CC BY
9
УДК 530.12, 51:53, 524.83
СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ В D -МЕРНОЙ ГРАВИТАЦИИ И КОСМОЛОГИЯ С ВРАНАМИ
А. Н. Петров
(.ГАИШ) E-mail: petrov@xray.sai.msu.ru
В D -мерной гравитации на произвольно искривленных фонах стандартным способом построены сохраняющиеся токи в виде дивергенций от антисимметричных тензорных плотностей (суперпотенциалов). Последние имеют два свойства: они существенно зависят от вторых производных в лагранжиане теории и не зависят от добавленных к нему дивергенций*'. В частности, такие сохраняющиеся токи и суперпотенциалы построены для возмущений в космологической модели с бранами для лагранжиана Гаусса-Боне.
В большинстве работ по общей терии относительности (ОТО) и в таких калибровочных теориях, как супергравитация (см. [2-8] и ссылки там), где сохраняющиеся векторные плотности (токи) строятся в виде дивергенций от антисимметричных тензорных плотностей (суперпотенциалов), оказывается существенным использование вспомогательного фонового пространства-времени. Альтернативный подход без использования фона развивается, например, в работах [9, 10], где нётеровские заряды в асимптотически анти-де ситтеровских теориях гравитации, связанные с асимптотическими векторами Киллин-га, строятся благодаря специальным поверхностным членам, добавленным к действию.
Развивая подход с использованием фона, мы рассматриваем произвольную метрическую Б-мерную теорию гравитации. Предполагаем лагранжиан свободного гравитационного поля в виде Ь(Ав; Ав.а'1 Ав ,<*/?)> кУДа включены как первые, так и вторые производные от обобщенной гравитационной переменной Ав; крышка «~» означает плотности веса +1. Считаем, что Ав €Е д^», Фв, гДе д^ — физическая Б-мерная метрика. Имея в виду екаляр-но-тензорные и другие обобщения, включаем в набор Фв произвольные тензорные плотности, не спиноры. Также можно предположить, что Фв включает и негравитационные материальные переменные. Произвольно искривленное фоновое пространство-время характеризуется заданной метрикой д^ и построенным на ее основе тензором Римана Д^щ,. Черта сверху будет обозначать фоновые величины, а индексы смещаться с помощью д(1и и . Чтобы включить д(1и, перепыеываем частные производные (>а) через ковариантные (;а) по отношению к д^ [11]. Тогда лагранжиан приобретает явно ковариантный вид:
Ь = £ = С(АВ; Ав-а; Ав-а/з)• (1)
Для этой скалярной плотности составляем тождест-
во + (£а£))0, = 0 и преобразуем его к виду
'ьвАВ;а + (LB Ав|2) J Г-
: 0.
(2)
Для производных Ли по отношению к векторному полю £а используется обозначение [11]: £^Ав = -£аАв-,а + ^;а Ав|д- Все коэффициенты в (2) определены однозначно лагранжианом:
а/3
т
где LB же
Щ; + /." Ав\аа-МааАв,а--N^ABfr-nfl?^,
Ва ABfa + NB^[(ABfa);j^6^AB;c
nf7 = NBa& AB\l], : SjC/SAb — лагранжева производная, а так-
M
(3)
(4)
(5)
M
Ва
ЭС/дАв-а - (дС/дАв-а/з) ф,
МВаЫдС/дАВ.а0.
В тождестве (2) коэффициент при в первом слагаемом тождественно равен нулю (обобщенное тождество Бианки [11]). С учетом этого тождество (2) приобретает форму дифференциального закона сохранения
(6)
та
± Т
:/% = 0.
Для обобщенного тока выберем представление:
1°
(К + nf^Vr + К'ГЧш + Щ)
а/3-а р i
(7)
(8)
с г-членом в виде:
Если £а — вектор Киллинга фона, тогда ¿а(£) исчезает и сохраняющийся ток (7) определяется плотностью тензора энергии-импульса (и-член) и
*)
В большей части эти результаты были представлены на конференции йШб [1].
плотностью спина (т-член). Независимо приравнивая нулю коэффициенты при £,а(-аф) и (;а;/3;>у) в (6), получаем систему тождеств «каскадного» (в терминологии Джулии и Сильвы [3]) типа:
1
{¡а , Е> л , г>л = А
а;а ' 2 Л ра 3 ра'7 ~~
п^трЕа^п\ = О,
К + + ПхаРЕ*рт + 1^ТрЕатрХ
^(а/9) +йХ(а/3) л = 0;
(9)
п
(а/Зу) _ п
гг - »
Поскольку уравнение (6) — тождество, ток (7) должен иметь форму дивергенции от величины Фа& (суперпотенциала):
/" = Ф,ь\, = (10)
удовлетворяющей Фа/Зуар = 0. Таким образом, (10) является другим выражением для дифференциального закона сохранения (6). Используя систему (9) для преобразований в определении (7), получаем соотношение (10), где
Ф"л' = (те
/За , ~\/За
(Н)
антисимметричен по а и (3 силу третьего из тождеств (9).
