Смежность вершин многогранника к-факторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1

СМЕЖНОСТЬ ВЕРШИН МНОГОГРАННИКА А-ФАКТОРОВ

Р.Ю.Симанчёв

In this paper the criterion of adjacency of the vertices one of the polyhedral relaxations of /г-factors polytope was received. The particularity given criterion is that it is worded in graph terms. Received criterion gives sufficient conditions of adjacency of vertices corresponding integer polytope.

В ряде алгоритмов комбинаторной оптимизации широко используется информация о полиэдральной структуре выпуклых оболочек допустимых решений рассматриваемых задач. Широкий класс образуют экстремальные задачи в следующей постановке. Пусть Е - конечное множество, с : Е —>■ R - аддитивный функционал на Е, У С 2е - некоторое семейство подмножеств множества Е. Требуется найти такой Е[* £ У, что с(Н*) > с(Н) для любого Е[ £ У. Полиэдральный подход к анализу и решению такой задачи заключается в сопоставлении этой задаче специального (0,1)-многогранника и использовании полиэдральных и комбинаторных свойств последнего. Множеству Е сопоставим евклидово пространство RE, имея в виду взаимнооднозначное соответствие между Е и множеством координатных осей пространства RE, для любого F £ 2е определим его вектор инциденций хЕ £ RE как вектор-столбец с компонентами хЕ = 1 при е £ F, хЕ = 0 при е ^ F. Таким образом, мы получаем взаимнооднозначное соответствие между 2е и множеством вершин единичного куба в RE. Теперь положим

Р(@) = conv{хн £ Re | Н £ У}.

В силу аддитивности функционал с : Е —>■ R естественным образом ассоциируется с линейным функционалом /с : RE —У R, причем c(F) = /с(хЕ) для любого F СЕ.

Как уже говорилось, полиэдральная структура многогранника Р(@) играет существенную роль при разработке алгоритмов решения задачи. Например, полное или частичное линейное описание многогранника Р(@) позволяет применять для решения задачи аппарат линейного и целочисленного линейного

0 1998 Р.Ю. Симанчёв

E-mail: siman@univer.omsk.su Омский государственный университет

программирования [5]; диаметр Р(А) может служить оценкой числа итераций «наилучшей» симплексной процедуры [5]; классы смежных вершин [1, 2] весьма полезны при разработке алгоритмов локальной оптимизации и решении задачи идентификации правильных неравенств [4].

Один из подходов к выделению смежных вершин многогранника Р(А) заключается в следующем. Условимся через vertM обозначать множество всех вершин многогранного множества М. Пусть М(А) - некоторая релаксация многогранника Р(У), т.е. Р(А) С М(А). Релаксацию М(А) будем называть полиэдральной , если М(А) = {ж £ RE \ Ах < 6}, где А - (их | Е |)-матрица, Ь - n-вектор. Если М(А) - многогранное множество и ж1, ж2 £ (vertP(A)) П (vertM(A)) смежны в М(У), то они, очевидно, смежны и в Р(А). В случае, когда релаксация М(А) полиэдральная, вопрос о смежности точек ж1, ж2 £ vertM (А) можно анализировать на основе подматрицы общих для ж1 и ж2 линейных ограничений. Однако при достаточно большом | Е | вычисление ранга соответствующей подматрицы затруднительно и поэтому имеет смысл поиск комбинаторных критериев смежности вершин релаксации М(А). В настоящей статье этот подход применяется к многограннику Ачфакторов полного графа.

Нам понадобятся следующие понятия и обозначения.

