CC BY
29
РОССИЙСКИЙ ЖУРНАЛ НАУК О ЗЕМЛЕ, ТОМ 11, ИЕ4001, ао1:10.2205/2009ЕЯ000436, 2010
ТРУДЫ МЕЖДУНАРОДНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ
Итоги Электронного Геофизического Года
3-6 июня 2009 • Переславль-Залесский, Россия
Сглаживание временных рядов методами дискретного математического анализа
С. М. Агаян,1 Ш. Р. Богоутдинов,1 А. Д. Гвишиани,1 и А. И. Каган1 Получено 25 декабря 2009; принято 12 марта 2010; опубликовано 19 марта 2010.
Дискретный математический анализ (ДМА) - новый подход к дискретным данным, основанный на моделировании с помощью искусственного интеллекта и нечеткой логики дискретных аналогов фундаментальных понятий предела, непрерывности, связности, тренда. Он представляет собой серию алгоритмов, нацеленных на решение основных задач анализа данных: кластеризацию, трассирование, сглаживание и прогнозирование временных рядов, их морфологический анализ, поиск в них трендов и так далее.
Все алгоритмы ДМА носят универсальный характер и базируются на конечном пределе. Данная статья посвящена решению проблемы сглаживания временных рядов в рамках ДМА. В результате получено так называемое гравитационное сглаживание, базирующееся на методах искусственного интеллекта и нечеткой логики. Приведено его сравнение с вейвлет-сглаживанием. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: Дискретный математический анализ; гравитационное сглаживание; невязка гладкости.
Ссылка: Агаян, С. М., Ш. Р. Богоутдинов, А. Д. Гвишиани, и А. И. Каган (2010), Сглаживание временных рядов методами дискретного математического анализа, Росс. ж. наук о Земле, 11, ЯБ4001, doi:10.2205/2009ES000436.
Введение
Дискретный математический анализ (ДМА) - новый подход к дискретным данным, основанный на моделировании с помощью искусственного интеллекта (ИИ) и нечеткой логики (НЛ) дискретных аналогов фундаментальных понятий предела, непрерывности, связности, тренда. ДМА реализован в серии алгоритмов, имеющих универсальный характер, базирующихся на единой формальной основе и отвечающих на основные вопросы анализа данных. На Рис. 1 приведена схема ДМА. Настоящая работа посвящена ДМА-сглаживанию (алгоритму “Равновесие”).
Общая концепция
ДМА-еглаживание. Обозначим через ВР[а, Ь] пространство временных рядов на дискретном отрезке [а,Ь] с узлами = а+(г—1)Н, Н = (Ь-а)/п, г = 1,..., п. Так
1 Геофизический центр РАН, Москва, Россия
что |[а, Ь] | = п. Элементы пространства ВР[а,Ь] обозначаются буквами х, у, г,.... Если х € ВР[а,Ь], то хг = х(Ьг) и х ~ (хг)|™ € йп, следовательно, ВР[а,Ь] - п-мерное пространство.
Пусть задан временной ряд у € ВР[а,Ь]. Рассматривается следующая задача: для у построить “гладкий скелет” (сглаживание = гладкое динамическое равновесие) х = Ят(у) € ВР[а,Ь].
В ДМА исходят из следующей логики его построения: “х - гладкий скелет для у” = (х - гладкий временной ряд) Л (х - приближение у).
Функционал сглаживания. Идея гладкости формализуется квадратичным функционалом ООт(х) = (Ох,х), называемым невязкой гладкости. Она является числовым выражением отклонения поведения дискретной функции от “идеально гладкого” (= С-гладкого) на [а,Ь], и в чистом виде служить основой сглаживания не может в силу излишней своей строгости. Для нее требуется вторая половина. Ею является функционал сглаживания Яс(х1у), формализующий идею приближения: Яс(х1у) = \\у — х||2. Итоговый функционал сглаживания Ят(х1у) для ряда у есть одно из линейных А-соединений упомянутых выше функционалов:
© 2010 Российский журнал наук о Земле.
ЬМр://elpub.wdcb.ru/journals/rjes/doi/2009ES000436.html
Ят(хіу) = Ятх(хіу) =
Рис. 1. Схема дискретного математического анализа.
АСОт(х) + (1 — А)Яс(х|у), А € [0,1]
Функционал Ятл(х1у) является неотрицательным и квадратичным на И" = ВР [а, Ь] и потому достигает своего минимума х* в единственной точке, которая и будет искомым А-сглаживанием для у: х* = Ятлу. Таким образом, поиск гладких скелетов сводится к минимизации функционала Ятл(х1у), то есть к решению линейной системы п-го порядка:
х* = Ят\у о Ога^тд (х*1у) = 0
Найдем градиент GгadЯmл(x|y) в явном виде. Для этого преобразуем Ятл(х1у):
Ятл(х1у) = А(Ох,х) + (1 — А)||х — у||2 =
А(Ох,х) + (1 — А)(х — у, х + у) =
А(Ох,х) + (1 — А)(х,х) — 2(1 — А)(х,у) +
(1 — А)||у||2 = ((АО +(1 — А)Е )х,х) —
2(1 — А)(х,у) + (1 — А)НуП2
Следовательно, минимизация Ятл(х1у) равносильна минимизации функции
Ятл(х1у) = ^((АО + (1 — А)Е)х,х) — ((1 — А)у,х)
Для нее градиент в точке х выражается через О следующим образом [Пшеничный и Данилин, 1975]:
GradSmЛ(x|y) = (АО + (1 — А)Е)х — (1 — А)у
Следовательно,
х* = Ятлу о (АО + (1 — А)Е)х* = (1 — А)у
Невязка гладкости. В качестве основы каждой такой невязки берется то или иное свойство непрерывных функций, имеющее естественное дискретное выражение. Отклонение от этого свойства рядом х на отрезке [а, Ь] должно быть в ДМА квадратичной формой (Ох, х) и представляет собой нулевой уровень невязки гладкости. Перейдем к строгому определению.
