Собственные колебания наполненного жидкостью упругого цилиндрического капилляра конечной длины. I. теория Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2010, том 20, № 1, c. 78-86

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ -

УДК 534.131.2

© Б. П. Шарфарец

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НАПОЛНЕННОГО ЖИДКОСТЬЮ УПРУГОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КАПИЛЛЯРА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ. I. ТЕОРИЯ

В работе в теоретическом плане рассматривается задача о собственных упруго-акустических колебаниях неоднородного цилиндра, состоящего из упругой трубки конечной длины, заполненной жидкостью. Задача поставлена в наиболее общем виде. Решение ищется в классическом стиле методом разделения переменных. Показано, что удовлетворение граничных условий на торцах трубки в рамках этого метода невозможно. Предложен алгоритм определения собственных частот колебательной системы. Результаты работы могут быть использованы в случаях применения ультразвука в задачах коагуляции частиц.

Кл. сл.: резонанс, собственные частоты колебания, собственные функции, собственные значения

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] была рассмотрена задача о собственных акустических колебаниях неоднородного цилиндра, состоящего из стеклянной трубки, заполненной жидкостью. При этом учитывались только объемные (продольные) колебания в стенках трубки. Для выяснения правомерности такого допущения в настоящей работе сделана попытка учета упругих свойств стенок трубки, т. е. рассмотрены еще и сдвиговые волны, а следовательно, получена возможность выявить степень расхождения со случаем пренебрежения упругими свойствами стенок трубки, рассмотренным в [1].

Вопросу рассмотрения упругих колебаний в полых цилиндрах посвящено достаточно много работ. Так, в работе [2] рассматриваются аксиально-симметричные, а в работе [3] — произвольные упругие гармонические волны в бесконечном полом цилиндре в вакууме; результаты сравниваются с аналогичными, полученными из теории оболочек. В работах [4-6] изучаются резонансные явления в бесконечном полом цилиндре в идеальной жидкости под воздействием различных нагрузок. В работе [7] рассматриваются упругие колебания сплошного цилиндра конечной длины в вакууме.

В настоящей работе изучаются резонансные явления в системе, состоящей из полого упругого цилиндра конечной длины, заполненного изнутри жидкостью, а снаружи контактирующего с вакуумом.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Пусть дан круговой кольцевой цилиндр, высо-

той 1, внутренним радиусом а1 и внешним радиусом а , состоящий из некоторого материала плотностью р и со скоростями продольных с1 и поперечных (сдвиговых) сг волн. Внутри кольцевого цилиндра находится основная жидкость, с постоянной плотностью рп и скоростью звука с,. На границах цилиндра справедливы однородные условия Дирихле. Необходимо оценить собственные колебания описанного объема.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Остановимся на уравнениях колебания в упругой полой трубке конечной длины. Выпишем уравнения Ламе для линейно-упругой однородной изотропной среды в отсутствие внешних источников [7]

д 2и

р-= (Л + ¡и) grad div и + ¡и Аи . (1)

дt2

Здесь и — вектор смещения; Л и и — упругие постоянные Ламе. Если представить

где

u = grad Ф+rot ¥ = иг + u,

иг = grad Ф, u = rot ¥,

(2)

то уравнение (1) распадается на два уравнения для скалярного Ф и векторного ^ потенциалов:

а2Ф

Ъ- 7

а,2 г а2Ш

2 Л + 2 И = с, 2АФ, с,2 =-—,

Р

(3)

а

= с, 2АШ, с,2 .

2 , ' , Р

Перепишем систему (3) применительно к цилиндрической системе координат, т. е. преобразуем ( х, у, г г ,р, г) [8, с. 358, 361]:

агг =(Я + 2р)егг + + £в),

= (Л + 2М)£рр + Л(£гг + £ ) , ста = (Л + 2М)£гг + Л(£гг + £рр ) ,

= 2М£гр , = 2М£гг, ^ = 2И£рг ;

(9)

и выражения напряжений через потенциалы [9, с. 36]:

а 2Ф

а,

а2 ^

= с,2 АФ,

2 1 '

а,

а2 ^

"а,2

а2 ^

- = с,2

2 '

Ашг _-г2

1 ( аш ^ 1 2-р + ш

р = с 2

Ашр + —

<Р 2

г2

ар аш

_г. _ш

' ар ш

/у лл

/у

а,

г = с,2 Аш г;

2 , г'

(4)

стгг = ЛАФ + 2^

а2Ф а (1 аш, ашр л

■+— аг2 аг

г ар аг

ст = ЛАФ + 2и-х

рр Г* г

(1 а2Ф оф а2ш„ ашр 1 аш, а2ш.

