Сохранение третьего адиабатического инварианта движения в плоскости экватора магнитного поля со слабой аксиальной несимметрией Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI: 10.18454/2079-6641-2015-11-2-67-76

физика

УДК 550.385.41

сохранение третьего адиабатического инварианта движения в плоскости экватора магнитного поля со слабой аксиальной несимметрией

В.В. Богданов, А.В. Кэйсин

Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, п. Паратунка, ул. Мирная, 7

E-mail: vbogd@ikir.ru

Рассматривается вопрос сохранения третьего адиабатического инварианта движения заряженных частиц с vn = 0 (плоскость экватора) в потоковой и канонической форме в магнитных полях, обладающих слабой несимметрией. Переход к вращающейся с угловой скоростью дрейфа системе координат позволяет свести задачу к уже решенной, а именно, к задаче сохранения третьего адиабатического инварианта в аксиальносимметричном, но переменном во времени магнитном поле.

Ключевые слова: адиабатический инвариант движения, слабая несимметрия магнитного поля, дрейфовое приближение

(с) Богданов В.В., Кайсин А.В., 2015

physics

MSC 65D15

save the third adiabatic invariants of motion in the equatorial plane magnetic field with a weak axial

asymmetry

V.V. Bogdanov, A.V. Kaisin

Institute of Cosmophysieal Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia

E-mail: vbogd@ikir.ru

The question of preservation of the third adiabatic invariant motion of charged particles vn = 0 (equatorial plane) in the flow and the canonical form in magnetic fields having a weak asymmetry. Go to rotating with the angular velocity of the drift coordinate system allows us to reduce the problem to have been solved, namely, the task of saving the third adiabatic invariant in the axially symmetric, but the time-varying magnetic field.

Key words: adiabatic invariant motion asymmetry weak magnetic field, drift approximation

(c) Bogdanov V.V., Kaisin A.V., 2015

Введение

ближенная эквивалентность канонической формы I = — §ppdq

2Jv

В работах [1]-[3] рассматривался вопрос о сохранении третьего адиабатического инварианта движения заряженной частицы в плоскости экватора аксиально-симметри-ного магнитного поля. Было показано, что с точностью до константы дрейфового при-

RUp и потоковой

Ф RAp в роли инвариантов в дрейфовом приближении обеспечивалась постоянством обобщенного импульса Pp = mRUp + (e/c)RAp. В приведенных соотношениях приняты следующие обозначения: pp и qp - обобщенный импульс и соответствующая обобщенная координата; Up и Ap — дрейфовая скорость и векторный потенциал по циклической координате p, R - радиус-вектор ведущего центра (цилиндрическая система координат). В свою очередь, постоянство третьего адиабатического инварианта в канонической I и потоковой Ф формах с желаемой степенью точности выполнялось

при соблюдении обычного условия адиабатической инвариантности —p I —— I ^ 1 ,

H dt

где Гф - период дрейфа по координате p. Это, как показано в [1]-[3], позволяет в дрейфовом приближении пренебречь в переменном магнитном поле как влиянием

возмущающего члена R = с— — (радиальное ускорение) на движение частицы, так

и кумулятивным эффектом этого возмущения. Следовательно, сохранение третьего инварианта в формах I и Ф обеспечивалось в переменном поле возможностью считать скорость электрического дрейфа VE величиной постоянной, Т.е. VE = const (в случае стационарного поля эта константа равна нулю). В этой статье будет рассмотрено в дрейфовом приближении движение заряженной частицы в плоскости экватора несимметричного магнитного поля. Будем полагать, что несимметрия ограничена только условием сохранения третьего адиабатического инварианта. Следовательно, в таких полях первый адиабатический инвариант р есть величина заведомо постоянная ( Гф » Гл), Тл - период ларморовского вращения.

