CC BY
4Труды МАИ. Выпуск № 108 https://doi.org/10.34759/trd-2019-108-1
УДК 539.3
Смешанные уравнения теории мягких оболочек
Коровайцева Е.А.
НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, Мичуринский проспект, 1, Москва, 119192, Россия e-mail: katrell@mail.ru
Статья поступила 29.09.2019
Аннотация
В работе предложен модифицированный вариант разрешающих соотношений теории мягких оболочек, построенных в [1, 2], отличающийся большим удобством для численной реализации. Рассмотрены как уравнения теории больших деформаций, так и уравнения технической теории мягких оболочек. Методика построения разрешающих соотношений аналогична указанным работам. Введены функции обобщенных усилий, позволяющие сформулировать уравнения теории мягких оболочек в форме, применимой при формализации краевых задач. Построенные соотношения не претендуют на принципиальность изменений или уточнений, однако в отличие от известных могут быть приведены к нормальной форме Коши, удобной для применения численных методов непосредственного интегрирования и привлечения стандартных приемов решения плохообусловленных краевых задач.
Ключевые слова: мягкие оболочки, большие деформации, техническая теория мягких оболочек, уравнения в нормальной форме Коши.
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
Введение
Построению уравнений, описывающих поведение мягких оболочек, посвящено большое количество работ. Изложение теории мягких оболочек дано в работах С.А. Алексеева [3], А.С. Григорьева [4], В.Э. Магулы [5], Б.И. Друзя [6], В.В. Ермолова [7], В.И. Усюкина [1, 2, 8], Я.Ф. Каюка [9], А.Р. Ржаницына [10], Б.И. Сергеева [11], Ф. Отто, Р. Тростеля [12] и др. Разрешающие соотношения, описывающие динамическое деформирование мягких оболочек, приведены в работах [13-16].
В общем случае постановки геометрически и физически нелинейных задач деформирования мягких оболочек отличаются существенной сложностью. По-видимому, по этой причине в области больших деформаций и по настоящее время наиболее изученными остаются мягкие оболочки вращения при осесимметричном нагружении, причем большая часть исследований посвящена задачам статического деформирования. При этом в доступной литературе приведены решения либо конкретных прикладных задач, либо частных задач деформирования мягких оболочек простейшей геометрии. В подавляющем большинстве случаев рассматриваются лишь двухточечные краевые задачи, а разрабатываемые методы решения, как правило, применимы только к рассматриваемому узкому классу задач и не ориентированы на удобство, экономичность и универсальность для программной реализации.
В случае умеренных деформаций возможна линеаризация нелинейных соотношений и использование технической теории мягких оболочек [2]. Следует
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
отметить, что работа [17], в которой используются соотношения технической
теории, по-видимому, является первой, в которой получено решение многоточечной
краевой задачи деформирования мягкооболочечной конструкции. В доступной
литературе лишь в одной работе [18] приведено решение указанной многоточечной
краевой задачи, построенное на основании общей теории мягких оболочек с
использованием метода конечного элемента.
В целом в литературе при исследовании неосесимметричного деформирования мягких оболочек или мягких оболочек произвольной конфигурации как по общей теории, так и по технической теории, используются метод конечных разностей или метод конечных элементов [18-20]. При этом строгой математической постановки задачи деформирования разветвленной мягкооболочечной конструкции, по-видимому, нет и до сих пор, а существующие алгоритмы расчета, как правило, ориентированы на узкий круг конкретных прикладных задач [21-22].
В настоящей работе делается попытка постановки задач деформирования мягких оболочек более общая, чем известные, для чего в целях обобщения используется векторно-матричная формализация записи разрешающих соотношений и последующих преобразований векторных функций векторных переменных. При этом за основу взята система уравнений теории больших деформаций В.И. Усюкина [1] и соотношения технической теории мягких оболочек [23].
