Иманчиев А.Е. Необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости линейнойт многоточечной краевой задачи // Известия МОН РК, НАН РК. Серия физико-математическая. 2002. №3, С. 79-84;
4. Иманчиев А.Е. Корректная разрешимость многоточечной краевой задачи // Тезисы Ш-международной научной конференции «Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры», Актобе, 2003, С. 26-27;
5. Иманчиев А.Е. О существовании изолированного решения нелинейной многоточечной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Материалы У-международной научной конференции «Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры», Актобе, 2009, С. 64-66;
6. Кенжебаев К.К., Иманчиев А.Е. Разрешимость многоточечной краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения // Тезисы докладов ХЬВсероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, РУДН. Москва, 2004, С. 28;
7. Джумабаев Д.С., Иманчиев А.Е. Корректная разрешимость линейной многоточечной краевой задачи // Математический журнал. 2005.-Т. 5, №1 (15), С. 30-38
1898