Система дрейфовых уравнений в общем виде имеет вид [4]-[6]

—R

H

UQP = “77 = VII77 + 772

dt

E, H

+

mc (2v^I + v2)

—£ / E—R

dt \ dt

H H2

d H -*

+ p——, rotH = 0. d t

2eH 3

H, у H

(1)

В (1) приняты следующие обозначения: Ugp - дрейфовая скорость ведущего центра, vii и v^ - параллельная и перпендикулярная составляющие скорости частицы

_ mv2 m (v|) + v2)

v, р - первый адиабатический инвариант, є = —= —-— ---------— энергия частицы.

Постоянство р в системе (1) выполняется с точностью дрейфового приближения, т.е. с точностью до є ^ 1 , где є ~ Рл/R - порядок малости дрейфового приближения, рЛ - ларморовский радиус, R - характерный размер магнитной системы.

В плоскости экватора постоянного несимметричного поля дрейфовое уравнение системы (1) (vii = 0) в криволинейной системе координат Xi,X2,X3 имеет вид:

—r

dt

mcv2

2eH3

H, У H

v2 dH v2 dH

2 (0AH dX3 H + 2 (0AH dX2 Є3

(2)

где е\, Є2, ез - единичные векторы, направленные вдоль поля ё\ = H/H, главной нормали и бинормали к силовой линии, а Xi,X2,X3 - соответствующие криволинейные координаты, координата Xi совпадает с силовой линией.

Перед тем как перейти непосредственно к получению и анализу сохранения третьего адиабатического инварианта в формах I и Ф, предварительно рассмотрим возможность его существования в магнитных полях, несимметрия которых ограничена только условием применения дрейфового приближения. Так как каноническая форма

I = рфdq ~ RUm предполагает как минимум квазипериодичность по обобщенной

2п

координате q^ (в нашем случае по X3), а приближение не постулирует такой периодичности, то может оказаться, что в несимметричном поле третий инвариант вообще не имеет смысла. Действительно, поскольку уже в стационарном случае несимметричность поля приводит к дрейфу по координате X2 (аналог R в цилиндрической системе координат), т.е. поперек силовых линий, то частица может уйти из ловушки до того, как совершит периодическое движение по обобщенной координате qi (X3). Например, в области квазизахвата магнитосферы Земли. В этом случае понятие потока Ф не имеет смысла из-за не замкнутости дрейфовой траектории. Кроме того, несимметрия поля может привести к искажению экваториальной плоскости и, как следствие, к появлению составляющей скорости вдоль силовой линии и к сходу частицы с экваториальной плоскости (уц = 0). Следовательно, ограничение нєсим-метрии условием применения дрейфового приближения не достаточно не только для анализа точности сохранения адиабатического инварианта, но и его существования вообще.

Согласно уравнению (2) движение ведущего центра для частиц с питч-углом а = п/2 происходит по линии постоянного H (вектор дрейфовой скорости перпендикулярен как H, так и уH).

Рисунок. Дрейфовые траектории заряженных частиц (питч-угол а = п/2 ), рассчитанные по экспериментальным средним изолиниям магнитного поля в экваториальной плоскости магнитосферы Земли [7]. Цифрами при соответствующих изолиниях указаны значения магнитного поля

На рисунке представлены расчетные дрейфовые траектории заряженных частиц, двигающихся в плоскости магнитного экватора [7]. В пределах ~ 4R3 траектории круговые (дипольноє приближение магнитного поля). Траектории частиц, по которым они дрейфуют через полуночный меридиан на расстояниях Больших 7R3, не замыкаются вокруг Земли и достигают Боковых границ магнитосферы (магнитопауза). Асимметрия магнитного поля приводит к тому, что дрейфовая траектория по линии = const проходит ближе всего к Земле в магнитную полночь, пересекая полуденный меридиан на расстояниях ~ 10R3. Следовательно, если в некоторой области экваториальной плоскости стационарного магнитного поля изолинии H = const замкнуты, то сохранение третьего адиабатического инварианта как в канонической, так и потоковой форме тривиально. Однако имеет смысл рассмотреть движение в плоскости экватора подробнее, чтобы получить некоторые общие положения и в дальнейшем перейти к более сложному случаю движения заряженных частиц с v# _ 0 в отличном

(д H

от аксиально-симметричного поля I ^— _ 0

Следует отметить, в случае аксиально-симметричного магнитного поля координата, удовлетворяющая периодическому движению заряженной частицы в плоскости экватора, соответствует углу Ф цилиндрической системы координат (R, —). Для таких полей координатные линии X2 и X3 совпадают соответственно с координатными линиями R и —.