Следует отметить, что недостатком систем уравнений, сформулированных в [23], является несоответствие порядка системы и числа дифференцируемых функций. Как следствие этого, при попытке приведения системы к нормальной
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
форме Коши либо повышается порядок дифференцирования компонент вектора
разрешающих переменных и ухудшается обусловленность системы, либо в левой
части векторного дифференциального уравнения вектор производных искомых
функций умножается на матрицу. Кроме того, в системе разрешающих соотношений
указанных работ вектор разрешающих переменных содержит неравное число
силовых и геометрических компонент. Отмеченные противоречия были преодолены
только для системы уравнений технической теории мягких оболочек [2, 23] путем
сведения ее к одному уравнению относительно вектора перемещений (в случае
неосесимметричного деформирования) или одной его компоненты (прогиб или угол
поворота нормали - в случае осесимметричного деформирования). Такой подход к
формированию разрешающей системы уравнений позволяет удовлетворить всем
граничным условиям задачи, с одной стороны, но не позволяет строить
экономичные алгоритмы решения различных типов задач, с другой стороны. В
данной работе предложена модификация систем уравнений теории больших
деформаций и технической теории мягких оболочек, сформулированных в [1] и [23],
позволяющая представить разрешающие соотношения в форме, удобной как для
использования аппарата решения систем дифференциальных уравнений, так и для
алгоритмизации решения различных типов задач теории мягких оболочек
произвольной топологии.
Смешанные уравнения теории больших деформаций мягких оболочек
Введем для оболочки ортогональную криволинейную систему координат
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
а, /, 2, совпадающих с линиями кривизны срединной поверхности оболочки и
внешней нормалью. Пусть недеформированная форма срединной поверхности
определяется коэффициентами Ляме А, В и радиусами кривизны К, К,. В этих
координатах выражения для компонентов конечной деформации имеют вид [24]
е* = е + 1 (е2 + 712 + &)
=^2 + 1 (^22 +Г22 + & ) (1)
® = 7 +72 + УХ82 + « + && Здесь е. , 7, & (г = 1,2) - компоненты линейного тензора деформаций,
связанные с перемещениями и, V, w вдоль координатных линий а, /, 2 известными
зависимостями [24]
1 ди 1 дА 1
е =----1-----V +---w;
1 А да А■В д/ К
1 дВ 1 дv 1
е =----и +-----1---w;
2 А■В да В д/ К
1 дА 1 дv
7 =-----и +---; ^
1 А ■ В д/ А да (2)
1 ди 1 дВ
72 =--------V;
2 В д/ А■В да
п 1 1 дw & =--и----;
1 К А да
1 1 дw
& =--V----.
2 к В д/
Следуя работе [1], для вывода уравнений равновесия оболочки используем принцип возможных перемещений. Условия равновесия оболочки, соответствующие этому принципу, имеют вид
Ж = дА, (3)
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
где 8W - работа внутренних усилий T, T2, S, затрачиваемая на дополнительное
деформирование оболочки из состояния равновесия, 8 A - работа поверхностных и краевых сил на соответствующих перемещениях из состояния равновесия. Виртуальная работа внутренних усилий имеет вид
8W = jJ(T8 + T*8s¡ + S8( Ybdadp, (4)
S
где T*, T* - усилия, приведенные к метрике исходного состояния. Они связаны с истинными усилиями, действующими по граням деформированного элемента оболочки, соотношениями
*_ 1 + e 2 ■ Т*—Т 1 + e1 fM
T1 = T1 \ ; T 2 = T 2 ' л , (5) 1 + ^ 1 + в2
где e, e2 - относительные удлинения волокон оболочки вдоль линий а, ¡
соответственно, связанные с компонентами деформаций следующим образом [24]:
2. (6)
Вариации деформаций (1) можно представить
¿fe* = (1 + s] )¿fe, + y]Sy] + 3lS3l, 1 □ 2 8(0* = (1 + е2) 8ух + у8£2 + (1 + £I)8Y2+ 7i8s\ + $\8$2 + $28$! ■
Работа внешних сил, действующих на оболочку, складывается из работы поверхностных и краевых сил. Пусть на краю оболочки а = const, ¡ = const
действуют краевые усилия TS¡, Q (i = 1,2), а составляющие поверхностной нагрузки по осям криволинейной системы координат а, ¡, z, отнесенные к
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
площади недеформированного элемента оболочки, соответственно *, /*, /*.
