CC BY
1
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 1 (2024). С. 24-34.
УДК 519.837
СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
C.B. ГРИШИН
Аннотация. Данная работа посвящена исследованию на тему производящей функции времени первого достижения положительной полуоси при однородном дискретном целочисленном случайном блуждании на прямой. В первой части работы приращения предполагаются независимыми. Рекуррентные соотношения на вероятности позволяют написать систему уравнений, которой удовлетворяет искомая производящая функция. Применяя технику результантов, удается свести эту систему к одному уравнению. Далее его можно исследовать, вычисляя род соответствующей плоской алгебраической кривой путем анализа ее особенностей. В работе выписаны искомые уравнения для некоторых случайных блужданий и показано, что если приращения принимают с одинаковой вероятностью все целые значения от -2 до 2, или от -1 до 3, или два равновероятных значения -1 и 4, то кривая рациональна, а при общих вероятностях в первом случае это не так.
Во второй части работы процесс рассматривается симметричный, приращения принимают значения -1, 0, 1, но зато предполагается ненулевая корреляция каждого следующего приращения с предыдущим. Для такого процесса уравнение на искомую производящую функцию задает эллиптическую кривую, зависящую от квадрата коэффициента корреляции соседних приращений, если все приращения ненулевые, и гиперэллиптическую кривую рода 2, критерием вырождения которой служит наличие кратных корней у полинома 6 степени, при общих симметрично распределенных условных вероятностях.
Ключевые слова: Случайные блуждания, алгебраические кривые. Mathematics Subject Classification: 60J10
1. Введение
В данной работе изучается однородное дискретное случайное блуждание. Напомним определение:
Определение 1.1. Однородное дискретное случайное блуждание — это дискретный случайный процесс с фиксированным набором приращений ai,..., ап, каждое из которых происходит с определенной вероятностью, которая может зависеть от предыдущих приращений, но инвариантно относительно дискретного времени,.
Случайные блуждания используются в биологии, экономике и других областях знания, поэтому они изучаются достаточно активно. Мы продолжаем исследования, начатые нами в работе [1].
Метод, используемый нами, состоит в получении и исследовании уравнения на производящую функцию времени первого достижения положительной полуоси. Впервые данный метод применил В.А. Малышев (1970-е годы) для случайных блужданий в четверти плоскости с приращениями не более 1 по каждой координате (см. [2]). Идеи Вадима
S.V. Grishin, Random walks on a une and algebraic curves.
(с) Гришин C.B. 2024.
Поступила 17 июля 2023 г.
Александровича впоследствии были развиты несколькими учеными, которые получили следующий результат:
Предложение 1.1 ([3]). Производящая функция С(Ь,а,Ъ) = ^Р(к,т,п) 1катЪп, где Р(к, т,п) — вероятность возвращения в начало координат за, к шагов с т пересечениями
п
случайного блуждания в четверти плоскости обладает следующими свойствам,и:
1) Если набор шагов обладает горизонтальной (вертикальной) осью симметрии, то С(Ь, а, 1) Б-финитна, то есть удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
ственно С(Ь, 1, Ь) обладает этим свойством, при любом, Ь).
2) Если набор шагов обладает и вертикальной, и горизонтальной осью симметрии, то С(Ь, а, Ь) равно отношению двух Б-финитных функций от Ь при любых а и Ь, а если, набор ш,а,гов состоит из 4 элементов (±1, ±1) (знаки не согласованы), то Б-финитна
3) Если набор ш,а,гов симметричен относительно прям,ой х = —у, то С(Ь,а, а) равно отношению двух Б-финитных функций от Ь при любых а, а, при а = 1 — Б-финитной функции. Исключение составляет центрально-симметричный случай 6 ш,а,гов (±1, 0), (0, ±1), (±1, ±1) (знаки согласованы), для, которого известно только, что С(Ь, 1,1) удовлетворяет, как и исследуемая нами производящая функция, некоторому алгебраическому соотношению. В случае трех ш,а,гов (—1, 0), (0,1), (1, —1) известно также, что С(Ь, а, Ь) равно отношению двух Б-финитных функций от Ь при любых, необязательно
х =
а С(Ь, а, а) удовлетворяет некоторому алгебраическому соотношению.
