Собственные колебания и устойчивость стационарной и вращающейся круговой цилиндрической оболочки с вращающейся жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

2302

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2302-2304

УДК 539.3

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОЙ И ВРАЩАЮЩЕЙСЯ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТЬЮ

© 2011 г. С.В. Лекомцев, С.А. Бочкарев

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь

bochkarev@icmm.ru

Поступила в редакцию 24.08.2011

С применением метода конечных элементов анализируются собственные колебания и устойчивость неподвижных или вращающихся круговых цилиндрических оболочек, взаимодействующих с вращающейся внутри них невязкой и сжимаемой жидкостью. Представлены результаты численных экспериментов, выполненных для оболочек с различными граничными условиями и геометрическими размерами.

Ключевые слова: классическая теория оболочек, вращающаяся цилиндрическая оболочка, вращающаяся потенциальная сжимаемая жидкость, метод конечных элементов, собственные колебания, устойчивость, флаттер.

В некоторых технических приложениях упругие тела взаимодействуют с потоком жидкости или газа, в котором наряду с осевой составляющей скорости присутствует также и окружная составляющая. При этом количество статей, в которых изучаются такие объекты, является незначительным. В [1, 2] представлено численно-аналитическое решение задачи только для бесконечно длинных оболочек, т.е. вопрос о влиянии граничных условий, задаваемых на торцах оболочек, на динамическое поведение системы остается неисследованным. Кроме этого, указанная задача никогда не решалась каким-либо численным методом. В настоящем исследовании численное решение задачи осуществляется с помощью полуаналити-ческого варианта метода конечных элементов.

Рассматривается упругая цилиндрическая оболочка длиной Ь, радиусом Я и толщиной И. Оболочка является неподвижной или вращается относительно своей продольной оси с угловой скоростью П, Внутри оболочки находится идеальная сжимаемая жидкость, которая вращается с угловой скоростью П/, равной, вообще говоря, угловой скорости вращения оболочки. В случае потенциального течения движение вращающейся жидкости описывается волновым уравнением [3]. Это уравнение совместно с условием непроницаемости и соответствующими граничными условиями сводится к системе уравнений с помощью метода Бубнова-Галеркина [4]. Для вывода уравнений движения вращающейся оболочки, описываемой в рамках классической теории, применяется уравнение Лагранжа, в котором в выра-

жении для работы, совершаемой гидродинамическими силами, используется уравнение Бернулли. Это позволяет получить связанную систему уравнений, которая в матричном виде может быть записана следующим образом:

(К-^2М + р / рА,С + Л])(я ф}Т = 0, (1)

где

К =

М =

Л =

М, 0

0 -р/М/

0 Л®

0

-р /(К / + К ®) С =

/ в СТ 1 Св/

в/ / С / _

, К в = Х| БТ ББ^,

. п К/ = Х I(Г>,г +1/г2Е>,е + ^МУ,

т У/

Кf = X 2 /с^е,еР - ЩсУ,

m У/

Мв =Х| N р^^, М f =Х| 1/с^РёУ,

п 8, т У/

Л®/ = X ^^, Л® = X /NTеFdS,

-а п -0

С®/ =-Х 12П/ /с2FеFdУ,

т У/

с/ = Х /2Р0^ ЛТП2NdS,

п —

п -

0

С в/ = X | ^ , К * = X | о0С^,

п 8, п 8,

КС = Х/ро^2^ Т О^, Ро =\р^-

п 8, Ь

Здесь (г, 0, х), (в, 0, 2) — цилиндрическая и криволинейная системы координат; т, п — число конечных элементов, на которые разбиваются области жидкости У^. и оболочки V,; 8/, 8, — поверхности, ограничивающие объемы жидкости и оболочки; 8о =8/п 8,; р/и с — удельная плотность и скорость звука в газе; р, — удельная плотность материала оболочки; В — матрица связи вектора деформаций с вектором узловых перемещений обо-лочечного конечного элемента; Б — матрица жесткостей; Г, N N — функции формы для потенциала возмущения скорости, оболочечного элемента и нормальной составляющей вектора перемещения оболочки; ц, ф — некоторые функции координат; /'* = V—1; X = Х1 + ГХ2 — характеристический показатель; О1 23 =—1, О1 32 = 1; О2 22 = О2 33 = 1; О0 — матрица предварительных усилий и моментов, компоненты которой определяются из решения осесимметричной статической задачи К^ = Г где Г = {0 0 р0ЛП2)Т и d — вектор обобщенных перемещений оболочки. Решение задачи сводится к вычислению и анализу собственных значений X системы (1). Для вычисления комплексных собственных значений применяется алгоритм на основе метода Мюллера.