Подвижная система координат K'

В цилиндрической системе координат, которую в дальнейшем будем называть системой K, дрейфовое уравнение (2) по компонентам распишется следующим образом:

U _ dR _ vj_ 1 дH и _ R<d — _ vj_ дH

R _ ~dt _ - 2(OaHR д— ’ — _ R~dt _ 2(0AH dR '

Лагранжиан такой частицы будет иметь вид:

(3)

L

mUdP е ( edpA)

2 + С

m

2

R +

—,R

2е +— с

—,R

A—) + ( rar

(4)

где A _ Ar + A— - компоненты векторного потенциала, а дрейфовые скорости определяются из (3). Из уравнения Лагранжа для обобщенного импульса P— _ mR2— + (е/с) RA— получаем:

dP? _ е д (pdPA) _ 0 dt с д— _ ’

и обобщенный импульс P— в несимметричном магнитном поле не является константой движения.

Для того чтобы проанализировать величины R2— и RA—, входящие в обобщенный импульс P—, перейдем к новой системе координат K', которая вращается относительно цилиндрической системы K с угловой скоростью —, локально связанной с угловой скоростью ведущего центра [8]. Центр вращения K' совпадает с центром цилиндрической системы координат K. Для координат подвижной системы с единичными векторами eR и е— можем записать: R' _ R, —'=const. Так как в системе K'

относительная скорость ведущего центра VomH равна R, а переносная Vnep — ф,R то

Uдр — Uabc — VomH + Vnep — R +

ф ,R

С физической точки зрения переход к вращающейся системе координат означает следующее. Во-первых, за счет Vnep в системе K' наводится электрическое поле Е\ , которое определяется как

i г ■ • i ■ ■

Ei — -c ф ,R , я c Uф, H

(5)

Это поле «компенсирует» скорость градиентного дрейфа, появляющегося за счет (дH/дR) . Действительно, умножив векторно (5) на H, получим скорость в подвижной системе:

Ei, H

VEi = C~HpT

U ф, h

, я

H 2

- — -Яф.

Во-вторых, поскольку в такой системе координат отсутствует зависимость поля от ф!, т.е. (dH/дф') — 0 , а поле магнитное H обладает несимметрией, то появляется частная производная dH'/dt , не равная нулю (H' — H). Это приводит к возникновению еще одного электрического поля Е2 ортогонального Ei. Действительно, поскольку для данного R' поле в точке меняется за счет поворота системы координат K' в несимметричном поле H, то в данной точке подвижной системы координат дH'/дt ~ rotE2 — 0. Следовательно, движение ведущего центра в системе K' соответствует движению в скрещенных электрических и магнитных полях и задается уравнением:

dR'

dt

c

H2

Ei, H

+

СД д H' _

Ж' ~ШЄф'.

(6)

Уравнение (6) соответствует уравнению, описывающему движение ведущего центра в переменном аксиально-симметричном поле (отсутствует зависимость от ф' ), плюс электрическое поле, наведенное за счет переносной скорости. Следовательно, относительно кинематических соотношений переход к описанию движения заряженной частицы в подвижной системе координат эквивалентен переходу к аксиальному переменному полю. Если учесть значения скоростей дрейфа (3), электрического поля Ei (5) и равенство H' — H , то для изменения радиус-вектора R' в системе K' можем записать:

dR' c

~dT — H2

E2, я

(7)

Умножив (7) на H, получим значение электрического поля E2:

E2

i

c

R, Я

v2 д He

2oJiR дф>Єф'

(8)

В последнее выражение подставлялось значение R из (2). Следовательно, выражение (8) как раз и показывает, что возникновение электрического поля в системе K' обусловлено наличием аксиальной несимметрии.