5) В случае 4 ш,а,гов (±1,0), (±1, ^1) (знаки согласованы) выполнено то же, что в пункте 1 данного утверждения, а в случае 4 ш,а,гов (±1, 0), (±1, ±1) (знаки согласованы) известно только, что С(Ь, 1,1) удовлетворяет некоторому алгебраическому соотношению.
Уже в нашем веке были получены некоторые частные результаты касательно случайных блужданий на прямой с независимыми приращениями, В [4] рассмотрены блуждания с приращениями -1, 0, 1; оказалось, что вероятность первого достижения точки х > ^ап шагов равна
( п — 1)! Т7 (х — пх — п +1 4р_
(п — х)!(х — 1)! \, 2 ;Х + 1; ~р0~)
Р(х,п) = Р1РПГХ( —;х + 1;^-р- , (1.1)
где Б (а, Ь; с, д) — гауссова гипергеометрическая функция, а соответствующая производящая функция выражается формулой
— 1 / 1
г 1 — р0 11 ? 1 — Ро )2 _ р-1
Р1
Работа [5] посвящена в том числе блужданиям с приращениями -2, -1, 1, В ней рассмотрен двумерный процесс Гальтона-Ватеона (это один из видов ветвящегося случайного блуждания), определенным образом связанный с искомым блужданием, из такого рассмотрения выведено уравнение т = г(р1 + р_1т2 + р_2и>3), где т = /(г) — значение производя-
что это значение равно наименьшему действительному корню данного уравнения. Таким образом, алгебраические свойства производящих функций случайных блужданий весьма примечательны и широко изучаются.
Во время выступления автора на Второй конференции математических центров России A.B. Шкляев предложил следующее тонкое рассуждение для случайных блужданий = 0 Сп = + с приращениями ^равными 1 = ai > ... > а к и их вероятностями Pi,... ,Рк- Пусть g(z) = Pitat ~ производящая функция приращения. Тогда отношение является мартингалом. Выберем в качестве момента остановки rq время первого достижения 1. Так как = 1, то по фундаментальному тождеству Вальда из [6] имеем Е (^) = 1 при достаточно малых t. А поскольку искомая производящая функция равна
по определению w(z) = Е(zv), то при z = -щ получаем
( 1 \ 1 ( \ 1 w(——) = - или w(z)
К9(Ч t К J д-1( 1)
Отсюда получаем уравнение
1
z
к
^ РгЫ-а*, (1.3)
г=1
выведенное в [1] другим способом — с помощью рекуррентных соотношений на вероятности. Последним способом мы будем пользоваться и здесь.
Отметим, что точка т = г =1 лежит па изучаемой кривой для любого случайного блуждания. Это связано с тем, что значение производящей функции в точке 1 равно сумме вероятностей всех конечных значений которая равна 1 в случае неотрицательного математического ожидания приращения, а это условие задает полупространство в пространстве параметров блуждания, от которых производящая функция зависит алгебраически. Не только сама эта точка, но и касательная (или одна из касательных) к кривой при неотрицательном математическом ожидании приращения имеет определенный вероятностный смысл: ее угловой коэффициент равен математическому ожиданию которое конечно при положительном математическом ожидании приращения и бесконечно при нулевом (в последнем случае касательная вертикальна). Данная точка не является особой только в случае максимального приращения 1. Можно ли объяснить этот факт с точки зрения теории вероятностей, автор не знает.
Данная работа построена следующим образом: в разделе 2 описывается специальный математический аппарат, который используется в разделе 3 для доказательства теорем о производящей функции времени первого достижения положительной полуоси.
2. Исследование систем алгебраических уравнений
2.1. Сведение системы к одному уравнению. Пусть имеется система алгебраических уравнений /¿(х1,... ,Хк ,у1,..., уп) = 01 ^ г ^ т. Если т > к, мы можем получить систему т — к уравнений на у-т без ж-ов следующим образом: рассмотрим первые два уравнения как уравнения на х1, остальные переменные играют роль параметров. Далее применяем следующее
Предложение 2.1 ([7]). Чтобы два уравнения переменной х1 с параметрами Х2, ..., хп им,ели, общий корень х1, необходимо и достаточно обнуления их результанта, как многочлена от параметров.