Пусть Rd - й-мерное вещественное пространство. Аффинной комбинацией векторов (точек) ж1,...,ж* пространства Rd называется всякий вектор ж = ^У_1 ад ж®, удовлетворяющий условию ^У=1 ад = 1. Если к этому добавлено условие ад > 0, i = 1,. . ./, то вектор ж называется выпуклой комбинацией векторов ж1,..., ж*. Выпуклой оболочкой произвольного множества S С RE называется множество convS, состоящее из всевозможных выпуклых комбинаций точек множества S; аффинной оболочкой - affS - называется множество всевозможных аффинных комбинаций точек множества S. Семейство векторов ж1,. . ., ж* пространства RE будем называть аффинно независимым, если ни один из этих векторов не является аффинной комбинацией остальных. Под размерностью выпуклого множества S С RE - dimS - будем понимать мощность максимального аффинно независимого семейства его точек минус Е

Выпуклым многогранником (или просто многогранником) в пространстве Rd называется выпуклая оболочка конечного множества точек этого пространства. Мы определим полиэдр в (/-мерном вещественном пространстве как множество решений конечной системы линейных уравнений и неравенств относительно d переменных, если оно ограничено. Согласно теореме Вейля-Минковского, для всякого выпуклого многогранника Р сушествует такой полиэдр F, что Р = F. Верно и обратное: всякий полиэдр является многогранником.

Еранъю многогранника Р называется множество {ж £ Р \ а1 ж = а0}, где аТх < а0 - опорное к Р неравенство. Ерань называется р-гранъю, если ее размерность равна р, 0-грани называются вершинами, Еграни - ребрами многогранника Р. Две вершины смежны в Р, если они принадлежат одному ребру многогранника Р. Ясно, что если Р - полиэдр, то 1) ж £ Р является вершиной тогда и только тогда, когда ранг подматрицы ограничений, обращаемых

точкой х в равенство, равен й; 2) две вершины ж1, ж2 £ Р смежны в Р тогда и только тогда, когда ранг подматрицы ограничений, обращаемых этими точками в равенство одновременно, равен d — 1.

Пусть Кп = (У, Е) - полный неориентированный граф без петель и кратных ребер с множествами вершин У и ребер Е} \ V \= п. Для всякого G £ Кп через VG и EG обозначим соответственно множества вершин и ребер графа G. При этом для ребра е £ Е будем также использовать запись uv7 понимая и, г £ У как пару инцидентных ребру е вершин. Для W С У положим

Степенью относительно G (или EG) произвольной вершины и £ У назовем величину dG(u) = dEG(u) =| SG(u) |. Если G = АД то в обозначениях Eg(W)} &g{W) и dG(u) символ «бг» будем опускать. Всякое R С Е индуцирует некоторый подграф Г, у которого ЕТ = R и VT - множество вершин из У, инцидентных ребрам множества R. В этой связи там, где не возникает двусмысленности, граф, индуцированный множеством ребер А, будем просто обозначать через R. Для пары графов G, F С Кп под G U F будем понимать такой граф Н, что VH = VGUV F ж EH = EGU EF, а под GC\F - граф, индуцированный множеством ребер EGOEF. И наконец, простым циклом назовем такой связный подграф С С АД что dc(u) = 2 для всех и £ VC. При этом простой цикл будем также задавать либо последовательным списком вершин, либо последовательным списком ребер. Простой цикл называется четным, если он имеет четное число ребер, нечетным - в противном случае.

Для ж £ Re и R С Е определим линейную форму

Выберем такое натуральное к, что 1 < к < п — 1 ж кп - четно. Под к-фактором графа Кп будем понимать остовный однородный степени к подграф. Обозначим через (3( п множество всех ^-факторов, а через (3k,п ~ множество всех связных ^-факторов графа Кп. Заметим, например, что (32,п - множество гамильтоновых циклов полного графа. Сопоставим множеству Е евклидово пространство RE, а каждому F С Кп - его вектор инциденций хЕ = хЕЕ £ RE так, как это описано выше. Пусть

- многогранники ^-факторов и связных ^-факторов соответственно.

С графом Кп свяжем его вершинно-реберную матрицу инциденций А. Структура матрицы А такова: строки соответствуют элементам множества У, а столбцы - элементам множества Е ж при этом в клетке (и, е) стоит 1,

Eg(W) = Eeg(W) = {uv £ EG \u,v £ ИД, 5g{W) = Seg{W) = {uv £ EG \u £ И> £ W}.

eER

Pin = conv{xH £ RE I н £ /ДД, Pk,n = conv{xH £ RE I H £ (3k,n}

если вершина и инцидентна ребру е, и 0 - в противном случае. Легко заметить, что А состоит из всевозможных столбцов с двумя единицами и (п — 2) нулями. Матрицу инциденций произвольного F С Кп обозначим через A(F). Она, очевидно, является подматрицей матрицы А, образованной пересечением строк VF и столбцов EF.