Третий адиабатический инвариант в канонической форме

Рассмотрим теперь лагранжиан L' в подвижной системе координат [9]. Согласно преобразованиям Лоренца для 4-вектора потенциала поля A1 = (y,A^ , где у -

скалярный потенциал и i = (0,1,2,3), получаем в системе K' для нєрєлятивистского случая

U A

У' = -^, а; = A;, AR = Ar.

Здесь штрих при компонентах 4-вектора относится к системе K, скорость U; направлена по A;. Из преобразований 4-вектора видно, что компоненты векторного потенциала A в подвижной системе координат сохраняются, но наводится потенциал электрического поля у, появление которого связано с Ei . Вихревое электрическое поле E2 не имеет потенциала и определяется через частную производную по времени от магнитного поля. С учетом этого лагранжиан (4) в системе K будет иметь вид:

L =

mV2

lll'V п

+ mV

; ,r

m

+

; ,r

e ( Vnm.uA

- ey.

(9)

2

2

2

c

Получим уравнения движения ведущего центра в системе K . Для этого представим полный дифференциал лагранжиана (9) в следующем виде, введя обозначение для потенциальной энергии - Wn = Wn (R,VomH),

dL

m ( VomH ' dVomHi + m ( dVo

; ,r

+ m(dR

VomH;

+

+m

; ,r

; 1 dWnJs dWn jf-

; dR ^ dR dVomH.

d R

dVo

Дифференцируя отдельно последнее выражение сначала по VomH, а затем по R,

d д L д L

из уравнения Лагранжа -------= —- получим искомое уравнение относительно

dt дVomH дR

скорости заряженной частицы во вращающейся системе координат

dVo

d dWn дWn

m

dt dt dVo

д R

+ m

r,;

+ 2m

VomH, ;

+ m

; ,r

,;

(10)

в (10) последние три члена появились за счет перехода к неинерциальной системе координат K и соответственно равны: силе, появляющейся за счет неравномерности вращения (; = 0), силе Кориолиса и центробежной силе. Раскрыв векторные произведения и умножив (10) скалярно на единичные вектора er и є; системы K', получим:

mVomH = -дWn + mR;2,2mR; + mR; = 0. (11)

дR dt д Vотн

Из второго уравнения (11) путем интегрирования следует

R2; = const. (12)

Следовательно, система координат K вращается так, что квадрат радиус-вектора частицы в этой системе (R' = R), умноженный на ее угловую скорость вращения,

есть величина постоянная. Однако угловая скорость K локально связана с угловой скоростью вращения частицы в системе K, поэтому для частицы в цилиндрических координатах, с учетом равенства Uy = Ry , можем записать:

RUy = const. (13)

Учитывая, что значение скорости Uy с точностью дрейфового приближения задается соотношением (3), то постоянство (13) выполняется с этой же степенью точности.

В работах [1],[2] было показано, что в аксиально-симметричном переменном магнитном поле кумулятивными эффектами, связанными с радиальным ускорением, приводящими к нарушению третьего адиабатического инварианта, можно пренебречь при выполнении условия UR/Uy ^ 1, что соответствует требованию малости скорости радиального дрейфа по сравнению с азимутальной скоростью. Поскольку в подвижной системе координат K радиальная скорость Ur определяется соотношением (7), то в этой системе условие ее малости по отношению к переносной скорости УпеР = Uy может быть представлено:

6п

UR

Uy

6п c

E2

HUy

< 1

Подставив в последнее выражение значение £2 из (8) и из второго уравнения (3), получим, опустив знак минус,

1 д H д H ,

Rdy'dR ^

или

1 д н 1 дн

R дy ^ 6ждR ’ ()

что соответствует требованию наличия слабой неаксиальности магнитного поля: радиальный градиент много больше азимутального. Определим вид константы в выражения (12), (13). Для несимметричных магнитных полей, которые удовлетворяют дрейфовому приближению, справедливо

дн дн н

__

дх2 = ~9R = RKp ’

где RKp - радиус кривизны силовой линии [1],[2],[10]. Введем обозначение k = R/RKp. Однако в противоположность симметричному полю в нашем случае k является слабой функцией угла y. С учетом сказанного, перепишем последнее выражение:

д н aR

Rk (y).