Аналогично «спарим» второе уравнение с третьим и так далее, до «спаривания» двух последних. В итоге получим систему уже не содержащую х1 и состоящую из т — 1 уравнений. Далее повторим процедуру с х2,х3 и так далее до Хк- В итоге получим то, что требуется. В пашем случае нужно исключить все переменные, кроме т и г, причем уравнений в системе как раз столько, что в итоге остается ровно одно уравнение.
2.2. Исследование кривой методом анализа особенностей. Нас интересует вопрос, является ли кривая в каждом конкретном случае рациональной. Задающий ее многочлен имеет большую степень даже при небольших по модулю а^. Для исследования таких кривых нужно применять технику рода. Алгебраическая кривая в СР2 как вещественное многообразие представляет собой компактную ориентируемую поверхность, То-
дать определение рода:
Определение 2.1 ([8]). Количество ручек называется родом кривой.
Род кривой равен размерности пространства голоморфных дифференциальных 1-форм на ней и является бирациональным инвариантом.
Предложение 2.2 ([8]). Плоская, алгебраическая, кривая рациональна тогда, и только тогда, когда, ее род равен нулю.
Исследование алгебраической кривой включает в себя анализ ее особенностей. Так, дельта-инвариант особенности 63 — это число бесконечно близких точек самопересечения кривой, «содержащихся» в данной особенности. Он является важнейшей топологической характеристикой особенности и вычисляется по главной части кривой в окрестности особенности (в особую точку помещается начало координат). Для вычисления рода применяется следующее
Предложение 2.3 ([8]). Если плоская кривая имеет степень ё, то род кривой равен д = (^_1)2(^_2) — з 83, где суммирование производится по всем, особым, 'точкам, кривой на, СР2.
Рассмотрим часто встречающиеся особенности. Например, если слагаемые минималь-к
помощью дискриминанта — результанта многочлена и его производной, то он и является
кой и ее дельта-инвариант равен к(к—1). В частности, бесконечно удаленная точка (0:1:0) графика рациональной функции у(х) = где Р и ( не имеют кратных корней, обыкновенная кратная точка кратности на 1 меньше степени кривой, других особенностей нет, поэтому род кривой, вычисленный по формуле рода, оказывается равен нулю, как и должно быть,
к
ной части присутствуют некоторые слагаемые большей степени, при этом для вычисления дельта-инварианта применяется так называемая процедура разрешения особенности с помощью раздутия — преобразования (х, у) м (ху, у), где система координат выбирается х = 0 к = 0
к
к
за скобки), поэтому верно
Предложение 2.4 ([7]). Дельта-инвариант особенности равен к(к-1) (к —кратность точки) плюс дельта-инвариант преобразованной особенности (если она, осталась).
В качестве примера рассмотрим каеп (а, Ь) — особенность с главной частью вида ха + уь, где а < Ь. Последовательность раздутий, преобразующих каеп (а, Ь) в каеп (а, Ь — а) (из алгоритма Евклида следует конечность процесса), позволяет вычислить его дельта-инвариант, и в случае дЫ(а, Ь) ^ 2 можно выписать результат:
( а, )
(а- 1)(ь-1)+1 2
Доказательство. Проведем индукцию по параметрам каепа. База: а = 1 (если а и Ь взаимно просты) — дельта-инвариант 0 (неособая точка) и а = Ь = 2 (если дсА(а,Ь) = 2) — дельта-инвариант 1 (обыкновенная двойная точка). Если верно для всех а' < Ь' < Ь, докажем для а, Ь. Каждое раздутие отщепляет от каепа (а, Ь) обыкновенную а-кратную точку и превращает его в гасп (а,Ь — а). Для него применим предположение индукции:
дельта-инвариант равен (а-1)(ь—а-1)+1 _ Применяя предыдущее предложение и прибавляя дельта-инвариант кратной точки а(а-1), получим требуемый результат, □
Примеры: кривая ха = уь при 2 ^ а ^ Ь — 2 и дсА(а, Ь) = 1 имеет два каепа — в нуле (а, Ь) и па бесконечности (Ь — а,Ь) и не имеет других особенностей. Вычисление ее рода дает ожидаемое (кривая, очевидно, рациональна) значение 0, Единственная особенность невырожденной гиперэллиптической кривой у2 = Рп(х), где Рп(х) — многочлен степени п без кратных корней, находится та бесконечности и является каепом (п — 2,п) с дельта-инвариантом [(п~ 3)+1 ], поэтому род равен [^у1], что совпадает с известным результатом, полученным топологическим методом.