Положим

Mk,n = {ж £ Re | Ах = к, 0 < ж < 1},

где к - вектор-столбец с п компонентами равными fc, 0 и 1 аналогично. В терминах Кп система, определяющая может быть записана в виде

х(д(и)) = к, и £ V, (1)

0 < же < 1, е £ Е. (2)

Нетрудно заметить, что вектор инциденций любого ^-фактора удовлетворяет системе (2.1) —(2.2). Следовательно, множество Mk,n можно рассматривать как полиэдральную релаксацию многогранников Р^п и Pk,n- Кроме того, так как Mktn есть подмножество единичного куба в RE, то vertP£n С vertMk,n. Эта релаксация использовалась в работах [3, 4, 6].

В работе [7] было показано, что Mk,n имеет нецелочисленные вершины. Пусть ж £ Mk,n. С точкой ж свяжем следующие подграфы:

Сх - граф дробности точки ж - индуцирован множеством ребер ЕС% = {е £ Е | 0 < же < 1};

Тх - граф единиц точки ж - индуцирован множеством ребер ЕТ% = {е £ Е \ Же = 1}.

В терминах этих графов структура нецелочисленных вершин полиэдра Mk,n может быть описана следующим образом.

Теорема 1. [7]. Точка ж £ Mk,n является вершиной полиэдра Мк,п тогда

и только тогда, когда она целочисленна, либо ее граф дробности С* и граф единиц Тх удовлетворяют условиям:

1) Сх есть объединение четного числа простых вершинно-непересекающихся нечетных циклов, причем для любого е £ ЕСх имеет место хе = |;

2) dj-iu) = к — 1 для всех и £ VСх и dj-iu) = к для всех и £ V \ VСх■ ■

Пусть ж1, ж2 £ Мк,п - пара различных точек. Нам понадобятся следующие обозначения:

^(ж1, ж2) = {е £ Е | х\, ж2 £ {0,1}, х\ + ж2 = 1},

^(ж1, ж2) = Е \ {R(ж1, ж2) U E(Cxi U Сх2)},

U(ж1, ж2) = {и £ V \ V(Cxi U <7*2) | 5тх 1 (и) = 5тх2 (и)},

Gxi:x2 ~ компоненты связности графа, индуцированного множеством ребер ^(ж^ж2), не содержащие вершин из V(CX^ U Сх2)-

Кроме того, для любых W С V и R С Е положим W = V \ W и под B(W, R) будем понимать подматрицу матрицы А(Кп) = А, образованную строками, соответствующими вершинам множества W, и столбцами, соответствующими ребрам множества R.

Вопрос о смежности пары вершин ж1 и ж2 полиэдра будем анализи-

ровать на основе подсистемы системы (1)-(2), образованной ограничениями, которые одновременно обращаются в равенство точками ж1, ж2. Матрицу этой подсистемы обозначим через ^(ж^ж2). Указанная подсистема выглядит, очевидно, следующим образом:

Ат х = к,

хе = 0 или 1, е £ R(ж1, ж2).

Матрицу А(ж1, ж2) схематично можно изобразить так, как показано на рисунке.

E(CyUCy) R(ж1, ж2) R(xl, ж2)

V(Cy\JCy)

0

V(CyuCy) 0 0

R(ж1, ж2) 0 0 /

U(ж1,ж2)

Здесь / - единичная матрица.

Так как в правом нижнем углу матрицы А{ж1, ж2) стоит единичная матрица, то, обозначая через В* матрицу B(V\U(ж1, ж2), E(Cxi UCy )UR(x1, ж2)), получим

гаикА(ж1, ж2) = ^(ж1, ж2)| + гаикН*. (3)

Теорема 2. Пусть ж1, ж2 £ ~ вершины, R(ж1, ж2) = 0. Тогда ж1 и ж2

смежны в Мк.а, если и только если

\V(CX1 U Су)\ = \E(CX1 U Су)\- 1.