-+—+-

-+—

г ар2 аг араг аг г ар агар

„ 1а2Ф 1

ст = ЛАФ + 2и\-+ -

И аг2 г

а( аШр л а2ш

г-

аг

V

аг

/

ардг

а(гшг) аш

аг

+

ар

аШг п

+-- = 0;

аг

1 а ( а л 1 а2 а2

А =--1 г— 1 +--+-

г аг V аг у г2 ар2 аг2

(5)

(6)

Связь поля смещений с потенциалами следующая:

<ф+ 1 аш, аШр

аг г ар аг

1 оф аш„ аш.

ир = -—+-

г ар аг

аг

<ф+ 1

аг г

а(гшр) ашг

аг

ар

Приведем также выражения для тензоров напряжения и деформации [8, с. 360]:

аи

Е„ ="

1 аир иг

г ар г

£ = —

гр 2

аг

1 (аир 1 аиг и^

—I-----

аг г ар г

1 (аи^+аи

2I аг аг

£ =

аиг

аг

(8)

£рг 2

1 (аир+1 аи Л

аг г ар

/

=И2 аг

1 <ф

г ар

а

+ г—

аг

1 (аш аш.

г I аг аг

+

+

1 а2ш 1 а2шр

г2 ар2 г араг

[ 2 а2Ф 1

ст = И-—+—

I г араг г

а( ашр Л а2ш,

г--

аг

ар у ар2

+

+

а2ш а2ш

(7) ^ = И

аг2 агаг ]'

„ а2Ф а (1 аш Л

2-----

агаг аг I г ар

(ш л

+— аг

г

V /

+

а2шр а2шр 1 а2ш, +-----!---

аг2

аг2

г агар

(9а)

Далее поставим краевые условия на внутренней и внешней поверхностях цилиндрической трубки, а также на ее торцах. Внешняя поверхность при г = а граничит с вакуумом (свободная граница), внутренняя поверхность при г = а1 граничит с жидкостью. На свободной границе равны нулю компоненты тензора упругого напряжения

ст = ст = ст = 0 .

гг гр гг

(10)

Внутренняя поверхность трубки граничит с идеальной жидкостью. В этом случае справедливы следующие граничные условия [10, с. 442].

- Нормальное напряжение на границе равно давлению в жидкости, взятому с обратным знаком;

X

V

а

иг =

касательные напряжения равны нулю; нормальные скорости твердого тела и жидкости на границе равны между собой:

= - P

ст = ст

v \r=a rzlr=a

= 0,

= v,„

CT = CT = CT = CT

zz|z=0 zv| z=0 rz|z=0 zz|z=/

CTv L CTzlz=l 0'

а 2ф

—w = c 2аф .

at2 w J

V w = gra^ w

Pw =-Py

at

PJ 0 =pJ l = 0.

J \z=0 w \z=l

аф+—ф = 0,

A¥ +—¥ =0;

z 2 z '

1 —

A--+ —

r c

1 —

A--+ —

r c

2 > 2 a¥

¥r - —-v = 0,

r r2 av

2 a¥

¥ф +--^ = 0.

v r2 ar

t У 2^

Для давления в жидкости имеем:

APJ + — Pw =0.

j c 2 J

(11)

- На торцах трубки равны нулю компоненты тензора упругого напряжения:

(12)

В жидкости поле для потенциала колебательной скорости описывается волновым уравнением

(13)

Здесь Фк — потенциал колебательной скорости vw в жидкости. Колебательная скорость и давление р в жидкости выражаются следующим образом:

(14)

Краевые условия на границе с полым цилиндром приведены в (11); на торцах цилиндра при г = 0, 1 равно нулю давление в жидкости

(15)

Полагаем, что рассматривается стационарный гармонический процесс. Поскольку ниже амплитуда колебаний рассматривается в вещественной форме, временной множитель принимаем в форме cos cot. Для потенциалов смещения в упругой трубке (оставлены те же обозначения для простоты изложения) получаем из (4) следующую систему:

(16)

(17)

Здесь лапласиан A имеет вид (6). Решение системы (17), (18) ищем в виде произведения функций от одной переменной, что является стандартным для отыскания собственных колебаний.

В работе [3] для полого, а следом и в [11] для сплошного бесконечного цилиндра предложено искать решение свободных колебаний в следующем виде:

Ф = f (r) cosmv e'^z, ¥r = gr (r) sin mv e'^z, = gv (r) cos mv e'^z, ¥z = gz(r) sin mv e'^z, m = 0,1,2,...

В работе [1] применительно к случаю жидких слоев давление искалось в виде

Pw=fw (r) emv sin ^kz , m = 0, ±1, ±2,...

Учитывая, что на интервале ve [0,2я] полной является либо система функций { emv}, m =

= 0,±1,±2,..., либо система {cosmv, sin mv}, m = = 0,1,2,..., решение задачи будем искать двояко.

В первом случае ставим задачу во внутренней жидкости

Pw=fw (r) • cos mv sin £kz, r e[0, a1] (19) и в полом упругом конечном цилиндре:

Фc = fc (r) • cos mv • Lc (£kz),

¥rc = grc (r) • sin mv • Lrc (£kz),

¥vc=gvc (r) • cos mv • Lvc ($kz), (20)

¥zc=gzc (r) • sin mv • L/ (^kz), r e [a1,a].

Во втором случае соответственно

Pw = fw (r) • sin mv sin £kz , r e[0, a1], (19а)

Фs = fs (r) • sin mv • Ls (%kz), ¥ /=g/ (r) • cos mv • Lrs (%kz),

¥vs=gvs (r) •sin mv • V(£kzX ¥zs = gzs (r) • cos mv • L; (^z),

r e [a1,a].

(20а)

t /

r

r

r

r

r

c

Здесь L(pkz) =

kn cos — z, l

. kn sin—z, l

B_.. =

z e[0, l ] — неоп-

Bm,v [fc (r) ]= 0, BmAr [gzc (r) ]= 0, Bm+i,,kr [ gr° (r)" g/ (r) ] = 0, Bm-i,,kr [Г (r) + g/ (r) ] = 0,

(21)

где оператор B определяется следующим образом:

б2 1 б f m2

— +---1--1

dx2 x dx I x2

a.

2 2

= ®__p 2. n 2 = ®__p 2

_ 2 Ьk ' Hk ~ 2 bk ■

ределенная пока в каждом конкретном случае функция, равная либо cos pkz, либо sin pkz , выбор

которой будет пояснен ниже; pk = ^^, k = 1,2,... —

дискретные значения продольной составляющей волнового вектора, выбранные таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия (15) на торцах трубки в столбе жидкости. Верхний индекс c и s в выражениях (19)-(20а) зависит от того, какая функция — cos или sin — взята в азимутальном сомножителе выражения для давления в жидком цилиндре. Теперь, следуя технике [3], получаем уравнения для радиальных составляющих из (20):

Действуя аналогично, получаем уравнения для радиальных составляющих из (20а):

B 1 fs

m,akr

B

m,pi.r\ о z

[fs (r) ]= 0,

[gzs (r) ]= 0,

Bm-1,ftr [gr' (r) - g; (r) ] = 0, Bm+1Ar [g/ (r) + g/ (r) ] = 0.

(22)

Функции ^ (г) из (19), (19а), а также общее решение (21), (22) выражается в терминах цилиндрических функций Бесселя J и У или модифицированных функций Бесселя I и К от аргументов акг = \акг\ и /Зкг = \Ркг\, как показано в таблице (в первых двух строках таблицы принято обо-

значение а, = \а.