(15)

Подставив (15) во второе уравнение (3), выразим RUy

RUy =

2ю,

k (y)

2

v

eMk (y),

(16)

где ц = mv^/2н — первый адиабатический инвариант. Из сравнения (12) с (16) получаем, что k(y) = k = const с точностью ц = const . Поэтому, зная явный вид const в (12) и (16), окончательно можем записать:

RUy =

-ц k = const. e

(17)

Следовательно, третий адиабатический инвариант в канонической форме согласно (17 ) в полях со слабой несимметрией сохраняется. Действительно,

m f c

I = — ф RUmdrn = mRUm = - uk = const. 2n J e

(18)

Третий адиабатический инвариант в потоковой форме

Рассмотрим сохранение третьего инварианта в потоковой форме и эквивалентность замены I на Ф. В случае симметричного поля эта замена обеспечивалась постоянством обобщенного импульса Ру по циклической переменной m. Однако, если цикличность у для аксиального поля является основой симметрии, то для дрейфовых уравнений независимость от у является приближенной, причем с той степенью точности, с которой дрейф отделен от ларморовского вращения. Именно поэтому в цилиндрической системе координат лагранжиан не зависел от ф и обобщенный импульс Ру являлся констэнтой с той же самой точностью. В случае несимметричного поля Ру = mRU^ + (e/c) RAy не является константой движения и Ру = 0 . С учетом постоянства RUq представим уравнение Лагранжа Ру в следующем виде:

d _ e d _ e д

~гР<р = ~ ~rRArn = dt cdt c ду

(urar + UrnArn)

дAr ду

+ U

д A у ду

= 0.

(19)

В (19) учтено, что скорости дрейфа не зависят от у с точностью u = const . Следовательно, RAq при дрейфе в несимметричном поле не сохраняется. Согласно определению магнитного потока имеем:

Ф

//

H dS = ji Adї=

RAq d у + <j> ARdR.

По теореме о среднем преобразуем последнее выражение:

Ф = 2п (RAV > + (Ar)A R,

(20)

где AR = RK — RH, RH - начальное значение радиуса R (ун = 0), RK — конечное

значение R (ук = 2п). Поэтому для того, чтобы поток в (20) был усредняемой величиной, необходима, как минимум, квазипериодичность движения ведущего центра по траектории ведущего центра. В то же время дрейфовое движение наличие такого движения не постулирует. Определим AR в (20), разделив в (3) первое уравнение на второе и воспользовавшись соотношением (16) (k = const)

1 д H _ 1 д H

R ду kH ду .

Откуда, путем интегрирования, получим:

AR = Rh— Rk = Rh

exp| — ІНщd у| — 1

(21)

Интегрирование в степени экспоненты производится от у = 0 (R = Rh) до у = 2п (R = Rk). Однако согласно (17) ведущий центр с точностью дрейфового приближения совершает периодическое движение и возвращается в исходную точку. Поэтому Rh =

Rk И

1 д Н Н дф

) = 0 траектория замкнута и движение вырожденное (символ () означает

усреднение по циклическому углу ф). Отсюда AR = 0 и (Ar) = 0. Поэтому инвариант в потоковой форме Ф постоянен с той же степенью точности, что и канонической I в (18):

Ф = 2п (RAф) = const.

(22)

Поэтому, как следует из (22), среднее по периоду дрейфа значение обобщенного импульса Рф есть величина усредняемая Рф = ш(Киф) + (e/c) (RAф) = const, где согласно (16) (RU<p) = RUф.