Совершаемая ими работа при малых виртуальных деформациях срединной поверхности определяется выражением [24]
SA = jj( fl ■ Su + f* ■ Sv + f* ■ Sw )AB ■ dadp +
S
+J(T0 ■ Su + S0 ■ Sv + Q0 ■ Sw)(1 + e2 )Bdp + |(Т20 ■ Su + S0 ■ Sv + Q0 ■ Sw)(1 + e )Ada.
P a
В итоге вариационное уравнение принципа возможных перемещений имеет
вид
||{[Т1* (1 + *1) + Sy2 }Sei +[t2* (1 + ^) + Syx }SE2 +[TlYi + S (1 )]s +
S
+[r*r2 + S (1 + ■ Sr2 + [T*$ + S32] ■ S3, + [t*&2 + S3] ■ S32} ABdadp =
= jj(f * ■ Su + f* ■ Sv + f* ■ Sw)AB ■ dadp + j(T0 ■ Su + S0 ■ Sv + Q0 ■ Sw)(1 + e2)Bdp +
s P
+j(T20 ■ Su + S0 ■ Sv + Q0 ■ Sw)(1 + e) Ada.
a
Выразим вариации компонент тензора малых деформаций через вариации перемещений и их производные
1 dSu 1 dA _ 1 .
ss =---+----Sv +--Sw;
1 A da A ■ B dp R
Ss,
1 dB ^ 1 dSv 1 c
~ =----Su +-----1---Sw;
2 A ■ B да B dp R2
1 dA c 1 dSv S^j =-----Su +
A ■ B dp
A da
1 dSu 1 dB _
(8)
B dp A ■ B da
so 1 с 1 dSw ¿3 = — Su----;
1 R A da
nQ 1 ~ 1 dSw S3^ =--Sv----.
2 R B dp
Пользуясь формулами Остроградского-Гаусса в криволинейных координатах, получаем вариационное уравнение в виде
if{[L - f *AB] ■ Su + [Ц - fAB] ■ Sv + [Ц - f*AB] ■ Sw\dadp +
S
+Я! -T10(1 + ^)B]Su + [Ty -S10(1 + ^)B}Sv + T -01°(1 + ^)B]■ Swjdp + (9)
p
+f{[T2x -S20(1 + ^)A]Su + \_T2y -T20(1 + ^)A]Sv + [T2z -02°(1 + ^)A]Sw}da
Здесь операторы Ц представляют соотношения
L
L
d1 x da , dT2x ^ dp) 1 B dA dp T +1 T y + A dB da
d1 y dT ^ 1 T 2 y 1 dB ■Tl x + B dA
da dp ) A da dp
L = dTlz + dT2 z A dB ■ T da B
da dp R1 r2
-2 y
A R1 B
-1z'
■T +--T ■
T1x + 0 12 z; R2
2y
(10)
где введены следующие обобщенные усилия:
а
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
T1X = T (1 + ) + S ■ у 2 ]■ B; T2X = [T2*r2 + S-(1 + A;
Tly =[T;y1 + S ^(1 + ^2 )]■ B; T2y = [Т*(1 + + S у ]■ A; (11)
Tlz =(T* 3 + SЗ2)■ B; T2Z =(t;-32 + S-3)• A.
При независимых в области S вариациях Su, Sv, Sw из вариационного уравнения (9) следуют уравнения равновесия в проекциях на оси криволинейной системы координат, связанной с недеформированной срединной поверхностью оболочки
L - f AB = 0; L2 - f*AB = 0; L3 - f*AB = 0 (12)
и силовые граничные условия
P = const: Tx - T10 (1 + e )B = 0; TXy - S0 (1 + e )B = 0; TXz - Q\ (1 + e )B = 0; a = const: T2x - S0 (1 + e )A = 0; T2y - T20 (1 + e )A = 0; T2z - Q2 (1 + e )A = 0.