3. Полученные результаты
3.1. Случайные блуждания с независимыми приращениями. Напишем уравнения кривых и исследуем их на рациональность для нескольких случаев нашей задачи.
Теорема 3.1. 1) Алгебраическая кривая, задаваемая, уравнением, которому удовлетворяет производящая функция времени первого достижения положительной полуоси, при однородном, дискретном, случайном блуждании без памяти, рациональна в следующих случаях:
а) Приращение принимает одно из значений от -1 до 3, каждое с вероятностью 0.2;
б) Приращение принимает одно из значений от -2 до 2, каждое с вероятностью 0.2;
в) Приращение принимает значения -1 и 4, каждое с вероятностью 0.5.
2) Если, приращения от -2 до 2 происходят с произвольными вероятностям,и,, то соответствующая, алгебраическая, кривая, вообще говоря, не рациональна.
Замечание 3.1. Пункты 1 и 2 Теоремы 3.1 в совокупности, с результатом из [1], касающимся случайных блужданий с приращениями от -1 до 2, позволяют выдвинуть гипотезу о том,, что при минимальном приращении -1 кривая всегда, рациональна. Автор предполагает также, что в случае приращений от -2 до 2 кривая всегда, рациональна при симметричном относительно 0 распределении приращений, поскольку вырождение особенности, w = z = 1 в пункте 16 связано с появлением, двойной вертикальной, касательной в этой точке, но это тоже только гипотеза. Нахождение рода в общем случае требует отдельного исследования, возможно, с применением продвинутой алгебраической, геометрии.
Для доказательства Теоремы 3,1 нам потребуется следующее вспомогательное
Предложение 3.1. Для случайного блуждания с приращениями от m до M и соответствующими вероятностями, рт,... ,рм искомая производящая функция удовлетворяет системе уравнений
Îw = W\ + ... + Wm ,
Wi = z(Pi + y^ (Рз XJ Wgi...Ws-)) '
m^j^O l^si,...,sn^M,sn>i,si+...+sn=i-j
где i пробегает значения, от 1 до M.
Замечание 3.2. Если в общем случае провести рассуждение, аналогичное рассуждению использующего результаты из [6] Александра Викторовича, то получим, что Е () = 1. Но единственным, что можно получить из этого соотношения, является си,стем,а, уравнений на, ш1,... ,шм, каждое из которых содержит неизвестную функцию
ция с неизвестными же коэффициентами равна 1: неизвестные функции суть условные математические ожидания вышеуказанной величины при фиксированном конечном значении а, коэффициенты, задают распределение этого значения, которое изначально неизвестно. Поэтому необходим, другой метод — метод рекуррентных соотношений.
Доказательство. Доказательство почти дословно повторяет рассуждения [1], применяемые для вывода подобных систем при М = 1 и при т = —1,М = 2, Поскольку самый большой прыжок вперед имеет длину М, то первое положительное значение может ока-
М М
новки. Она может произойти после первого шага с вероятностью рг, либо позднее, если первый шаг оказался j ^ 0, В последнем случае будем отмечать все промежуточные рекорды нашего блуждания, то есть те моменты времени к, когда значение величины £к, описывающей исследуемое блуждание, превысило предшествующий максимум (считаем
Расстояние между соседними рекордами может быть от 1 ^ вк ^ М, а вероятность времени достижения рекорда в силу однородности процесса имеет такое же распределение,
к
тельно не превосходит 0, иначе остановка произошла бы уже на нем. Осталось выписать рекуррентные соотношения на вероятности остановки в заданной точке за заданное число шагов, используя независимость не пересекающихся кусков рассматриваемого блуждания, и убедиться в том, что вышеуказанная система уравнений задает такие же рекуррентные соотношения на коэффициенты рядов Тейлора соответствующих функций, □
Прежде чем доказывать Теорему 3,1, обратим внимание на следующий факт: первое уравнение системы задает гиперплоскость, и более того, оно единственное содержит ш, поэтому при исследовании кривой его можно было бы не учитывать. Кроме этого, в рассматриваемых случаях (при минимальном приращении -1 или -2) можно из второго уравнения выразить ш2 через Ш1 го третьего — ш3 через ш2 и ш1, а значит, с учетом второго — через ш1, и так далее, после чего непосредственной подстановкой в последнее уравнение получить соотношение на т1 и г. Однако степень полученного соотношения (как общая, так и по каждой переменной в отдельности) будет точно такой же, как и при нашем рассмотрении — в терминах ш и г, так что сложность расчета рода обоими способами одинаковая.