Доказательство. Необходимость. Пусть ж1 и ж2 смежны. Тогда

п — п

— 1 = гаикА(ж , ж2) = \R(x\ж2)| + rankA(Cxi U Су ),

откуда

ri •“ — 77 _

rankA(C;i U Од) =------------1 - |Д(ж\ж2)| = \E(Cxi U Су)] - 1.

Так как в Cxi U Су нет висячих вершин, то \V(Cy U Су)\ < \Е(Су U Су)\. Таким образом,

\Е(Су и Су) I - 1 = таи\А(Су и Су) < I V{Cy и Су) \ < \Е(Су U Су)\.

Предположим, что \V(Cy U Су)\ = \Е(Су U Су)\. Тогда Су U Су - набор непересекаюгцихся нечетных циклов, откуда следует, что

rankA(Cy U Су) = \V(Cy U Су)| = |Е(Су U Су)\.

Это, очевидно, противоречит условию гаикА(ж1,ж2) = n п — 1. Значит, \ V(Cyl9

Су)\ = \Е(Су U Су)\- 1.

Достаточность. Из равенства \V(Cy U Су)\ = \Е(Су U Су)\ — 1 и того, что Су, Су - наборы нечетных циклов, следует, что Су U Су либо набор нечетных циклов, среди которых имеются ровно два с общей вершиной, либо набор нечетных циклов с одной хордой. Непосредственными вычислениями легко убедиться, что в обоих случаях матрица А(Су U Су) имеет полный ранг, т.е. тапкА(Су U Су) = \Е(Су U Су) \ — 1. Отсюда

гаикА(ж1, ж2) = \R(ж1, ж2)| + гаикА(Су U Су) =

9

__ ri — 77

= |Д(ж\ж2)| + |Е(Су U 0ж2| - 1 = —2— - 1,

что означает смежность вершин ж1 и ж2.

Теорема доказана. ■

Для анализа смежности вершин в случае ./ДжДж2) ф 0 нам понадобятся следующие утверждения. Будем обозначать V{Су U Су) = V \ V(Cy U Су).

Предложение 1. Пусть ж1, ж2 £ ~ вершины и ^(ж1^2) ф 0. Тогда

гапкВ(у(Су U Су) \ U(ж1, ж2), R(ж1, ж2)) = \V(Cy U Су)\ —

— |С/(ж1, ж2) | — \ VGyty | + гапкА(Схру ). (4)

Доказательство. В матрице B(V(Cy U Су) \ U(xl, ж2), R(x1, ж2)) каждый столбец содержит не более двух единиц. Пусть R\ С ^(жДж2) - те столбцы, в которых стоит ровно по одной единице. Это означает, что один конец любого ребра из Ri лежит в У(Су U Су). Пусть V\ С V{Cy U Су) - множество всех вершин, инцидентных ребрам из R\. Ясно, что матрица B({V(Cy U Су) \ U(ж1, ж2)} \ V\,R\) состоит из нулей и rankB{V\, R\) = |V\\. Тогда

1шакВ{У{Су U Су) \ U( ж1, ж2), R( ж1, ж2)) = |Vi| +

+B({V(Cy и Су)\ и(ж1, ж2)} \ VyR(ж1, ж2) \ R,).

Просматривая аналогичным образом столбцы последней матрицы, выделяем множество ребер R2 С ^(ж1^2), один конец каждого из которых лежит в V\

(т.е. в столбце е £ Д2 этой матрицы имеется ровно одна единица), и множество вершин У2 У {У (C,i U Су) \ U(ж1, ж2)} \ У, инцидентных этим ребрам. Продолжая просмотр, доберемся до таких Rt ж Vt} что матрица

+£({F(G,i UCy)\ У(ж\ ж2)} \ U)=1 У, R(x\X2) \ и\=lRi)

будет либо пустой, либо в каждом ее столбце будет ровно по две единицы. Нетрудно заметить, что эта матрица и будет матрицей Ai^Gy^y). При этом в силу того, что | U)=1 Vi\ = \V{Cy U Су)\ — \U(x1,x2)\ — | VGy у |, получаем

таж\В(У(Су U Су) \ IJ(ж1, ж2), R(x\ж2)) = | U*=1 Vi\ + гаик+^О-щ^) =

= 17(0,1 и Су)| - \U(x\x2)\ - \VGyty\+rankA(Gy,y). Утверждение доказано. ■

Предложение 2. Пусть ж1, ж2 £ Мцп - вершины и R(ж1, ж2) ф 0. Всякий изолированный простой цикл в графе, индуцированном множеством ребер R(x1}x2), четен.