^k2 = - Pk2).

Введем обозначения: 2g1 = gr - g; ,

2 g 2 = gr + g; , g3 = gz. Тогда общими решениями уравнений (21), (22) будут соответственно

c

c

c

w

Функции, используемые при решении уравнений (19), (19а), (21), (22)

Интервал по частоте Используемые функции

® < pkcw i (ar)

® > pkcw J (akr)

® < pkct I(ákr), K(akr), I(Pkr), K(pkr)

pkct < ® < pkcl I(akr), K(akr), J(ftr), Y(Pkr)

® > pkcl J(akr), Y(akr). J(fikr), Y(Pkr)

(23)

и

fc (r ) = AZm (ákr) + BWm (akr), g3c (r) = A3Zm (Pkr) + BW (Pkr), 2 g1c (r ) = ( grc (r) - gvc (r) ) =

= 2 AxZm+l(pkr) + 2Bx^m+l(pkr), 2 g2c (r ) = ( grc (r) + gvc (r) ) =

= 2 A Zm_10kr) + 2B2Wm_,(Pkr)

fs (r ) = AZm (ákr) + BWm (ákr),

g3s (r ) = A3Zm (Pkr) + B,Wm (Pkr), 2 g1s (r ) = ( g/ (r) - gvs (r) ) =

= 2 AlZm_l(pkr) + 2Bl^m_l(pkr), 2 g2s (r ) = (g; (r)+g; (r) ) =

= 2 A2 Zm+1(Pkr) + 2B2Wm+10kr),

где Z символизирует функции Бесселя J и I, а Ж — соответственно Y и К .

Как известно [12], согласно принципу калибровочной (градиентной) инвариантности, существует возможность определять векторный потенциал смещения с точностью до градиента произвольной скалярной функции. В работе [3] для удобства расчетов это реализуется приравниванием нулю функции g2с (г) из (23). Окончательно это приводит к равенству

(23а)

gr gv g1

Отсюда имеем

grc = - gvc = g1c = ^ (Pkr) + B Wm+1 (Pkr), g/ = - gvs = g1s = A[ Zm-1 (Pkr) + BWm-1 (Pkr).

(24)

(25)

Фc = fc (r) cos mv sin£kz, ¥rc = grc (r) sin mv cos£kz, ¥vc = gvc (r) cos mv cos^z, ¥zc =gzc (r) sin mv sin£kz, r e [a1, a]

Фs = fs (r) sin mv sin£kz, ¥rs =grs (r) cos mv cos£kz, ¥vs = gvs (r) sin mv cos^z,

(26а)

ф Оф V / ~ ...у-

¥zs = g/ (r) cos тф sin£kz, r e [aj,a].

соответственно для решений в жидком слое (19) и (19а). Отсюда из (7) получаем выражения для смещений:

и, =

и„ =

и

и* =

и J =

и

(fc)'+ r g3c - j cos mvsin^kz,

-rfC -%kg1c -(gsc)'Jsinmvsin^kz, (27)

fctk -(g1c)'-g1cJcosmvcos$kz

(fs)'- fgs* - J) si

sin mv sin £kz,

rfs --(g3s)'Jcos»vs™^

fs^k -(g1s)'+ m-1 g1sJsinmvcos^kz.

(28)

Окончательный вид решений определяется видом решений в жидком слое (19), (19а), где продольная составляющая обязательно должна быть равна sin E,kz для удовлетворения краевых условий на торцах жидкого слоя. Кроме того, исходя из первого и последнего краевых условий (11) на границе слоев, а также исходя из вида решений в жидкости для поля давления (19) и (19а), возможность сопрягать парциальные решения для всех m и k появляется лишь при совпадении тригонометрических сомножителей в обеих средах. Как легко получить, рассматривая первое и последнее краевые условия (11), выражения для напряжений (9а) и соответствующих (20), (20а) смещений, таковыми являются решения для потенциалов в упругом слое

Здесь штрих означает дифференцирование по г .