Доказательство Теорем,ы, 3.1.
1а) Исходная система уравнений имеет вид
"ш = ш1 + ш2 + ш3, 5ш1 = г(1 + ш1 + ш2 + ш2),
5Ш2 = г(1 + Ш2 + Ш1Ш2 + ШЗ), ^5ШЗ = г(1 + ШЗ + Ш1ШЗ ).
Выпишем получающееся уравнение:
ш4г3 + ш3г2(—15 + 6г) + ш2г (75 — 80г + 26г2)
+ ш(—125 + 225г — 170г2 + 51 г3) = г(—75 + 1Ш — 41 г2),
или в координатах и = ш — 1, ж = г — 1
Р(и, х) :=125их3 + и2х(—25 + 25х + 50х2)
+ и4(1 + 3ж + 3х2 + х3) + и3(—5 + 15ж2 + 10х3) + 125х3 = 0,
то есть ш = г = 1 — обыкновенная тройная точка (дискриминант кубической части не равен нулю), дельта-инвариант 3(3-1) = 3. Решение системы Р = ^ = ^ = 0 показывает, что других особых точек па С2 у кривой пет.
Исследуем бесконечно удаленные особые точки. На данной кривой имеется две бесконечно удаленных точки: (х : и : ¿) = (1 : 0 : 0) и (0 : 1 : 0) и они обе особые: в окрестности первой имеем главную часть 125и*3 + 50и2*2 + и4 + 10и3* + 125*4, дискриминант опять-таки ненулевой, значит, это обыкновенная четверная точка, ^-инвариант 4(4~1) = 6; в окрестности второй кривая имеет вид
(* + х)3 + 5*(* + х)2(2х — *) + 25х*2 (* + х)(2х — *) + 125х3*3 + 125х3^4
или
у3 + 5Ьу2(2у — 3*) + 25*2 у (у — Ь)(2у — 3*) + 125*3(у — *)3 + 125 ¿4(у — г)3, в системе координат (у = х + Ь, ¿). Главная часть здесь имеет вид
у3 — 15у Н2 + 75^4 — 125 *6 — 125*7 ми (у — 5*2)3 — 125*7.
Раздутие (у, *) м- (у*, *) переводит главную часть особенности в (у — 5*)3 — 125*4, что соответствует каепу (3, 4), значит, дельта-инвариант равен 3 + (3~1)2(4~1) = 6, Итого, род кривой степени 7 равен (7~1)2(7~2) — 3 — 6 — 6 = 0, значит, кривая рациональна, 16) Выпишем систему:
ш = ш1 + ш2,
5ш1 = г(1 + ш1 + ш2 + ш2 + ш3 + 2ш1Ш2),
5Ш2 = г(1 + ш2 + ш\ш2 + Ш2Ш2 + ш^).
Выведенное из нее уравнение выглядит следующим образом:
ш6г3 + ш5г2(—5 + 4г) + ш4г2(—20 + Ш) + ш3 ¿(50 — 45z + 25 г2)
+ ш2г (75 — 145г + 35г2) + ш(—125 + 200г — 95 г2 + 39г3) = г(—50 + 65г — 11 г2),
и = ш — 1 х = — 1
Р(и, х) = и2х2(225 + 225х) + их2(125 + 250х) + и4х(45 + 90х + 45х2)
+ и3 х(75 + 200х + 125х2) + и6(1 + 3х + 3х2 + х3) + и5(5 + 20х + 25х2 + 10х3) + 125х3 = 0.
