Смещение оси светового пучка, наклонно падающего на границу анизотропно рассеивающей среды Текст научной статьи по специальности «Физика»

СМЕЩЕНИЕ ОСИ СВЕТОВОГО ПУЧКА, НАКЛОННО ПАДАЮЩЕГО НА ГРАНИЦУ АНИЗОТРОПНО РАССЕИВАЮЩЕЙ

СРЕДЫ Е.И. Задорожная, М.Е. Кононенко Научный руководитель - к.ф.-м.н., доцент Ю.И. Копилевич

В приближении малоуглового рассеяния для уравнения переноса излучения в поглощающей и рассе-вающей среде исследовано распределение освещенности в поперечном сечении светового пучка, наклонно падающего на границу заполненного средой полупространства. Показано, что несимметричность ослабления относительно геометрической оси пучка в среде приводит к смещению энергетического центра пучка. Изучено изменение величины смещения с глубиной, проанализирована зависимость эффекта от оптических характеристик среды, угла падения и параметров исходного пучка.

Введение

С наклонным падением светового пучка на границу поглощающей и/или рассеивающей среды приходится сталкиваться в различных областях применения лазеров - от лазерной обработки материалов до дистанционного зондирования океана, причем зачастую важно учитывать изменение распределения освещенности по поперечному сечению пучка с глубиной проникновения в среду [1, 2]. Сущность рассматриваемого здесь явления состоит в смещении максимума поперечного распределения освещенности в пучке относительно его геометрической оси, соответствующей закону преломления на границе среды.

Проведенный теоретический анализ основывается на применении уравнения переноса излучения (УПИ) [3, 4]. Предполагается, что падающий пучок имеет достаточно малую расходимость, а индикатриса рассеяния в среде является сильно вытянутой вперед, что позволяет использовать малоугловое диффузионное приближение для решения УПИ [4, 5].

Формулировка задачи

Пусть в декартовых координатах {2, х}, х = {х, у} плоскость г = 0 является границей поглощающей и рассеивающей среды с показателем преломления п2, заполняющей полупространство 2 > 0; контактирующая среда с показателем преломления п1 в области г < 0 предполагается прозрачной. Ось монохроматического светового пучка (ОС на рис. 1), падающего на границу раздела из прозрачной среды, составляет угол $1 с осью О2.

В декартовых координатах {£, обозначим через

I (, к ) = I , к) лучевую яркость падающего пучка в направлении

{1, к } = {., К , К }, причем предполагается, что к2 << 1.

Ограничимся для простоты рассмотрением двумерной задачи; начальное распределение яркости на плоскости £ = 0 зададим в виде

I (0, к) = I (0, £//,£±, к) = ехр

лЯагу

а ^

V Я2,

ехр

( 2 ^ К/

V а/у2 J

8К±), (1)

где Я - начальный радиус пучка, - его расходимость (й1\ << 1) в плоскости падения, 5(к) - дельта-функция Дирака.

О'

О

А ■ А \

\ > \ 1 V

\

V-

А

п.1

\ \\ \ \

V

П2

У

Рис. 1. Геометрия задачи: плоскость г = 0 является границей раздела прозрачной (при г < 0) и рассеивающей (при г > 0) сред; 0£- ось падающего пучка, ОС,'- ось

преломленного пучка

Решение задачи распространения пучка в прозрачной среде и преломления на границе раздела

Решение УПИ в однородной среде имеет вид

I(С, к) = I(0, \ - <, К). (2)

Используя (2), для распределения яркости I+ (г = 0, X, К) пучка вида (1) на плоскости г = 0 находим:

I+ (0,X, К) = I(С, + XБША, X008 А,У, к) =

= I (0, х соба -кц(£0 + х БШа), У, к) = , (3)

= —1—ехр<!- —Г[хооба -к„(с0 + хэшА)]2 1хехщ-^-т15(к,) тЯСИУ 1 Я21 1 /А 0 1Л1 1 [ С1У2 } 1

где С0 - расстояние вдоль оси пучка, проходимое светом в прозрачной среде.

Найдем теперь распределение яркости преломленного пучка ^ (г, х, у, к') на границе раздела (г = 0 + 0/ Учитывая предположение о малости отклонения вектора направления {1, к//,к1} для яркости падающего пучка от оси ОС, закон преломления Снел-лиуса приводит к равенствам:

этА = пэтА», = пк'±_, оо^АуКц = пОО8$2к'П , (4) п

причем п=

п

Из (3), с учетом (4), получаем:

Т

I_(0, х y, к0 = ——- ехР лЯагу

Я

х ооб А - к//п 008 А (0 + х эт А) ообА1

> х

х ехр

к

2 (

// ,„2

С1\

п

ООБа2 соба

5(к[ п )

х

2

2

где Т - коэффициент пропускания границы раздела для светового пучка:

Т = п 2(1 -|р|2), р- френелевский коэффициент отражения [3].