Таким образом, система уравнений, описывающих деформирование мягких оболочек, включает уравнения равновесия (12), дополнительные проекционные уравнения (11), зависимости, описывающие приведение истинных усилий к метрике исходного состояния (5), геометрические соотношения (8) и (6). Для замыкания системы уравнений используются физические соотношения, связывающие истинные усилия T , T , S с деформациями e , e2, ю. Окончательно сформированная система содержит 23 уравнения с 23 неизвестными.
Смешанные уравнения технической теории мягких оболочек
При малых деформациях возможно упрощение разрешающей системы уравнений, характерное для технической теории мягких оболочек. В этом случае
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
Ъ=е*, 10 2, со = со*,
^Г = <^1, !□ 2, со*=г1+Г2-
Аналогично [2], представим усилия, действующие в деформированной оболочке, в виде суммы двух слагаемых, соответствующих основному и дополнительному напряженному состоянию:
Tl = Тю + 7 (Ш 2); 5 = £ + £ (15)
Геометрия основного состояния считается известной. Усилия и перемещения, соответствующие дополнительному состоянию, определяются из системы уравнений, получаемой в результате линеаризации компонент вариационного уравнения относительно основного состояния. Тогда элементарная работа усилий Т*, Т*, 5 с учетом соотношения (5), выражения для вариации конечных деформаций (7) и представления (15) определяется как
Т1*де1* = Т10де1 + Т10е2де1 + Т1о71д71 + Т10&д&1 + Т1де1, 1П 2 5дс = 5о (д71 +д72) + 5о (е2д71 + 71де2 + е1д72 + 72дех + &хд& + &д&) + (16)
+ 5 (д71 +д72)
Поверхностная нагрузка также представляется в виде суммы двух слагаемых, соответствующих основному и дополнительному напряженному состоянию. Введя
вектор нагрузки /7 = { /, /„ , компонентами которого являются ее проекции
на координатные оси деформированной поверхности оболочки, запишем указанное представление в виде
/ = /о+7- (17)
Вектор поверхностной нагрузки, приведенной к метрике исходного состояния,
в случае больших деформаций связан с вектором / соотношением [23]
(18)
Для случая малых деформаций с учетом (14) и (17) соотношение (18)
приобретает вид
/* = / + (*!+*2)/о+/о-
(19)
Тогда элементарная работа поверхностных сил на приращении вектора
полного перемещения йт = {
и У
}
/*г • дй = /I • 8й + /г • дй + + £2)/0 • дй.
(20)
Используя вариационное уравнение принципа возможных перемещений, соотношения (16), (20) и (8), получаем системы дифференциальных уравнений равновесия для основного и дополнительного состояний.
Для основного состояния уравнения равновесия имеют вид
Тв_ дв дл
да да'120 др др' 5 Л'В'/10'
а^в ел ~ — 1
да др
10
д12° А_ дв Л _ А' в' /2
др да
т т
11° , 120 _ Г
- и
20
(21)
Для дополнительного состояния введем следующие обобщенные усилия:
Ть, = (т+Т10 '^2+5 'Г2)' в;
Ту =(5 + Т10 'Гь + 50 '^2)'в; Тьг =(ТШ ^ + 50 '^2)'в;
1, =(Т20 'Г2 + 50 '^1 + 5)' А; Т2 у =(Т2 + Т20 '^1 + 50 'Гх)' А; Т2г =(Т20 Л + 50 '^1)' А.