В точке ш = г = 1, таким образом, главная часть имеет вид 125х2ь + 75хь3 + 5^5 — 100х4, где V = х + и, после раздутия (х, у) м- (хь, у) главная часть особенности имеет вид 125х2 + 75хь + 5^2, что соответствует обыкновенной двойной точке, поэтому дельта-инвариант особенности равен 3(3-1) + 1 = 4,
Исследуем другие особые точки. Решение системы
р = 9Р = дР = 0
дх ди
дает еще одну особенность в С2 - х = —5, и = — |, В ней главная часть
—6250у2 + 8000^ 2у — 38400^4,
где V = и + 2 ,у = х + 5 т0 есть после раздутия (у, ь) м- (уь, ь) она оказывается равной
—6250у2 + 8000^у - 38400^2,
что соответствует обыкновенной двойной точке, в итоге ^-инвариант равен 1 + 1 = 2, Обратимся теперь к поведению на бесконечности. Точка (1:0:0) — главная часть
225иЧ4 + 250иЪъ + 45и4*2 + 125и3*3 + и6 + 10и5* + 125*6,
дискриминант ненулевой, это обыкновенная шестерная точка, дельта-инвариант 6(6~1) = 15, Точка (0:1:0) — главная часть
(г + х)3 + *(* + ж)2(10ж + 5*) + г3х(х + *)(125ж + 75*) + Л5(125* + 250ж),
или
у3 + у2*(10у — 5*) + уг3(у — *)(125у — 50*) + г5(у — *)2(250у — 125*) в координатах у = х + в новых координатах можно отбросить лишние слагаемые и получить у3 — 5у2*2 + 50у*5 — 125*8, ил и у3 — 5*2(у — 5*3)2, после двух раздутий (у,Ь) м (у*,*) получим главную часть в виде у3 — 5(у — 5*)2, что соответствует каепу (2, 3), итого дельта-инвариант 1 + 3(3 — 1) = 7. Род кривой степени 9 равен (9~1)2(9~2) — 4 — 2 — 15 — 7 = 0, и эта кривая оказалась рациональной, 1в) Имеем систему:
'т = т1 + /ш2 + т3 + т4, 2,ш1 = г^2 + т2),
2^2 = + 'Ш3),
2т3 = г(т1т3 + т4), 2'Ш4 = г(1 + и^и^). Уравнение кривой в данном случае:
т5г4 — 8т4г3+т2г(—32 + 32г — 28z2) + из3 г 2(24 — Ш + 10г2)
+ш(16 — 24г + 32г2 — 12г3 + 5/) = г(8 — 8г + 4z2), в координатах т =1 + и, г = 1+ х
их3 (24 + 40ж)+м2ж2(8 + 48ж + 40ж2) + и3х(—4 + 12ж + 36ж2 + 20ж3)
+и5(1 + х)4 + м4(—3 — 4ж + 6ж2 + 12ж3 + 5ж4) + 16ж4 = 0.
В точке и = х = 0 главная часть 24мж3 + 8и2х2 — 4и3х — 3и4 + 16ж4, дискриминант не равен нулю, это обыкновенная четверная точка и дельта-инвариант равен 6, Других конечных особых точек у кривой нет.
Исследуем бесконечные особые точки, В точке (1:0:0) главная часть
и5 + 5м4 * + 20м3 *2 + 40м2*3 + 40м*4 + 16*5,
дискриминант ненулевой, это обыкновенная пятикратная точка, дельта-инвариант 10, В точке (0:1:0) имеем
(* + х)4 + (5ж — 3*)(* + х)3 г + (20ж — 4*)ж(1 + ж)2*2
+ (40ж + 8Ь)х2 (1 + х)Г3 + ж3(24* + 40х)*4 + 16ж4*5 = 0,
главная часть в координатах (у = х+Ь, ¿) имеет вид у4—8*2у3+24*4у2 —32*6у+16*8+16*9, или (у — 2*2)4 +16*9, после раздутия (у,Ь) м (уЬ, *) главная часть принимает вид (у — 2*)4 + 16*5,
(4, 5) 6 + 6 = 12
рода получим, что, так как кривая имеет степень 9, он равен 28 — 6—10 — 12 = 0, опять-таки кривая рациональна.