Эквивалентная задача для пучка в рассеивающей среде

Введем обозначения

ncos$2 т г cos^i „Г cos$2

R = R--, div = div-—, Zo =Con

cos¿¿ n cos^2

Y

cos$i

перепишем (5) в виде:

T

1 yK' ]=iRdivx

x exp-

R¿

x cos^2 -к'ц

Z0 + x sin ¿¿n

/■ n \2 ^ ' cos¿2 ^

cos¿i

exp

div' 2

(7)

■ Ъ(к'^п)

Используя равенство а 5(ах) = 5(х) (а > 0) и условие ■ $ << 1, последнее выражение можно упростить:

I (0, x, y, к' )—T— expJ -V ^ ^ nR'div' И

R

[x cos ¿2 -к // (0 + x sin ¿2 )f

x exp^

2

k // div'2

•S(k 1).

(8)

Из сравнения полученной формулы с выражением (3) видно, что распределение яркости (8) совпадает в плоскости 2 = 0 с решением «эквивалентной задачи» в среде с постоянным показателем преломления для пучка, ось Окоторого составляет угол $2 с осью Ог (см. рис. 1). В декартовых координатах {£' ,\'}= {С',£'/,£[} исходное распределение яркости «эквивалентного» пучка в плоскости £' = 0 имеет вид

I' (0,^//,^1, к ') = —0^ exp nR div

R

1 ^//2 | exp

Г k ' 2 ^ k//

div'

S(k1 ),

(9)

а длина пути вдоль оси пучка до пересечения с плоскостью z = 0 равна величине Z'o, определяемой формулой (7).

Теперь задача сводится к решению эквивалентной задачи о распространении светового пучка с начальным распределением яркости вида (9) в двухслойной среде с постоянным показателем преломления п2 (рис. 2), причем в координатах {{,£//,£[} плоскость Z' = Z0 + £//tg¿2 является границей раздела прозрачной (в полупространстве Z' < Z0 + £'// ) и мутной сред.

Пусть a и b - показатели поглощения и рассеяния света мутной средой, соответственно. Индикатриса рассеяния X(y), где y - угол рассеяния, 0 < y < п, подчиняется

условию нормировки 11 X(y) sin y dy = 1 и определяет вероятность обратного рассея-

•Ю

2

1

ния bb = 11 X(у) sin у dy, так что показатель обратного рассеяния есть bb = bb

Jn/ 2 '

Предполагая выраженную анизотропию рассеяния, индикатрису зададим в виде X (у) = (1 - 2~ ) х(у) + 2~ , (10)

где x(y) определяет рассеяние на малые углы, причем

0 x(yysinу dy ~ ~2 J0 x(y)y dy = 1; ¿ Jx(y)sinуdy << bb. (11)

O'

Рис. 2. Геометрия эквивалентной задачи в среде с постоянным показателем преломления. Наклонная пунктирная линия соответствует реальной границе раздела прозрачной и рассеивающей сред, горизонтальная - заданию локального положения границы для приближенного нахождения решении в точке [£'}

В силу малости углов рассеяния и исходной расходимости пучка, яркость пучка I'(^',^ !,, к' ) в произвольной точке ',£//,} рассеивающей среды (£' > С0 + %'// А2 ) приближенно совпадает с решением задачи распространения пучка с граничным условием (9) в стратифицированной среде с зависящими от £' показателями поглощения

а(С) и рассеяния Ь(С) вида

а(С') = |0, С ,<С0 + Ь(С') = {0, С '<С0 +^//tgА2

а(4) [а, С'>С0 + (4) \й, С>С0

Используя аналитическое решение уравнения переноса излучения в малоугловом приближении для пучка света в стратифицированной рассеивающей среде [6], яркость I' (С' , /, , к' ) находим из соотношений:

I' (С', %', к') = (С', к, р; % ')ехр(к%' + /рк' )с 2к С 2р; (12)

T ' (|', k, p; %') = T ' (0, k, p + k| ') X

Z'-Z0(%')

expj-(a + bb)[ - Z0(%')]+ (b - 2bb) JT (|p + k||)d| l Z > Z0(%V (13)

0

где T (0, k, p) = (2п) JJJJI' (0, % ', к ' )exp(- ik%' - ipK ') d 2% ' d 2k ', (14)

<x¡ <x¡

- преобразование Фурье исходного распределения яркости (9) по поперечным координатам и углам,

а(Г)=а+0^2 (15)

- длина пути луча в прозрачной среде для точки наблюдения {^' ,0//,0|},

1 ж

~(р) = 2 J x(r)Jq( pr)rdr

(16)

- преобразование Фурье-Бесселя малоугловой части индикатрисы рассеяния из (10).