Из (9а) и (26), (26а) найдем выражения для напряжений на торцах трубки и на боковой поверх-

ности ct+ , CTv , CTrz , CTzz и CTz

= |l(-ki if) + 2И

m m

f "+-T g3 — gs'

I cos mv|

х| . f sin [sin mv)

(29)

ct„„ =

4 T ( * f ± 7 J + ( 1 (' ± П) g-"

-(p2 gs+2gs*)f^;>ini„z,

[sin mv| [cos mv)

(30)

и

и

х

И = Р

1 ± m 2 ^ 1 ± m ,

2 Рk I £1 g1 -

r

- £i''± — g, + 2Pf cosP.z,

icos mp\ h

[sin mpJ

(31)

и„ =

= <!-lk,2 f + 2p

-P2f + P (1 ± m ) gi + Pkgi

I cos mp \

x1 . \ slnpкz, I sin mpJ

(32)

ир =PÍ+"

I _ 2mpkf

+ g1

m ( m ± 1)

- Pk2

2mg1* ,Hsln mp\ ,

:-- - pkg, h \ cos pkz

r J [cos mpJ

(33)

Верхний знак или функция в (29-33) относится к решению (26), нижний — к решению (26а).

Первые три граничные условия (11) принимают вид:

-Лк,2 f + 2р

= - fw

m m

f g,- pkg1 '± —g,'

(34)

р|2Tí+f '± f И 1 (1 ±m)g1 -g1' P -

-(Pk2g3 + 2g3")}

= 0,

(35)

Р

1±m - i.JI «- g/- g1-±

±^ g.+w

r

= 0.

(36)

m

f '±— g3 - pkg1

r

f

1

\

a ^

Pw

fw '

(37)

Краевые условия (10) на внешней боковой поверхности г = а имеют вид (см. (34)-(36)):

-Л,2 f + 2р

mm f" + ~7 g3-Pk&' ±—gs'

= 0, (38)

р|2Тí+f ± f ] + (1 (1 ±m)g1 -g1' P -

-(Pk2 g3 + 2 g3")}

= 0,

(39)

Р

1±m

- Pk2

g1

1±m

-a'-g, ±

± ^ g, + 2Pkf'

r

= 0.

(40)

Четвертое условие получаем из (27), (28), а также из уравнения Эйлера для идеальной жидкости

В (34)-(40) необходимо различать g1 для случаев (c) и (s).

Обратимся к краевым условиям на торцах (12). Как видно из (32), напряжение иzz на торцах трубки равно нулю вследствие наличия множителя sin pkz . Исследуем возможность удовлетворения краевых условий (12) для напряжений az и иzp.

Из (31) и (33) очевидно, что краевые условия (12) могут быть удовлетворены при произвольных р и r , а также m и k , только когда радиальное слагаемое в фигурных скобках тождественно равно нулю на интервале r е[о1, а], что невозможно вследствие линейной независимости стоящих там комбинаций цилиндрических функций. Таким образом, напряжения urz и ирр краевым условиям

(12) не удовлетворяют. Однако следует ожидать [7, с. 303], что при условии большой величины отношения длины трубки к ее диаметру и выполнении остальных краевых условий напряжения urz и ирр на торцах трубки будут пренебрежимо малыми.

Таким образом, для определения шести неизвестных констант A, B, A1, B1, A3, B3 из (23), (23а) и (25) при каждом m = 0,1,2,... и k = 1,2,... для случаев (c) и (s) имеется по семь уравнений (34)-(40). Остающееся лишнее уравнение (им будет уравнение (38), являющееся единственным краевым условием на поверхности r = а в предельном случае жидкой трубки) будем использовать для определения резонансных частот, аналогично тому как это делалось в работе [1].