2) При значениях вероятностей р_2 = р\ = р2 = 3, когда система имеет вид
'ш = Ш\ + ш2,
3 ш = (1 + ш 3 + 2 ш ш 2 ) ,
3 ш 2 = (1 + ш 2 ш 2 + ш 22 ) , а уравнение —
ш6г3 — 3ш5г2+ш4г2(2г — 6) + ш2г (9 — 48г — 3г2)
+ш3г (18 + 9 г2) + ш(19г3 + 36г — 27) + ¿(18 — 24г — г2) = 0,
ш = = 1
рые «расщепилась» еще одна конечная особая точка, имеют иррациональные координаты, сопряженные в Q[^/6], что затрудняет их прямое исследование, но поскольку от точ-ш = = 1
инвариант этой особенности равен 3, Что касается остальных особенностей, сумма их дельта-инвариантов в общем случае не больше, чем в вышеописанном примере, а значит, род кривой не меньше 28 — 3 — (2 + 15 + 7) = 1, и она уже не рациональна, В вышеописанном
ш = = 1
□
3.2. Симметричные случайные блуждания с памятью. Напомним, что дискретным случайным процессом называется последовательность случайных величин таких, что для любого конечного множества целых неотрицательных чисел ..., гп для величин ^,..., £г„ определено совместное распределение. До этого момента мы рассматривали случайные процессы с независимыми приращениями, то есть величины — 1; называемые п-мн приращениями, для разных натуральных п были независимы в совокупности, в частности, они попарно не коррелировали. Такие процессы являются марковскими: условное распределение £п+1 при фиксированном значении не изменится при добавлении дополнительных условий па ^ при к < п. В данном разделе будут рассматриваться случайные блуждания, в которых каждое приращение, начиная со второго шага, коррелирует с приращением па предыдущем шаге. При этом добавление условия па 1 влияет на вышеуказанное условное распределение, так что процесс перестает быть марковским. Подобные процессы называются процессами с памятью. Впрочем, данный процесс можно рассматривать и как марковский, если в содержание понятия «состояние» включить информацию о приращении на предыдущем шаге.
Для простоты будем считать блуждания симметричными с шагами ±1, Тогда первое приращение принимает оба допустимых значения с вероятностью 2, а каждое следующее совпадает с предыдущим с вероятностью р и противоположно ему с вероятностью q = 1 —р. В таком блуждании коэффициент корреляции между соседними приращениями равен к = —
Предложение 3.2. Производящая функция времени первого достижения, положи-
0 < < 1
ет уравнению
2ш = г[1 + ш2 — к2(ш — г)2)], (3.1)
которое задает неособую эллиптическую кривую, не являющейся, рациональной.
Доказательство. Обозначим за ш_ и ш+ производящие функции времени первого достижения х+1 из х при условии, что па предыдущем шаге было отрицательное и положительное приращение соответственно. Если на первом шаге приращение сразу положительно (вероятность данного события |), то время первого достижения положительной полуоси равно 1, если же на первом шаге приращение отрицательно, то после этого необходимо
сначала вернуться в 0, что соответствует определению и>_, а потом, наконец, дойти до 1, что уже соответствует поскольку перед этим 0 было положительное приращение. Поэтому искомая функция вычисляется по формуле т = | (1 +
Проведя аналогичные рассуждения для самих и>_ и получаем уравнения
= г (д +
= г (р + дт_т+). Перемножая уравнения и обозначив и = т_ получим
и = г2(р + ди)(д + ри), (3,2)
и
а так как т = |(1 + и), то выразим и = 2^ — 1, и после подстановки в (3,2), учитывая, что р = 1±к и д = ^ получим соотношение (3,1), Перепишем теперь полученное уравнение в виде
т2 г(1 — к2) + 2т(к2г2 — 1) + г (1 — к2 г2) = 0. (3.3)
Вычислим дискриминант данного квадратного относительно т уравнения: он равен (1 — к2г2)(1 — г2) и при 0 < к < 1 имеет четыре различных корня, поэтому оно задает неособую эллиптическую кривую, которая, как известно, имеет род 1 и, следовательно, не является рациональной. □
В случае к = 0 уравнение (3.1), как и следовало ожидать, переходит в обычное уравнение на производящую функцию времени первого достижения положительной полуоси при простом симметричном случайном блуждании. Интересен другой предельный случай: к = ±1, В этом случае уравнение принимает вид (2т — г)(1 — г2) = 0, откуда следует т = |, Данный результат объясняется тем, что в случае линейной зависимости последующего приращения от предыдущего процесс завершится либо на первом шаге, либо никогда. Любопытно отметить, что если к сколько-нибудь отличается от ±1, то кривая пересекает прямую г = 1 в единственной точке т = г =1, что означает, что процесс с вероятностью 1 завершится за конечное время, что неверно в предельном случае,
В более сложных случаях нужно применять методы, описанные в предыдущем разделе, Рассмотрим, например, следующее видоизменение предыдущего блуждания: кроме ±1
вероятности равны по а па последующих равны этому только при предыдущем приращении 0, а при приращении ±1 вероятности равны р±1 = р, рт1 = д, р0 = 1 — р — д, коэффициент автокорреляции при этом равен к = (5_3р_^)(р_^.