Получим теперь формулу для распределения освещенности E' (Z' ,¿,¿1)по поперечному сечению пучка Z' = const в рассеивающей среде,

E{£¿,¿1) = JJI(Z'¿'/,¿1,к ')d2к ; (17)

ж

заметим, что в рассматриваемом «малоугловом» случае освещенность совпадает с облученностью [3, 4]. Из (13)-(15) следует выражение

E(Z',¿/',¿1) = (2п)2 х

~ Г Z'-ZQ(r) ] (18)

х JJ I ' (0, k, kZ ') expr ikl ' -(a + b-[ - ZQft ')] + (b - 2bb) J I (| kZ|) dZ j> d 2k'

ж j Q J

Z '>ZQ(^ ') = ZQ + #/tg*2,

в котором I' (Q, k, p) по-прежнему дается формулой (14).

Полученный результат существенно упрощается в малоугловом диффузионном приближении, которое эквивалентно замене в (18) Фурье-образа ~ малоугловой части индикатрисы двумя первыми членами его разложения в ряд Тейлора:

,2^

1 ^ 1 ^

1 (p) = 2 Jx(Y)J0(pr)YdY - 2 Jx(Y)

1 -

( pyY 2

ydy = 1 - pг

Y

2

(19)

причем параметр ^у у равен среднему квадрату угла рассеяния на малые углы. С учетом (19) из (18) получаем:

Е(С'аа ) = (2п)2 X

JJ I ' (0, k, kZ ' ) exp j zk§ ' - ae [ - ZQG ')] + bf k- (/) [ - ZQG ')] J d 2k

(20)

с^як)=^0+0^2,

где введены обозначения ае = а + 2Ъъ для эффективного показателя поглощения (учитывающего ослабление пучка за счет поглощения и рассеяния света на большие углы) и Ъf = Ъ - 2ЪЪ для показателя рассеяния на малые углы [5, 6].

Подстановка начального распределения (9) в (14) дает

I ' (0, k, kZ ') = (2п)-3Г 5(к± )exp

к 2

4

(2 +Z'2 div '2)

и из (20) получаем окончательный результат:

E (Z ', £ //, £ 1) = exp{- ae [[-£ QG ' )]}>

y^Reff (Z ', £ //)

х exp

£ //2

Rf (Z', ¿/)

(21)

X

ж

z '>С№') = Zo + #/tg^,

где Щ'„) = С'-СоЮ,

(22) (23)

- длина трассы распространения в рассеивающем среде для луча, приходящего в точку наблюдения {,£//,£[} (см. рис. 2), и

- ' ' 2 , 2 3'

R^ff (¿'¿'и) = R2 +Z' 2 + -3 bf (r2}h3(Z//).

(24)

Анализ результатов

Ограничимся здесь рассмотрением случая, когда вкладом малоугловой части рассеяния, определяемым параметром bf, в распределение яркости можно пренебречь. Тогда

Riff (z'¿/) - Riff (z') = R'2 + z'2div'2, причем Reff является эффективным радиусом пучка в плоскости z' = const, и выражение (21) можно переписать в виде

exp[- ae (С '-С 0)].

E (z ', £ //, £ 1) = ■

л/ЛReff (z ')

x exp

ae2Rf (z')tg2 S;

exp

[[// - S (z ')f

Rtff (z)

(25)

где S(C) = aeReff (f)tg^2 = Oit^ (r2 +z'2div'2 ).

(26)

Формула (25) справедлива при условии (22), означающем, что точка наблюдения {Z',Z'/,Z[} находится в рассеивающей среде; это условие можно переписать в виде

Z'„ < D(Z'), причем

D(Z') = (z '-Co )ctg^2, (27)

- расстояние в плоскости Z' = const от оси пучка до границы рассеивающей среды.