После подстановки в систему (34)-(37), (39), (40) выражений (23), (23а) и (25) получаются две системы для определения констант A, B, A1, B1, A3, B3 для случаев (c) и (s). Запишем их в матричном виде:

r

r

r

r=u

r

r=а

X

2

r

r

r=u

2

r

r

r=a

r=

r=a

r

r

r=ü1

С =

S =

г ас ^ вс

Ас

В1с Азс V Взс У

Г А*}

В*

А В* А/

V Вз* У

Г -Л Ц) = -Zm (ал) ^ 0 0

1

1

7 Л '(а1) =-2 ^ '(ака1)

рс2 рс

0 0

Г -Л Ц) = -zm (аа) л 0 0

Л ,(а1) = ^ ,(ака1) рс2 рс

0 0

Квадратные матрицы С и S состоят соответственно из элементов с„ и , /, / = 1,2,...,6. Все

у У 7 7

элементы уравнений (41), (42) зависят от индексов т , к и частоты со , что подразумевает необходи-(41) мость находить соответствующие решения для конкретных значений этих параметров. После громоздких, но несложных вычислений получаем для элементов сУ и :

У У

(42)

с11 = -Лкк12Zт (ака1) + 2UZm "(ака1) ,

с12 = -Лк1 Жт («ка1 ) + 2иЖт 'Ка1 ) , с13 = -2М<^т+1 '(Pkal), с14 =-2и£кЖт+1 \Pkal),

2ти

Zm '(Ра) -

2т и

Жт '(Ра) -

Zm (Ра)

а

Ж (Рк^)

а

*13 =-2M%kZm-ЛРkal), *14 = -2и£кЖт-1 '(Рка1) =

с21 = ^Zm («ка1 ) - а^т '(ака1) ) ,

а2

с22 = 2тг{Жт (ака1 ) - а1Жт К«! )) , а12

_М^к (I1 + т) Zm+1 (Рка1 ) - аlZm+1 '(Рка1 ))

М^к ((1 - т) (Рка1 ) - а^т-1 '(Рка1 ))

и^к ((1 + т) Жт+1 (Ра) - а,Жт+1 '(Рка,))

М%к ((1 - т) Жт-1 (Ра) - аЖт-1 ХРа))

^ = - и ( т2 Zт (Ра) + а1 (^ "(Ра) - Zm РО )), (т2Жт (Рка) + а1 (а^т \Ра) - Ж '(Рк^))) ,

с =-и „2

с26 = а12

*11 _ с11

42 _ с12

*15 = с15

с15 =

а

*16 = с16

с16 =

а

*21 = с21

*22 с22

*23 _

а

а

с24 _

*24 _

а

а

*25 = с25

а

*26 с26

С31 = 2Ирк2т К^

С32 = 2ИркКт '(«ка1 ) ,

( (

с33 = И

1 + т

кк а12

" Рк2 ¿тг+АРа) -

--(1 + т)¿т+ДРкО,) - ¿т+ЛРл)

(

С34 = И

1 +т

к к а12

-Рк2 ^т+1(Ра)-

--(1 + т )Гт+/(Рк«1) - К+ЛРка1)

с« =

Итрк

¿т (Ра):

(

^33 = И

1 -т

к к а12

- Рк2 ¿т-ЛРкО,) -

- - (1 - т ) 2тЛ\Рках) - 2,^(30,)

(

¿34 = И

1 -т

кк а12

- Рк2 Wm_l(Рkal) -

--(1 - т)Жт_ЛРка1) - Фт-1'(Рка)

с** = -

Итрк ^ ГБ

К (Ра):

С41 = 2т '(«ка1 ) , С42 = Кт '(«ка1) ,

С43 = рк2т+1 (Рка1 ) , С44 =-ркКт+1(Рка1)-„ _ т2т (Рка1)

^ЛО - С/1'

¿43 =-pkZm-1(Рkal), ¿44 —РК^Л):

тКт (Рка.)

Коэффициенты С5 . и ¿5 ., у = 1,6 равны соответственно коэффициентам С2у. и 52у., в которых, однако, фигурирует а в место а1. То же справедливо соответственно для коэффициентов С6у., и

С3 у , ¿3у .

Вернемся к алгоритму вычисления резонансных частот. В оставшемся седьмом краевом условии (38) константы А, В, А1, В1, А3, В3, являющиеся в частности и функциями частоты, определены из системы (41) или (42). Однако условие (38) будет выполняться только на дискретном множестве частот сп, п = 1,2,..., [1]. Для их определения необходимо, варьируя частоту со, добиваться выполнения условия (38).