(22)
Уравнения равновесия для дополнительного состояния запишем в
Труды МАИ. Выпуск № 108 обобщенных усилиях:
dTi x. = dT2x
da dp
dTi y_ _ dT2y
da dp
dTiz _
[ f + fio(s! + S2)_
A B - I . — . ^ + I ■ — . ^ + A ■ ^;
B dp A da 2y R 1z'
-[f2 + f20(^i + A. B -1 . T2x +1 ■dA. Tlx + B ■ T2z; (23) L J A da B dp R2
— + [ f3 + f30(*i + _■ A ■ B - A ■dB ■ Tlx - B ■ T2 У ■
da dp [ J R da R y
Следующие из принципа возможных перемещений силовые граничные условия для системы (23) имеют вид
T
1х , Т — Т0 ■
B
T
1 2:
A
a = const: -^f- + S0 = T2;
T TУ B + S0 = Si0; ^ = - Q0 B 1
T T 2 У A + T20 = S0- = S2 ; T = - 0° A 02
Замкнутая система уравнений для дополнительного состояния содержит 18 уравнений и включает в себя уравнения равновесия (23), дополнительные проекционные соотношения (22), геометрические соотношения (2) и физические соотношения, например, для анизотропной оболочки имеющие вид [23]
Т = (С11 + Т10 )■*! + (С12 - Т10 )^2 + С13 -(Г1 +72 )-Тю';
Т2 = (С12 - Т20 ) ■ + (С22 + Т20 ) ■ + С23 ■ (71 +72 ) - Т20 ; (24)
5=С13 ■ ^1+С23 ■ ^2 + С33 ■ (71 +72 ) - 50-
Здесь С.. , г, ] е [1;3] - физические константы материала оболочки.
Смешанные уравнения осесимметричного деформирования технической
теории мягких оболочек
В случае осесимметричного деформирования усилия основного состояния
Труды МАИ. Выпуск № 108 определяются из соотношений
^в = ^.Т _ л-в-Г ■
1 1 Т 20 А в Г10; аа аа
Т Т Т10 , Т 20 _
+ = Г30.
(25)
Я1 Я2
Система уравнений для определения компонент дополнительного состояния включает уравнения равновесия
аТ
1х
1 ав
А
аа
аТ
ч—
А аа
Т2 у + А'Т12 _[ Г1 + Л>(*1 + ¿2)
12
аа
А в г— -
= _— 'Т1х — ' Т2 у +[ Г3 + Г30(^1 + ¿2)
я
'А'в; 'А'в,
(26)
дополнительные проекционные соотношения
Т1х = (Т1 + Т10 '^2)'в;
Т2 у =(Т2 + Т20 '¿1 )' А;
Т =Т '& 'в
(27)
геометрические соотношения
йи . А
— = А ---ж,
аа я
а™ л п А
— = _А' % + — 'и;
аа я
¿2 =
1 ав 1
----и ч---
Ав аа Я
(28)
и физические соотношения
Т1 (С11 + Т10 )'£>1 + (С12 Т10 ) ' ¿2 Т10 ; Т2 (С12 _ Т20 ) ' ¿1 + (С22 + Т20 ) ' ¿2 _ Т20.
(29)
Система дополняется кинематическими граничными условиями вида
и = и0; ™ =
и силовыми граничными условиями
^ + Т10 = Т10; ^ = _$,
в 10 1 в 1
Заключение
В работе получены системы смешанных уравнений теории мягких оболочек для случаев больших и малых деформаций, удобные для расчета составных оболочек. При этом компоненты основного состояния, а также распределенная по поверхности нормальная и касательная к меридиану нагрузки могут меняться по длине оболочек произвольно. Система уравнений осесимметричного деформирования технической теории мягких оболочек может быть приведена к нормальной форме Коши, удобной для применения численных методов непосредственного интегрирования и привлечения стандартных приемов решения плохообусловленных краевых задач.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Москвы (проект 19-38-70005 моламос).
Библиографический список
1. Усюкин В.И. Об уравнениях теории больших деформаций мягких оболочек // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1976. № 1. С. 70 - 75.
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
2. Усюкин В.И. Техническая теория мягких оболочек: Дисс. ... д.техн.наук. - М.,
1971. - 361 с.