В численных примерах рассмотрены стационарные или вращающиеся оболочки с различными граничными условиями и геометрическими размерами, взаимодействующие с вращающейся внутри них жидкостью. Учет вращения жидкости приводит к расщеплению частот — на прямую (штриховая линия) и обратную (сплошная линия), которые соответствуют волнам, бегущим в разные стороны с различными скоростями. На рис. 1а

100

50

У

т = 2 >< /сГ 1 1 1 1 у к ♦ /

у/ Г / к / г"

Х2

40

показано изменение действительных и мнимых (штрихпунктирная линия) частей двух первых (т — число полуволн в меридиональном направлении) собственных значений X (Гц) от скорости вращения жидкости О/ (об/с) для стационарной цилиндрической оболочки, свободно опертой с двух торцов. Возрастание скорости вращения жидкости приводит к увеличению собственных значений, соответствующих прямым волнам и уменьшению собственных значений, соответствующих обратным волнам. При определенной скорости вращения действительная часть обратной волны первой моды становится равной нулю и при дальнейшем увеличении скорости вращения она начинает возрастать. Действительные части обеих волн первой моды сливаются при скорости вращения О^. При этом происходит появление одинаковых и противоположных по знаку мнимых частей, что характеризует наступление потери устойчивости в виде флаттера. Аналогичная картина потери устойчивости наблюдается и при анализе оболочек, как жестко закрепленных на обоих торцах, так и консольно закрепленных.

На рис. 1б представлена зависимость двух первых собственных частот колебаний X от скорости вращения О для варианта расчета, когда оболочка и жидкость внутри нее вращаются с одной скоростью О = О/ = О,.

Учет вращения оболочки не оказывает существенного влияния на собственные частоты колебаний при малых скоростях вращения, но с увеличением скорости вращения собственные частоты изменяются таким образом, что потеря устойчивости не осуществляется. При решении задачи в упрощенной постановке, которая подразумевает исключение из (1) матрицы геометрической жесткости К |, потеря устойчивости также осуществляется в виде флаттера. Из этого следует, что начальные окружные усилия, вызванные

20

8 16

а)

б)

Рис. 1

0

центробежными силами, оказывают стабилизирующее влияние.

Работа выполнена при участии В.П. Матве-енко.

Работа поддержана РФФИ, грант №09-01-00520.

Список литературы

1. Lai Y-C., Chow C.-Y. Stability of a rotating thin elastic tube containing a fluid flow // Zeitschrift fur ange-

wande Mathematik und Mechanik, 1973. V 53. P. 511-517.

2. Chen T.L.C., Bert C.W. Dynamic stability of isotropic or composite material cylindrical shells containing swirling fluid flow // J. Applied Mechanics. 1977. V. 44. P. 112-116.

3. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М.: Наука, 1969. 184 с.

4. Бочкарёв С.А., Матвеенко В.П. Численное исследование влияния граничных условий на динамику поведения цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью // Изв. РАН. МТТ. 2008. №3. С. 189-199.

NATURAL VIBRATIONS AND STABILITY OF A STATIONARY OR ROTATING CIRCULAR CYLINDRICAL SHELL CONTAINING A ROTATING FLUID

S. V Lekomtsev, S.A. Bochkarev

The finite element method is applied to analyze natural vibrations of stationary or rotating circular cylindrical shells containing a co-rotating inviscid compressible fluid. The results of the numerical experiments for various boundary conditions and geometrical parameters are presented.

Keywords: classical theory of shells, rotating cylindrical shell, rotating potential compressible fluid, finite-element method, natural vibrations, stability, flutter.