Определим вклад в токи и суперпотенциалы от дивергенций в лагранжиане 8С = кСкалярной плотности к"у1у соответствует тождество (£^ка + !;ак1'у1,)уа = 0, оно дает следующие вклады: 81а с коэффициентами 8й" = 2 {8^хк^)ф, 8^ = 2б}?№ , = 0 в ток (7); 8ФаЧ = -2 в суперпотенциал (11). Тогда для С ^ С + 8С уравнение (10) приобретает форму
1а + 61°
(12)
где добавки не зависят от структуры ки.
Известно, что, не изменяя тождества (6), к току можно добавить произвольное выражение А1а(£), удовлетворяющее [Д|а(£)])0, = 0. Точно так же, без изменения 1а в (10) к суперпотенциалу можно добавить ДФат(£), если [ДФ°^(£)])/? = 0. Но добавленные величины легко удалить тем же самым способом, поскольку А1а(£) и ДФ°^(£) не связаны ни с лагранжианом, ни с методом построения. В противоположность этому ток и суперпотенциал в (10), заданные через однозначно определенные коэффициенты (3)-(5), нельзя ни уничтожить, ни изменить. Последнее утверждение развивает подход Сшабадоша [12, 13], который предложил рассматривать связь псевдотензоров с лагранжианами «как критерий для выбора математически допустимых псевдотензоров (и суперпотенциалов)».
Теперь, следуя стандартным правилам Белинфан-те [8], развитым в работе [14], определим тензорную плотность:
§а/3а = За* = _ -0]А +
(13)
и добавим к обеим частям закона сохранения (10) выражение (за/3а£,а)ф. Тогда новый закон сохранения приобретает вид:
та
ЧЬ)
;ав _жав
(14)
Как ожидалось, эта процедура исключает из тока (7) т-член:
та
ЧЬ)
(15)
а новый г-член также равен нулю на векторах Киллинга фона. В результате ток фактически определяется лишь модифицированной плотностью тензора энергии-импульса . Новый же суперпотенциал выражается лишь через п-коэффициенты:
ЕЕ 2 (1п№р + В^",/^) Г'фГ]АГ;А-
(16)
Таким образом, этот суперпотенциал может быть использован для ковариантных теорий со вторыми производными в лагранжиане, такими как ОТО или с лагранжианом Гаусса-Боне в космологиях с бра-нами (и не существует вообще для теорий лишь с первыми производными в лагранжиане). В силу определения (13) ясно, что ток и суперпотенциал
также однозначно задаются лагранжианом (1) и методом.
Важно отметить, что новые токи и суперпотенциалы не зависят от дивергенций, добавляемых к лагранжиану (см. также [8]): 8£ = киу1/. Действительно, спиновый т-член в целом (вместе с , см. (12)) исключается по определению. Величина (13), построенная для 8т, дает 8за/3а^а = .
После добавки (8§а/3а!;1Т)ф к обеим частям (12) вклад от 8С = к"компенсируется: 8й" — (6за^рдр(Т)ф = 0
и 8Фа!3 + 8за13а^а = 0.
Отметим, что законы сохранения в форме (10), (12) или (14) являются тождествами. Чтобы преобразовать их в физические законы сохранения, необходимо в токах слева использовать полевые (динамические) уравнения.
В качестве приложений рассмотрим возмущенные теории на заданном фоне. Пусть переменные Ав в (1) будут представлены лишь физической метрикой д^у либо 5-мерной космологической модели с бранами, либо ОТО; д = с^ . Физический тензор кривизны записываем как
рА _ дА
-Л- три — 1Лта;р '
+ Д^Д?, - Д^Д?р + К
три
(17)
ßV
9'
ар
(см. [2, 8]), где тензор 2А — 9ßv;p) ■
Лагранжиан 5-мерной модели с вид [15, 16]:
{9pfi;i> + 9pv\ß бранами имеет
¿(5) =
+ а (Ä2
R^2A +
maßRaß + Raß^Raßl&
(18)
где М* — струнный масштаб массы, а ос Л/, 2, а также 1(2) член Гаусса-Боне. Следуя логике работы [2], представим возмущенный сценарий для системы (18), для чего в фоновом пространстве-времени с метрикой дри построим лагранжиан:
ГКО) = Л(5) pert
• + div.
(19)
Опишем, как построить суперпотенциал типа (11) для системы (19). Сначала, используя (17), нужно представить в форме (1) и подставить в (11). Чтобы получить вклад от £(5), необходимо все физические величины предыдущего результата превратить в фоновые. И наконец, взять в расчет дивергенцию в (19), используя построение для (12). Мы не приводим явно громоздкого выражения для этого суперпотенциала. Отмечаем только, что каждой дивергенции соответствует свой единственный суперпотенциал, а выбор дивергенции в (19) находится в одно-однозначном соответствии с граничными условиями при вариации действия. Суперпотенциал для условий Дирихле можно найти в недавней работе [17].