3. Алексеев С.А. Основы общей теории мягких оболочек // В кн.: Расчет пространственных конструкций. - М.: Стройиздат, 1966. - С. 31 - 52.
4. Григорьев А.С. О теории и задачах равновесия оболочек при больших деформациях // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1970. № 1. С. 163 -168.
5. Магула В.Э. Основные зависимости теории мягких оболочек // Труды Николаевского кораблестроительного института. 1973. № 78. С. 3 - 15.
6. Друзь И.Б., Друзь Б.И. Статика мягких оболочек и емкостей при осесимметричной нагрузке. - Владивосток: Морской государственный университет им. Г.И. Невельского, 2012. - 122 с.
7. Ермолов В.В. и др. Пневматические конструкции воздухоопорного типа. - М.: Стройиздат, 1973. - 287 с.
8. Балабух Л.И., Усюкин В.И. Приближенная теория мягких оболочек вращения // Труды XIII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Ростов-на-Дону, 1971). - М.: Наука, 1973. С. 230 - 235.
9. Каюк Я.Ф., Ващенко Л.Ф. Основные соотношения геометрически нелинейной теории мягких оболочек вращения // Доклады АН УССР. Сер. А. 1976. № 8. С. 715 -719.
10. Ржаницын А.Р. Расчет упругих оболочек произвольного очертания в прямоугольных координатах // Строительная механика и расчет сооружений. 1977.
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
№ 1. С. 21 - 28.
11. Сергеев Б.И. Расчет мягких конструкций гидротехнических сооружений. -Новочеркасск: Изд-во НИМИ, 1973. - 176 с.
12. Отто Ф., Тростель Р. Пневматические строительные конструкции. - М.: Стройиздат, 1967. - 320 с.
13. Ридель В.В., Гулин Б.В. Динамика мягких оболочек. - М.: Наука, 1990. - 205 с.
14. Гимадиев Р.Ш. Динамика мягких оболочек парашютного типа. - Казань: Казанский энергетический государственный университет, 2006. - 208 с.
15. Гимадиев Р.Ш., Гимадиева Т.З., Паймушин В.Н. О динамическом процессе раздувания тонких оболочек из эластомеров под действием избыточного давления // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 2. С. 236 - 248.
16. Друзь Б.И. Нелинейные уравнения теории колебаний мягких оболочек // Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам. 1973. № 24. С. 34 - 50.
17. Усюкин В. И., Терещенко В. А., Сдобников А. Н., Панов С. В., Борсов Р.Г. Расчет пневматических строительных конструкций с использованием ЭВМ // Доклады Международной конференции по облегченным пространственным конструкциям для строительства в обычных и сейсмических районах. 1977. С. 146 -151.
18. Цыхановский В.К. Исследование напряженно-деформированного состояния пневмонапряженных мягких оболочек методом конечных элементов: Дисс. ... канд.техн.наук. - Киев, 1982. - 223 с.
19. Кислоокий В.Н. Исследование статики и динамики висячих,
Труды МАИ. Выпуск № 108 http://trudymai.ru/
пневмонапряженных и комбинированных систем методом конечных элементов //
Строительная механика и расчет сооружений. 1977. № 4. С. 18 - 20.
20. Сдобников А.Н. Применение метода конечных элементов к расчету мягких оболочек вращения // Сообщения Дальневосточного высшего инженерно-морского училища. 1976. № 34. С. 15 - 20.
21. Фирсанов В.В., Фам В.Т. Напряженно-деформированное состояние сферической оболочки на основе уточненной теории // Труды МАИ. 2019. № 105. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID= 104174
22. Фирсанов В.В., Во А.Х. Исследование продольно подкрепленных цилиндрических оболочек под действием локальной нагрузки по уточненной теории // Труды МАИ. 2018. № 102. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=98866
23. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. - М.: Машиностроение, 1988. - 392 с.
24. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. - М.: Гостехиздат, 1948. - 212 с.