Отметим в заключение, что в силу различия

матриц С = {с.. | и S = | в (41), (42) должны

различаться и решения этих уравнений, а следовательно, и резонансные частоты для случаев (с) и (8).

ВЫВОДЫ

Таким образом, в работе получен алгоритм определения собственных частот ограниченных упругих цилиндров, заполненных жидкостью. Приведены все необходимые выражения для определения резонансных частот рассмотренного объема. Открытым остался лишь вопрос о правомочности пренебрежения невыполнением краевых условий (12) для напряжений ( и (. Этому вопросу, изучению свойств детерминантов матриц С и S , а

¿31 — С31

¿32 С32

¿35 _ С35

а

¿36 = С36

а

¿41 _ С41

¿45 = С45

а

¿46 = С46 .

С46 =

а

также практическим расчетам резонансных частот на конкретных примерах будет посвящена следующая статья автора.

Для автоматизации простых, но громоздких вычислений в работе использовался пакет "Mathematical", лицензия L3259-7547.

Автор выражает благодарность Н.Н. Князькову за постановку проблемы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шарфарец Б.П. О собственных колебаниях жидкости в ограниченном цилиндре // Научное приборостроение. 2009. Т. 19, № 3. С. 21-27.

2. Mirsky B., Herrmann G. Axially Symmetric Motions of Thick Cylindrical Shells // J. Appl. Mech. 1958. V. 25, N J. P. 97-102.

3. Gazis D. Tree-Dimensional Investigation of the Propagation of Waves in Hollow Circular Cylinders. Part J, 2 // J. Acoust. Soc. Am. J959. V. 31, N 5. P.568-578.

4. Greenspon J. Axially Symmetric Vibrations of a Thick Cylindrical Shell in an Acoustical Medium // J. Acoust. Soc. Am. J960. V. 32, N 8. P. J0J7-J025.

5. Айзенберг М.В., Слепян Л.И. Резонансные волны в полом цилиндре, погруженном в сжимаемую жидкость // Переходные процессы деформации оболочек и пластин. Материалы Всесоюзного симпозиума по переходным процессам деформации оболочек и пластин, Тарту, J967. Таллин: Изд-во АН ЭССР, J967. С. J3-22.

6. Айзенберг М.В. О резонансных волнах в полом цилиндре // Изв. АН СССР, МТТ. 1969. № 1. С. 84-90.

7. Ляв А. Математическая теория упругости. М., Л.: ОНТИ, 1935. 674 с.

8. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. М.: Физматлит. 2004. 472 с.

9. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. 376 с.

10. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука. 1973. 496 с.

11. Микер Т., Мейтцлер И. Волноводное распространение в протяженных цилиндрах и пластинах // Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. Т. 1. Часть А. Методы и приборы ультразвуковых исследований. М.: Мир, 1966. С. 140-203.

12. Морс Ф.М. Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1958, 1960. Т. 1, 2.

Институт аналитического приборостроения РАН, Санкт-Петербург

Контакты: Шарфарец Борис Пинкусович, sharb@mail.ru

Материал поступил в редакцию 8.09.2009.

EIGENFUNCTIONS OF THE FLUID CHARGED ELASTIC CYLINDRICAL CAPILLARY OF FINAL LENGTH.

I. THE THEORY

B. P. Sharfarets

Institute for Analytical Instrumentation RAS, Saint-Petersburg

The problem of natural elastic-ultrasonic oscillations of the nonuniform cylinder consisting of an elastic tube of final length filled in with fluid is theoretically discussed in the work. The problem is set in the most general way. The solution is searched in classical style by a method of separation of variables. It was shown, that the satisfaction of boundary conditions at ends of a tube is impossible within the frames of this method. The algorithm for definition of natural frequencies of a vibrating system is suggested. The results of the work can be used in cases of ultrasound application for the problems of particle coagulation.

Keywords: resonance, eigenfrequency of vibration, eigenfunctions, eigenvalues