Доказательство. В самом деле, предположим, что среди таких циклов найдется нечетный - скажем, С = {ei, е2,. . . et}. Любое ребро, инцидентное какой-либо вершине этого цикла и отличное от ег-, i = l,...t, не принадлежит Л^ж^ж2). Значит, полагая, без ограничения общности, что е\ £ ЕТу, заключаем, что е2 £ ЕТу, е3 £ ЕТу, ..., е2; £ ETy, e2i+1 £ ETy, ..., et £ ETy. Таким образом, из вершины и*, общей для ребер е\ и е2, выходят два ребра, принадлежащие Ту. Но так как в силу теоремы 3.1, для любой и £ У выполняется равенство йу х (и) = йу 2 (и), то из вершины и* непременно выходят еще два ребра, лежащие в Ту. (Предпосылка «йу 1 (и) = йу 2 (и) для всех и £ У» в случае к = 2 имеет иной вид, а имеено «йу 1(и) = йу 2(и) для всех и £ У (C,i U Су)». Но это не мешает доказательству, ибо при к = 2 наличие в R(ж1, ж2) ребра, инцидентного какой-либо вершине из V(Cy U Су ) означает, что ребра Л^ж^ж2) не индуцируют набора циклов.) Таким образом, бщу:уфиф > 4, что противоречит условию утверждения. ■

Теорема 3. Пусть ж1, ж2 £ Мк,п - вершины и R(ж1, ж2) ф 0. Если ж1 и ж2 смежны в Мк.а, то

\V(Cy и 0,2)1 < |Д(ж\ж2)| + \U(ж\ж2)| < |7(0,i и 0,2)1 + 1

и Су U Су является набором простых вершинно-непересекающихся циклов. Доказательство. В силу (3)

_ уЕ — уу _

rankH* = гапкЛ(ж1,ж2) — |Д(ж1,ж2)| = —---1 — |Д(ж1,ж2)| =

< |У(<7*1 U <7*2)1 + |У(<7*1 U <7*2)1 - \и(х\х2)\.

Так как в Cxi U Су нет висячих вершин, то из (5) имеем

О <\Е(Су U <7*2)| + |У(<7*1 U <7*2)| <

< |F(<7*i U <7*2)| - \U(x\x2)\- \R(x\x2)\ + 1, (6)

\R{x\x2)| < |F(<7*i U <7*2)| - \U{x\x2)\ + 1.

Заметим, что всякая вершина из V(Су UCy)\U(x1, ж2) инцидентна не менее, чем двум ребрам из R(ж1, ж2), т.е. для всех u £ V(Cy U Су) \ U(ж1, ж2) имеем dn(xl,х2)(и) Д 2. Суммируя эти степени с коэффициентом | по всем вершинам из У(<7*i U Су ) \ 11(ж1, ж2), получаем неравенство

\R(x\x2)I У \V(Cy и Су)I - \U(x\x2)\. (7)

Покажем, что Су U Су - набор непересекающихся циклов. Из (6) и (7) следует, что 0 < \Е(Су U Су )| — \ V(Cy U Су )| < 1. Предположим, что \Е(Су U Cx2)\ = \V(Cy и <7*2)1+ 1. Тогда

\R(x\x2)\ = |F(<7*i U Су)| - \U(x\x2)\. (8)

Из (5) следует, что если е = uv £ R(ж1, ж2), то непременно и, с £ У((7*1 U (7*2) \ [/(ж1, ж2). Действительно, в противном случае существует такое е = uv £ i?(ж1, ж2), что либо и, с £ У(<7*i U (7*2), либо и £ У(<7*i U (7*2) и v £ У(<7*i U (7*2). В первом случае в силу того, что всякая вершина из У((7*1 U Су ) \ U(ж1, ж2) инцидентна не менее, чем двум ребрам из ТДжДж2), имеем