Из выражений (25) и (27) следует, что «энергетический центр» пучка, то есть максимум распределения освещенности в сечении Z' = const, сдвинут относительно «геометрического центра» Си = 0 (оси пучка) на величину A(Z),

A(Z ') = min{{(Z ' ),S(Z ')}. (28)

Чтобы существовал интервал значений наклонной глубины ho = Z' - Zo проникновения света в рассеивающую среду, на котором энергетический центр распределения освещенности по поперечному сечению пучка находится внутри среды, необходимо и достаточно выполнения условия S(Z') < D(Z') для соответствующих значений Z'. Это условие, ввиду равенств (26) и (27), эквивалентно требованию существования вещественных корней квадратного уравнения S (Z') - D(Z') = 0, т.е. положительности его дискриминанта, и сводится к неравенству

1 (29)

ae < 2

Щ2$2ёЫ (( + Z'0div') В противоположном случае сильного эффективного поглощения, т.е. при 1

ae > 2

tg2 32div' (R + zOdiv')

(30)

4

имеет место равенство ' ) = В (С,' ); это означает, что максимум освещенности в сечении

пучка при всех находится на границе рассеивающей среды (пучок «не проникает» в среду)-

щ в

о

а

с

н

н

о

8

м

8 Н

____

к0 = 0 м

\

к0 = 0,025 м

\

к0 = 0,05 м

V

\

к0 = 0,075 м

\

к0 = 0,1 м \

к0 = 0,125 м

-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Расстояние от геометрической оси '/л м

Рис. 3. Распределения освещенности по поперечному сечению пучка на различных глубинах проникновения Ь0 в среду

На рис. 3 приведены результаты численных расчетов распределения освещенности по поперечному сечению пучка на различных глубинах проникновения к0 в рассеивающую среду со слабым эффективным поглощением, то есть при выполнении условия (29). Расчеты проводились при следующих значениях параметров эквивалентной задачи [см. равенства (7)]: Я' = 0,1 м; 32 = 45о; ^0 = 1 м; Шу' = 0,01рад; ае = 10 м-1. Наклонная пунктирная линия на рис. 3 соответствует границе рассеивающей среды; вертикальная пунктирная линия, соединяющая положения максимумов распределений освещенности, совпадает при к0 > 0,05 м с кривой £(£').

Заключение

В представленной работе теоретически исследована задача наклонного падения пучка света на границу мутной среды с выраженным поглощением и/или рассеянием; для простоты рассматривается двумерная задача, когда распределение яркости исходного пучка не зависит от координаты, перпендикулярной плоскости падения. Основой проведенного анализа служит уравнение переноса излучения в рассеивающей среде в приближении малоуглового рассеяния, что ограничивает область применимости результатов случаем малой расходимости падающего пучка и сильной анизотропии рассеяния (индикатриса рассеяния вытянута в направлении «вперед»). Показано, что максимум распределения освещенности по поперечному сечению пучка в рассеивающей среде оказывается смещенным относительно геометрической оси пучка в направлении границы раздела, причем величина смещения изменяется с глубиной проникновения света в рассеивающую среду. Детальный анализ, проведенный для ситуации, когда рассеяние вносит вклад только в эффективное ослабление пучка, позволил выделить два случая: при сильном поглощении максимум поперечного распределения освещенности сдвинут

к границе среды (пучок «не проникает» в среду); при слабом поглощении существует интервал значений глубин, для которых максимум распределения освещенности по поперечному сечению локализован внутри мутной среды. Выведено условие реализации того или иного случая в зависимости от геометрических параметров задачи (радиуса и расходимости пучка, угла падения и расстояния от источника до границы среды) и эффективного показателя поглощения в среде, учитывающего ослабление пучка за счет поглощения и рассеяния на большие углы.

Литература

1. Вейко В.П. Лазерная обработка пленочных элементов. - Л.: Машиностроение, 1986.

- 248 с.

2. Копилевич Ю.И., Сурков А.Г. Математическое моделирование входных сигналов океанологических лидаров // Оптический журнал. - 2008. - Т. 75. - № 5. - С. 45-51.

3. Апресян Л.А., Кравцов Ю.А. Теория переноса излучения: статистические и волновые аспекты. - М.: Наука, 1983. - 216 с.

4. Долин Л.С., Левин И.М. Справочник по теории подводного видения. - Л.: Гидроме-теоиздат, 1991. - 230 с.

5. Оптика океана /Под ред. А.С. Монина. - Т. 1. Физическая оптика океана. - М.: Наука, 1983. - 371 с.

6. Долин Л.С., Савельев В.А. К теории распространения узкого пучка света в стратифицированной рассеивающей среде // Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика. - 1979. - Т. 22.

- № 1. - С. 1310-1317.