Из сказанного следует, что сохранение R2(p = RUф в магнитном поле со слабой несимметрией следует из рассмотрения подвижной системы координат K, движение в которой (с точки зрения кинематических соотношений), соответствовало аксиально-симметричному переменному во времени полю. Однако в этих полях сохранение адиабатического инварианта в форме RUф соответствовало точности дрейфового приближения для небольших интервалов времени, так как кумулятивные эффекты, связанные с неусредняемым ускорением по R, приводили к нарушению инвариантов. Действительно, продифференцировав первое уравнение (3) по времени для случая постоянного поля в пренебрежении вторыми производными по координатам, получим

R дH_ R2 _ 1 Ґ \2 / дн \2

2солНR дф R R\2aAHR) \дф/ .

2

Следовательно, в общем случае (R) ~ (дH/дф) , и кумулятивные эффекты, связанные с неусредняемостью радиального ускорения, должны приводить к нарушению сохранения RUф. Однако выполнение условия (14) позволяет пренебречь ускорением инвариантной оболочки.

Переменное во времени исходное поле

Если теперь рассмотреть переменное во времени исходное магнитное поле, то ни к чему принципиально новому это не приведет. Действительно, согласно уравнению Максвелла rotE ~ —дH/дt в переменном поле неподвижной системы координат наводится вихревое электрическое поле Ез, которое суммируется с электрическими полями, наведенными во вращающейся системе координат за счет переносной скорости El (5) и неаксиальности E2 (6). В этом случае для сохранения третьего адиабатического инварианта в канонической и потоковой формах достаточно выполнения стандартного условия адиабатичности

дH h

~дГ ^ тДр ’

(23)

где Тдр - период дрейфа по координате ф.

Выводы

На примере движения заряженных частиц в плоскости экватора (vjj = 0) рассмотрен вопрос сохранения третьего адиабатического инварианта движения в потоковой и

канонической форме в магнитных полях, обладающих несимметрией. Показано, что: - в случае рл ^ R (дрейфовое приближение) в несимметричных полях переход к вращающейся, с угловой скоростью дрейфа частицы фдр , системе координат позволяет свести задачу к рассмотренному случаю аксиально-симметричного, но переменного магнитного поля. При этом кумулятивными эффектами радиального ускорения можно пренебречь при выполнении условия Ur/U^ ^ 1, что автоматически приводит к требованию наличия слабой аксиальной несимметрии поля (5) и, как следствие, к эквивалентности адиабатических инвариантов в формах J и Ф и к возможности считать их постоянными величинами; - в случае переменного исходного магнитного поля условием сохранения инвариантов в формах J и Ф и их постоянства в поля со слабой несимметрией является выполнение обычного условия адиабатичности (23) совместно с (14).

Библиографический список

1. Богданов В.В., Плетнев В.Д. К вопросу о точности сохранения третьего адиабатического инварианта движения заряженной частицы в аксиально-симметричных полях // Космические исследования. 1972. Т.10. Вып. 3. С. 358-367.

2. Богданов В.В., Плетнев В.Д. К вопросу о точности сохранения третьего адиабатического инварианта движения заряженной частицы в аксиально-симметричных полях // Космические исследования. 1972. Т.10. Вып. 4. С. 528-531.

3. Богданов В.В. Динамика магнитосферной плазмы в дрейфовом приближении. Владивосток: Даль-наука, 2006. 140 с.

4. Боголюбов Н.Н., Зубарев Д.Н. Метод асимптотического приближения для систем с вращающейся фазой и его применение к движению заряженных частиц в магнитном поле // Укр. мат. журн. 1955. Вып. 1. С. 5-17.

5. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963. 410 с.

6. Berkowitz, Gardner С. Communz, Pure and Appl. Math., 1959, VoI. 12. P. 501.

7. Fairfield D.H. The average magnetic field configuration of outer magnetosphere // J. Geophys. Res. 1968. Vo1.73. P. 7329-7338.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1965. 204 с.

9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988. 509 с.

10. Редерер X. Динамика радиации, захваченной геомагнитным полем. М.: Мир, 1972. 192 с.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 09.11.2015