Солитонныи механизм синерезиса полиэдрических пен Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 541.18.041 А. Г. Некрасов

Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2003, вып. 2 (№ 12)

СОЛИТОННЫИ МЕХАНИЗМ СИНЕРЕЗИСА ПОЛИЭДРИЧЕСКИХ ПЕН*5

Одним из актуальных разделов в физико-химии пен является физико-химическая гидродинамика капиллярных объектов, начало которой положил В. В. Кротов в работах [1-6]. Наиболее важной в этом плане является проблема явления истечения жидкости (дисперсионной среды) из пен под действием поля тяжести Земли или центробежного поля. Такое самопроизвольное выделение дисперсионной среды получило название «синерезис пен». Число публикаций, посвященных ему, очень велико. Отметим лишь некоторые наиболее важные из них.

Автор работы [7] обобщил свои исследования, посвященные синерезису ячеистых пен (это пены, которые лежат между шаровыми и полиэдрическими и укладываются в рамки аналитического подхода). В последние годы появились интересные исследования по синерезису, связанные с численным экспериментом, в том числе с учетом внутреннего разрушения пен [8]. Экспериментальные подтверждения основных положений в гидродинамике пен, разработанных в [1-6], нашло отражение в [9, 10]. Определенным прогрессом явилось появление в 1990-х годах работ, в которых предложены решения эволюционных уравнений синерезиса в виде уединенной (solitary) волны [11, 12], а также ударной волны Тэйлора [13]. Остановимся на них подробнее. Если авторы [11], получив уравнение для синерезиса, дали его решение в виде уединенной волны, то уже в работе [13] они говорят о солитонном механизме. Введем кратко читателя в курс дела. Забуски и Крускал [14] назвали уединенные волны солитонами потому, что когда они сталкиваются, то не разрушаются и не рассеиваются. Окончание «-он» подчеркивает принадлежность к частице.

Солитонное поведение имеет глубокий математический смысл. В качестве примера приведем уравнение Кортевега и Де Фриза

А,. Я / 3 „ h2 Я2„\

в котором наглядно видно, как уравновешиваются эффекты нелинейности (это члены, имеющие вид ~ у2) и дисперсии (~ у'"), приводящие к образованию солитона. Проанализируем с данных позиций уравнение, полученное в работе [11]:

да _ д ( 2 V® да

дт ~ V

(1)

В нем присутствует нелинейный член, а дисперсионный член отсутствует. Поэтому говорить об уравнении (1) как солитонном необоснованно. Формально оно совпадает с полученными в работах [1, 7, 12], однако их авторы не квалифицировали их уравнения как солитонные. О решении (1) в виде уединенной волны можно говорить как о солитоноподобном.

Целью настоящей работы является получение солитонного уравнения синерезиса полиэдрических пен, его решения в общем виде и экспериментального обоснования. Пусть У(х, £) — объемная доля жидкой фазы в точке с координатой х в момент времени £. Выберем ось х вертикально вверх, а начало координат — на границе контакта пенного

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №01-03-32322 и 00-15-97357). © А.Г.Некрасов, 2003

и(х+(1х)Л

Рис. 1. Схема вывода уравнения сплошности в пространстве удельной плотности пены.

столба с раствором. Количество жидкости в слое ¿х равно йУ — У{х, €}йх. Подсчитаем его изменение за единицу времени:

эГ

(2)

вследствие поступления жидкости с линейной скоростью V, вытекания жидкости из выделенного объема, а также выделения жидкости за счет внутреннего разрушения пены с постоянной разрушения [7| х ~ 3/Т с-1, где Т — время эволюции пены [15]. Жидкость, которая выделилась в результате внутреннего разрушения, является «лишней» по отношению к образовавшейся новой (так как исходный размер пенной ячейки стал другим) пене и должна вытечь для достижения нового равновесного состояния. Количество жидкости, выделившейся при внутреннем разрушении, согласно работе [7]. Ус = — хУ■ Изменение V за время <Й равно + ¿±) — = в±. С одной

стороны, количество жидкости из интервала х — ь<И до х придет в рассматриваемый объем (рис. 1, это количество жидкости заштриховано слева), с другой — из интервала от х + с1х — у<И до х + &т выйдет из объема (заштриховано справа). Приняв во внимание (2), составив баланс жидкости для рассматриваемого объема с учетом внутреннего разрушения пены, имеем

дУ{хЛ) дЬ

(Ис1х = У(х, £)г>сй — У{х + ¿х, — хУ(х10<1х<И,

откуда

дУ _ ¥(х + йх, £)'<у - У(х, £)г дt йх

хУ{.х,1).

При с1х 0 первое слагаемое в правой части есть < тогДа уравнение сплошности

в пространстве V(x, í) примет вид

Знак «минус» в правой части выражения (3) означает действие источника, а не стока.