Выпишем уравнение на производящую функцию для такого блуждания:
Предложение 3.3. Производящая функция времени первого достижения, 1 для, вышеописанного блуждания удовлетворяет уравнению
(1 — 3р — 3д + 2р2 + 5рд + 2д2 )^2г3 + (3р + 3д — 3р2 — 12рд — 3д2)и)2г2 + 9рди)2г + (р — д)2ыг3 + 3(р — д)2тг2 + тг — 3т — (р — д)2 23 + г = 0,
которое при общих р, д задает гиперэллиптическую кривую рода, 2 (при р = д получается, процесс без памяти, — кривая рациональна, а, при р + д =1 получается, процесс из предыдущего предложения — род 1). Возможно, имеются и другие параметры, при которых кривая вырождается, но дискриминант многочлена шестой степени с параметрами не поддается, вычислению за, приемлемое время.
Замечание 3.3. Как и в случае блужданий без памяти,, проективизация, кривой имеет особенности, при этом если для блужданий без памяти компактификация СР1 х СР1
не избавляла от особенностей (а для симметричных блужданий с памятью без возможности нулевого приращения даже добавляла их), то в последнем, случае кривая в указанной компактификации особенностей не имеет.
Доказательство. Повторяя рассуждения для предыдущего процесса с незначительными изменениями, получим, что производящая функция времени первого достижения положительной полуоси удовлетворяет системе
ш = -(1 + ш + ш_ш+),
ш+ = г(р + р0ш + дш_ш+),
ш_ = + ро ш + рш-ш+).
Исключая из этой системы ш+ и ш_ методом результантов и учитывая, что р0 = 1 —р — д, получаем уравнение (3,4), Данная квинтика послойным преобразованием переводится в гиперэллиптическую кривую вида ш2 = Р6(г) с некоторым многочленом шестой степени в правой части. Подсчет дискриминанта многочлена, например, при р + д= |и |р — = 2 показывает, что кратных корней в общем случае у него нет. Род такой кривой равен 2, □
4. Благодарности
Автор благодарит профессора Григория Геннадьевича Амосова за всестороннюю помощь и поддержку при написании данной работы, а также выражает благодарность Александру Викторовичу Шкляеву за предоставленное изящное рассуждение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. С.В. Гришин. Применение производящих функций к задачам, случайного блуждания // УМЖ, 14:3 (2022), 35-42.
2. В.А. Малышев. Аналитический метод в теории двумерных случайных блужданий // Сиб. матем. жури., 13:6 (1972), 1314-1329.
3. N.R. Beaton, A.L. Owczarek, A. Rechnitzer. Exact Solution of some Quarter Plane Walks with Interacting Boundaries // E-JC. 26:3 (2019), 1-38.
4. K. Yamamoto. Hypergeometric Solution to a Gambler's Ruin Problem, with a Nonzero Halting Probability // International Journal of Statistical Mechanics. 2013:831390 (2013), 1-9.
5. H. Wang. On Total Progeny of Multitype Galton-Watson Process and the First Passage Time of Random Walk with Bounded Jumps // Acta Mathematica Sinica. English Series. 30:12 (2014), 2161-2172.
6. A.H. Ширяев. Вероятность. M.: МЦНМО. 2007.
7. B.B. Прасолов. Многочлены. М.: МЦНМО. 1999.
8. Е. Brieskorn, Н. Knorrer. Plane Algebraic Curves. В.: Springer. 2012.
Станислав Владимирович Гришин,
Математический институт им, Стеклова РАН,
ул. Губкина, 8,
119991, г, Москва, Россия
Московский физико-технический институт
(национальный исследовательский университет),
Институтский пер,, 9,
141701, г, Долгопрудный, Россия
E-mail: st.grishin98@yandex.ru