\R(x\x2)\ > ^ 7д(*11*2)(ш)} + 1 >

w£V\U(x1 ,х2)

>\V(CyUCy)\-\U(x\x2)\ + l,

что противоречит (8). Во втором случае, обозначив множество {У \ [/(ж1, ж2)} \ {г} через У', получим

\R(x , ж ) | У 2"{ ^ ^ (1щх1 )Х2) (w) Т (1щх 1 ;*2) (г) ]Дт1 У

wEV1

>\V(CyUCy)\-\U(x\x2)\ + ^

что также противоречит (8).

Так как в каждом столбце матрицы А(КП) стоят ровно по две единицы, то из показанного следует, что матрица B(V(Cy U Су ), ТДж1, ж2)) нулевая. Кроме того, это и (6) влекут тот факт, что матрица В (У (CyUCy)\U (ж1, ж2), R( ж1, ж2)) является матрицей инциденций некоторого графа L, причем она квадратная.

Следовательно, граф L является набором простых непересекаюгцихся циклов. Отсюда, в силу утверждения 2, получаем, что эти циклы четные и поэтому

rankA(T) < \V(Cy U Сх2)\ — |<7(ж1,ж2)| = ^(ж^ж2)!.

Тогда из предположения \Е(Су U Схг)| = \V(Cy U Схг)| + 1 вытекает, что

ranki?* = rankA((7*i U Су) + rankA(T) < \V(Cy U <7*г)|-|-

+ \R(x1, ж2)| = |E(Cxi U Сх2) | — 1 + \R(xl, ж2) |,

что противоречит равенству (5). Таким образом, \Е(Су У2Су)\ = \V(Cy UСу)\ и поэтому Сх 1 U Сх2 - набор простых вершинно непересекаюгцихся циклов. Теорема доказана. ■

Теорема 4. Пусть ж1, ж2 £ Mkjfl ~ вершины, R(xx,x2) ф- 0; Cxi U Су - набор простых вершинно-непересекающихся циклов. Справедливы следующие утверждения:

1) если ^(ж^ж2)! + |С/(ж1, ж2)| = \V(Cy U Су)\ + 1, то вершины ж1 и ж2 смежны в Мк,а тогда и только тогда, когда Gyty либо пуст, либо является парой простых нечетных циклов с одной общей вершиной;

2) если \R( ж1, ж2)| + |С/(ж1,ж2)| = \V (Су U Су) \, то вершины ж1 и ж2 смежны в Мк,п тогда и только тогда, когда Gyty - четный цикл.

Доказательство. Из условия теоремы и нечетности циклов, образующих граф С у U Су, следует, что vanEA(Cy U Су) = \V(Cy U Су)\ = \Е(Су U Су)\. Из (4) и (5) нетрудно вывести равенство

\УСхру \ - iankA(Gxpy ) = \V(Cy и Су )\ - \и(х1, ж2)| - ^(ж^ж2)] + 1. (9)

Обозначим через Н граф, индуцированный множеством ребер ^(ж^ж2). Ясно, что Gy у С Н. Пусть Gy у = Н \ Gy у (в реберном смысле). Заметим, что (1q 1 2 (и) > 2 для всех и £ VGyty П V(Cy U Су ) и 1 2 (и) > 1 для

всех и £ VGyty П V(Cy U Су ). Значит,

\EGyty\ = - dgx1x2(u) ^

^VGyiX2 ’

> \VGxpy П V(Cy U <7*2)I + l-\VGxpy П V(Cy U Cy) = (10)

= |F(<7*i U <7*2)1 -\VGy,y\ - \u(x\x2)\ + VGy,y П V(<7*1 U <7*2),

так как Gy у - набор компонент связности.

Теперь перейдем непосредственно к доказательству утверждений, сформулированных в теореме.