Чтобы построить не зависящий от дивергенций в лагранжиане суперпотенциал для системы (19), используем формулу (16). Вычисление коэффициента (5), соответствующего Ц2) = у/—д1(2) в (18) с учетом (17), дает
й® = ($а(/3<$? -¿р/7) [Н - +
а окончательно из формулы (16) получаем
laß -(66)
Mi
ôg
-Sñ
,а[а tß\
î[aôg
ß]*
*gp[aSgß]a-A<r
- aM¡
aß]p
з (5)0- ;p
3 (5)<r Ç
8f)Tp[a п®Хп (5)A ;r» »P«7
(20)
aß - g<*ß и =
где да!3 = т/^дда/3, 8да!3 = д (5)<т (5)<т
Отметим связь с результатами Каца, Бичака и Линден-Белла [2] (КБЛ), где построены токи и суперпотенциалы для возмущений на произвольном фоне в ОТО с использованием стандартной процедуры (аналогично (1)—(12) здесь), и нашими результа-ми [8], в которых КБЛ величины модифицированы с помощью метода Белинфанте.
Лагранжиан (19) переходит в КБЛ лагранжиан
L
(5) pert
^ Сg после замены D = 5 на D = 4, если
M. :i равна постоянной Эйнштейна к, а = 0 и div = (2к)^2(драAvpa — д^Д^)^. Подстановка tG в формулы (7), (11) и (12) приводит к законам сохранения КБЛ [2]. Из этого заключаем, что токи и суперпотенциалы КБЛ однозначно определены построением и лагранжианом ¿а - Проблему единственности величин КБЛ уже рассматривали Джулия и Сильва [3, 4], независимо Чен и Нестер [5] и показали, что величины КБЛ соответствуют граничным условиям Дирихле. С одной стороны, наш вывод соответствует этому утверждению, с другой стороны, мы установили, что любое изменение дивергенции в лагранжиане Сg ведет к другим токам и суперпотенциалам. Аналогичное утверждение было сделано в работе [18] в рамках ковариантного гамильтонова подхода.
Подстановка лагранжиана КБЛ Со в (13)—(16) совпадает с выражениями для ОТО, полученными методом Белинфанте [8]. Поэтому законы сохранения в [8] однозначно определены предложенной процедурой и ¿а - Отметим также, что суперпотенциал (20) переходит в суперпотенциал ОТО в работе [8], если заменить 1) = 5на1) = 4и положить M. :i = к и а = 0.
Автор выражет благодарность Дж. Кацу за обсуждения и замечания, следуя которым работа была представлена в настоящей форме, Л. Сшабадошу за объяснения его работ и полезные рекомендации, а также П. Крушциелу за важные советы.
Литература
1. Petrov A.N. Abstract Book of 'GR16'. Sec. A.3. Durban, 2001. P. 87.
2. Katz J., Bicàk J., Lynden-Bell D. // Phys. Rev. D. 1997. 55. P. 5759.
3. Julia В., Silva S. // Class. Quantum Grav. 1998. 15. P. 2173; 2000. 17. P. 4733.
4. Silva S. H Nucí. Phys. В. 1999. 558. P. 391.
5. Chen С.-M., Nester J.M. // Class. Quantum Grav. 1999. 16. P. 1279.
6. Henneaux M., Julia В., Silva S. // Nucí. Phys. В. 1999. 563. P. 448.
7. Barnich G., Brandt F. // Nucí. Phys. B. 2002. 633. P. 3.
8. Petrov A.N., Katz J. // Proc. R. Soc. London A. 2002. 458. P. 319.
9. Aros R., Contreras M., Olea R. et al. // Phys. Rev. Lett. 2000. 84. P. 1647.
10. Aros R., Contreras M., Olea R. et al. // Phys. Rev. D. 2000. 62. P. 044002.
И. Мицкевич H.B. Физические поля в общей теории относительности. М., 1969.
12. Szabados L.B. // Preprint KFKT-1991-29/B.
13. Szabados L.B. // Class. Quantum Grav. 1992. 9. P. 2521.
14. Belinfante F. // Physica. 1939. 6. P. 887.
15. Deruelle N., Dolezel T. // Phys. Rev. D. 2000. 62. P. 104502.
16. Devis S.C. Ц Phys. Rev. D. 2003. 67, P. 024030.
17. Deruelle N., Katz J., Ogushi S. // Class. Quantum Grav. 2004. 21. P. 1971.
18. Chang C.C., Nester J.M., Chen C.-M. // Phys. Rev. Lett. 1999. 83. P. 1897.
Поступила в редакцию 30.05.03