Продифференцируем выражение (3) соответственно по t и х и вычтем одно из другого. Учитывая равенство смешанных производных, получим

Vtt-v2Vxx = -X2V-vXVx, (4)

где индексами внизу обозначены производные по t и х. Из выражения (3) имеем —XvVx = X2V + xVu тогда уравнение (4) запишем следующим образом:

Vtt ~ v2Vxx = -х2у + x2V + xvt. (5)

Поскольку Vt — — ХУ, окончательно находим

Vtt - Wxx = -X3V. (6)

Введем новые переменные в уравнение (б): Т = t, X — xlv- Тогда получим эволюционное уравнение (6) в виде

VTT~VXX = SV. ' (7)

В математической физике оно хорошо известно под названием уравнения Клейна-Гордона. Поскольку для полиэдрических пен V« 1 уже для кратности пены, начиная с К = 1/V = 100, то уравнение (7) можно представить так:

VTT-VXx = ~X2smV. (8)

Оно кратко называется «уравнение sin-Гордона (синус-Гордона)», и его односолитонное решение имеет вид [16-18]

V - ^Arctg (e7x(A'-w/r)j j 7 = ±(i _ W)~2. (9)

Это решение получило название «кинк», поскольку оно представляет перегиб, который происходит при переходе от одного решения при V = 0 к другому — соседнему — решению при V = 2. На рис. 2 показаны решения уравнения (8) в виде кинков. В формуле (9) знак «+» соответствует кинку, а знак « —» — антикинку.

Найдем дисперсионное соотношение для уравнения (7), которое получают подстановкой V ~ ехр(гкх — iu>t) :

и)

2 = к2 + х2 ■ (Ю)

В (10) А: —волновое число, а а; —частота. Фазовая скорость (описывает движение поверхности постоянной фазы) ш/к = \/к- + у}¡к > 1, а групповая скорость для данного

< 1. Дисперсия означает, что для чисто вещественного значения ш

/„. I du> ! _

\ dk I —

волны, относящиеся к различным числам к, имеют разные фазовые и групповые скорости, поэтому компоненты волн в процессе распространения расползаются и диспергируют. Это выполняется, если в уравнении (7) х^ 0, и не выполняется, если Х — 0- При столкновении кинка и антикинка волны не уничтожают друг друга в центре (рис. 3). Это означает, что волны имеют солитонное свойство [19].

В стационарном случае уравнение (8) примет вид

= , (11) и после двойного интегрирования получим

V'0 = -Аг<Лё (е±х1Х-х0)^ (12)

На рис. 4 приведены зависимости (12) для различных значений х- Как из него видно область изменения функции У0 представляет собой интервал с центром в точке Х0. С ростом значения х длина этого интервала уменьшается. Часто под солитонами понимают не (9), а производные Ут Или Ух, которые имеют импульсообразную форму. На рис. 5 показано столкновение таких солитонов. Как видно из него, левая волна уходит немного дальше того положения, которое она занимала бы, если бы никакого взаимодействия не было, а правая, наоборот, отстает, «сдвигается» назад, что говорит о том, что солитоны не проходят свободно друг через друга, а как бы сталкиваются друг с другом. Это подтверждает солитонную природу волн Ут и Ух-

В решении (9) параметр IV можно рассматривать как относительную скорость со-литона, т. е. отношение скорости самого солитона к некоторой характеристической скорости, за которую можно принять объемную скорость течёния жидкой фазы пены [1]. Поскольку нас интересует количество жидкости, вытекающей из пены, применять выражение (9) неудобно. Будем на практике определять относительное количество жидкости, которое выделяется на нижней границе пенного столба X = 0. Эта граница может быть как в контакте с раствором пенообразователя, так и изолированной от него, как,

Рис. 4- Влияние постоянной разрушения на форму кинка в стационарном случае. 1-3—с-1: 1 — 0,002, 2— 0,04, 5-0,08.

Рис. 5. Визуализация столкновения двух солитонов.

например, в методике подвешенного столба [7]. В момент вытекания жидкости при этих условиях V % 0, 25. При V= 0 уравнение (8) примет вид

д2У

дг2

решением которого является выражение

= -Х^, (13)

V = ^Агй® (е~*<). (14)

Поскольку речь идет о вытекании жидкости, введем относительную величину У/И), равную отношению количества жидкости, содержащейся в пене в момент времени t, к количеству жидкости в начальный момент времени. А количество вытекшей жидкости выразим как 9? = — У/Уо и определим следующим образом:

V = 1 - ^Агс^ (е'хг) (15)

или для времени эволюции

</?= 1 - . (16)

Таким образом, зная время эволюции или постоянную времени, можно построить кривую вытекания.

На рис. 4 приведен пример кривой вытекания для х = 0, 003 с-1. Запишем уравнение (13)

в виде системы ¡¿ч = У, Уг = — х2зт<^. Дифференциальное уравнение фазовых траекторий

д 2 '

этой системы примет вид = — * "у. Разделяя в нем переменные и интегрируя, получим уравнение фазовых траекторий + Х~(1 — соз (р) = Е. Механическим аналогом системы, соответствующей данным фазовым траекториям, является математический маятник. Нас будет интересовать кривая, которая отделяет фазовые траектории колебательных движений от фазовых траекторий вращательных движений и называется сепаратрисой. Форма полученного нами солитона определяется кривой вытекания, совпадающей с сепаратрисой, т. е. вытекание идет по кривой, отделяющей равновесное состояние пены от неравновесного. Если бы не было внутреннего разрушения в пене, то она находилась бы в равновесии, и вытекания не было бы. Постоянно идущие процессы внутреннего разрушения выводят пенную систему из равновесия, что и приводит к вытеканию жидкости.