1) Необходимость. Из (9) сразу следует, что rankA((7*i *2) = |У(7*1 *2|. Пусть (7*i *2 ф 0. Тогда степень всякой его вершины четна и не меньше 2. Значит, \EGx\)X2 | = | У(7*у*2 I + q, q > 0. Из (9) и (10) имеем

1-\VGX^X2 n V(CX 1 U <7*2)I < \EGxpx21 - \V{Cxi U <7*2)1 + \VGxpx2 | + |У(ж\ж2)| =

= \R(x\x2)\- (\VGX^X2\ + q)~ |V(<7*i U <7*2)| + |VGxpx2\ + \U(x\x2)\ = (11)

= \R(x\x2)\- \V(CX1 U(7*2)| + \U(x\x2)\ -q = rankA(<7*i,*2)- |У<7*1,*2| -(g-1).

Покажем, что VH П V(CXi U (7*2) = 0. Действительно, в противном случае VGxi)X2 П V{CX1 U СХ2) ф 0 и поэтому из (11) следует

1 < \1-\VGX^X2 п У(<7*1 и <7*2)11 < rankA((7*i)*2) - \VGxyx*\ -q+ 1,

т.е. 0 > гапкА((7*ц*2) — |У(7*ц*2| > g, что возможно лишь при q = 0. Тогда |£,(7*ц*21 = |У(7*ц*21 и так как степени вершин этого графа не меньше 2, то он является набором циклов, причем гапкА((7*ц*2) = |У(7*ц*2| = |£,(7*ij*2|. В силу утверждения 2 эти циклы четные. Но тогда rankA((7*i *2) < |У(7*1*г|. Противоречие.

Таким образом, если (7*ц*2 ф 0, то VH П У((7*1 U (7*2) = 0. Тогда Е[ = <7*1,*2 и А((7*ц*2) = И(У((7*1 U (7*2) \ [/(ж1, ж2), Д(жД ж2)). Кроме того, так как rankA((7*y*2) = |У(7*1 ,*21 и У(7*1 ,*2 ПУ(<7*1 U(7*2) = 0, то из (11) получаем, что 0 < 1 — q и, следовательно, g = 1. Значит,

гапкА((7*у*2) = | У (7*i ,*21 = 177(7*i ,*21 — 1. (12)

Так как в графе (7*i *2 нет вершин нечетной степени, то из (12) следует, что в (7*1 ,*2 имеется ровно одна вершина степени 4, остальные - 2. Это значит, что (7*i ,*2 = i7i U Н2 U . . . U где Е[i - пара циклов с одной общей вершиной, Я2, Я3, . . . , E[t - четные (в силу утверждения 2) циклы, причем Яг, i = 1, 2,. . . , t, попарно непересекаются. Так как А((7*ц*2) перестановкой строк и столбцов может быть приведена к клеточно-диагональному виду, то

t

гапкА((7*у*2) < rankA(i7i) + \EHi\ — (t — 1) =

г = 2

= rankA(i7i) + |Д(ж\ж2)| — |.Ei7i| — (t — 1).

Из (12) получаем

\ЕН\ \ > |УЯД > rankA(^i) > гапкА((7*у*2) — -|Д(ж\ж2)| + |ЕНг\ + {t- 1) = |ЕНг\ + (t - 1) - 1,

откуда t < 2. Так как ^(жДж2) = Ж7*у*2 ф 0 по условию теоремы, то t ф 0. Значит, t = 1 и, следовательно, (7*у*2 - пара циклов с одной общей вершиной.

Нетрудно показать, что эти циклы имеют одинаковую четность. Предположив, что они четны, легко убедиться непосредственными вычислениями, что rankA((7,y,2) < \VGxpx21, чего быть не может.

Таким образом, доказано, что, действительно, (7,у,2 либо пуст, либо является парой нечетных циклов с одной общей вершиной.

Достаточность.

гаикА(ж1,ж2) = ^(ж1, ж2)| +

+rankB(V(Cxi U Сх2) \ U(ж1, ж2), R(x1, ж2)) + \Е(СХi U 0,2)|.