Невязка гладкости: нулевой уровень - форма (О0х,х), причем О0 = О[а,Ь] (это означает, что О0
Рис. 2. График функции 5ti (Ь]).
определен на ВР[а,Ь]). Области определения в дальнейшем будут ясны и потому будут опускаться по умолчанию: СО0х а= (О0х,х).
Невязка гладкости: в-ый уровень. Пусть Ва - оператор дифференцирования в-го порядка Ва: ВР[а,Ь] ^ ВР[а,Ьа], ха = Вах - в-ая производная функции х: ха € ВР [а, Ьа = Ь — вН] = Кп-в
х(и)
Х1гІ=о(-1)8 1<сіхі+і
ка
и Є [а, Ьа]
(Ва*О0Вах,х) = (Оах,х)
где -юа - неотрицательные веса (параметры сглаживания). Таким образом, СО(х) = (Ох,х), О = ^П—0 таОа.
Гравитационное сглаживание. Оператор дискретной непрерывности О0 представляет собой результат дискретной интерпретации математической непрерывности. Таких операторов в ДМА несколько. Рассмотрим один из них.
Пусть / обычная непрерывная в точке с функция, тогда Уе > 0 З 3 > 0:
ї I
[с—5,с+5]
- /(с)
< £=>
с+5
25 І ї(і)Лі — ї(с)
с—5
< £=>
сСт+
Функционалом СОа (х) в-ой гладкости ряда х будем считать невязку непрерывности его в-ой производной ха
СОа(х) = СО0(ха) = (О0 Вах, Вах) =
ИШ5^0 25 / ! (Ь)йЬ = / (с)
с —5
Таким образом, из обычной непрерывности в точке следует последнее равенство, которое естественно назвать гравитационной непрерывностью в ней. Последняя уже переводится на дискретный язык. Сделаем это.
В ДМА окрестность узла Ьг заменяется моделью обзора 5ti в ней. Она является нечеткой структурой на [а,Ь], выражающей свойство близости к Ьг: (Ь]) - степень близости ] к Ьг на [а,Ь]. Всегда справедливо (Ь]) € [0,1] и
5ц (Ьг) = 1. Пример:
где Оа(х) = Ва*О0Ва.
Невязка гладкости: итоговый уровень. Она
является взвешенным итогом предыдущих:
п —1
(х) = Шас
а = 0
(іі ) = 1 —
1ІІ ІІ
т.ах.(\іі — а|, |і — Ь|) + к
График функции 3гі (Іі) представлен на Рис. 2.
Рис. 3. Гравитационное сглаживание. Зависимость от А.
_1________________I_____________________________VIV у____________________________I_______________________________I______________________________I_______
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 ^ С
Рис. 4. Сравнение гравитационного сглаживания со сглаживанием вейвлетом Добеши. Пример 1.
Свяжем с 5 квадратную матрицу п-го порядка А =
А (5) = (аг]) € Ма^п):
] = 1
((А — 1)х, (А — 1)х) = (От0х, х)
4 ЕП=1 5г(з)
Тогда дискретное выражение гравитационной непрерывности ряда х в узле Ьг означает равенство хг = Х)П=1 аг]х], а потому отклонение СОт(х)(Ьг) от него нужно считать невязкой гравитационной непрерывности х в Ьг: СОт(х)(Ьг) = (хг — ^2"=1 аг]х])2. Общая невязка непрерывности СОт0(х) для х на [а,Ь] будет иметь вид:
Таким образом, для дискретной гравитационной непрерывности
От0 = О(5) = (А(5) — 1)*(А(5) — 1)
Согласно общей концепции полная невязка СОт(х) для х на [а, Ь] определяется самосопряженным оператором £п=0ШаОта, где Оа = О(5а)
Рис. 5. Сравнение гравитационного сглаживания со сглаживанием вейвлетом Добеши. Пример 2.
п —1 п —1
СОг(х) = ^ ■ЮаСОта(х) = ^ -Юа(Оах,х) =
а=0 а=0
п—1
((^ 'Шааа)х,х)
а=0
Примеры. Остановимся на нескольких примерах такого сглаживания. Первый из них иллюстрирует зависимость Ягп\х от А (Рис. 3).
В следующих двух примерах показывается сравнение гравитационного сглаживания с вейвлет-сглаживанием. Вейвлет-сглаживание строилось по базису вейвлета Добеши 6-го порядка (Рис. 4 и Рис. 5) [Добеши, 2001].
Как видно из приведенных примеров, гравитационное сглаживание при одинаковой с вейвлетом Добеши гладкостью обладает большей сканируемостью. Справедливости ради отметим, что вейвлеты с вычислительной точки зрения более просты.
Литература
Пшеничный, Б. Н., Ю. М. Данилин (1975), Численные
методы в экстремальных задачах, Наука, Москва. Добеши, И. (2001), Десять лекций по вейвлетам, пер. с англ. Е. В. Мищенко, под ред. А. П. Петухова, РХД, Москва.
С. М. Агаян, Ш. Р. Богоутдинов, А. Д. Гвишиани, А. И. Каган, Геофизический центр РАН, ул. Молодежная 3, 119296 Москва, Россия. (a.kagan@gcras.ru)