V

б

Рис. 6. Экспериментальная проверка зависимости (14) (х = 0.0035 с-1) по данным настоящей работы (а) и других авторов (б).

1-{7]; 2— [20]; 3- [21], 22].

Для проверки выражения (14) или (15) были проделаны опыты по определению количества вытекающей жидкости по методике подвешенного пенного столба [7]. На рис. 6, а приведено сравнение экспериментальных данных (обозначены точками) и теоретической (15) (сплошная линия) кривой вытекания и, как видно из него, наблюдается

хорошее совпадение. Для полной объективности необходимо проверить применимость формулы (14) или (15) по работам различных авторов, в которых были бы данные по изменению дисперсности со временем, что необходимо для определения постоянной разрушения или времени эволюции (например, по формуле х — f In ■ гДе R(t) и ^о —' средний размер пенной ячейки в момент времени ¿ив начальный момент времени соответственно). На рис. 6, канализируется применимость полученных нами формул (14) и (15) к независимым экспериментальным данным из работ [7, 20-22]. На нем видно, что между независимыми экспериментальными данными и теоретической формулой солитонного механизма наблюдается хорошее совпадение. Наибольшее отклонение не превышает 30% в начальные моменты жизни пены, так как она в этот период наиболее далека от квазиравновесного состояния и механизм истечения иной, чем солитонный. Тем не менее и в этом случае имеет место удовлетворительное совпадение, что связано с быстрым вытеканием жидкости в первые десятки секунд.

Таким образом, для прогнозирования вытёкания жидкости из пен достаточно знать время эволюции или постоянную разрушения пен, а кривую вытекания построить по выражению (14) или (15).

Summary

Nekrasov A.G. Solitonic mechanism at the syneresis of polyhedric foams.

The solitonic equation for the syneresis of polyhedric foams, consistent with the experiment is obtained.

Литература

1. Кротов B.B. /7 Коллоид, журн. 1080. Т. 42, №6. С.1081-1091. 2. Кротов B.B. // Там же. С. 1092-1101. 3. Кротов В.В. // Вопросы термодинамики гетерогенных систем и теории поверхностных явлений / Под ред. II. П. Маркузина. Л., 1982. Вып. 6. С. 110-126. 4. Кротов В.В. /7 Коллоид, журн. 1984. Т. 46, №1. С. 15-22. 5. Кротов В.В. // Коллоид, журн. 1981. Т. 43, № 1. С. 43-51. 6. Кротов В.В. //Коллоид, журн. 1981. Т. 43, Х«2. С. 286-297. 7. Канн К.Б. Капиллярная гидродинамика пен. Новосибирск, 1989. 8. Митичкин С.Ю., Тестов В.Г., Пер-цов A.B., Ху Хайбо. Моделирование структуры и синерезиса газожидкостных пен: Отчет Ин-та механики Моск. ун-та. №4452. М., 1996. 9. Кузнецова Л.Л., Кругляков П.М. // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260, № 4. С. 928-932. 10. Кругляков П.М., Ексерова Д.Р. Пена и пенные пленки. М., 1990. 11. Verbist G., Weaire D. /7 Evrophys. Lett. 1994. Vol. 26, N 8. P. 631-634. 12. Гольдфарб И.И. Распространение волн в пенах: Канд. дис. Тюмень, 1991. 13. Stoyanov S., Dushkin С., Langeven D. et al. // Langmuir. 1998. Vol. 14, N 16. P. 4663-4665. 14. Zabusky N.J.. Kruskal M.D. Ц Phys. Rev. Lett. 1965. Vol. 15. P. 240-243. 15. Krotov V.V., Nekrasov A.G., Rusanov A.I. // Mendeleev Communications. 1996. N 6. P. 220-221. 16. Захаров B.E.. Манате С.В., Новиков С.П.. Питаевский Л.П. Теория солнтонов: Метод обратной задачи. М., 1980. 17. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М, 1986. 18. Филиппов А. Т. Многоликий солитон. М., 1990. 19. Perring J.К., Skyrme Т. // Nucí. Phys. 1962. Vol. 31. P. 550-555. 20. Кругляков U.M., Таубе П.P. // Журн. прикл. химии. 1965. Т. 38, №7. С. 1514-1520. 21. Митичкин С.Ю., Перцов A.B., Тестов В.Г., Ху Хайбо // Коллоид, журн. 1998. Т. 60, №6. С. 793-796. 22. Sarma S., Pandit J., Khilar К. // J. Colloid! and Interf. Sei. 1988. Vol. 124, N 1. P. 339-345.

Статья поступила в редакцию 10 декабря 2002 г.