Если (7,у,2 = 0, то \VGxi}X2 | = rankA((7,y,2) = 0, и из утверждения 1 полу-

чаем

гаикА(ж1, ж2) = \R{x\ ж2)| + \Е(СХi U Су)\ + \V(Cxi U Су)\ — \IJ(ж1, ж2)| =

9

__ 77 — 77

= |Д(ж\ж2)| + \E(Cxi U (7,2)1 + |Л(ж\ж2)| - 1 = —------1,

то есть вершины ж1 и ж2 смежны в Муп.

Если Gxу,2 - пара нечетных циклов, то вновь \VGxi:X21 = rankA((7,y,2) = О и, как и выше, опираясь на утверждение 1, имеем

9

__ 79^ — то

гаикА(ж1, ж2) = \R(ж1, ж2)| + |.E((7,i U 0,2)1 + ^(ж1, ж2)| = —--Е

2) Необходимость. Из (9) следует, что в этом случае rankA(0,i ,2) = \VGxi\ — 1, т.е., в частности, О,у,2 ф 0. Тогда, так же как и в 1), из этого можно вывести, что VH C\V(Gxi иО,г) = 0. Последнее означает, что Н = Gx у,2 и, кроме того, EGxi)X2 = R(ж1,ж2) и |V"^21 = \V{Cxi U Сх2)\ — |0(ж1,ж2)|. Иными еловыми, \EGxi:X2\ = |УО,у,2| и, следовательно, Gx у,2 есть набор непересекающихся четных циклов iO, Я2, . . . , (четность следует из утверждения 2). При этом

t t

ranb4((7,y,2) = rank А (ЯД < У^(|ЕЯг| - 1) = |Е(7,у,2 | -G

г = 1 г = 1

Так как ж1 и ж2 смежны, то в силу (3) и утверждения 1,

9

77 ^ — 77 _

—-------1 = гаикА(ж1, ж2) = |Я(ж\ ж2)| + \Е(СХ 1 U 0,2 )| +

+ |^/Г((7ж1 U ед| — |С/(ж1, ж2)| — \ VGxpx21 + rankA(0,y,2) <

9

_ 77 ^ — 77

< |Я(ж\ж2)| + |Д(<7,1 и (7,2)1 + |Я(ж\ж2)| -1 = —------1.

Отсюда заключаем, что t = 1, т.е. (7,у,2 - четный цикл.

Достаточность. Если Gxi х2 - четный цикл, то, как нетрудно убедиться непосредственно, rankA((7,i 2,2) = \VGX\ 2,21 — 1. Таким образом,

гапкА(ж1, ж2) =

= \R(ж\ж2)| + |Т(СД U (7,2)1 + |F(<7,i U (7,2)| - \U(ж\ж2)|- 1 =

п2 — п ^

~ 2 '

Теорема доказана. ■

Теоремы 2, 3 и 4 полностью описывают условия смежности вершин полиэдра Муп. Следствием теоремы 4 является следующее достаточное условие смежности векторов инциденций Ачфакторов.

Теорема 5. Пусть Н u Н' - k-факторы в Кп. Если множество ребер (EHU ЕН1)\(ЕНГ\ЕН1) индуцирует либо простой четный цикл, либо пару нечетных циклов с одной общей вершиной, то в многограннике Pf п вершины хн и хн смежны. Я

Литература

1. Chvatal V. On certain polytopes associated with graphs // Jornal of Combinatorial Theory (B). 1975. N 18. P.138-154.

2. Hausmann D. Adjacency on Polytopes in Combinatorial Optimization. - Oelschlager, Gunn & Hain, Cambridge, MA, 1979.

3. Cook W., Pulleyblank W.R. Linear systems for constrained matching problems // Math, of Operations Research. 1987. V.12. N 1. P.97-120.

4. Grotschel M., Holland O. Solution of large-scale symmetric travelling salesman problems If Math. Program. 1991. N 51. P.141-202.

5. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. - М.: Мир, 1991. Т.1,2.

6. Симанчёв Р.Ю. О ранговых неравенствах, порождающих фасеты многогранника связных k-факторов // Дискретный анализ и исследование операций. 1996. Т.З. N 3. С.84-110.

7. Симанчёв Р.Ю. Структура нецелочисленных вершин релаксации многогранника k-факторов // Математические структуры и моделирование (Омск). 1998. Вып.1. С.20-26.